Calcul intégral — Exercices 33 à 36
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid — Exercices d’application
Les exercices 33 à 36 étudient les liens entre l’ordre et le calcul intégral. Dans l’exercice 33, une inégalité exponentielle est d’abord établie puis intégrée afin d’encadrer une intégrale difficile à calculer exactement. L’exercice 34 utilise des minorations sur un intervalle mobile pour déterminer deux limites infinies sans chercher de primitive. L’exercice 35 traite une suite d’intégrales : la continuité assure que la fonction est bornée, puis un encadrement conduit à la limite. Enfin, l’exercice 36 mobilise la parité, le théorème de la moyenne pour les intégrales, une majoration et la dérivation d’une fonction définie par deux bornes variables. À chaque étape, nous préciserons les conditions d’application des propriétés, le sens des inégalités et le rôle des résultats précédents. L’objectif est de construire une stratégie de comparaison et de justification réutilisable, sans recourir à des méthodes hors programme.
Repère de cours — Intégration et ordre
Ordre et intégrale. Si deux fonctions continues vérifient \(f(t)\leq g(t)\) sur un segment \([a;b]\), avec \(a\leq b\), alors :
\[ \int_a^b f(t)\,dt \leq \int_a^b g(t)\,dt. \]Encadrement. Pour établir une limite d’intégrale, on peut majorer ou minorer l’intégrande sur tout le segment, puis multiplier par la longueur du segment. Pour une fonction qui change de signe, on utilise la valeur absolue.
\[ \left|\int_a^b f(t)\,dt\right| \leq \int_a^b|f(t)|\,dt. \]Théorème de la moyenne. Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), il existe \(c\in[a;b]\) tel que :
\[ \int_a^b f(t)\,dt = (b-a)f(c). \]Fonction intégrale. Une fonction continue possède une primitive. Pour une primitive \(G\) de \(g\), on peut écrire une intégrale à bornes variables sous la forme \(G(v(x))-G(u(x))\), puis appliquer la dérivation des fonctions composées.
Condition essentielle : la comparaison par intégration conserve son sens lorsque la borne inférieure ne dépasse pas la borne supérieure ; sinon, les bornes doivent être remises dans l’ordre.
Exercice 33
On considère l’intégrale :
\[ I= \int_0^1 \frac{e^{-x^2}}{1+x}\,dx. \]Stratégie de l’exercice. Nous commençons par encadrer l’exponentielle en utilisant son sens de variation et une fonction auxiliaire. L’encadrement sera ensuite intégré, appliqué à \(x^2\) et combiné à une identité rationnelle. Chaque question prépare une donnée nécessaire pour borner l’intégrale \(I\).
Question 1 a)
Montrer que :
\[ (\forall t\in\mathbb R^+) \qquad 1-t\leq e^{-t}\leq1. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Rappel de cours — Exponentielle et variations. L’inégalité supérieure découle de la croissance de la fonction exponentielle, car \(t\) est positif. Pour la borne inférieure, une fonction auxiliaire de valeur nulle en zéro permet de traduire une inégalité de fonctions en étude de signe d’une dérivée. Nous vérifions ce signe sur tout le domaine \(t\geq0\).
Soit \(t\in\mathbb R^+\). Comme \(-t\leq0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante :
\[ e^{-t}\leq e^0=1. \]Pour établir l’autre inégalité, considérons la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R^+\) par :
\[ h(t)=e^{-t}-1+t. \]La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb R^+\), et :
\[ h'(t)=1-e^{-t}. \]Or \(e^{-t}\leq1\), donc :
\[ h'(t)\geq0. \]La fonction \(h\) est ainsi croissante sur \(\mathbb R^+\). Comme :
\[ h(0)=0, \]on obtient, pour tout \(t\geq0\) :
\[ h(t)\geq0. \]Cela signifie que :
\[ e^{-t}-1+t\geq0, \]donc :
\[ e^{-t}\geq1-t. \]Le signe de la dérivée a été établi grâce à la première inégalité. Nous l’utilisons pour comparer \(h(t)\) à sa valeur en zéro, ce qui termine la preuve de l’autre borne.
L’inégalité vaut pour tout réel positif ou nul. Elle constitue un outil d’encadrement qu’on pourra intégrer grâce à la continuité des trois fonctions concernées.
Question 1 b)
En déduire que, pour tout \(x\in[0;1]\) :
\[ 1-x\leq e^{-x}\leq1-x+\frac{x^2}{2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Appliquer l’ordre à une intégrale. Fixons \(x\) entre 0 et 1. L’inégalité précédente est valable pour chaque \(t\) du segment \([0;x]\). Les fonctions sont continues et les bornes sont dans l’ordre croissant : nous pouvons intégrer les trois membres. Une fois les intégrales calculées, nous isolons l’exponentielle en veillant au sens des inégalités.
Soit \(x\in[0;1]\). Pour tout \(t\in[0;x]\), la question précédente donne :
\[ 1-t\leq e^{-t}\leq1. \]Les trois fonctions étant continues sur \([0;x]\), on peut intégrer membre à membre :
\[ \int_0^x(1-t)\,dt \leq \int_0^xe^{-t}\,dt \leq \int_0^x1\,dt. \]On obtient :
\[ x-\frac{x^2}{2} \leq 1-e^{-x} \leq x. \]La deuxième inégalité donne :
\[ 1-e^{-x}\leq x \Longrightarrow e^{-x}\geq1-x. \]La première donne :
\[ x-\frac{x^2}{2} \leq 1-e^{-x}, \]d’où :
\[ e^{-x} \leq 1-x+\frac{x^2}{2}. \]Les primitives se calculent directement sur \([0;x]\). Pour terminer, soustraire une inégalité à 1 inverse l’ordre des termes concernés ; on traite donc séparément les deux bornes.
L’exponentielle est maintenant prise entre deux polynômes simples sur \([0;1]\). Cet encadrement sera appliqué au réel \(x^2\) dans la dernière question de l’exercice.
Question 2 a)
Vérifier que, pour tout \(x\in[0;1]\) :
\[ \frac{x^4}{1+x} = x^3-x^2+x-1+\frac1{1+x}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Préparer l’encadrement de \(I\). Le terme \(x^4\) apparaît dans la majoration précédente après remplacement de \(x\) par \(x^2\). Pour pouvoir l’intégrer sous le dénominateur \(1+x\), nous vérifions une division polynomiale. Sur \([0;1]\), le dénominateur est strictement positif, donc l’identité est définie.
En réduisant le membre de droite au même dénominateur :
\[ \begin{aligned} x^3-x^2+x-1+\frac1{1+x} &= \frac{ (1+x)(x^3-x^2+x-1)+1 }{1+x}. \end{aligned} \]Or :
\[ \begin{aligned} (1+x)(x^3-x^2+x-1) &= x^4-1. \end{aligned} \]Donc :
\[ (1+x)(x^3-x^2+x-1)+1=x^4. \]La réduction au même dénominateur doit redonner exactement le numérateur \(x^4\). L’identité obtenue pourra être intégrée membre à membre.
L’identité vérifiée garantit que la fraction \(x^4/(1+x)\) possède une primitive accessible par les méthodes usuelles.
Question 2 b)
En déduire que :
\[ \frac12 \leq I \leq \frac5{24}+\frac{\ln2}{2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Réutiliser les trois questions précédentes. Sur \([0;1]\), \(x^2\) appartient encore à \([0;1]\) ; on peut donc appliquer l’encadrement de la question 1 b). Puisque \(1+x\) est positif, sa division conserve l’ordre. L’intégration produira une minoration simple et une majoration qui utilise exactement la décomposition de la question 2 a).
Pour tout \(x\in[0;1]\), on a \(x^2\in[0;1]\). En appliquant le résultat de la question 1 b) au réel \(x^2\), on obtient :
\[ 1-x^2 \leq e^{-x^2} \leq 1-x^2+\frac{x^4}{2}. \]Comme \(1+x>0\) sur \([0;1]\), on peut diviser les trois membres par \(1+x\) :
\[ \frac{1-x^2}{1+x} \leq \frac{e^{-x^2}}{1+x} \leq \frac{1-x^2}{1+x} + \frac{x^4}{2(1+x)}. \]Or :
\[ \frac{1-x^2}{1+x}=1-x. \]En intégrant sur \([0;1]\), il vient :
\[ \int_0^1(1-x)\,dx \leq I \leq \int_0^1(1-x)\,dx + \frac12 \int_0^1\frac{x^4}{1+x}\,dx. \]Le membre de gauche vaut :
\[ \int_0^1(1-x)\,dx = \left[ x-\frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac12. \]D’après la question 2 a) :
\[ \begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{1+x}\,dx &= \int_0^1 \left( x^3-x^2+x-1+\frac1{1+x} \right)dx\\ &= \frac14-\frac13+\frac12-1+\ln2\\ &= -\frac7{12}+\ln2. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I &\leq \frac12 + \frac12 \left( -\frac7{12}+\ln2 \right)\\ &= \frac5{24}+\frac{\ln2}{2}. \end{aligned} \]La borne inférieure s’intègre immédiatement. Pour la borne supérieure, la question 2 a) sépare la fraction en termes polynomiaux et un terme logarithmique.
L’intégrale n’est pas calculée exactement, mais elle est déterminée avec certitude entre deux bornes explicites. Cette information suffit pour répondre à la question et vérifier sa positivité.
Exercice 34
Stratégie de l’exercice. Les bornes \(x\) et \(2x\) varient simultanément. Pour chaque limite, on fixe d’abord \(x>0\), puis on cherche une borne uniforme de l’intégrande sur \([x;2x]\). L’intégrale d’une constante est égale à cette constante multipliée par la longueur \(x\) du segment.
Première limite
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Comprendre une intégrale à bornes mobiles. Pour \(x>0\), chaque \(t\) du segment \([x;2x]\) est lui aussi positif. Nous contrôlons séparément les facteurs positifs du dénominateur, puis obtenons une minoration de l’intégrande indépendante de \(t\). La longueur du segment est \(x\), et la borne inférieure de l’intégrale divergera vers \(+\infty\) lorsque \(x\to0^+\).
Soit \(x>0\). Pour tout \(t\in[x;2x]\), on a :
\[ t^2\leq4x^2 \]et :
\[ \sqrt{1+t^2} \leq \sqrt{1+4x^2}. \]Les quantités étant strictement positives :
\[ \frac1{t^2\sqrt{1+t^2}} \geq \frac1{4x^2\sqrt{1+4x^2}}. \]En intégrant cette inégalité sur \([x;2x]\), il vient :
\[ \begin{aligned} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} &\geq \int_x^{2x} \frac{dt}{4x^2\sqrt{1+4x^2}}\\ &= \frac{x}{4x^2\sqrt{1+4x^2}}\\ &= \frac1{4x\sqrt{1+4x^2}}. \end{aligned} \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac1{4x\sqrt{1+4x^2}} = +\infty. \]La minoration obtenue tend vers \(+\infty\), ce qui permet de déduire la même limite pour l’intégrale, par comparaison.
L’intégrale diverge vers \(+\infty\) lorsque les bornes se rapprochent de zéro, malgré le raccourcissement de l’intervalle d’intégration.
Deuxième limite
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt t}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Comparer sur un segment qui s’agrandit. Sur \([x;2x]\), avec \(x>0\), la racine carrée est croissante. Nous majorons le dénominateur par sa valeur à l’extrémité droite, ce qui fournit une minoration de l’intégrande. L’intégration de cette constante sur un segment de longueur \(x\) suffira à montrer la divergence vers \(+\infty\).
Soit \(x>0\). Pour tout \(t\in[x;2x]\), on a :
\[ \sqrt t\leq\sqrt{2x}. \]Donc :
\[ 1+\sqrt t \leq 1+\sqrt{2x}. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ \frac1{1+\sqrt t} \geq \frac1{1+\sqrt{2x}}. \]En intégrant sur \([x;2x]\) :
\[ \begin{aligned} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt t} &\geq \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{2x}}\\ &= \frac{x}{1+\sqrt{2x}}. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{x}{1+\sqrt{2x}} = \frac{\sqrt x} {\dfrac1{\sqrt x}+\sqrt2}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur tend vers \(\sqrt2\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{x}{1+\sqrt{2x}} = +\infty. \]Bien que l’intégrande devienne petit quand \(t\) grandit, le segment d’intégration a une longueur \(x\) qui grandit. La minoration tient compte de ces deux effets à la fois. Le théorème de comparaison donne donc la limite recherchée.
L’intégrale croît sans borne lorsque \(x\) devient grand : l’augmentation de la longueur de \([x;2x]\) l’emporte sur la diminution de l’intégrande.
Exercice 35
Stratégie de l’exercice. L’hypothèse de continuité sur un segment assure que \(f\) est bornée. On n’a pas besoin de connaître le signe de \(f\) : nous majorons la valeur absolue de l’intégrale, calculons une intégrale élémentaire et appliquons le théorème d’encadrement.
Question unique
Soient \(a\in\mathbb R_+^*\) et \(f\) une fonction continue sur le segment \([0;a]\).
On définit la suite \((u_n)_{n\geq1}\) par :
\[ u_n= \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx}\,dx. \]Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Continuité, majoration et théorème d’encadrement. Sur le segment \([0;a]\), \(f\) continue est bornée. Nous choisissons un majorant \(M\) de sa valeur absolue, puis utilisons la positivité de \(1+nx\) pour intégrer une inégalité de valeurs absolues. Le résultat ne dépend plus de \(f\), seulement de \(M\), de \(a\) et de \(n\). Sa limite peut être étudiée au moyen de la limite usuelle du logarithme.
La fonction \(f\) est continue sur le segment \([0;a]\). Elle y est donc bornée.
Il existe ainsi un réel \(M\geq0\) tel que :
\[ (\forall x\in[0;a]) \qquad |f(x)|\leq M. \]Pour tout entier \(n\geq1\) et tout \(x\in[0;a]\), on a :
\[ 1+nx>0. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} |u_n| &= \left| \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx}\,dx \right|\\ &\leq \int_0^a \frac{|f(x)|}{1+nx}\,dx\\ &\leq M \int_0^a \frac{dx}{1+nx}. \end{aligned} \]Or :
\[ \begin{aligned} \int_0^a \frac{dx}{1+nx} &= \frac1n \left[ \ln(1+nx) \right]_0^a\\ &= \frac{\ln(1+na)}n. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ 0\leq |u_n| \leq M\frac{\ln(1+na)}n. \]Pour étudier le membre de droite, écrivons :
\[ \frac{\ln(1+na)}n = \frac{\ln(1+na)}{1+na} \cdot \frac{1+na}{n}. \]Lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \frac{\ln(1+na)}{1+na} \longrightarrow0 \]et :
\[ \frac{1+na}{n} = \frac1n+a \longrightarrow a. \]Donc :
\[ M\frac{\ln(1+na)}n \longrightarrow0. \]La borne \(M\) ne dépend ni de \(x\) ni de \(n\). Après intégration, il reste à montrer que \(\ln(1+na)/n\) tend vers zéro, ce qui est une application des limites usuelles du logarithme. D’après le théorème d’encadrement, nous pouvons conclure.
Le résultat ne dépend pas de l’expression particulière de la fonction continue \(f\). La continuité sur le segment suffit à fournir le majorant permettant l’encadrement.
Exercice 36
On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ F(x)= \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}. \]Stratégie de l’exercice. La fonction à intégrer est continue, positive et paire sur l’ensemble des réels. Nous utiliserons ces propriétés pour déterminer la parité de \(F\), appliquer le théorème de la moyenne lorsque \(x>0\), obtenir une borne simple puis dériver les deux bornes de l’intégrale.
Question 1
Montrer que la fonction \(F\) est impaire.
Lire la correction + Masquer la correction −
Étudier la parité avec les bornes. Le dénominateur dépend uniquement des puissances paires de la variable : l’intégrande \(g\) est paire. Cette propriété ne suffit pas à conclure directement sur \(F\), car les bornes dépendent de \(x\). Pour calculer \(F(-x)\), on effectue le changement de variable \(t=-u\) et on conserve le signe négatif de la différentielle.
Posons :
\[ g(t)= \frac1{\sqrt{1+t^2+t^4}}. \]Pour tout \(t\in\mathbb R\) :
\[ g(-t) = \frac1{\sqrt{1+(-t)^2+(-t)^4}} = g(t). \]La fonction \(g\) est donc paire.
Soit \(x\in\mathbb R\). On a :
\[ F(-x)= \int_{-x}^{-2x}g(t)\,dt. \]Effectuons le changement de variable :
\[ t=-u, \qquad dt=-du. \]Les bornes deviennent :
\[ t=-x\Longrightarrow u=x, \qquad t=-2x\Longrightarrow u=2x. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} F(-x) &= -\int_x^{2x}g(-u)\,du\\ &= -\int_x^{2x}g(u)\,du\\ &= -F(x). \end{aligned} \]Le changement de variable renverse le signe de la différentielle. C’est lui, et non la parité de \(g\) prise isolément, qui détermine la parité finale de \(F\).
La fonction \(F\) est donc impaire.
La symétrie de l’intégrande s’associe au changement de sens des bornes quand \(x\) est remplacé par \(-x\). On obtient bien l’imparité de \(F\).
Question 2 a)
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\), il existe \(c\in[x;2x]\) tel que :
\[ F(x)= \frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Repère de cours — Théorème de la moyenne intégrale. Fixons \(x>0\) : le segment \([x;2x]\) est correctement orienté et \(g\) est continue sur celui-ci. Le théorème de la moyenne assure qu’une valeur de \(g\) en un point \(c\) de ce segment représente sa valeur moyenne. Il suffit de multiplier par la longueur \(2x-x\) du segment.
Soit \(x\in\mathbb R_+^*\). La fonction :
\[ g:t\longmapsto \frac1{\sqrt{1+t^2+t^4}} \]est continue sur le segment \([x;2x]\).
D’après le théorème de la moyenne pour les intégrales, il existe un réel \(c\in[x;2x]\) tel que :
\[ \int_x^{2x}g(t)\,dt = (2x-x)g(c). \]Comme \(2x-x=x\), on obtient :
\[ F(x) = x \frac1{\sqrt{1+c^2+c^4}}. \]La continuité est la condition indispensable du théorème. Le réel \(c\) appartient au segment \([x;2x]\) ; on ne cherche pas sa valeur exacte, seulement son existence.
L’existence de \(c\) transforme une intégrale en une valeur ponctuelle de l’intégrande multipliée par la longueur du segment. Cette représentation prépare une comparaison.
Question 2 b)
En déduire que :
\[ (\forall x\in\mathbb R_+^*) \qquad 0\leq F(x)\leq\frac1x, \]puis calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}F(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Exploiter le point \(c\) obtenu précédemment. Le résultat de la question 2 a) fournit un \(c\) qui dépend de \(x\) et vérifie \(c\geq x>0\). Nous comparons le dénominateur à \(c^2\), puis à \(x^2\) ; tous ces termes étant positifs, nous pouvons inverser les inégalités. L’encadrement final permettra de conclure sans primitive explicite.
Soit \(x\in\mathbb R_+^*\). L’intégrande est strictement positive et \(x<2x\), donc :
\[ F(x)\geq0. \]D’après la question précédente, il existe \(c\in[x;2x]\) tel que :
\[ F(x)= \frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}}. \]Comme \(c\geq x>0\), on a :
\[ c^2\geq x^2. \]De plus :
\[ 1+c^2+c^4\geq c^4. \]En prenant les racines carrées :
\[ \sqrt{1+c^2+c^4} \geq \sqrt{c^4} = c^2. \]Par conséquent :
\[ F(x) \leq \frac{x}{c^2} \leq \frac{x}{x^2} = \frac1x. \]Ainsi :
\[ 0\leq F(x)\leq\frac1x. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. \]L’hypothèse \(x>0\) justifie toutes les inversions de fractions. Une fois \(0\) et \(1/x\) trouvés comme bornes, le théorème d’encadrement fournit la limite sans autre calcul.
La majoration \(1/x\) est simple et tend vers zéro. Elle suffit pour établir la limite de \(F\) à \(+\infty\) sans chercher à calculer l’intégrale elle-même.
Question 3
Calculer \(F'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Dériver deux bornes variables. La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb R\) : elle possède une primitive \(G\) sur cet intervalle. Par la relation de Chasles, \(F(x)\) s’écrit \(G(2x)-G(x)\). La dérivation des fonctions composées fournit un coefficient 2 pour la borne supérieure ; c’est le point à ne pas oublier.
La fonction :
\[ g(t)= \frac1{\sqrt{1+t^2+t^4}} \]est continue sur \(\mathbb R\).
Soit \(G\) une primitive de \(g\) sur \(\mathbb R\). La relation de Chasles permet d’écrire :
\[ F(x)=G(2x)-G(x). \]La fonction \(F\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\). En utilisant la dérivation d’une fonction composée :
\[ \begin{aligned} F'(x) &= 2G'(2x)-G'(x)\\ &= 2g(2x)-g(x). \end{aligned} \]Or :
\[ g(2x) = \frac1{\sqrt{1+4x^2+16x^4}}. \]Le coefficient 2 provient de la dérivée de \(2x\). La dérivée du terme \(G(x)\), quant à elle, apparaît avec le signe moins devant la borne inférieure.
La fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\). Sa dérivée résulte de la combinaison de deux évaluations de l’intégrande aux bornes \(2x\) et \(x\).
À retenir
Exercice 33 : établir une inégalité, puis vérifier la continuité et l’ordre des bornes pour l’intégrer. La préparation algébrique facilite ensuite le calcul des bornes de l’intégrale.
Exercice 34 : pour une intégrale sur \([x;2x]\), utiliser un encadrement valable sur tout le segment et intégrer une constante sur une longueur \(x\).
Exercice 35 : la continuité sur un segment fournit un majorant de la valeur absolue ; l’inégalité triangulaire et le théorème d’encadrement donnent la limite.
Exercice 36 : vérifier le signe lié au changement de variable lorsqu’on étudie une parité ; utiliser le théorème de la moyenne sous ses conditions et dériver chacune des bornes variables.
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