Calcul intégral — Exercices 7 à 11
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid — Exercices d’application
Les exercices 7 à 11 montrent comment exploiter les propriétés fondamentales de l’intégrale avant de commencer un calcul de primitive. On étudiera d’abord des intégrales liées entre elles par une somme ou une différence, puis des expressions trigonométriques que l’on simplifie en utilisant les identités usuelles. Ensuite, la relation de Chasles permettra de traiter une fonction définie par morceaux, ou une valeur absolue dont l’expression change de signe. Le dernier exercice demande une décomposition rationnelle : une identité algébrique préparera le calcul d’une suite d’intégrales, puis sa limite. Dans chacune de ces situations, la démarche est la même : identifier la propriété du cours, vérifier que les fonctions sont intégrables sur les intervalles considérés, effectuer les transformations justifiées, puis interpréter la valeur trouvée.
Repères de cours — Linéarité, Chasles et valeurs absolues
Linéarité. Si les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \([a;b]\), alors :
\[ \int_a^b(\lambda f(x)+\mu g(x))\,dx = \lambda\int_a^bf(x)\,dx + \mu\int_a^bg(x)\,dx. \]Relation de Chasles. Pour \(c\in[a;b]\), si \(f\) est continue sur \([a;b]\) :
\[ \int_a^bf(x)\,dx = \int_a^cf(x)\,dx + \int_c^bf(x)\,dx. \]Valeur absolue. Pour intégrer \(|g(x)|\), il faut commencer par déterminer le signe de \(g\) et découper l’intervalle aux points où ce signe change. La formule \(|g|=g\) s’applique lorsque \(g\geq0\), et \(|g|=-g\) lorsque \(g\leq0\).
Primitives. La dérivée de \(\ln|u|\) est \(\dfrac{u'}u\) lorsque \(u\ne0\). On reconnaîtra également la dérivée de \(\operatorname{Arctan}\) dans l’intégrale rationnelle de l’exercice 10.
À retenir. La continuité sur chaque segment utilisé garantit l’existence des intégrales. Un découpage ou une simplification n’est valable qu’après vérification des conditions correspondantes.
Exercice 7 — Linéarité et relation entre deux intégrales
On considère les intégrales :
\[ I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx \qquad\text{et}\qquad J=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}\,dx. \]Calculer \(I+J\) et \(I-J\), puis en déduire \(I\) et \(J\).
Méthode. Les deux intégrales sont définies sur le même segment et possèdent le même dénominateur. Pour les calculer efficacement, il faut d’abord former leur somme et leur différence. Le numérateur de la somme se simplifie, tandis que celui de la différence est la dérivée du dénominateur.
Question 1
Calculer \(I+J\).
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Repère de cours et stratégie. On cherche une relation entre \(I\) et \(J\), non leurs primitives séparées. La linéarité s’applique car les deux quotients sont continus sur \([0;\pi/2]\) : leur dénominateur \(\sin x+\cos x\) est strictement positif sur ce segment. Après addition des fractions, les numérateur et dénominateur deviennent identiques.
Par linéarité de l’intégrale :
\[ \begin{aligned} I+J &= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} \right)dx\\ &= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}\,dx. \end{aligned} \]Sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), on a \(\cos x+\sin x>0\). Ainsi :
\[ \begin{aligned} I+J &= \int_0^{\pi/2}1\,dx\\ &= \left[x\right]_0^{\pi/2}. \end{aligned} \]La somme \(I+J\) s’obtient sans intégrer chacun des deux quotients. C’est la première équation qui permettra de déterminer les deux inconnues \(I\) et \(J\).
Question 2
Calculer \(I-J\).
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Repère de cours et stratégie. La différence conserve le dénominateur commun, mais le numérateur obtenu est \(\cos x-\sin x\). C’est exactement la dérivée de \(u(x)=\cos x+\sin x\). Comme \(u(x)>0\) sur le segment étudié, la primitive \(\ln u(x)\) est bien définie et utilisable aux deux bornes.
Par linéarité :
\[ I-J= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\,dx. \]Posons :
\[ u(x)=\cos x+\sin x. \]Alors :
\[ u'(x)=\cos x-\sin x. \]Comme \(u(x)>0\) sur l’intervalle considéré, une primitive est :
\[ \ln(\cos x+\sin x). \]Donc :
\[ \begin{aligned} I-J &= \left[ \ln(\cos x+\sin x) \right]_0^{\pi/2}\\ &= \ln1-\ln1. \end{aligned} \]Les deux valeurs de la primitive coïncident aux extrémités du segment. La différence des intégrales est donc nulle : les deux intégrales cherchées ont la même valeur.
Question 3
En déduire les valeurs de \(I\) et \(J\).
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Repère de cours et stratégie. Nous disposons maintenant d’un système de deux équations portant sur les mêmes intégrales. Il suffit de le résoudre, sans revenir aux intégrandes. L’égalité \(I-J=0\) donne d’abord \(I=J\), puis la valeur de leur somme fixe celle de chacune.
Nous avons obtenu :
\[ \begin{cases} I+J=\dfrac{\pi}{2},\\[2mm] I-J=0. \end{cases} \]En additionnant les deux égalités :
\[ 2I=\frac{\pi}{2}, \]d’où :
\[ I=\frac{\pi}{4}. \]Comme \(I-J=0\), on a \(J=I\).
La linéarité a transformé deux calculs d’intégrales en une résolution très simple de système : ce procédé est réutilisable chaque fois que plusieurs intégrales sont liées.
Exercice 8 — Identités trigonométriques et linéarité
On considère les intégrales :
\[ I=\int_0^{\pi/2}\cos^4x\,dx, \qquad J=\int_0^{\pi/2}\sin^4x\,dx, \] \[ K=\int_0^{\pi/2}2\sin^2x\cos^2x\,dx. \]1) Calculer \(I-J\) et \(I+J+K\).
2) a) Calculer \(2\sin^2x\cos^2x\) en fonction de \(\sin^2(2x)\) et de \(\cos(4x)\).
b) Calculer \(K\), puis en déduire les valeurs de \(I\) et \(J\).
Méthode. Les trois intégrales ne doivent pas être calculées indépendamment. Les identités \(\sin^2x+\cos^2x=1\) et \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) relient leurs intégrandes. On commence donc par établir les relations entre \(I\), \(J\) et \(K\), puis on en déduit leurs valeurs.
Question 1
Calculer \(I-J\) et \(I+J+K\).
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Repère de cours et stratégie. L’objectif est d’obtenir deux relations entre les trois intégrales. Pour la différence, on reconnaît une différence de deux carrés en \(\cos^2x\) et \(\sin^2x\). Pour la somme \(I+J+K\), les trois termes sont exactement ceux du développement de \((\sin^2x+\cos^2x)^2\). Ces identités sont valables sur tout \(\mathbb R\), et les intégrandes sont continues.
On utilise l’identité :
\[ \cos^4x-\sin^4x = (\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x). \]Or :
\[ \cos^2x+\sin^2x=1 \qquad\text{et}\qquad \cos^2x-\sin^2x=\cos(2x). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I-J &= \int_0^{\pi/2}\cos(2x)\,dx\\ &= \left[ \frac12\sin(2x) \right]_0^{\pi/2}\\ &=0. \end{aligned} \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} I+J+K &= \int_0^{\pi/2} \left( \cos^4x+\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x \right)dx\\ &= \int_0^{\pi/2} (\sin^2x+\cos^2x)^2\,dx\\ &= \int_0^{\pi/2}1\,dx. \end{aligned} \]Ces deux relations montrent notamment que \(I=J\). La valeur de \(K\), calculée ensuite, suffira alors à déterminer les deux autres intégrales.
Question 2 a)
Exprimer \(2\sin^2x\cos^2x\) en fonction de \(\sin^2(2x)\) et de \(\cos(4x)\).
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Repère de cours et stratégie. On prépare le calcul de \(K\). Le produit \(\sin^2x\cos^2x\) se transforme grâce à la formule de l’angle double. Pour obtenir un intégrande immédiatement intégrable, on applique ensuite la relation \(\sin^2t=(1-\cos(2t))/2\) au réel \(t=2x\).
On sait que :
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x. \]En élevant au carré :
\[ \sin^2(2x)=4\sin^2x\cos^2x. \]Par conséquent :
\[ 2\sin^2x\cos^2x = \frac12\sin^2(2x). \]Or :
\[ \sin^2(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}. \]L’expression finale est une combinaison d’une constante et d’un cosinus. Elle fournit une primitive usuelle pour la question suivante.
Question 2 b)
Calculer \(K\), puis en déduire les valeurs de \(I\) et \(J\).
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Repère de cours et stratégie. La question précédente donne une expression de l’intégrande de \(K\) composée de fonctions usuelles. Après calcul de cette intégrale, on réutilisera sans les redémontrer les relations \(I-J=0\) et \(I+J+K=\pi/2\) déjà établies. On évite ainsi deux intégrations directes plus longues.
D’après la question précédente :
\[ \begin{aligned} K &= \frac14 \int_0^{\pi/2} \left(1-\cos(4x)\right)dx\\ &= \frac14 \left[ x-\frac14\sin(4x) \right]_0^{\pi/2}\\ &= \frac14\cdot\frac{\pi}{2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ K=\frac{\pi}{8}. \]Or :
\[ I+J+K=\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ I+J = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}. \]Comme \(I-J=0\), on a \(I=J\). Par conséquent :
\[ 2I=\frac{3\pi}{8}. \]Les trois intégrales sont maintenant connues. Le résultat confirme que l’exploitation des relations entre intégrales est plus efficace que des calculs séparés.
Exercice 9 — Fonction définie par morceaux et Chasles
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} -\dfrac14x+6 & \text{si }x<3,\\[2mm] x+\dfrac94 & \text{si }x\geq3. \end{cases} \]Vérifier que \(f\) est continue en \(3\), puis calculer :
\[ \int_1^5f(x)\,dx. \]Méthode. La fonction change de formule en \(x=3\). On vérifie d’abord que les deux expressions se raccordent avec la valeur de la fonction en ce point. Ensuite, pour calculer son intégrale de 1 à 5, on découpe le segment au point de changement de formule, conformément à la relation de Chasles.
Question 1
Vérifier que \(f\) est continue en \(3\).
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Repère de cours et stratégie. Une fonction définie par deux expressions peut être continue à son point de raccordement uniquement si la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction sont égales. Chaque expression est affine, donc continue sur son intervalle de définition. Il reste à comparer leurs valeurs lorsque \(x\) tend vers 3.
Pour \(x<3\), on a :
\[ f(x)=-\frac14x+6. \]Donc :
\[ \lim_{x\to3^-}f(x) = -\frac34+6 = \frac{21}{4}. \]Pour \(x\geq3\), on a :
\[ f(x)=x+\frac94. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to3^+}f(x) = 3+\frac94 = \frac{21}{4}. \]De plus, puisque la seconde expression s’applique en \(x=3\) :
\[ f(3)=3+\frac94=\frac{21}{4}. \]La fonction \(f\) est donc continue en \(3\).
Le raccordement est continu en \(x=3\), si bien que la fonction est continue sur le segment \([1;5]\), ce qui permet d’appliquer les propriétés usuelles de l’intégrale.
Question 2
Calculer :
\[ \int_1^5f(x)\,dx. \]Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours et stratégie. Le segment \([1;5]\) traverse la valeur 3 où la formule de \(f\) change. On ne peut donc pas utiliser une seule des deux expressions sur tout le segment. La fonction étant continue, la relation de Chasles permet de scinder l’intégrale en deux calculs élémentaires, sur \([1;3]\) et sur \([3;5]\).
La définition de \(f\) change en \(x=3\). La relation de Chasles donne :
\[ \int_1^5f(x)\,dx = \int_1^3f(x)\,dx + \int_3^5f(x)\,dx. \]Donc :
\[ \int_1^5f(x)\,dx = \int_1^3 \left(-\frac14x+6\right)dx + \int_3^5 \left(x+\frac94\right)dx. \]Pour la première intégrale :
\[ \begin{aligned} \int_1^3 \left(-\frac14x+6\right)dx &= \left[ -\frac{x^2}{8}+6x \right]_1^3\\ &=11. \end{aligned} \]Pour la seconde :
\[ \begin{aligned} \int_3^5 \left(x+\frac94\right)dx &= \left[ \frac{x^2}{2}+\frac94x \right]_3^5\\ &= \frac{25}{2}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \int_1^5f(x)\,dx = 11+\frac{25}{2}. \]La valeur obtenue représente l’intégrale totale de la fonction, calculée en respectant sa définition par morceaux. Le point 3 sert de séparation et ne constitue pas une discontinuité.
Exercice 10 — Intégrales comportant des valeurs absolues
Calculer les intégrales suivantes.
Méthode. Une valeur absolue empêche en général de choisir immédiatement une primitive. Il faut repérer les zéros de chaque expression, établir son signe sur l’intervalle demandé, puis appliquer la relation de Chasles. Lorsque plusieurs valeurs absolues apparaissent, on réunit leurs points de changement de signe avant de former les sous-intervalles.
Intégrale \(A\)
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Repère de cours et stratégie. Pour calculer \(\int|3x^2-6x|\), on ne supprime pas les barres de valeur absolue d’un seul coup. On factorise le polynôme et on détermine le signe de \(3x(x-2)\). Ses zéros 0 et 2 appartiennent au segment \([-1;3]\), qu’il faut donc partager en trois sous-intervalles.
On factorise :
\[ 3x^2-6x=3x(x-2). \]Les zéros sont \(0\) et \(2\). Son signe sur \([-1;3]\) est donné par le tableau suivant :
| \(x\) | \([-1;0[\) | \(0\) | \(]0;2[\) | \(2\) | \(]2;3]\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3x(x-2)\) | + | 0 | − | 0 | + |
La relation de Chasles donne :
\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{0}(3x^2-6x)\,dx - \int_0^2(3x^2-6x)\,dx\\ &\quad+ \int_2^3(3x^2-6x)\,dx. \end{aligned} \]Une primitive de \(3x^2-6x\) est :
\[ F(x)=x^3-3x^2. \]On obtient successivement :
\[ \int_{-1}^{0}(3x^2-6x)\,dx=4, \] \[ -\int_0^2(3x^2-6x)\,dx=4, \] \[ \int_2^3(3x^2-6x)\,dx=4. \]Chaque contribution est positive après prise de la valeur absolue. Le résultat illustre la méthode générale : tableau de signe, découpage de l’intégrale, puis suppression des barres avec le signe adapté.
Intégrale \(B\)
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Repère de cours et stratégie. Le polynôme \(x^2-7x+12\) s’annule en 3 et 4. Ces deux valeurs appartiennent à \([2;5]\), et son signe alterne entre les deux racines. On applique donc Chasles sur \([2;3]\), \([3;4]\) et \([4;5]\), en changeant le signe de l’intégrande uniquement sur la partie où le polynôme est négatif.
On factorise :
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]| \(x\) | \([2;3[\) | \(3\) | \(]3;4[\) | \(4\) | \(]4;5]\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \((x-3)(x-4)\) | + | 0 | − | 0 | + |
Par conséquent :
\[ \begin{aligned} B &= \int_2^3(x^2-7x+12)\,dx\\ &\quad- \int_3^4(x^2-7x+12)\,dx\\ &\quad+ \int_4^5(x^2-7x+12)\,dx. \end{aligned} \]Une primitive est :
\[ F(x)= \frac{x^3}{3} - \frac72x^2 + 12x. \]On trouve :
\[ \int_2^3(x^2-7x+12)\,dx=\frac56, \] \[ \int_3^4(x^2-7x+12)\,dx=-\frac16, \] \[ \int_4^5(x^2-7x+12)\,dx=\frac56. \]Le signe négatif de l’intégrale centrale avant suppression de la valeur absolue explique pourquoi elle contribue positivement au résultat final.
Intégrale \(I\)
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Repère de cours et stratégie. La fonction logarithme est définie et continue sur \([1/e;e]\), mais elle change de signe en \(x=1\). On découpe donc l’intégrale à cette borne intérieure : \(|\ln x|=-\ln x\) sur \([1/e;1]\), tandis que \(|\ln x|=\ln x\) sur \([1;e]\). Une primitive de \(\ln x\) est \(x\ln x-x\), ce que l’on peut vérifier en dérivant.
La fonction \(\ln x\) s’annule en \(x=1\).
| \(x\) | \(\left[\dfrac1e;1\right[\) | \(1\) | \(]1;e]\) |
|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | − | 0 | + |
Ainsi :
\[ I = -\int_{1/e}^{1}\ln x\,dx + \int_1^e\ln x\,dx. \]Une primitive de \(\ln x\) est :
\[ x\ln x-x. \]On obtient :
\[ -\int_{1/e}^{1}\ln x\,dx = 1-\frac2e, \]et :
\[ \int_1^e\ln x\,dx=1. \]Les deux contributions sont positives ; le découpage permet d’exploiter la primitive usuelle sans confondre \(\int|\ln x|\) avec \(|\int\ln x|\).
Intégrale \(J\)
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Repère de cours et stratégie. La linéarité autorise la séparation de l’intégrale de \(|\sin x|+|\cos x|\). Les fonctions sont continues sur \([0;2\pi]\). En repérant leurs signes sur les quatre quadrants, on constate que les portions positives et négatives ont, après valeur absolue, des contributions symétriques.
Sur \([0;2\pi]\), les signes de \(\sin x\) et \(\cos x\) sont :
| \(x\) | \(]0;\frac{\pi}{2}[\) | \(]\frac{\pi}{2};\pi[\) | \(]\pi;\frac{3\pi}{2}[\) | \(]\frac{3\pi}{2};2\pi[\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | + | + | − | − |
| \(\cos x\) | + | − | − | + |
Par symétrie des fonctions trigonométriques :
\[ \int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx = 4\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = 4, \]et :
\[ \int_0^{2\pi}|\cos x|\,dx = 4\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 4. \]Chaque valeur absolue contribue 4 sur une période complète. L’intégrale de la somme est la somme de ces deux contributions, et non l’intégrale d’une combinaison de signes fixe sur tout le segment.
Intégrale \(K\)
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Repère de cours et stratégie. L’exponentielle est strictement croissante et \(e^0=1\). Ainsi, le signe de \(e^x-1\) est négatif pour \(x<0\), nul en 0 et positif pour \(x>0\). Comme 0 appartient à \([-1;1]\), Chasles permet d’écrire deux intégrales sans valeurs absolues.
L’expression \(e^x-1\) s’annule en \(x=0\).
| \(x\) | \([-1;0[\) | \(0\) | \(]0;1]\) |
|---|---|---|---|
| \(e^x-1\) | − | 0 | + |
Donc :
\[ K = \int_{-1}^{0}(1-e^x)\,dx + \int_0^1(e^x-1)\,dx. \]La première intégrale vaut :
\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{0}(1-e^x)\,dx &= \left[x-e^x\right]_{-1}^{0}\\ &= \frac1e. \end{aligned} \]La seconde vaut :
\[ \begin{aligned} \int_0^1(e^x-1)\,dx &= \left[e^x-x\right]_0^1\\ &= e-2. \end{aligned} \]La valeur finale est positive comme l’exige l’intégrande \(|e^x-1|\). Le point clé est de choisir la coupure à la racine de l’expression intérieure.
Intégrale \(L\)
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Repère de cours et stratégie. Sur \([0;\pi]\), la fonction sinus est positive ou nulle. Seul le cosinus change de signe, exactement en \(\pi/2\). On découpe donc l’intégrale à cet endroit, puis on utilise la primitive \(\frac12\sin^2x\), dérivée du produit \(\sin x\cos x\).
Sur \([0;\pi]\), on a \(\sin x\geq0\). Le signe de \(\cos x\) change en \(\dfrac{\pi}{2}\).
| \(x\) | \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\) |
|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | + | 0 | − |
Ainsi :
\[ L = \int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx - \int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\cos x\,dx. \]Une primitive de \(\sin x\cos x\) est :
\[ \frac12\sin^2x. \]Donc :
\[ \int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\frac12, \]et :
\[ -\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\cos x\,dx=\frac12. \]Les deux sous-intervalles apportent la même contribution positive. L’intégrale totale traduit cette symétrie une fois la valeur absolue prise en compte.
Intégrale \(M\)
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Repère de cours et stratégie. Trois expressions sont sous des valeurs absolues, mais seules leurs racines situées sur \([-1;4]\) sont utiles : 1, 2 et 3. Le dénominateur est strictement positif, puisqu’il est au moins égal à 16. On découpe donc le segment en quatre parties. Sur les trois premières, le dénominateur se simplifie en 25 ; sur la dernière, on obtient \(2x^2+7\), ce qui impose une décomposition supplémentaire du numérateur.
Les expressions sous les valeurs absolues s’annulent en :
\[ x=1,\qquad x=2,\qquad x=3. \]Sur l’intervalle \([-1;4]\), on obtient :
| Intervalle | \(|x-1|\) | \(|x-2|\) | \(|x^2-9|\) | Intégrande simplifié |
|---|---|---|---|---|
| \([-1;1]\) | \(1-x\) | \(2-x\) | \(9-x^2\) | \(\dfrac{3-2x}{25}\) |
| \([1;2]\) | \(x-1\) | \(2-x\) | \(9-x^2\) | \(\dfrac1{25}\) |
| \([2;3]\) | \(x-1\) | \(x-2\) | \(9-x^2\) | \(\dfrac{2x-3}{25}\) |
| \([3;4]\) | \(x-1\) | \(x-2\) | \(x^2-9\) | \(\dfrac{2x-3}{2x^2+7}\) |
La relation de Chasles donne donc :
\[ \begin{aligned} M &= \int_{-1}^{1}\frac{3-2x}{25}\,dx + \int_1^2\frac1{25}\,dx\\ &\quad+ \int_2^3\frac{2x-3}{25}\,dx + \int_3^4\frac{2x-3}{2x^2+7}\,dx. \end{aligned} \]Les trois premières intégrales donnent :
\[ \frac6{25}+\frac1{25}+\frac2{25} = \frac9{25}. \]Pour la dernière intégrale, on écrit :
\[ 2x-3=\frac12(4x)-3. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_3^4\frac{2x-3}{2x^2+7}\,dx &= \frac12 \int_3^4 \frac{4x}{2x^2+7}\,dx - 3\int_3^4\frac{dx}{2x^2+7}\\ &= \frac12 \left[ \ln(2x^2+7) \right]_3^4\\ &\quad- \frac3{\sqrt{14}} \left[ \operatorname{Arctan} \left( x\sqrt{\frac27} \right) \right]_3^4. \end{aligned} \]Par conséquent :
Cette intégrale rassemble plusieurs techniques : tableau des signes, relation de Chasles, primitive logarithmique et primitive liée à Arctan. La présence de plusieurs valeurs absolues n’autorise aucune simplification globale sans étude de signe.
Dernière intégrale de l’énoncé
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Repère de cours et stratégie. L’intégrande est une somme de deux valeurs absolues. Sur le segment \([-1;2]\), les valeurs qui séparent les différentes formules sont \(-1\), 0 et 1. Le point \(-1\) est une borne ; les véritables coupures intérieures sont donc 0 et 1. Sur chacun des trois sous-intervalles, on remplace les valeurs absolues selon le signe de leurs expressions.
Pour alléger l’écriture, notons :
\[ N= \int_{-1}^{2} \left( |x|+|x^2-1| \right)dx. \]Les changements de signe se produisent en \(x=-1\), \(x=0\) et \(x=1\).
| Intervalle | \(|x|\) | \(|x^2-1|\) | Somme |
|---|---|---|---|
| \([-1;0]\) | \(-x\) | \(1-x^2\) | \(1-x-x^2\) |
| \([0;1]\) | \(x\) | \(1-x^2\) | \(1+x-x^2\) |
| \([1;2]\) | \(x\) | \(x^2-1\) | \(x^2+x-1\) |
Ainsi :
\[ \begin{aligned} N &= \int_{-1}^{0}(1-x-x^2)\,dx\\ &\quad+ \int_0^1(1+x-x^2)\,dx\\ &\quad+ \int_1^2(x^2+x-1)\,dx. \end{aligned} \]On obtient :
\[ \int_{-1}^{0}(1-x-x^2)\,dx=\frac76, \] \[ \int_0^1(1+x-x^2)\,dx=\frac76, \] \[ \int_1^2(x^2+x-1)\,dx=\frac{17}{6}. \]Les trois calculs deviennent des intégrales de polynômes. Comme tous les termes initiaux sont positifs, leur somme doit être positive, ce qui donne un premier contrôle de cohérence du résultat.
Exercice 11 — Décomposition d’une fraction rationnelle et suite intégrale
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\frac1{(x^2+3x+2)^3}. \]1) Déterminer les réels \(a,b,c,d,\alpha\) et \(\beta\) tels que, pour tout \(x\in[2;3]\) :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}{(x+2)^3} + \frac{c}{(x+1)^2}\\ &\quad+ \frac{d}{(x+2)^2} + \frac{\alpha}{x+1} + \frac{\beta}{x+2}. \end{aligned} \]2) On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[ u_n=\int_0^nf(x)\,dx. \]Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis montrer que :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = \ln(64)-\frac{33}{8}. \]Méthode. Le calcul de \(u_n\) repose sur la décomposition rationnelle demandée en première question. Pour déterminer les six constantes, on établit une identité polynomiale, puis on utilise les valeurs et les dérivées de cette identité aux racines du dénominateur. La primitive obtenue servira ensuite à calculer \(u_n\), puis sa limite.
Question 1
Déterminer \(a,b,c,d,\alpha\) et \(\beta\).
Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours et stratégie. Le dénominateur se factorise en \((x+1)^3(x+2)^3\). Sur \([2;3]\), aucun facteur ne s’annule : il est donc légitime de multiplier la décomposition recherchée par le dénominateur commun. On obtient une identité polynomiale. Deux polynômes égaux sur un intervalle non réduit à un point sont identiques sur \(\mathbb R\), ce qui autorise ensuite les substitutions \(x=-1\) et \(x=-2\), puis les dérivations successives utilisées pour isoler les coefficients.
On factorise d’abord :
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2). \]Donc :
\[ f(x)= \frac1{(x+1)^3(x+2)^3}. \]En multipliant la décomposition demandée par \((x+1)^3(x+2)^3\), on obtient :
\[ \begin{aligned} 1 &= a(x+2)^3 + b(x+1)^3\\ &\quad+ c(x+1)(x+2)^3 + d(x+2)(x+1)^3\\ &\quad+ \alpha(x+1)^2(x+2)^3 + \beta(x+2)^2(x+1)^3. \end{aligned} \]Les deux membres sont des polynômes égaux sur tout l’intervalle \([2;3]\). Ils sont donc identiques sur \(\mathbb R\).
En prenant \(x=-1\), on obtient :
\[ 1=a, \]donc :
\[ a=1. \]En dérivant l’identité polynomiale puis en prenant \(x=-1\), il vient :
\[ 0=3a+c, \]d’où :
\[ c=-3. \]En dérivant une seconde fois puis en prenant \(x=-1\) :
\[ 0=6a+6c+2\alpha. \]Ainsi :
\[ 0=6-18+2\alpha, \]donc :
\[ \alpha=6. \]De même, en prenant \(x=-2\) dans l’identité polynomiale :
\[ 1=-b, \]donc :
\[ b=-1. \]Après une dérivation et en prenant \(x=-2\) :
\[ 0=3b-d, \]d’où :
\[ d=-3. \]Après deux dérivations et en prenant \(x=-2\) :
\[ 0=-6b+6d-2\beta. \]Donc :
\[ 0=6-18-2\beta, \]et finalement :
\[ \beta=-6. \]Les six constantes obtenues rendent la fraction rationnelle intégrable terme à terme. L’identité polynomiale justifie aussi cette décomposition sur tout intervalle ne contenant ni \(-1\) ni \(-2\), notamment sur \([0;n]\).
Question 2 — Calcul de \(u_n\)
Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\).
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Repère de cours et stratégie. La décomposition calculée à la question 1 reste valable sur \([0;n]\), puisque \(x+1\) et \(x+2\) n’y sont jamais nuls pour \(n\in\mathbb N\). Par linéarité, on intègre chaque puissance négative et chaque terme de la forme \(1/(x+c)\). Les arguments des logarithmes sont positifs sur \([0;n]\), et le théorème fondamental permet de calculer \(u_n\) par \(F(n)-F(0)\).
La décomposition obtenue est valable pour tout \(x\neq-1\) et \(x\neq-2\), donc en particulier sur \([0;n]\).
Une primitive de \(f\) sur \([0;+\infty[\) est :
\[ \begin{aligned} F(x) &= -\frac1{2(x+1)^2} + \frac1{2(x+2)^2}\\ &\quad+ \frac3{x+1} + \frac3{x+2}\\ &\quad+ 6\ln(x+1) - 6\ln(x+2). \end{aligned} \]En effet :
\[ F'(x)=f(x). \]Par conséquent :
\[ u_n=F(n)-F(0). \]Or :
\[ \begin{aligned} F(0) &= -\frac12 + \frac18 + 3 + \frac32 - 6\ln2\\ &= \frac{33}{8}-6\ln2. \end{aligned} \]De plus :
\[ \begin{aligned} F(n) &= -\frac1{2(n+1)^2} + \frac1{2(n+2)^2}\\ &\quad+ \frac3{n+1} + \frac3{n+2}\\ &\quad+ 6\ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right). \end{aligned} \]Ainsi :
La formule explicite isole des fractions rationnelles qui tendront vers zéro et un logarithme dont l’argument tend vers 2. Cette forme prépare directement la limite demandée.
Question 2 — Limite
Montrer que :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = \ln(64)-\frac{33}{8}. \]Afficher la correction Masquer la correction
Repère de cours et stratégie. On part de l’expression de \(u_n\) déjà obtenue, sans refaire d’intégration. Lorsque \(n\to+\infty\), les fractions en \(1/(n+1)\) et \(1/(n+2)\) ainsi que leurs carrés tendent vers zéro. Le quotient placé dans le logarithme tend vers 2, qui est strictement positif : la continuité de \(\ln\) sur \(]0;+\infty[\) justifie donc le passage à la limite.
Lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \frac{2(n+1)}{n+2}\longrightarrow2, \] \[ \frac3{n+1}\longrightarrow0, \qquad \frac3{n+2}\longrightarrow0, \] \[ \frac1{2(n+1)^2}\longrightarrow0, \qquad \frac1{2(n+2)^2}\longrightarrow0. \]Par continuité de la fonction logarithme sur \(]0;+\infty[\) :
\[ 6\ln\left( \frac{2(n+1)}{n+2} \right) \longrightarrow 6\ln2. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = 6\ln2-\frac{33}{8}. \]Or :
\[ 6\ln2=\ln(2^6)=\ln64. \]La limite est finie ; elle décrit la valeur vers laquelle tendent les intégrales \(\int_0^n f(x)\,dx\) lorsque la borne supérieure augmente indéfiniment.
À retenir
Exercices 7 et 8. Avant de chercher des primitives, on combine les intégrales liées pour exploiter la linéarité et les identités trigonométriques. Une somme, une différence ou un système peut éviter des calculs séparés.
Exercices 9 et 10. La relation de Chasles intervient dès que la formule de la fonction change, notamment à un point de raccordement ou à une racine d’une expression sous valeur absolue. Il faut déterminer les signes avant de retirer les barres de valeur absolue. La continuité assure que les intégrales sur les segments considérés existent.
Exercice 11. Une fraction rationnelle à dénominateur factorisé peut se décomposer en une somme de termes dont les primitives sont usuelles. L’identité polynomiale permet de trouver les coefficients, et la formule explicite obtenue pour \(u_n\) facilite ensuite le passage à la limite.
La méthode à retenir est de toujours identifier le bon outil avant de calculer : propriété de l’intégrale, condition d’application, transformation justifiée, primitive, puis valeur et interprétation.
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