Calcul intégral — Exercices 12 à 14
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid — Exercices d’application
L’intégration par parties intervient lorsqu’une intégrale contient un produit de fonctions dont l’une se simplifie par dérivation. Dans les exercices 12 à 14, nous apprendrons à reconnaître ce produit, à choisir les fonctions à dériver et à intégrer, puis à appliquer la formule en respectant les bornes. Certains calculs demandent une préparation : linéariser un carré trigonométrique, réécrire un produit ou effectuer un changement de variable. D’autres exigent deux intégrations successives, parfois jusqu’à retrouver l’intégrale de départ et résoudre une équation. Le choix de la méthode ne repose pas sur un automatisme : nous vérifierons chaque fois la régularité des fonctions, la validité des primitives et l’intérêt de la transformation. Enfin, nous contrôlerons le signe et la cohérence des résultats, notamment lorsqu’une intégrale possède des bornes inversées.
Repère de cours — Intégration par parties
Théorème. Si les fonctions \(u\) et \(v\) sont continûment dérivables sur le segment \([a;b]\), alors la dérivée du produit \(uv\) donne :
\[\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.\]Conditions. Il faut connaître une primitive \(v\) de \(v'\), vérifier que les fonctions choisies sont de classe \(\mathcal C^1\) sur le segment, et évaluer le produit \(uv\) aux deux bornes dans le bon ordre.
Méthode. On privilégie comme \(u\) une expression dont la dérivée devient plus simple, par exemple un polynôme ou un logarithme ; le manuel propose aussi le repère ALPES pour guider ce choix. Une primitive de \(v'\) doit rester simple. Pour les produits polynôme–exponentielle ou polynôme–trigonométrie, la méthode peut être répétée.
Astuce. Simplifier d’abord l’intégrande si une identité trigonométrique ou un changement de variable permet de faire apparaître le bon produit. Le choix \(v'=1\) est particulièrement utile avec les fonctions \(\ln x\) et \(\operatorname{Arctan}x\).
Piège à éviter. La formule n’autorise ni l’oubli du signe « moins » ni l’inversion implicite des bornes. Pour \(a>b\), on a \(\int_a^bf=-\int_b^af\).
Exercice 12 — Premiers choix et préparation des intégrandes
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Méthode. L’exercice commence par des produits dont le premier facteur peut se simplifier par dérivation. On cherche une primitive du second facteur, puis on vérifie soigneusement les valeurs aux bornes. Pour les expressions trigonométriques, une préparation algébrique évite une intégration par parties inutilement compliquée.
Intégrale \(A\)
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Repère de cours et stratégie. Sur \([1/2;1]\), on a \(1+2x>0\) : toutes les fonctions choisies sont donc continûment dérivables. En prenant \(u=x\), sa dérivée vaut 1 ; la primitive de \(v'=1/\sqrt{1+2x}\) est \(v=\sqrt{1+2x}\). L’intégrale restante ne contient plus le facteur \(x\) et se calcule immédiatement.
Les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur \(\left[\dfrac12;1\right]\).
En effet :
\[ \left(\sqrt{1+2x}\right)' = \frac1{\sqrt{1+2x}}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} A &= \left[ x\sqrt{1+2x} \right]_{1/2}^{1} - \int_{1/2}^{1}\sqrt{1+2x}\,dx. \end{aligned} \]Une primitive de \(\sqrt{1+2x}\) est :
\[ \frac13(1+2x)^{3/2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} A &= \left[ x\sqrt{1+2x} - \frac13(1+2x)^{3/2} \right]_{1/2}^{1}\\ &= 0- \left( \frac{\sqrt2}{2} - \frac{2\sqrt2}{3} \right)\\ &= \frac{\sqrt2}{6}. \end{aligned} \]Le choix de \(u=x\) a éliminé le facteur algébrique. Le résultat est positif, conformément à l’intégrande positive sur le segment.
Intégrale \(B\)
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Repère de cours et stratégie. Le produit associe \(x\) et \(\ln x\). Sur \([1;e]\), le logarithme est de classe \(\mathcal C^1\). Le dériver transforme \(\ln x\) en \(1/x\), alors qu’intégrer \(x\) produit \(x^2/2\). Ainsi, l’intégrale restante se réduit à celle d’un polynôme.
On obtient :
\[ \begin{aligned} B &= \left[ \frac{x^2}{2}\ln x \right]_1^e - \frac12 \int_1^e x\,dx\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4}. \end{aligned} \]La valeur obtenue provient d’une seule intégration par parties ; la dérivation du logarithme est la clé de la simplification.
Intégrale \(C\)
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Repère de cours et stratégie. Le facteur affine \(x+3\) devient une constante lorsqu’on le dérive. La fonction \(e^{-x}\) possède pour primitive \(-e^{-x}\) ; son signe négatif doit être conservé dans le terme \([uv]\). L’intégrale obtenue après intégration par parties est une exponentielle seule.
Donc :
\[ \begin{aligned} C &= \left[ -(x+3)e^{-x} \right]_0^1 + \int_0^1e^{-x}\,dx\\ &= \left(3-\frac4e\right) + \left[ -e^{-x} \right]_0^1\\ &= 3-\frac4e+1-\frac1e. \end{aligned} \]Le signe négatif de la primitive de \(e^{-x}\) a été pris en compte deux fois dans la formule, ce qui conduit à une valeur positive.
Intégrale \(D\)
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Repère de cours et stratégie. Sur \([0;1/3]\), les deux facteurs sont continûment dérivables. Dériver \(4x-1\) donne la constante 4, et une primitive de \(e^{3x}\) est \(e^{3x}/3\), et non \(e^{3x}\). On pourra vérifier le résultat final : l’intégrande change de signe dans le segment et son intégrale n’est pas nécessairement positive.
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} D &= \left[ \frac{4x-1}{3}e^{3x} \right]_0^{1/3} - \frac43 \int_0^{1/3}e^{3x}\,dx\\ &= \left( \frac e9+\frac13 \right) - \frac43 \left[ \frac13e^{3x} \right]_0^{1/3}\\ &= \frac e9+\frac13 - \frac{4(e-1)}9. \end{aligned} \]L’intégrale est négative bien que l’intégrande soit positive près de \(1/3\) : la partie négative sur le début du segment domine.
Intégrale \(E\)
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Repère de cours et stratégie. Avant d’appliquer la formule, on remplace \(\cos^2(2x)\) par \((1+\cos4x)/2\). La linéarité isole alors une intégrale polynomiale et une intégrale de \(x\cos4x\). Pour la seconde, dériver \(u=x\) supprime le facteur variable et intégrer \(\cos4x\) fait apparaître \(\sin4x/4\).
Avant l’intégration par parties, on linéarise le carré trigonométrique :
Cette identité est utile parce qu’elle sépare la partie constante, immédiatement intégrable, de la partie trigonométrique composée.
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2. \]Ainsi :
\[ E= \frac12\int_0^{\pi/4}x\,dx + \frac12\int_0^{\pi/4}x\cos(4x)\,dx. \]Pour la seconde intégrale, choisissons :
Donc :
\[ \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}x\cos(4x)\,dx &= \left[ \frac x4\sin(4x) \right]_0^{\pi/4}\\ &\quad- \frac14 \int_0^{\pi/4}\sin(4x)\,dx. \end{aligned} \]Le terme intégré est nul aux deux bornes et :
\[ \int_0^{\pi/4}\sin(4x)\,dx = \frac12. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} E &= \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/4} - \frac18\cdot\frac12\\ &= \frac{\pi^2}{64} - \frac1{16}. \end{aligned} \]La linéarisation a ramené une puissance trigonométrique à une primitive usuelle et à une seule intégration par parties.
Intégrale \(F\)
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Repère de cours et stratégie. L’écriture \(x^3\sqrt{x^2+1}=x^2\bigl(x\sqrt{x^2+1}\bigr)\) fait apparaître une dérivée composée. Choisir \(u=x^2\) abaisse son degré ; le facteur \(x\sqrt{x^2+1}\) admet pour primitive \((x^2+1)^{3/2}/3\). Sur \([0;\sqrt3]\), les puissances concernées sont toutes bien définies.
On écrit :
\[ x^3\sqrt{x^2+1} = x^2\left(x\sqrt{x^2+1}\right). \]Alors :
\[ \begin{aligned} F &= \left[ \frac{x^2}{3}(x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &\quad- \frac23 \int_0^{\sqrt3} x(x^2+1)^{3/2}\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int x(x^2+1)^{3/2}\,dx = \frac15(x^2+1)^{5/2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} F &= 8 - \frac23 \left[ \frac15(x^2+1)^{5/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &= 8-\frac23\cdot\frac{32-1}{5}\\ &= 8-\frac{62}{15}. \end{aligned} \]La préparation du produit a permis de remplacer une puissance cubique par une expression composée dont la primitive est immédiate.
Intégrale \(G\)
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Repère de cours et stratégie. Le facteur \(x+2\) est affine, donc sa dérivée est simple. La quantité \(x+5\) reste strictement positive sur \([-1;4]\), ce qui garantit la régularité des racines et du quotient. En choisissant \(v'=1/\sqrt{x+5}\), on obtient \(v=2\sqrt{x+5}\), d’où une intégrale de racine usuelle.
On obtient :
\[ \begin{aligned} G &= \left[ 2(x+2)\sqrt{x+5} \right]_{-1}^{4}\\ &\quad- 2\int_{-1}^{4}\sqrt{x+5}\,dx\\ &= 32 - 2 \left[ \frac23(x+5)^{3/2} \right]_{-1}^{4}\\ &= 32-\frac43(27-8)\\ &= 32-\frac{76}{3}. \end{aligned} \]La racine au dénominateur ne crée aucune singularité sur le segment ; l’intégrale positive est cohérente avec \(x+2>0\) sur \([-1;4]\).
Intégrale \(H\)
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Repère de cours et stratégie. Il est utile de reconnaître \(\sin x\cos x\) comme la dérivée de \(\sin^2x/2\). On choisit donc \(u=x\), ce qui supprime le facteur \(x\) après dérivation. Il reste \(\int\sin^2x\,dx\), calculable par la formule de linéarisation ou par les propriétés trigonométriques connues.
Alors :
\[ \begin{aligned} H &= \left[ \frac x2\sin^2x \right]_0^{\pi/2} - \frac12 \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx = \frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ H= \frac{\pi}{4} - \frac12\cdot\frac{\pi}{4}. \]L’intégrale de \(\sin^2x\) intervient naturellement après la formule ; la valeur \(\pi/8\) est positive, comme l’intégrande sur le segment.
Exercice 13 — Intégrations répétées
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Méthode. La difficulté augmente : il faut parfois deux intégrations par parties. Pour un polynôme, chaque dérivation diminue le degré ; avec sinus et cosinus composés à un logarithme, la deuxième opération peut faire réapparaître l’intégrale initiale. On utilisera alors une équation pour la déterminer.
Intégrale \(I\)
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Repère de cours et stratégie. Le polynôme \(2x^2-x\) est de degré deux. Une première intégration par parties en prenant ce polynôme pour \(u\) ramène l’intégrale à un produit d’un polynôme affine par \(\sin x\). Une deuxième intégration, avec \(u=4x-1\), fait disparaître le dernier facteur en \(x\). Toutes ces fonctions sont de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0;\pi/2]\).
Donc :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ (2x^2-x)\sin x \right]_0^{\pi/2}\\ &\quad- \int_0^{\pi/2}(4x-1)\sin x\,dx\\ &= \frac{\pi^2-\pi}{2}-J, \end{aligned} \]où :
\[ J=\int_0^{\pi/2}(4x-1)\sin x\,dx. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -(4x-1)\cos x \right]_0^{\pi/2} + 4\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\\ &= -1+4\\ &=3. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ I= \frac{\pi^2-\pi}{2}-3. \]Deux intégrations successives suffisent puisque la dérivation du polynôme abaisse puis élimine son degré.
Intégrale \(J\)
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Repère de cours et stratégie. Il vaut mieux éviter d’intégrer directement un produit par \(\cos^2x\). L’identité \(\cos^2x=(1+\cos2x)/2\) le transforme en deux termes. Pour celui contenant \(\cos2x\), l’intégration par parties est immédiate : \(u=3x+4\) devient la constante 3, et \(v=\sin2x/2\). Les valeurs trigonométriques aux bornes simplifient fortement le calcul.
On commence par linéariser :
\[ \cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2. \]Donc :
\[ J= \frac12\int_0^\pi(3x+4)\,dx + \frac12\int_0^\pi(3x+4)\cos(2x)\,dx. \]Pour la seconde intégrale, posons :
Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_0^\pi(3x+4)\cos(2x)\,dx &= \left[ \frac{3x+4}{2}\sin(2x) \right]_0^\pi\\ &\quad- \frac32\int_0^\pi\sin(2x)\,dx\\ &=0. \end{aligned} \]Il reste donc :
\[ \begin{aligned} J &= \frac12 \left[ \frac32x^2+4x \right]_0^\pi\\ &= \frac{3\pi^2}{4}+2\pi. \end{aligned} \]Les termes oscillants s’annulent après évaluation aux bornes. Le calcul se réduit donc à l’intégrale de la partie polynomiale.
Intégrale \(K\)
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Repère de cours et stratégie. L’intégrande contient \(x^2\sin(\ln x)\), continu sur \([1;e^2]\). Dériver \(\sin(\ln x)\) crée un facteur \(1/x\), qui simplifie la puissance \(x^3\) issue de la primitive de \(x^2\). La première intégration introduit \(M=\int x^2\cos(\ln x)\,dx\) ; en répétant le procédé sur \(M\), on retrouve \(K\). On résout alors une équation en \(K\).
On obtient :
Le calcul de \(M\) est nécessaire : il fournit la deuxième relation qui permettra d’éliminer l’intégrale auxiliaire et d’isoler \(K\).
\[ K= \left[ \frac{x^3}{3}\sin(\ln x) \right]_1^{e^2} - \frac13M, \]où :
\[ M= \int_1^{e^2}x^2\cos(\ln x)\,dx. \]Comme \(\ln(e^2)=2\), on a :
\[ K= \frac{e^6\sin2}{3} - \frac13M. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} M &= \left[ \frac{x^3}{3}\cos(\ln x) \right]_1^{e^2} + \frac13K\\ &= \frac{e^6\cos2-1}{3} + \frac13K. \end{aligned} \]En remplaçant \(M\) dans la première relation :
\[ \begin{aligned} K &= \frac{e^6\sin2}{3} - \frac13 \left( \frac{e^6\cos2-1}{3} + \frac13K \right). \end{aligned} \]Donc :
\[ \frac{10}{9}K = \frac{ 3e^6\sin2-e^6\cos2+1 }9. \]Lorsque deux intégrations par parties ramènent à l’intégrale initiale, il faut isoler cette dernière algébriquement plutôt que répéter le procédé.
Intégrale \(L\)
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Repère de cours et stratégie. Il n’y a pas de produit visible, mais on peut écrire \((\ln x)^2\times1\). Sur \([1;e]\), \(\ln x\) est dérivable et sa dérivée vaut \(1/x\). Avec \(v'=1\) et \(v=x\), la puissance du logarithme diminue d’un degré. Une seconde intégration par parties traite ensuite \(\int\ln x\,dx\).
Alors :
\[ \begin{aligned} L &= \left[ x\ln^2x \right]_1^e - 2\int_1^e\ln x\,dx\\ &= e - 2\int_1^e\ln x\,dx. \end{aligned} \]Pour calculer l’intégrale restante, on utilise de nouveau une intégration par parties :
La première opération a diminué le degré du logarithme. La seconde poursuit exactement la même idée pour intégrer \(\ln x\).
D’où :
\[ \begin{aligned} \int_1^e\ln x\,dx &= \left[ x\ln x \right]_1^e - \int_1^e1\,dx\\ &= e-(e-1)\\ &=1. \end{aligned} \]La puissance du logarithme diminue progressivement à chaque intégration par parties, jusqu’à une primitive élémentaire.
Exercice 14 — Intégrales trigonométriques, Arctan et logarithme
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Méthode. On applique la même formule à des expressions où interviennent tangente, exponentielle, Arctan et logarithme. Une attention particulière est portée à la continuité des fonctions sur le segment, aux bornes inversées et à la préparation éventuelle du produit par changement de variable ou décomposition rationnelle.
Intégrale \(I_1\)
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Repère de cours et stratégie. La fonction \(\cos x\) ne s’annule pas sur \([0;\pi/3]\), donc \(1/\cos^2x\) est continue. On choisit \(u=x\) pour obtenir \(u'=1\) et \(v=\tan x\) puisque \((\tan x)'=1/\cos^2x\). La primitive restante est \(-\ln(\cos x)\), valable ici car \(\cos x>0\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \left[ x\tan x \right]_0^{\pi/3} - \int_0^{\pi/3}\tan x\,dx\\ &= \frac{\pi\sqrt3}{3} - \left[ -\ln(\cos x) \right]_0^{\pi/3}\\ &= \frac{\pi\sqrt3}{3}-\ln2. \end{aligned} \]La primitive de \(1/\cos^2x\) est \(\tan x\), et l’évaluation du logarithme repose sur la positivité du cosinus.
Intégrale \(I_2\)
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Repère de cours et stratégie. Attention au sens des bornes : \(\pi/3>\pi/6\). Sur le segment intermédiaire, \(\cos x>0\), et l’intégrande est positive ; l’intégrale avec ces bornes inversées sera donc négative. On choisit \(u=x\), tandis que \(v=1/(2\cos^2x)\) est bien une primitive de \(\sin x/\cos^3x\).
La fonction intégrée est continue sur \(\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right]\). Les bornes étant écrites dans l’ordre décroissant, la valeur de l’intégrale sera négative.
En effet :
\[ \left( \frac1{2\cos^2x} \right)' = \frac{\sin x}{\cos^3x}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \left[ \frac{x}{2\cos^2x} \right]_{\pi/3}^{\pi/6} - \frac12 \int_{\pi/3}^{\pi/6} \frac{dx}{\cos^2x}\\ &= \left[ \frac{x}{2\cos^2x} - \frac12\tan x \right]_{\pi/3}^{\pi/6}. \end{aligned} \]À la borne \(\dfrac{\pi}{6}\) :
On évaluera ensuite la primitive à la borne supérieure \(\pi/6\) puis à la borne inférieure \(\pi/3\), malgré leur ordre numérique inversé.
\[ \frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt3}{6}. \]À la borne \(\dfrac{\pi}{3}\) :
\[ \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt3}{6} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt3}{2}\\ &= \frac{\sqrt3}{3} - \frac{5\pi}{9}. \end{aligned} \]Le résultat négatif est un contrôle décisif : il provient uniquement de l’ordre décroissant des bornes d’intégration.
Intégrale \(I_3\)
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Repère de cours et stratégie. Le produit \(e^x\sin x\) se traite par deux intégrations par parties successives. La première remplace le sinus par le cosinus ; la seconde ramène le cosinus au sinus, en retrouvant l’intégrale \(I_3\). Les deux relations permettent de résoudre directement une équation en \(I_3\), sans poursuivre indéfiniment les intégrations.
On obtient :
\[ I_3= \left[ e^x\sin x \right]_0^{\pi/2} - J, \]avec :
\[ J= \int_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx. \]Ainsi :
\[ I_3=e^{\pi/2}-J. \]Donc :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ e^x\cos x \right]_0^{\pi/2} + I_3\\ &= -1+I_3. \end{aligned} \]En remplaçant \(J\) :
\[ I_3= e^{\pi/2}+1-I_3. \]Ainsi :
\[ 2I_3=e^{\pi/2}+1. \]La méthode par intégrations répétées ferme le calcul en formant une équation en \(I_3\).
Intégrale \(I_4\)
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Repère de cours et stratégie. La fonction \(\operatorname{Arctan}x\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0;1]\), avec dérivée \(1/(1+x^2)\). On écrit l’intégrande sous forme \(\operatorname{Arctan}x\times1\), puis on prend \(v=x\). Le produit \(x/(1+x^2)\) restant est de la forme \(u'/u\) et conduit à un logarithme.
Alors :
\[ \begin{aligned} I_4 &= \left[ x\operatorname{Arctan}x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\\ &= \frac{\pi}{4} - \left[ \frac12\ln(1+x^2) \right]_0^1. \end{aligned} \]L’intégration par parties permet d’intégrer directement Arctan sans rechercher une primitive par une méthode extérieure au chapitre.
Intégrale \(I_5\)
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Repère de cours et stratégie. L’exponentielle composée \(e^{\sqrt t}\) n’apparaît pas immédiatement comme un produit adapté. Le changement de variable \(y=\sqrt t\), autorisé puisque \(t\in[1;4]\), transforme \(dt\) en \(2y\,dy\) et les bornes en 1 et 2. On obtient alors \(2\int_1^2ye^y\,dy\), où le choix \(u=y\) devient naturel.
Pour faire apparaître un produit adapté à l’intégration par parties, posons :
\[ y=\sqrt t, \qquad t=y^2, \qquad dt=2y\,dy. \]Les bornes deviennent :
Un changement de variable dans une intégrale définie impose de transformer les deux bornes : on ne réutilise pas directement les anciennes valeurs de \(t\).
\[ t=1\Longrightarrow y=1, \qquad t=4\Longrightarrow y=2. \]Ainsi :
\[ I_5= 2\int_1^2ye^y\,dy. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_5 &= 2 \left( \left[ ye^y \right]_1^2 - \int_1^2e^y\,dy \right)\\ &= 2 \left[ (y-1)e^y \right]_1^2\\ &= 2e^2. \end{aligned} \]Le changement de variable a préparé l’intégration par parties, et les nouvelles bornes ont été calculées avant toute évaluation.
Intégrale \(I_6\)
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Repère de cours et stratégie. Le logarithme se simplifie par dérivation : \(u=\ln x\), \(u'=1/x\). Une primitive du facteur restant \(x/(1+x^2)^2\) est \(-1/[2(1+x^2)]\). L’intégration par parties conduit à \(1/[x(1+x^2)]\), que l’on décompose pour faire apparaître des primitives logarithmiques. Toutes les expressions sont régulières sur \([1;e]\).
En effet :
\[ \left( -\frac1{2(1+x^2)} \right)' = \frac{x}{(1+x^2)^2}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I_6 &= \left[ -\frac{\ln x}{2(1+x^2)} \right]_1^e\\ &\quad+ \frac12 \int_1^e \frac{dx}{x(1+x^2)}. \end{aligned} \]On décompose :
Après intégration par parties, le nouveau dénominateur contient un facteur \(x\) et un facteur \(1+x^2\). La décomposition suivante sépare deux quotients de la forme \(u'/u\).
\[ \frac1{x(1+x^2)} = \frac1x-\frac{x}{1+x^2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_1^e \frac{dx}{x(1+x^2)} &= \left[ \ln x-\frac12\ln(1+x^2) \right]_1^e\\ &= 1 - \frac12\ln(1+e^2) + \frac12\ln2. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_6 &= -\frac1{2(1+e^2)} + \frac12\\ &\quad- \frac14\ln(1+e^2) + \frac14\ln2. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac12-\frac1{2(1+e^2)} = \frac{e^2}{2(1+e^2)}. \]Le calcul combine intégration par parties et décomposition algébrique. Le logarithme final représente une différence de valeurs positives bien définies.
À retenir — Une méthode réutilisable
Avant le calcul : vérifier la continuité et la dérivabilité sur le segment, identifier les facteurs, choisir celui qui se simplifie par dérivation et déterminer une primitive exacte de l’autre. Une linéarisation trigonométrique ou un changement de variable peuvent préparer ce choix.
Pendant le calcul : appliquer \(\int uv'=[uv]-\int u'v\) en conservant le signe moins et les bornes. Si l’intégrale restante contient encore un polynôme multiplié par une fonction trigonométrique ou exponentielle, une deuxième intégration par parties peut être nécessaire.
Après le calcul : évaluer dans l’ordre borne supérieure moins borne inférieure, résoudre l’équation si l’intégrale initiale réapparaît, puis contrôler le résultat. Un intégrande positive donne une intégrale positive sur un segment parcouru dans le sens croissant, mais le signe s’inverse quand les bornes sont échangées.
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