Calcul intégral : premières intégrations par parties — Exercices 12 à 14
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Pour chaque intégration par parties, les choix \(u\), \(u'\), \(v'\) et \(v\) sont indiqués explicitement avant le calcul.
Exercice 12
Énoncé
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Intégrale \(A\)
\[
A=\int_{1/2}^{1}\frac{x}{\sqrt{1+2x}}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur \(\left[\dfrac12;1\right]\).
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x,\qquad u'=1,
\qquad
v'=\frac1{\sqrt{1+2x}},
\qquad
v=\sqrt{1+2x}.
\]
En effet :
\[ \left(\sqrt{1+2x}\right)' = \frac1{\sqrt{1+2x}}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} A &= \left[ x\sqrt{1+2x} \right]_{1/2}^{1} - \int_{1/2}^{1}\sqrt{1+2x}\,dx. \end{aligned} \]Une primitive de \(\sqrt{1+2x}\) est :
\[ \frac13(1+2x)^{3/2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} A &= \left[ x\sqrt{1+2x} - \frac13(1+2x)^{3/2} \right]_{1/2}^{1}\\ &= 0- \left( \frac{\sqrt2}{2} - \frac{2\sqrt2}{3} \right)\\ &= \frac{\sqrt2}{6}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{A=\frac{\sqrt2}{6}}.
\]
Intégrale \(B\)
\[
B=\int_1^e x\ln x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\ln x,\qquad u'=\frac1x,
\qquad
v'=x,\qquad v=\frac{x^2}{2}.
\]
On obtient :
\[ \begin{aligned} B &= \left[ \frac{x^2}{2}\ln x \right]_1^e - \frac12 \int_1^e x\,dx\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e\\ &= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2-1}{4}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{B=\frac{e^2+1}{4}}.
\]
Intégrale \(C\)
\[
C=\int_0^1(x+3)e^{-x}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x+3,\qquad u'=1,
\qquad
v'=e^{-x},\qquad v=-e^{-x}.
\]
Donc :
\[ \begin{aligned} C &= \left[ -(x+3)e^{-x} \right]_0^1 + \int_0^1e^{-x}\,dx\\ &= \left(3-\frac4e\right) + \left[ -e^{-x} \right]_0^1\\ &= 3-\frac4e+1-\frac1e. \end{aligned} \]
\[
\boxed{C=4-\frac5e}.
\]
Intégrale \(D\)
\[
D=\int_0^{1/3}(4x-1)e^{3x}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=4x-1,\qquad u'=4,
\qquad
v'=e^{3x},\qquad v=\frac13e^{3x}.
\]
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} D &= \left[ \frac{4x-1}{3}e^{3x} \right]_0^{1/3} - \frac43 \int_0^{1/3}e^{3x}\,dx\\ &= \left( \frac e9+\frac13 \right) - \frac43 \left[ \frac13e^{3x} \right]_0^{1/3}\\ &= \frac e9+\frac13 - \frac{4(e-1)}9. \end{aligned} \]
\[
\boxed{D=\frac{7-3e}{9}}.
\]
Intégrale \(E\)
\[
E=\int_0^{\pi/4}x\cos^2(2x)\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Avant l’intégration par parties, on linéarise le carré trigonométrique :
\[ \cos^2(2x)=\frac{1+\cos(4x)}2. \]Ainsi :
\[ E= \frac12\int_0^{\pi/4}x\,dx + \frac12\int_0^{\pi/4}x\cos(4x)\,dx. \]Pour la seconde intégrale, choisissons :
\[
u=x,\qquad u'=1,
\qquad
v'=\cos(4x),\qquad
v=\frac14\sin(4x).
\]
Donc :
\[ \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}x\cos(4x)\,dx &= \left[ \frac x4\sin(4x) \right]_0^{\pi/4}\\ &\quad- \frac14 \int_0^{\pi/4}\sin(4x)\,dx. \end{aligned} \]Le terme intégré est nul aux deux bornes et :
\[ \int_0^{\pi/4}\sin(4x)\,dx = \frac12. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} E &= \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi/4} - \frac18\cdot\frac12\\ &= \frac{\pi^2}{64} - \frac1{16}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{E=\frac{\pi^2-4}{64}}.
\]
Intégrale \(F\)
\[
F=\int_0^{\sqrt3}x^3\sqrt{x^2+1}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On écrit :
\[ x^3\sqrt{x^2+1} = x^2\left(x\sqrt{x^2+1}\right). \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x^2,\qquad u'=2x,
\]
\[
v'=x\sqrt{x^2+1},
\qquad
v=\frac13(x^2+1)^{3/2}.
\]
Alors :
\[ \begin{aligned} F &= \left[ \frac{x^2}{3}(x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &\quad- \frac23 \int_0^{\sqrt3} x(x^2+1)^{3/2}\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int x(x^2+1)^{3/2}\,dx = \frac15(x^2+1)^{5/2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} F &= 8 - \frac23 \left[ \frac15(x^2+1)^{5/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &= 8-\frac23\cdot\frac{32-1}{5}\\ &= 8-\frac{62}{15}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{F=\frac{58}{15}}.
\]
Intégrale \(G\)
\[
G=\int_{-1}^{4}\frac{x+2}{\sqrt{x+5}}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x+2,\qquad u'=1,
\]
\[
v'=\frac1{\sqrt{x+5}},
\qquad
v=2\sqrt{x+5}.
\]
On obtient :
\[ \begin{aligned} G &= \left[ 2(x+2)\sqrt{x+5} \right]_{-1}^{4}\\ &\quad- 2\int_{-1}^{4}\sqrt{x+5}\,dx\\ &= 32 - 2 \left[ \frac23(x+5)^{3/2} \right]_{-1}^{4}\\ &= 32-\frac43(27-8)\\ &= 32-\frac{76}{3}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{G=\frac{20}{3}}.
\]
Intégrale \(H\)
\[
H=\int_0^{\pi/2}x\sin x\cos x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x,\qquad u'=1,
\]
\[
v'=\sin x\cos x,
\qquad
v=\frac12\sin^2x.
\]
Alors :
\[ \begin{aligned} H &= \left[ \frac x2\sin^2x \right]_0^{\pi/2} - \frac12 \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx = \frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ H= \frac{\pi}{4} - \frac12\cdot\frac{\pi}{4}. \]
\[
\boxed{H=\frac{\pi}{8}}.
\]
Exercice 13
Énoncé
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Intégrale \(I\)
\[
I=\int_0^{\pi/2}(2x^2-x)\cos x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Première intégration par parties :
\[
u=2x^2-x,\qquad u'=4x-1,
\qquad
v'=\cos x,\qquad v=\sin x.
\]
Donc :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ (2x^2-x)\sin x \right]_0^{\pi/2}\\ &\quad- \int_0^{\pi/2}(4x-1)\sin x\,dx\\ &= \frac{\pi^2-\pi}{2}-J, \end{aligned} \]où :
\[ J=\int_0^{\pi/2}(4x-1)\sin x\,dx. \]
Deuxième intégration par parties :
\[
u=4x-1,\qquad u'=4,
\qquad
v'=\sin x,\qquad v=-\cos x.
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -(4x-1)\cos x \right]_0^{\pi/2} + 4\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx\\ &= -1+4\\ &=3. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ I= \frac{\pi^2-\pi}{2}-3. \]
\[
\boxed{I=\frac{\pi^2-\pi-6}{2}}.
\]
Intégrale \(J\)
\[
J=\int_0^\pi(3x+4)\cos^2x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On commence par linéariser :
\[ \cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2. \]Donc :
\[ J= \frac12\int_0^\pi(3x+4)\,dx + \frac12\int_0^\pi(3x+4)\cos(2x)\,dx. \]Pour la seconde intégrale, posons :
\[
u=3x+4,\qquad u'=3,
\qquad
v'=\cos(2x),\qquad
v=\frac12\sin(2x).
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_0^\pi(3x+4)\cos(2x)\,dx &= \left[ \frac{3x+4}{2}\sin(2x) \right]_0^\pi\\ &\quad- \frac32\int_0^\pi\sin(2x)\,dx\\ &=0. \end{aligned} \]Il reste donc :
\[ \begin{aligned} J &= \frac12 \left[ \frac32x^2+4x \right]_0^\pi\\ &= \frac{3\pi^2}{4}+2\pi. \end{aligned} \]
\[
\boxed{J=\frac{3\pi^2}{4}+2\pi}.
\]
Intégrale \(K\)
\[
K=\int_1^{e^2}x^2\sin(\ln x)\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Première intégration par parties :
\[
u=\sin(\ln x),
\qquad
u'=\frac{\cos(\ln x)}x,
\]
\[
v'=x^2,
\qquad
v=\frac{x^3}{3}.
\]
On obtient :
\[ K= \left[ \frac{x^3}{3}\sin(\ln x) \right]_1^{e^2} - \frac13M, \]où :
\[ M= \int_1^{e^2}x^2\cos(\ln x)\,dx. \]Comme \(\ln(e^2)=2\), on a :
\[ K= \frac{e^6\sin2}{3} - \frac13M. \]
Deuxième intégration par parties pour \(M\) :
\[
u=\cos(\ln x),
\qquad
u'=-\frac{\sin(\ln x)}x,
\]
\[
v'=x^2,
\qquad
v=\frac{x^3}{3}.
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} M &= \left[ \frac{x^3}{3}\cos(\ln x) \right]_1^{e^2} + \frac13K\\ &= \frac{e^6\cos2-1}{3} + \frac13K. \end{aligned} \]En remplaçant \(M\) dans la première relation :
\[ \begin{aligned} K &= \frac{e^6\sin2}{3} - \frac13 \left( \frac{e^6\cos2-1}{3} + \frac13K \right). \end{aligned} \]Donc :
\[ \frac{10}{9}K = \frac{ 3e^6\sin2-e^6\cos2+1 }9. \]
\[
\boxed{
K=
\frac{
1+e^6\left(3\sin2-\cos2\right)
}{10}
}.
\]
Intégrale \(L\)
\[
L=\int_1^e\ln^2x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Première intégration par parties :
\[
u=\ln^2x,
\qquad
u'=\frac{2\ln x}{x},
\qquad
v'=1,
\qquad
v=x.
\]
Alors :
\[ \begin{aligned} L &= \left[ x\ln^2x \right]_1^e - 2\int_1^e\ln x\,dx\\ &= e - 2\int_1^e\ln x\,dx. \end{aligned} \]Pour calculer l’intégrale restante, on utilise de nouveau une intégration par parties :
\[
u=\ln x,\qquad u'=\frac1x,
\qquad
v'=1,\qquad v=x.
\]
D’où :
\[ \begin{aligned} \int_1^e\ln x\,dx &= \left[ x\ln x \right]_1^e - \int_1^e1\,dx\\ &= e-(e-1)\\ &=1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{L=e-2}.
\]
Exercice 14
Énoncé
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Intégrale \(I_1\)
\[
I_1=
\int_0^{\pi/3}
\frac{x}{\cos^2x}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x,\qquad u'=1,
\]
\[
v'=\frac1{\cos^2x},
\qquad
v=\tan x.
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \left[ x\tan x \right]_0^{\pi/3} - \int_0^{\pi/3}\tan x\,dx\\ &= \frac{\pi\sqrt3}{3} - \left[ -\ln(\cos x) \right]_0^{\pi/3}\\ &= \frac{\pi\sqrt3}{3}-\ln2. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I_1=
\frac{\pi\sqrt3}{3}-\ln2
}.
\]
Intégrale \(I_2\)
\[
I_2=
\int_{\pi/3}^{\pi/6}
\frac{x\sin x}{\cos^3x}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
La fonction intégrée est continue sur \(\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right]\). Les bornes étant écrites dans l’ordre décroissant, la valeur de l’intégrale sera négative.
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x,\qquad u'=1,
\]
\[
v'=\frac{\sin x}{\cos^3x},
\qquad
v=\frac1{2\cos^2x}.
\]
En effet :
\[ \left( \frac1{2\cos^2x} \right)' = \frac{\sin x}{\cos^3x}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \left[ \frac{x}{2\cos^2x} \right]_{\pi/3}^{\pi/6} - \frac12 \int_{\pi/3}^{\pi/6} \frac{dx}{\cos^2x}\\ &= \left[ \frac{x}{2\cos^2x} - \frac12\tan x \right]_{\pi/3}^{\pi/6}. \end{aligned} \]À la borne \(\dfrac{\pi}{6}\) :
\[ \frac{\pi}{9}-\frac{\sqrt3}{6}. \]À la borne \(\dfrac{\pi}{3}\) :
\[ \frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{\pi}{9} - \frac{\sqrt3}{6} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt3}{2}\\ &= \frac{\sqrt3}{3} - \frac{5\pi}{9}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I_2=
\frac{3\sqrt3-5\pi}{9}
}.
\]
Intégrale \(I_3\)
\[
I_3=
\int_0^{\pi/2}e^x\sin x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Première intégration par parties :
\[
u=\sin x,\qquad u'=\cos x,
\qquad
v'=e^x,\qquad v=e^x.
\]
On obtient :
\[ I_3= \left[ e^x\sin x \right]_0^{\pi/2} - J, \]avec :
\[ J= \int_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx. \]Ainsi :
\[ I_3=e^{\pi/2}-J. \]
Deuxième intégration par parties pour \(J\) :
\[
u=\cos x,\qquad u'=-\sin x,
\qquad
v'=e^x,\qquad v=e^x.
\]
Donc :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ e^x\cos x \right]_0^{\pi/2} + I_3\\ &= -1+I_3. \end{aligned} \]En remplaçant \(J\) :
\[ I_3= e^{\pi/2}+1-I_3. \]Ainsi :
\[ 2I_3=e^{\pi/2}+1. \]
\[
\boxed{
I_3=
\frac{e^{\pi/2}+1}{2}
}.
\]
Intégrale \(I_4\)
\[
I_4=
\int_0^1\operatorname{Arctan}x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\operatorname{Arctan}x,
\qquad
u'=\frac1{1+x^2},
\qquad
v'=1,
\qquad
v=x.
\]
Alors :
\[ \begin{aligned} I_4 &= \left[ x\operatorname{Arctan}x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\,dx\\ &= \frac{\pi}{4} - \left[ \frac12\ln(1+x^2) \right]_0^1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I_4=
\frac{\pi}{4}-\frac12\ln2
}.
\]
Intégrale \(I_5\)
\[
I_5=
\int_1^4e^{\sqrt t}\,dt.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Pour faire apparaître un produit adapté à l’intégration par parties, posons :
\[ y=\sqrt t, \qquad t=y^2, \qquad dt=2y\,dy. \]Les bornes deviennent :
\[ t=1\Longrightarrow y=1, \qquad t=4\Longrightarrow y=2. \]Ainsi :
\[ I_5= 2\int_1^2ye^y\,dy. \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=y,\qquad u'=1,
\qquad
v'=e^y,\qquad v=e^y.
\]
Donc :
\[ \begin{aligned} I_5 &= 2 \left( \left[ ye^y \right]_1^2 - \int_1^2e^y\,dy \right)\\ &= 2 \left[ (y-1)e^y \right]_1^2\\ &= 2e^2. \end{aligned} \]
\[
\boxed{I_5=2e^2}.
\]
Intégrale \(I_6\)
\[
I_6=
\int_1^e
\frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\ln x,\qquad u'=\frac1x,
\]
\[
v'=\frac{x}{(1+x^2)^2},
\qquad
v=-\frac1{2(1+x^2)}.
\]
En effet :
\[ \left( -\frac1{2(1+x^2)} \right)' = \frac{x}{(1+x^2)^2}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I_6 &= \left[ -\frac{\ln x}{2(1+x^2)} \right]_1^e\\ &\quad+ \frac12 \int_1^e \frac{dx}{x(1+x^2)}. \end{aligned} \]On décompose :
\[ \frac1{x(1+x^2)} = \frac1x-\frac{x}{1+x^2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_1^e \frac{dx}{x(1+x^2)} &= \left[ \ln x-\frac12\ln(1+x^2) \right]_1^e\\ &= 1 - \frac12\ln(1+e^2) + \frac12\ln2. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_6 &= -\frac1{2(1+e^2)} + \frac12\\ &\quad- \frac14\ln(1+e^2) + \frac14\ln2. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac12-\frac1{2(1+e^2)} = \frac{e^2}{2(1+e^2)}. \]
\[
\boxed{
I_6=
\frac{e^2}{2(1+e^2)}
+
\frac14
\ln\left(
\frac2{1+e^2}
\right)
}.
\]
Méthodes à retenir :
préparer l’intégrande avant l’intégration par parties, choisir comme \(u\) la partie qui se simplifie par dérivation, calculer soigneusement une primitive \(v\) de \(v'\), puis réutiliser explicitement la formule
\[
\int_a^bu(x)v'(x)\,dx
=
\left[u(x)v(x)\right]_a^b
-
\int_a^bu'(x)v(x)\,dx.
\]
↑ Retour au menu des exercices
Commentaires
Enregistrer un commentaire