Calcul intégral : primitives directes et transformations élémentaires — Exercices 1 à 3
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces trois exercices développent les premiers réflexes indispensables en calcul intégral. Avant de chercher une primitive, il faut examiner la structure de l’expression : une simplification algébrique, l’écriture d’une racine sous forme de puissance, la présence d’une fonction accompagnée de sa dérivée ou encore une identité trigonométrique peuvent faire apparaître une primitive connue. Dans certaines situations, un changement de variable permet également de ramener l’intégrale à une forme plus simple. Mais le calcul ne doit jamais commencer avant une vérification essentielle : la fonction placée sous le signe intégral doit être définie sur l’intervalle considéré. Les exercices suivants montrent donc comment reconnaître la bonne forme, vérifier les conditions nécessaires, choisir la transformation adaptée puis appliquer correctement la relation entre une intégrale et une primitive.
Si \(f\) est continue sur un segment \([a;b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\) sur cet intervalle, alors :
\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) } \]La recherche de \(F\) constitue donc l’étape centrale du calcul. Il faut cependant commencer par vérifier que l’intégrande est bien définie sur l’intervalle concerné.
Lorsque la primitive n’est pas immédiatement visible, on cherche à transformer l’intégrande : développement, factorisation, écriture sous forme de puissance, reconnaissance d’une expression accompagnée de sa dérivée ou changement de variable.
Exercice 01
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On reconnaît une expression de la forme \(u'(t)u(t)^7\), avec :
\[ u(t)=t^2+2 \qquad\text{et}\qquad u'(t)=2t. \]Comme \(t=\dfrac12u'(t)\), une primitive est :
\[ \int t(t^2+2)^7\,dt = \frac12\int u^7\,du = \frac{u^8}{16}. \]On applique maintenant la primitive obtenue aux deux bornes.
\[ \begin{aligned} A_1 &= \left[\frac{(t^2+2)^8}{16}\right]_{-2}^{3}\\ &= \frac{(3^2+2)^8-\left((-2)^2+2\right)^8}{16}\\ &= \frac{11^8-6^8}{16}. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Développons d'abord le carré :
\[ \left(\sqrt t-\frac1{\sqrt t}\right)^2 = t-2+\frac1t. \]Par conséquent :
\[ A_2= \int_1^4 \left(t-2+\frac1t\right)dt. \]Une primitive sur \([1;4]\) est :
\[ F(t)=\frac{t^2}{2}-2t+\ln t. \]Donc :
\[ \begin{aligned} A_2 &= \left[\frac{t^2}{2}-2t+\ln t\right]_1^4\\ &= \left(8-8+\ln4\right) - \left(\frac12-2\right)\\ &= \ln4+\frac32. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On remarque que :
\[ \left(\sqrt{2x+1}\right)' = \frac1{\sqrt{2x+1}}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} A_3 &= \left[\sqrt{2x+1}\right]_0^4\\ &= \sqrt9-\sqrt1\\ &= 3-1. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On écrit :
\[ \frac1{(2x+1)^{2018}} = (2x+1)^{-2018}. \]Une primitive est :
\[ -\frac1{4034}(2x+1)^{-2017}, \]car \(4034=2\times2017\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} A_4 &= \left[ -\frac1{4034(2x+1)^{2017}} \right]_1^0\\ &= -\frac1{4034} + \frac1{4034\cdot3^{2017}}. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On transforme la racine carrée en puissance :
\[ x^{20}\sqrt x = x^{20}x^{1/2} = x^{41/2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} A_5 &= \int_0^1x^{41/2}\,dx\\ &= \left[ \frac2{43}x^{43/2} \right]_0^1. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ u(x)=x^2+4x. \]Alors :
\[ u'(x)=2x+4=2(x+2). \]Ainsi, une primitive de l'intégrande est :
\[ \frac13(x^2+4x)^{3/2}, \]car :
\[ \left[ \frac13(x^2+4x)^{3/2} \right]' = (x+2)\sqrt{x^2+4x}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} A_6 &= \left[ \frac13(x^2+4x)^{3/2} \right]_0^2\\ &= \frac13(12)^{3/2}\\ &= \frac13(2\sqrt3)^3. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On écrit :
\[ \frac1{\sqrt[3]{1+x}} = (1+x)^{-1/3}. \]Une primitive est :
\[ \frac32(1+x)^{2/3}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} A_7 &= \left[ \frac32(1+x)^{2/3} \right]_7^0\\ &= \frac32 \left( 1-8^{2/3} \right)\\ &= \frac32(1-4)\\ &= -\frac92. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ u=x^2. \]Alors :
\[ du=2x\,dx \qquad\text{et}\qquad x\,dx=\frac12\,du. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=0, \qquad x=1\Longrightarrow u=1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} A_8 &= \frac12\int_0^1\frac{du}{1+u^2}\\ &= \frac12 \left[ \operatorname{Arctan}u \right]_0^1\\ &= \frac12\cdot\frac{\pi}{4}. \end{aligned} \]Exercice 02
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On écrit :
\[ x=(x-1)+1. \]Ainsi :
\[ x\sqrt{x-1} = (x-1)^{3/2} + (x-1)^{1/2}. \]Une primitive est donc :
\[ \frac25(x-1)^{5/2} + \frac23(x-1)^{3/2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} B_1 &= \left[ \frac25(x-1)^{5/2} + \frac23(x-1)^{3/2} \right]_1^2\\ &= \frac25+\frac23. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On décompose :
\[ t=(t-1)+1. \]Alors :
\[ \frac{t}{\sqrt{t-1}} = \sqrt{t-1} + \frac1{\sqrt{t-1}}. \]Une primitive est :
\[ \frac23(t-1)^{3/2} + 2\sqrt{t-1}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} B_2 &= \left[ \frac23(t-1)^{3/2} + 2\sqrt{t-1} \right]_2^5\\ &= \left(\frac{16}{3}+4\right) - \left(\frac23+2\right)\\ &= \frac{20}{3}. \end{aligned} \]Version proposée par PMM : remplacer le facteur \(x-1\) du dénominateur par \(x+1\), en conservant les bornes \(0\) et \(3\).
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L’intégrande de cette version est continue sur \([0;3]\), car \(x+1>0\). On décompose :
\[\frac{x}{(x+1)^{3/2}}=(x+1)^{-1/2}-(x+1)^{-3/2}.\]Une primitive sur \(]-1;+\infty[\) est :
\[F(x)=2\sqrt{x+1}+\frac2{\sqrt{x+1}}.\]En effet :
\[F'(x)=\frac1{\sqrt{x+1}}-\frac1{(x+1)^{3/2}}=\frac{x}{(x+1)\sqrt{x+1}}.\]Par conséquent :
\[B_3=F(3)-F(0)=(4+1)-(2+2)=\boxed1.\]Dans la transcription avec \(x-1\), le dénominateur s’annule en \(x=1\), à l’intérieur de \([0;3]\). L’intégrale initiale n’est donc pas une intégrale usuelle de fonction continue sur ce segment.
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Posons :
\[ t=\sqrt x. \]Alors :
\[ x=t^2 \qquad\text{et}\qquad dx=2t\,dt. \]Les nouvelles bornes sont :
\[ x=4\Longrightarrow t=2, \qquad x=9\Longrightarrow t=3. \]De plus :
\[ x+\sqrt x = t^2+t = t(t+1). \]Donc :
\[ \begin{aligned} B_4 &= \int_2^3\frac{2t}{t(t+1)}\,dt\\ &= 2\int_2^3\frac{dt}{t+1}\\ &= 2\left[\ln(t+1)\right]_2^3. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ t=\sqrt x. \]Alors :
\[ x=t^2, \qquad dx=2t\,dt. \]Les bornes deviennent :
\[ x=1\Longrightarrow t=1, \qquad x=4\Longrightarrow t=2. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} B_5 &= \int_1^2 \frac{2t}{t(t^2+1)}\,dt\\ &= 2\int_1^2\frac{dt}{1+t^2}\\ &= 2\left[ \operatorname{Arctan}t \right]_1^2. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Décomposons la fraction sous la forme :
\[ \frac{2x}{(x-1)(x+2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+2}. \]En réduisant au même dénominateur :
\[ 2x=a(x+2)+b(x-1). \]En identifiant les coefficients :
\[ \begin{cases} a+b=2,\\ 2a-b=0. \end{cases} \]On obtient :
\[ a=\frac23, \qquad b=\frac43. \]Ainsi :
\[ \frac{2x}{(x-1)(x+2)} = \frac{2}{3(x-1)} + \frac{4}{3(x+2)}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} B_6 &= \left[ \frac23\ln|x-1| + \frac43\ln|x+2| \right]_2^3\\ &= \frac23\ln2 + \frac43\ln5 - \frac43\ln4. \end{aligned} \]Exercice 03
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Une primitive de \(\cos\dfrac x2\) est \(2\sin\dfrac x2\).
Une primitive de \(-\sin3x\) est \(\dfrac13\cos3x\).
Donc :
\[ \begin{aligned} C_1 &= \left[ 2\sin\frac x2+\frac13\cos3x \right]_0^\pi\\ &= \left(2-\frac13\right) - \left(0+\frac13\right). \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On écrit :
\[ \sin^3(2x) = \sin(2x) \left(1-\cos^2(2x)\right). \]Posons :
\[ u=\cos(2x). \]Alors :
\[ du=-2\sin(2x)\,dx. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=1, \qquad x=\frac{\pi}{4}\Longrightarrow u=0. \]Donc :
\[ \begin{aligned} C_2 &= -\frac12\int_1^0(1-u^2)\,du\\ &= \frac12\int_0^1(1-u^2)\,du\\ &= \frac12 \left[ u-\frac{u^3}{3} \right]_0^1. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On reconnaît la dérivée de \(\sin x\) :
\[ (\sin x)'=\cos x. \]Une primitive de \(\sin^3x\cos x\) est donc :
\[ \frac14\sin^4x. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} C_3 &= \left[ \frac14\sin^4x \right]_0^\pi\\ &= \frac14\sin^4\pi - \frac14\sin^40. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ u(x)=2+\sin x. \]Alors :
\[ u'(x)=\cos x. \]Une primitive est donc :
\[ \ln(2+\sin x), \]car \(2+\sin x>0\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} C_4 &= \left[ \ln(2+\sin x) \right]_0^{\pi/2}\\ &= \ln3-\ln2. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On utilise la formule :
\[ \sin a\cos b = \frac12 \bigl( \sin(a+b)+\sin(a-b) \bigr). \]Avec \(a=3x\) et \(b=2x\), on obtient :
\[ \sin(3x)\cos(2x) = \frac12 \bigl( \sin5x+\sin x \bigr). \]Par conséquent :
\[ C_5= \frac12 \int_{\pi/3}^{\pi/4} \bigl(\sin5x+\sin x\bigr)\,dx. \]Une primitive est :
\[ -\frac1{10}\cos5x-\frac12\cos x. \]À la borne \(\dfrac{\pi}{4}\) :
\[ -\frac1{10}\cos\frac{5\pi}{4} - \frac12\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{5}. \]À la borne \(\dfrac{\pi}{3}\) :
\[ -\frac1{10}\cos\frac{5\pi}{3} - \frac12\cos\frac{\pi}{3} = -\frac3{10}. \]Donc :
\[ C_5= -\frac{\sqrt2}{5} + \frac3{10}. \]Afficher la correction Masquer la correction
On écrit :
\[ \tan(2x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}. \]Une primitive est :
\[ -\frac12\ln(\cos2x), \]car \(\cos2x>0\) sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{8}\right]\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} C_6 &= \left[ -\frac12\ln(\cos2x) \right]_0^{\pi/8}\\ &= -\frac12 \ln\left( \cos\frac{\pi}{4} \right)\\ &= -\frac12 \ln\left( \frac{\sqrt2}{2} \right). \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{\sqrt2}{2} = \frac1{\sqrt2}. \]Afficher la correction Masquer la correction
On factorise :
\[ \tan^3x+\tan x = \tan x\left(1+\tan^2x\right). \]Posons :
\[ u=\tan x. \]Alors :
\[ du=(1+\tan^2x)\,dx. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=0, \qquad x=\frac{\pi}{4}\Longrightarrow u=1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} C_7 &= \int_0^1u\,du\\ &= \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ t=\sqrt x. \]Alors :
\[ x=t^2 \qquad\text{et}\qquad dx=2t\,dt. \]Les nouvelles bornes sont :
\[ x=\frac{\pi^2}{4} \Longrightarrow t=\frac{\pi}{2}, \qquad x=\pi^2 \Longrightarrow t=\pi. \]Donc :
\[ \begin{aligned} C_8 &= \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\cos t}{t}\,2t\,dt\\ &= 2\int_{\pi/2}^{\pi}\cos t\,dt\\ &= 2\left[\sin t\right]_{\pi/2}^{\pi}. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On utilise l'identité :
\[ 1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}. \]Alors :
\[ \tan^3x = \tan x \left( \frac1{\cos^2x}-1 \right). \]Donc :
\[ \int\tan^3x\,dx = \int \frac{\tan x}{\cos^2x}\,dx - \int\tan x\,dx. \]Pour la première intégrale, on pose \(u=\tan x\), d'où :
\[ \int \frac{\tan x}{\cos^2x}\,dx = \frac12\tan^2x. \]D'autre part :
\[ \int\tan x\,dx=-\ln(\cos x). \]Ainsi, une primitive de \(\tan^3x\) est :
\[ \frac12\tan^2x+\ln(\cos x). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} C_9 &= \left[ \frac12\tan^2x+\ln(\cos x) \right]_0^{\pi/4}\\ &= \frac12 + \ln\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &= \frac12-\frac12\ln2. \end{aligned} \]Afficher la correction Masquer la correction
On pose :
\[ u=2+\sin2x. \]Alors :
\[ du=2\cos2x\,dx \qquad\text{et}\qquad \cos2x\,dx=\frac12\,du. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=2, \]et :
\[ x=\frac{\pi}{3} \Longrightarrow u= 2+\sin\frac{2\pi}{3} = 2+\frac{\sqrt3}{2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} C_{10} &= \frac12 \int_2^{\,2+\sqrt3/2} u^{-4}\,du\\ &= \frac12 \left[ -\frac1{3u^3} \right]_2^{\,2+\sqrt3/2}\\ &= \frac16 \left[ \frac1{2^3} - \frac1{\left(2+\frac{\sqrt3}{2}\right)^3} \right]. \end{aligned} \]Ces trois exercices montrent que la recherche d’une primitive commence par une lecture de la structure de l’intégrande. Une racine peut être transformée en puissance, une expression peut être développée ou réécrite en fonction d’une même quantité, tandis qu’une fonction composée conduit souvent à rechercher sa dérivée dans le reste de l’intégrande. Les changements de variable utilisés dans cette série ne sont pas choisis au hasard : ils servent à transformer l’intégrale en une forme déjà connue.
Avant tout calcul, il faut aussi contrôler le domaine de définition sur l’intervalle d’intégration. L’intégrale \(B_3\) montre que cette étape peut suffire à détecter une anomalie avant même de rechercher une primitive. Le réflexe général devient donc : vérifier les conditions, reconnaître la structure, choisir la transformation utile, déterminer une primitive puis appliquer les bornes.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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