Calcul intégral : réutilisation d’intégrales, paramètre et bornes variables — Exercices 19 à 22
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Ce bloc traite la préparation algébrique d’une intégrale, la réutilisation d’un résultat précédent, la détermination d’un paramètre et l’étude d’une fonction définie par une intégrale.
Exercice 19
Question 1
Vérifier que, pour tout \(t\in\mathbb R_+^*\) :
\[ \frac1{(t+1)^2} = 1-\frac{t}{t+1} - \frac{t}{(t+1)^2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Soit \(t\in\mathbb R_+^*\). En réduisant le membre de droite au même dénominateur :
\[ \begin{aligned} 1-\frac{t}{t+1} - \frac{t}{(t+1)^2} &= \frac{ (t+1)^2-t(t+1)-t }{(t+1)^2}\\ &= \frac{ t^2+2t+1-t^2-t-t }{(t+1)^2}\\ &= \frac1{(t+1)^2}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
\frac1{(t+1)^2}
=
1-\frac{t}{t+1}
-
\frac{t}{(t+1)^2}
}.
\]
Question 2
Calculer l’intégrale :
\[ I= \int_0^1 \frac{dx}{(e^x+1)^2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Pour tout \(x\in[0;1]\), on a \(e^x>0\). En appliquant l’identité de la question précédente avec \(t=e^x\), on obtient :
\[ \frac1{(e^x+1)^2} = 1-\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2}. \]Par conséquent :
\[ I= \int_0^1 \left( 1-\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \right)dx. \]On utilise :
\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}, \]et :
\[ \left(\frac1{e^x+1}\right)' = -\frac{e^x}{(e^x+1)^2}. \]Une primitive de l’intégrande est donc :
\[ F(x)= x-\ln(e^x+1)+\frac1{e^x+1}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ x-\ln(e^x+1)+\frac1{e^x+1} \right]_0^1\\ &= 1-\ln(e+1)+\frac1{e+1} +\ln2-\frac12. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I=
\frac12
+
\ln\left(\frac2{e+1}\right)
+
\frac1{e+1}
}.
\]
Question 3
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ J= \int_0^1 \frac{xe^x}{(e^x+1)^3}\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x,
\qquad
u'=1,
\]
\[
v'=\frac{e^x}{(e^x+1)^3},
\qquad
v=-\frac1{2(e^x+1)^2}.
\]
En effet :
\[ \left( -\frac1{2(e^x+1)^2} \right)' = \frac{e^x}{(e^x+1)^3}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -\frac{x}{2(e^x+1)^2} \right]_0^1\\ &\quad+ \frac12 \int_0^1 \frac{dx}{(e^x+1)^2}\\ &= -\frac1{2(e+1)^2} + \frac12I. \end{aligned} \]En utilisant la valeur de \(I\) calculée dans la question précédente :
\[ \begin{aligned} J &= -\frac1{2(e+1)^2}\\ &\quad+ \frac12 \left[ \frac12 + \ln\left(\frac2{e+1}\right) + \frac1{e+1} \right]. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac1{2(e+1)} - \frac1{2(e+1)^2} = \frac{e}{2(e+1)^2}. \]
\[
\boxed{
J=
\frac14
+
\frac12
\ln\left(\frac2{e+1}\right)
+
\frac{e}{2(e+1)^2}
}.
\]
Exercice 20
Question unique
En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel \(a\) tel que :
\[ \int_0^1(x+a)e^x\,dx=e. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x+a,
\qquad
u'=1,
\]
\[
v'=e^x,
\qquad
v=e^x.
\]
On obtient :
\[ \begin{aligned} \int_0^1(x+a)e^x\,dx &= \left[ (x+a)e^x \right]_0^1 - \int_0^1e^x\,dx\\ &= (1+a)e-a-(e-1)\\ &= 1+a(e-1). \end{aligned} \]La condition imposée devient :
\[ 1+a(e-1)=e. \]Donc :
\[ a(e-1)=e-1. \]Comme \(e-1\neq0\), on peut diviser par \(e-1\).
\[
\boxed{a=1}.
\]
Exercice 21
Énoncé
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Intégrale \(I\)
\[
I=
\int_0^{\ln a}
(1+e^x)\ln(x+e^x)\,dx,
\qquad
a\in]1;+\infty[.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Comme \(a>1\), on a \(\ln a>0\). Pour tout \(x\in[0;\ln a]\) :
\[ x+e^x>0. \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\ln(x+e^x),
\qquad
u'=\frac{1+e^x}{x+e^x},
\]
\[
v'=1+e^x,
\qquad
v=x+e^x.
\]
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ (x+e^x)\ln(x+e^x) \right]_0^{\ln a}\\ &\quad- \int_0^{\ln a}(1+e^x)\,dx\\ &= \left[ (x+e^x)\ln(x+e^x) -(x+e^x) \right]_0^{\ln a}. \end{aligned} \]À la borne \(x=\ln a\) :
\[ x+e^x=\ln a+a. \]À la borne \(x=0\) :
\[ x+e^x=1 \qquad\text{et}\qquad \ln1=0. \]
\[
\boxed{
I=
(a+\ln a)\ln(a+\ln a)
-(a+\ln a)+1
}.
\]
Intégrale \(J\)
\[
J=
\int_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)}
e^{2x}\sin(e^x)\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On écrit :
\[ e^{2x}\sin(e^x) = e^x\left[e^x\sin(e^x)\right]. \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=e^x,
\qquad
u'=e^x,
\]
\[
v'=e^x\sin(e^x),
\qquad
v=-\cos(e^x).
\]
En effet :
\[ \left[-\cos(e^x)\right]' = e^x\sin(e^x). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -e^x\cos(e^x) \right]_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)}\\ &\quad+ \int_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)} e^x\cos(e^x)\,dx\\ &= \left[ -e^x\cos(e^x) + \sin(e^x) \right]_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)}. \end{aligned} \]À la borne supérieure, \(e^x=\dfrac{\pi}{2}\), donc :
\[ -\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} = 1. \]À la borne inférieure, \(e^x=\dfrac{\pi}{4}\), donc :
\[ -\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi\sqrt2}{8} + \frac{\sqrt2}{2}. \]
\[
\boxed{
J=
1+\frac{\pi\sqrt2}{8}
-\frac{\sqrt2}{2}
=
1+\frac{\sqrt2(\pi-4)}8
}.
\]
Intégrale \(K\)
\[
K=
\int_0^{\sqrt3}
\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On écrit :
\[ \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} = x^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=x^2,
\qquad
u'=2x,
\]
\[
v'=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},
\qquad
v=\sqrt{1+x^2}.
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} K &= \left[ x^2\sqrt{1+x^2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &\quad- 2\int_0^{\sqrt3} x\sqrt{1+x^2}\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int x\sqrt{1+x^2}\,dx = \frac13(1+x^2)^{3/2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} K &= 6 - \frac23 \left[ (1+x^2)^{3/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &= 6-\frac23(8-1)\\ &= 6-\frac{14}{3}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{K=\frac43}.
\]
Intégrale \(L\)
\[
L=
\int_0^{\pi/2}
\cos x\,\ln(1+\cos x)\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\ln(1+\cos x),
\qquad
u'=-\frac{\sin x}{1+\cos x},
\]
\[
v'=\cos x,
\qquad
v=\sin x.
\]
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} L &= \left[ \sin x\ln(1+\cos x) \right]_0^{\pi/2}\\ &\quad+ \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2x}{1+\cos x}\,dx. \end{aligned} \]Le terme intégré est nul aux deux bornes. D’autre part :
\[ \begin{aligned} \frac{\sin^2x}{1+\cos x} &= \frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}\\ &= 1-\cos x. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx\\ &= \left[ x-\sin x \right]_0^{\pi/2}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{L=\frac{\pi}{2}-1}.
\]
Intégrale \(M\)
\[
M=
\int_1^{e^2}
\frac1{x^3}e^{1/x}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On écrit :
\[ \frac1{x^3}e^{1/x} = \frac1x \left( \frac{e^{1/x}}{x^2} \right). \]
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\frac1x,
\qquad
u'=-\frac1{x^2},
\]
\[
v'=\frac{e^{1/x}}{x^2},
\qquad
v=-e^{1/x}.
\]
En effet :
\[ \left(-e^{1/x}\right)' = \frac{e^{1/x}}{x^2}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} M &= \left[ -\frac{e^{1/x}}x \right]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx\\ &= \left[ -\frac{e^{1/x}}x + e^{1/x} \right]_1^{e^2}\\ &= \left[ e^{1/x} \left(1-\frac1x\right) \right]_1^{e^2}. \end{aligned} \]À la borne \(x=1\), le terme vaut \(0\).
\[
\boxed{
M=
e^{1/e^2}
\left(1-\frac1{e^2}\right)
}.
\]
Intégrale \(N\)
\[
N=
\int_0^{2\pi}
\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x}}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=\ln(1+x),
\qquad
u'=\frac1{1+x},
\]
\[
v'=\frac1{\sqrt{1+x}},
\qquad
v=2\sqrt{1+x}.
\]
Ainsi :
\[ \begin{aligned} N &= \left[ 2\sqrt{1+x}\ln(1+x) \right]_0^{2\pi}\\ &\quad- 2\int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sqrt{1+x}}. \end{aligned} \]Or :
\[ \int\frac{dx}{\sqrt{1+x}} = 2\sqrt{1+x}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} N &= 2\sqrt{1+2\pi}\ln(1+2\pi)\\ &\quad- 4\left(\sqrt{1+2\pi}-1\right). \end{aligned} \]
\[
\boxed{
N=
2\sqrt{1+2\pi}\ln(1+2\pi)
-
4\sqrt{1+2\pi}
+4
}.
\]
Intégrale \(P\)
\[
P=
\int_0^\pi
e^{-2x}\sin^2x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
On utilise l’identité :
\[ \sin^2x= \frac{1-\cos(2x)}2. \]Ainsi :
\[ P= \frac12\int_0^\pi e^{-2x}\,dx - \frac12A, \]où :
\[ A= \int_0^\pi e^{-2x}\cos(2x)\,dx. \]Calculons \(A\) par deux intégrations par parties. Posons également :
\[ B= \int_0^\pi e^{-2x}\sin(2x)\,dx. \]
Première intégration par parties pour \(A\) :
\[
u=\cos(2x),
\qquad
u'=-2\sin(2x),
\]
\[
v'=e^{-2x},
\qquad
v=-\frac12e^{-2x}.
\]
On obtient :
\[ A= \frac{1-e^{-2\pi}}2-B. \tag{1} \]
Deuxième intégration par parties pour \(B\) :
\[
u=\sin(2x),
\qquad
u'=2\cos(2x),
\]
\[
v'=e^{-2x},
\qquad
v=-\frac12e^{-2x}.
\]
Comme \(\sin0=\sin(2\pi)=0\), il vient :
\[ B=A. \tag{2} \]Les relations (1) et (2) donnent :
\[ 2A= \frac{1-e^{-2\pi}}2, \]d’où :
\[ A= \frac{1-e^{-2\pi}}4. \]D’autre part :
\[ \int_0^\pi e^{-2x}\,dx = \frac{1-e^{-2\pi}}2. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1-e^{-2\pi}}4 - \frac{1-e^{-2\pi}}8. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
P=
\frac{1-e^{-2\pi}}8
}.
\]
Exercice 22
Énoncé
Pour tout \(x\in]0;1[\), on pose :
\[ I(x)= \int_x^1 t\operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right)dt. \]
Question 1
En utilisant la formule d’intégration par parties, exprimer \(I(x)\) en fonction de \(x\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Soit \(x\in]0;1[\). Les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur \([x;1]\).
Choix pour l’intégration par parties :
\[
u=
\operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right),
\qquad
u'=-\frac1{1+t^2},
\]
\[
v'=t,
\qquad
v=\frac{t^2}{2}.
\]
En effet :
\[ \begin{aligned} \left[ \operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right) \right]' &= \frac{-1/t^2}{1+1/t^2}\\ &= -\frac1{1+t^2}. \end{aligned} \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I(x) &= \left[ \frac{t^2}{2} \operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right) \right]_x^1\\ &\quad+ \frac12 \int_x^1 \frac{t^2}{1+t^2}\,dt. \end{aligned} \]Or :
\[ \operatorname{Arctan}(1)=\frac{\pi}{4}, \]et :
\[ \frac{t^2}{1+t^2} = 1-\frac1{1+t^2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I(x) &= \frac{\pi}{8} - \frac{x^2}{2} \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right)\\ &\quad+ \frac12 \left[ t-\operatorname{Arctan}t \right]_x^1\\ &= \frac12 \left[ 1-x+\operatorname{Arctan}x - x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) \right]. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I(x)=
\frac12
\left[
1-x+\operatorname{Arctan}x
-
x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right)
\right]
}.
\]
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}I(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Pour tout \(x>0\) :
\[ 0< \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) <\frac{\pi}{2}. \]En multipliant par \(x^2>0\) :
\[ 0< x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) < \frac{\pi}{2}x^2. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\pi}{2}x^2=0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{x\to0^+} x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) = 0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}\operatorname{Arctan}x=0. \]En utilisant l’expression obtenue dans la question précédente :
\[
\boxed{
\lim_{x\to0^+}I(x)=\frac12
}.
\]
Méthodes à retenir :
lorsqu’une question prépare une identité ou une intégrale, il faut réutiliser explicitement ce résultat. Dans une intégration par parties, les choix \(u\), \(u'\), \(v'\) et \(v\) doivent être indiqués. Pour étudier une limite contenant une fonction bornée multipliée par \(x^2\), un encadrement direct suffit.
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