Calcul intégral — Exercices 19 à 22
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid — Exercices d’application
Les exercices 19 à 22 montrent comment organiser un calcul intégral lorsqu'une seule primitive immédiate ne suffit pas. Le premier exercice part d'une identité algébrique pour calculer deux intégrales successives. Le deuxième consiste à déterminer un paramètre réel à partir d'une condition portant sur une intégrale. L'exercice 21 rassemble plusieurs situations d'intégration par parties : produits logarithmiques, compositions exponentielles, racines carrées et calculs cycliques. Enfin, l'exercice 22 étudie une fonction définie par une intégrale dont la borne inférieure varie. Dans chaque question, nous identifierons d'abord la propriété du cours et vérifierons ses conditions, puis nous expliquerons le choix des fonctions utilisées, les étapes du calcul et le sens du résultat. L'important est de reconnaître une méthode réutilisable, et non d'apprendre isolément des valeurs d'intégrales.
Repère de cours — Intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont continûment dérivables sur le segment \([a;b]\), alors :
\[ \int_a^b u(t)v'(t)\,dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t)\,dt. \]Conditions : les deux fonctions doivent être continûment dérivables sur le segment considéré. Dans un quotient ou un logarithme, on vérifie aussi les conditions de définition avant d'utiliser une primitive.
Méthode : on choisit de dériver le facteur qui se simplifie et d'intégrer celui dont on connaît une primitive. Une identité algébrique ou trigonométrique peut être nécessaire avant d'appliquer la formule.
À retenir : la linéarité de l'intégrale et la réutilisation d'une question précédente sont essentielles. Pour une limite d'expression contenant une fonction bornée, le théorème d'encadrement peut suffire.
Exercice 19 — Préparer un calcul en plusieurs étapes
Vérifier une identité rationnelle, calculer une intégrale exponentielle puis en réutiliser la valeur lors d’une intégration par parties.
Stratégie de l’exercice. Cet exercice utilise une identité algébrique pour transformer une intégrale exponentielle, puis une intégration par parties faisant intervenir le résultat obtenu. Les trois questions se suivent : chacune prépare un outil nécessaire à la suivante.
Question 1
Vérifier que, pour tout \(t\in\mathbb R_+^*\) :
\[ \frac1{(t+1)^2} = 1-\frac{t}{t+1} - \frac{t}{(t+1)^2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Objectif et condition. Pour préparer une intégration, on veut décomposer la fraction en termes reconnaissables comme des dérivées usuelles. Puisque \(t>0\), \(t+1\neq0\) et les trois quotients sont définis. La stratégie est purement algébrique : réduire le membre de droite au dénominateur commun \((t+1)^2\), puis simplifier le numérateur. Cette identité sera appliquée à \(t=e^x\) à la question suivante.
Soit \(t\in\mathbb R_+^*\). En réduisant le membre de droite au même dénominateur :
\[ \begin{aligned} 1-\frac{t}{t+1} - \frac{t}{(t+1)^2} &= \frac{(t+1)^2-t(t+1)-t}{(t+1)^2}\\ &= \frac{t^2+2t+1-t^2-t-t}{(t+1)^2}\\ &= \frac1{(t+1)^2}. \end{aligned} \]Après mise au même dénominateur, les termes en \(t^2\) puis ceux en \(t\) s'annulent. Il ne reste que 1 au numérateur : l'égalité est donc vérifiée sans aucune hypothèse supplémentaire.
La décomposition transforme une fraction difficile en trois termes dont deux possèdent immédiatement des primitives reconnaissables après remplacement de \(t\) par \(e^x\).
Question 2
Calculer l’intégrale :
\[ I= \int_0^1 \frac{dx}{(e^x+1)^2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Du calcul algébrique au calcul intégral. Sur \([0;1]\), \(e^x>0\), donc la substitution dans l'identité précédente est permise. Tous les termes obtenus sont continus : la linéarité autorise leur intégration séparée. Nous cherchons ensuite une primitive de chaque terme en reconnaissant les dérivées de \(\ln(1+e^x)\) et de \(1/(1+e^x)\). Il ne faut pas tenter d'intégrer directement le quotient initial.
Pour tout \(x\in[0;1]\), on a \(e^x>0\). En appliquant l’identité de la question précédente avec \(t=e^x\), on obtient :
\[ \frac1{(e^x+1)^2} = 1-\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2}. \]Par conséquent :
\[ I= \int_0^1 \left( 1-\frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} \right)dx. \]On utilise :
\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}, \]et :
\[ \left(\frac1{e^x+1}\right)' = -\frac{e^x}{(e^x+1)^2}. \]Une primitive de l’intégrande est donc :
\[ F(x)= x-\ln(e^x+1)+\frac1{e^x+1}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ x-\ln(e^x+1)+\frac1{e^x+1} \right]_0^1\\ &= 1-\ln(e+1)+\frac1{e+1} +\ln2-\frac12. \end{aligned} \]Le résultat se déduit par évaluation de la primitive aux deux bornes. La différence des logarithmes se regroupe en un seul logarithme, dont l'argument est positif.
Cette valeur est positive, conformément à l'intégrande \(1/(e^x+1)^2>0\) sur \([0;1]\). Le résultat devient une donnée pour le calcul de \(J\).
Question 3
En utilisant une intégration par parties, calculer :
\[ J= \int_0^1 \frac{xe^x}{(e^x+1)^3}\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Réutiliser l’intégrale précédente. Le numérateur comporte le facteur \(x\), dont la dérivée est 1 ; l'autre facteur est la dérivée de \(-1/[2(1+e^x)^2]\). Ces fonctions sont continûment dérivables sur \([0;1]\), donc l'intégration par parties s'applique. Ce choix doit faire réapparaître exactement \(I\), déjà calculée, et évite toute nouvelle recherche de primitive.
En effet :
\[ \left( -\frac1{2(e^x+1)^2} \right)' = \frac{e^x}{(e^x+1)^3}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -\frac{x}{2(e^x+1)^2} \right]_0^1\\ &\quad+ \frac12 \int_0^1 \frac{dx}{(e^x+1)^2}\\ &= -\frac1{2(e+1)^2} + \frac12I. \end{aligned} \]En utilisant la valeur de \(I\) calculée dans la question précédente :
\[ \begin{aligned} J &= -\frac1{2(e+1)^2}\\ &\quad+ \frac12 \left[ \frac12 + \ln\left(\frac2{e+1}\right) + \frac1{e+1} \right]. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac1{2(e+1)} - \frac1{2(e+1)^2} = \frac{e}{2(e+1)^2}. \]Le terme de bord en zéro disparaît grâce au facteur \(x\). Il suffit alors de remplacer \(I\) par sa valeur, puis de réunir les termes rationnels en \(e+1\).
La valeur de \(J\) est positive, comme l'intégrande sur \([0;1]\). L'objectif principal était de réutiliser explicitement \(I\), et non de recommencer l'intégration.
Exercice 20 — Déterminer un paramètre
En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel \(a\) tel que \(\int_0^1(x+a)e^x\,dx=e\).
Stratégie de l’exercice. Le réel inconnu intervient dans une intégrale définie. L’objectif consiste à exprimer l’intégrale en fonction de ce paramètre, puis à résoudre l’équation donnée et à vérifier qu’elle possède une seule solution.
Question unique
En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel \(a\) tel que :
\[ \int_0^1(x+a)e^x\,dx=e. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Transformer une condition en équation. On traite \(a\) comme un réel constant. Sur \([0;1]\), les fonctions \(x+a\) et \(e^x\) sont continûment dérivables ; la formule d’intégration par parties est applicable. On dérive \(x+a\), puisque sa dérivée vaut 1, et on intègre \(e^x\), qui reste inchangée. Après calcul, l'égalité imposée donnera une équation du premier degré en \(a\).
On obtient :
\[ \begin{aligned} \int_0^1(x+a)e^x\,dx &= \left[(x+a)e^x\right]_0^1 - \int_0^1e^x\,dx\\ &= (1+a)e-a-(e-1)\\ &= 1+a(e-1). \end{aligned} \]La condition imposée devient :
\[ 1+a(e-1)=e. \]Donc :
\[ a(e-1)=e-1. \]Comme \(e-1\neq0\), on peut diviser par \(e-1\).
Le coefficient de \(a\) est \(e-1\), strictement positif. Cette propriété garantit qu'en divisant par \(e-1\), on obtient une solution unique à l'équation imposée.
Le réel \(a=1\) est le seul qui vérifie la condition. En le substituant, la valeur de l'intégrale redevient \(e\).
Exercice 21 — Identifier l’intégration par parties adaptée
En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
Stratégie de l’exercice. Les sept intégrales présentent des formes différentes : logarithme composé, exponentielle et trigonométrie, racine carrée, logarithme trigonométrique, exponentielle composée, et intégration cyclique. Pour chacune, la première étape est de choisir les facteurs qui simplifient l’intégrale après dérivation ou intégration.
Intégrale \(I\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Reconnaître une fonction et sa dérivée. Puisque \(a>1\), le segment d'intégration est \([0;\ln a]\). Sur ce segment, \(x+e^x>0\) : le logarithme est défini et les fonctions sont continûment dérivables. Posons mentalement \(g(x)=x+e^x\) : l'intégrande est \(g'(x)\ln g(x)\). L’intégration par parties consiste donc à dériver le logarithme et à prendre \(v=g(x)\).
Comme \(a>1\), on a \(\ln a>0\). Pour tout \(x\in[0;\ln a]\) :
\[ x+e^x>0. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ (x+e^x)\ln(x+e^x) \right]_0^{\ln a}\\ &\quad- \int_0^{\ln a}(1+e^x)\,dx\\ &= \left[ (x+e^x)\ln(x+e^x) -(x+e^x) \right]_0^{\ln a}. \end{aligned} \]À la borne \(x=\ln a\) :
\[ x+e^x=\ln a+a. \]À la borne \(x=0\) :
\[ x+e^x=1 \qquad\text{et}\qquad \ln1=0. \]La valeur du logarithme au bord inférieur est nulle puisque \(0+e^0=1\). La contribution inférieure du terme \(-(x+e^x)\) vaut en revanche \(-1\), d'où le \(+1\) final.
Le résultat est valable pour tout \(a>1\). Le choix des fonctions dans l'intégration par parties était guidé par la structure \(g'(x)\ln g(x)\).
Intégrale \(J\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Décomposer le facteur exponentiel. L’intégrande contient \(e^{2x}\), produit de deux facteurs \(e^x\). L'un sert de dérivée de \(u=e^x\), et l'autre accompagne \(\sin(e^x)\) pour former la dérivée de \(-\cos(e^x)\). Les fonctions étant continûment dérivables sur le segment des bornes indiquées, une intégration par parties donne ensuite une primitive exprimée à l’aide de sinus et cosinus composés.
On écrit :
\[ e^{2x}\sin(e^x) = e^x\left[e^x\sin(e^x)\right]. \]En effet :
\[ \left[-\cos(e^x)\right]' = e^x\sin(e^x). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -e^x\cos(e^x) \right]_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)}\\ &\quad+ \int_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)} e^x\cos(e^x)\,dx\\ &= \left[ -e^x\cos(e^x) + \sin(e^x) \right]_{\ln(\pi/4)}^{\ln(\pi/2)}. \end{aligned} \]À la borne supérieure, \(e^x=\dfrac{\pi}{2}\), donc :
\[ -\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} = 1. \]À la borne inférieure, \(e^x=\dfrac{\pi}{4}\), donc :
\[ -\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi\sqrt2}{8} + \frac{\sqrt2}{2}. \]Les deux bornes sont des logarithmes précisément choisis : en leur appliquant l'exponentielle, on obtient \(\pi/4\) et \(\pi/2\). On peut alors utiliser les valeurs trigonométriques usuelles.
L'argument de l'exponentielle transforme naturellement les bornes logarithmiques en angles remarquables. Cela rend l'évaluation finale exacte.
Intégrale \(K\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Faire baisser la puissance de x. La fonction sous la racine, \(1+x^2\), est strictement positive sur \([0;\sqrt3]\). On sépare \(x^3\) en \(x^2\cdot x\) : la dérivation de \(x^2\) baisse le degré, tandis que \(x/\sqrt{1+x^2}\) possède pour primitive \(\sqrt{1+x^2}\). Cette intégration par parties laisse une intégrale plus simple, de type dérivée d'une puissance composée.
On écrit :
\[ \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} = x^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} K &= \left[ x^2\sqrt{1+x^2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &\quad- 2\int_0^{\sqrt3} x\sqrt{1+x^2}\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int x\sqrt{1+x^2}\,dx = \frac13(1+x^2)^{3/2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} K &= 6-\frac23 \left[ (1+x^2)^{3/2} \right]_0^{\sqrt3}\\ &= 6-\frac23(8-1)\\ &= 6-\frac{14}{3}. \end{aligned} \]La valeur au bord supérieur de \(x^2\sqrt{1+x^2}\) est \(3\times2=6\). La primitive restante vaut \((1+x^2)^{3/2}/3\), ce qui explique les valeurs 8 et 1 aux bornes.
L'intégrale est positive puisque son intégrande est positif sur le segment ; la valeur obtenue \(4/3\) respecte cette propriété.
Intégrale \(L\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Préparer une simplification trigonométrique. Pour \(x\in[0;\pi/2]\), on a \(1+\cos x\geq1\), donc le logarithme est défini et continûment dérivable. En dérivant \(\ln(1+\cos x)\) et en prenant une primitive de \(\cos x\), l'intégration par parties fait apparaître \(\sin^2x/(1+\cos x)\). L'identité \(\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)\) simplifiera alors la fraction.
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} L &= \left[ \sin x\ln(1+\cos x) \right]_0^{\pi/2}\\ &\quad+ \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2x}{1+\cos x}\,dx. \end{aligned} \]Le terme intégré est nul aux deux bornes. D’autre part :
\[ \begin{aligned} \frac{\sin^2x}{1+\cos x} &= \frac{1-\cos^2x}{1+\cos x}\\ &= 1-\cos x. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} L &= \int_0^{\pi/2}(1-\cos x)\,dx\\ &= \left[ x-\sin x \right]_0^{\pi/2}. \end{aligned} \]Le terme de bord est nul en zéro car \(\sin0=0\), et en \(\pi/2\) car \(\ln(1+\cos(\pi/2))=\ln1=0\). Il ne reste qu'une intégrale élémentaire.
La simplification trigonométrique a ramené une intégrale contenant un logarithme à une primitive élémentaire. De plus, \(\pi/2-1>0\), ce qui concorde avec l'intégrande.
Intégrale \(M\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Repérer la dérivée de 1/x. Sur \([1;e^2]\), aucun dénominateur ne s'annule. La dérivée de \(e^{1/x}\) contient \(-e^{1/x}/x^2\), ce qui suggère de séparer l'intégrande en \((1/x)(e^{1/x}/x^2)\). L'intégration par parties est alors naturelle : dériver \(1/x\), intégrer l'autre facteur et simplifier les deux termes obtenus.
On écrit :
\[ \frac1{x^3}e^{1/x} = \frac1x \left( \frac{e^{1/x}}{x^2} \right). \]En effet :
\[ \left(-e^{1/x}\right)' = \frac{e^{1/x}}{x^2}. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} M &= \left[ -\frac{e^{1/x}}x \right]_1^{e^2} - \int_1^{e^2} \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx\\ &= \left[ -\frac{e^{1/x}}x + e^{1/x} \right]_1^{e^2}\\ &= \left[ e^{1/x} \left(1-\frac1x\right) \right]_1^{e^2}. \end{aligned} \]À la borne \(x=1\), le terme vaut \(0\).
Dans la primitive finale, le facteur \(1-1/x\) annule la valeur au bord inférieur \(x=1\). Le résultat dépend donc uniquement de la borne supérieure.
Cette forme finale est strictement positive. La dérivée composée de \(e^{1/x}\) a permis de choisir l'intégration par parties sans changement de variable.
Intégrale \(N\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Dériver le logarithme, intégrer la racine. Sur \([0;2\pi]\), \(1+x>0\) et toutes les fonctions concernées sont continûment dérivables. Le logarithme a pour dérivée \(1/(1+x)\), tandis que \(1/\sqrt{1+x}\) a pour primitive \(2\sqrt{1+x}\). Leur produit après intégration par parties ramène à une primitive de racine carrée. On vérifiera soigneusement le terme à la borne zéro.
Ainsi :
\[ \begin{aligned} N &= \left[ 2\sqrt{1+x}\ln(1+x) \right]_0^{2\pi}\\ &\quad- 2\int_0^{2\pi} \frac{dx}{\sqrt{1+x}}. \end{aligned} \]Or :
\[ \int\frac{dx}{\sqrt{1+x}} = 2\sqrt{1+x}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} N &= 2\sqrt{1+2\pi}\ln(1+2\pi)\\ &\quad- 4\left(\sqrt{1+2\pi}-1\right). \end{aligned} \]La borne zéro donne \(\ln1=0\) pour le terme intégré. Dans le calcul de l'intégrale restante, ne pas oublier de soustraire la valeur de la primitive en zéro, d'où le terme constant \(+4\).
Le résultat provient du calcul d'un seul produit logarithme–racine ; le terme en \(+4\) est nécessaire pour respecter la borne inférieure.
Intégrale \(P\)
Lire la correction + Masquer la correction −
Utiliser la linéarisation puis une intégration cyclique. La fonction est continue sur \([0;\pi]\). Grâce à \(\sin^2x=(1-\cos2x)/2\), on isole une intégrale exponentielle usuelle et une intégrale \(A\) du produit \(e^{-2x}\cos2x\). Deux intégrations par parties font réapparaître \(A\) : c'est le moment de résoudre l'équation obtenue plutôt que d’intégrer une troisième fois.
On utilise l’identité :
\[ \sin^2x= \frac{1-\cos(2x)}2. \]Ainsi :
\[ P= \frac12\int_0^\pi e^{-2x}\,dx - \frac12A, \]où :
\[ A= \int_0^\pi e^{-2x}\cos(2x)\,dx. \]Calculons \(A\) par deux intégrations par parties. Posons également :
\[ B= \int_0^\pi e^{-2x}\sin(2x)\,dx. \]On obtient :
\[ A= \frac{1-e^{-2\pi}}2-B. \tag{1} \]Comme \(\sin0=\sin(2\pi)=0\), il vient :
\[ B=A. \tag{2} \]Les relations (1) et (2) donnent :
\[ 2A= \frac{1-e^{-2\pi}}2, \]d’où :
\[ A= \frac{1-e^{-2\pi}}4. \]D’autre part :
\[ \int_0^\pi e^{-2x}\,dx = \frac{1-e^{-2\pi}}2. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} P &= \frac{1-e^{-2\pi}}4 - \frac{1-e^{-2\pi}}8. \end{aligned} \]Dans la seconde intégration par parties, le terme en sinus aux bornes est nul ; ainsi \(B=A\). Cette relation permet d'isoler \(A\) et de le réinjecter dans la décomposition initiale de \(P\).
La valeur de \(P\) est positive. La réduction de \(\sin^2 x\) et l'intégration cyclique permettent de travailler uniquement avec les méthodes du chapitre.
Exercice 22 — Une fonction définie par une intégrale
Pour tout \(x\in]0;1[\), on pose :
\[ I(x)= \int_x^1 t\operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right)dt. \]Stratégie de l’exercice. La borne inférieure dépend de x. On fixe d’abord x dans l’intervalle indiqué, puis on calcule l’intégrale en t par intégration par parties. L’expression trouvée permettra de déterminer sa limite quand x tend vers zéro par valeurs positives.
Question 1
En utilisant la formule d’intégration par parties, exprimer \(I(x)\) en fonction de \(x\).
Lire la correction + Masquer la correction −
La variable d’intégration est t. Fixons \(x\in]0;1[\). Sur \([x;1]\), on a \(t>0\), donc \(\operatorname{Arctan}(1/t)\) est continûment dérivable ; \(t^2/2\) l'est également. On dérive l'arctangente composée et on prend pour primitive de \(t\) la fonction \(t^2/2\). Le calcul débouche sur \(t^2/(1+t^2)\), fraction qu'il suffit de décomposer avant d'intégrer.
Soit \(x\in]0;1[\). Les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur \([x;1]\).
En effet :
\[ \begin{aligned} \left[ \operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right) \right]' &= \frac{-1/t^2}{1+1/t^2}\\ &= -\frac1{1+t^2}. \end{aligned} \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I(x) &= \left[ \frac{t^2}{2} \operatorname{Arctan}\left(\frac1t\right) \right]_x^1\\ &\quad+ \frac12 \int_x^1 \frac{t^2}{1+t^2}\,dt. \end{aligned} \]Or :
\[ \operatorname{Arctan}(1)=\frac{\pi}{4}, \]et :
\[ \frac{t^2}{1+t^2} = 1-\frac1{1+t^2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I(x) &= \frac{\pi}{8} - \frac{x^2}{2} \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right)\\ &\quad+ \frac12 \left[ t-\operatorname{Arctan}t \right]_x^1\\ &= \frac12 \left[ 1-x+\operatorname{Arctan}x - x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) \right]. \end{aligned} \]Pour passer de la deuxième à la troisième ligne, on évalue les termes aux bornes et on remarque que les deux contributions en \(\pi/8\) se compensent. La formule finale ne contient plus d'intégrale.
La fonction \(I\) est maintenant exprimée à l'aide des fonctions usuelles. Cette expression est adaptée à l'étude de sa limite en zéro, objet de la question suivante.
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}I(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Passer à la limite sans expression indéterminée. On exploite l'expression obtenue dans la question précédente. Les termes \(x\) et \(\operatorname{Arctan}x\) tendent vers zéro. Le seul terme demandant une justification supplémentaire est \(x^2\operatorname{Arctan}(1/x)\). Pour \(x>0\), l'arctangente reste bornée entre 0 et \(\pi/2\) : le théorème d'encadrement est donc directement applicable.
Pour tout \(x>0\) :
\[ 0< \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) <\frac{\pi}{2}. \]En multipliant par \(x^2>0\) :
\[ 0< x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) < \frac{\pi}{2}x^2. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\pi}{2}x^2=0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \lim_{x\to0^+} x^2\operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right) = 0. \]De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}\operatorname{Arctan}x=0. \]En utilisant l’expression obtenue dans la question précédente :
L'encadrement prouve que le produit de \(x^2\) par l'arctangente bornée tend bien vers zéro ; on peut alors passer à la limite terme à terme dans l'expression de \(I(x)\).
La limite est finie et vaut \(1/2\). L'argument décisif est la borne uniforme de l'arctangente, qui évite tout recours à une méthode de limites plus avancée.
À retenir
Exercice 19 : une identité algébrique peut transformer l'intégrande en dérivées usuelles ; les questions suivantes doivent réutiliser la valeur déjà obtenue.
Exercice 20 : l'intégration par parties conduit à une équation en un paramètre. Vérifier qu'on peut diviser par son coefficient assure l'unicité.
Exercice 21 : reconnaître une fonction composée et sa dérivée, choisir le facteur à dériver, utiliser les identités trigonométriques et résoudre les intégrations cycliques.
Exercice 22 : fixer le paramètre avant d'intégrer, puis étudier la limite de l'expression trouvée en utilisant des encadrements justifiés.
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