Calcul intégral — Exercices 15 à 18
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid — Exercices d’application
Les exercices 15 à 18 approfondissent la technique d’intégration par parties en l’associant à l’étude des suites et à l’exploitation des résultats précédents. Il ne suffit pas de connaître une primitive : il faut comprendre quelle fonction choisir pour rendre l’intégrale plus simple, reconnaître les conditions du théorème et utiliser avec soin les bornes. Dans un premier temps, nous calculerons une famille d’intégrales contenant un logarithme, puis nous en déduirons la limite d’une suite. Nous étudierons ensuite une intégrale préparée par le calcul d’une dérivée. La troisième situation repose sur deux intégrations par parties qui ramènent à l’intégrale initiale. Enfin, une intégration par parties conduira à une relation de récurrence entre les termes d’une suite d’intégrales.
Repère de cours — Intégration par parties et suites d’intégrales
Si \(u\) et \(v\) sont continûment dérivables sur un segment \([a;b]\), la formule d’intégration par parties est :
\[ \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx. \]Conditions : choisir deux fonctions continûment dérivables sur le segment, identifier correctement \(u'\) et une primitive \(v\) de \(v'\), puis vérifier les termes aux bornes.
Méthode : pour un logarithme, le dériver simplifie souvent le produit ; pour une puissance \(x^n\), la dérivation abaisse l’exposant ; pour un produit exponentielle–trigonométrie, deux intégrations par parties peuvent faire réapparaître l’intégrale initiale.
À retenir : la linéarité, la relation \(\int_a^bf=-\int_b^af\) et les identités trigonométriques complètent l’intégration par parties. Si l’exercice comporte plusieurs questions, on réutilise d’abord les résultats précédemment établis.
Exercice 15 — Suite d’intégrales et limite
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par :
\[ u_n=\int_{1/2}^{1}x^n\ln(x)\,dx. \]1) En utilisant une intégration par parties, calculer, pour tout \(r\in\mathbb Q\setminus\{-1\}\) et pour tout \(a\in\mathbb R_+^*\), l’intégrale :
\[ I_r(a)=\int_1^a x^r\ln(x)\,dx. \]2) Étudier la limite de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\).
Méthode. On commence par déterminer une formule générale pour \(\int_1^a x^r\ln x\,dx\). Cette formule sera ensuite utilisée avec \(r=n\), \(a=1/2\), en tenant compte de l’inversion des bornes. La limite repose sur des termes classiques tendant vers zéro.
Question 1
Calculer, pour \(r\in\mathbb Q\setminus\{-1\}\) et \(a\in\mathbb R_+^*\) :
\[ I_r(a)=\int_1^a x^r\ln(x)\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode et conditions. Nous cherchons une expression valable pour tout rationnel \(r\neq-1\), y compris lorsque la borne \(a\) est inférieure à 1. Comme \(a>0\), les fonctions \(x\mapsto\ln x\) et \(x\mapsto x^r\) sont continûment dérivables sur le segment d’extrémités 1 et \(a\). L’intégration par parties est donc applicable, avec les bornes dans l’ordre de l’énoncé. On dérive le logarithme, car sa dérivée \(1/x\) simplifie le produit restant, tandis que \(x^r\) possède une primitive simple lorsque \(r+1\neq0\).
Comme \(a>0\), les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur le segment dont les extrémités sont \(1\) et \(a\).
Le réel \(r\) est différent de \(-1\), donc \(r+1\neq0\).
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I_r(a) &= \left[ \frac{x^{r+1}\ln x}{r+1} \right]_1^a\\ &\quad- \frac1{r+1} \int_1^a x^r\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \int_1^a x^r\,dx = \left[ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_1^a = \frac{a^{r+1}-1}{r+1}. \]De plus, \(\ln1=0\). Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_r(a) &= \frac{a^{r+1}\ln a}{r+1} - \frac{a^{r+1}-1}{(r+1)^2}. \end{aligned} \]Le terme \(\ln1\) disparaît au bord inférieur. La seconde intégrale est une puissance usuelle ; la calculer fournit une expression dont le dénominateur comporte \((r+1)^2\).
La formule obtenue s’applique à toutes les puissances rationnelles autorisées, quel que soit le sens des bornes. Elle servira directement à calculer les termes de la suite.
Question 2
Étudier la limite de la suite :
\[ u_n=\int_{1/2}^{1}x^n\ln(x)\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Exploiter la question précédente. Il ne s’agit plus de calculer une nouvelle primitive : la formule de \(I_r(a)\) fournit le calcul de \(u_n\). Prenons \(r=n\) et \(a=1/2\), valeurs qui satisfont toutes les hypothèses. Attention au sens des bornes : \(I_n(1/2)\) va de 1 à \(1/2\), alors que \(u_n\) va de \(1/2\) à 1. Il faut inverser le signe avant de simplifier. Pour la limite, nous étudierons séparément les deux termes obtenus.
La question précédente donne, pour \(r=n\) et \(a=\dfrac12\) :
\[ I_n\left(\frac12\right) = \int_1^{1/2}x^n\ln(x)\,dx. \]Comme les bornes sont inversées :
\[ u_n=-I_n\left(\frac12\right). \]D’après la formule obtenue :
\[ \begin{aligned} I_n\left(\frac12\right) &= \frac{ \left(\dfrac12\right)^{n+1} \ln\left(\dfrac12\right) }{n+1}\\ &\quad- \frac{ \left(\dfrac12\right)^{n+1}-1 }{(n+1)^2}. \end{aligned} \]Or :
\[ \ln\left(\frac12\right)=-\ln2 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac12\right)^{n+1} = \frac1{2^{n+1}}. \]Donc :
\[ I_n\left(\frac12\right) = -\frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} + \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ u_n= \frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} - \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2} }. \]Lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} \longrightarrow0, \]et :
\[ 0\leq \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2} \leq \frac1{(n+1)^2} \longrightarrow0. \]Sur \([1/2;1]\), nous avons \(\ln x\leq0\), donc \(u_n\leq0\). La formule obtenue est compatible avec ce signe. Les deux termes tendent vers zéro, ce qui conclut sans méthode hors programme.
La suite est formée d’intégrales de fonctions non positives sur \([1/2;1]\). Ses termes se rapprochent de zéro lorsque l’exposant de \(x\) augmente ; la valeur limite est cohérente avec le signe de l’intégrande.
Exercice 16 — Réutiliser une dérivée dans l’intégration par parties
On considère la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=\frac{xe^x}{e^x+1}. \]1) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ f'(x)= \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}. \]2) En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer :
\[ I= \int_1^2 \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2} \ln(x)\,dx. \]Méthode. Avant d’intégrer, repérer si la fraction compliquée est déjà la dérivée d’une fonction construite dans une question précédente. C’est précisément le rôle de la question 1 : elle fournit la primitive nécessaire au choix de \(v\) dans la question 2.
Question 1
Calculer \(f'(x)\) et vérifier que :
\[ f'(x)= \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Reconnaître une dérivée utile. Cette question prépare l’intégration par parties de la question suivante. La fonction \(f\) est le quotient de \(xe^x\) par \(e^x+1\) ; le dénominateur ne s’annule jamais puisque \(e^x>0\) pour tout réel \(x\). On peut appliquer la règle de dérivation d’un quotient. Au numérateur, il faut d’abord dériver \(xe^x\) à l’aide de la règle du produit, puis regrouper les termes afin de retrouver exactement l’expression annoncée.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^x+1>0\). La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ N(x)=xe^x \qquad\text{et}\qquad D(x)=e^x+1. \]Alors :
\[ N'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1) \]et :
\[ D'(x)=e^x. \]D’après la formule de dérivation d’un quotient :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}\\ &= \frac{ e^x(x+1)(e^x+1)-xe^x\cdot e^x }{(e^x+1)^2}. \end{aligned} \]Développons le numérateur :
\[ \begin{aligned} e^x(x+1)(e^x+1)-xe^{2x} &= e^{2x}(x+1)+e^x(x+1)-xe^{2x}\\ &= e^{2x}+e^x(x+1)\\ &= e^x(e^x+x+1). \end{aligned} \]Le regroupement \(e^{2x}+e^x(x+1)=e^x(e^x+x+1)\) est indispensable : il fournit la forme précise que l’on reconnaîtra dans l’intégrale suivante.
La dérivée est exactement l’expression introduite dans l’énoncé de l’intégrale suivante. Ce lien rend le calcul de cette dernière accessible par intégration par parties.
Question 2
Calculer :
\[ I= \int_1^2 \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2} \ln(x)\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Choisir la bonne fonction à intégrer. L’intégrande semble compliqué, mais sa fraction rationnelle en \(e^x\) n’est rien d’autre que \(f'(x)\), calculée à la question précédente. Nous pouvons donc écrire l’intégrale sous la forme \(\int_1^2\ln x\,f'(x)\,dx\). Les fonctions \(\ln x\) et \(f\) sont continûment dérivables sur \([1;2]\) ; on peut appliquer l’intégration par parties. Le choix \(u=\ln x\) réduit sa dérivée à \(1/x\), ce qui simplifie le facteur \(x\) présent dans \(f\).
D’après la question précédente :
\[ \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2} = f'(x). \]On peut donc écrire :
\[ I=\int_1^2f'(x)\ln(x)\,dx. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I &= \left[f(x)\ln x\right]_1^2 - \int_1^2\frac{f(x)}x\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{f(x)}x = \frac{e^x}{e^x+1}. \]De plus :
\[ \left[f(x)\ln x\right]_1^2 = \frac{2e^2\ln2}{e^2+1}, \]car \(\ln1=0\).
Enfin :
\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_1^2\frac{e^x}{e^x+1}\,dx &= \left[\ln(e^x+1)\right]_1^2\\ &= \ln(e^2+1)-\ln(e+1)\\ &= \ln\left( \frac{e^2+1}{e+1} \right). \end{aligned} \]Après l’intégration par parties, la présence de \(f(x)/x\) est une simplification recherchée. Le terme restant est la dérivée de \(\ln(1+e^x)\), puisque \(1+e^x>0\).
La primitive du quotient compliqué n’a pas été cherchée directement : la question précédente avait déjà construit la fonction dont il est la dérivée. C’est un réflexe essentiel dans un exercice à plusieurs questions.
Exercice 17 — Intégration cyclique et système de deux intégrales
1) En utilisant deux fois la formule d’intégration par parties, montrer que :
\[ \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt = \frac14. \]2) On considère les intégrales \(E\) et \(F\) telles que :
\[ E= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos^2(t)\,dt \]et :
\[ F= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\sin^2(t)\,dt. \]Calculer \(E+F\) et \(E-F\), puis en déduire les valeurs de \(E\) et \(F\).
Méthode. Les produits exponentielle–trigonométrie conduisent souvent à des intégrations par parties cycliques. Une fois l’intégrale de la question 1 calculée, la linéarité et les identités trigonométriques donnent la somme et la différence de deux autres intégrales, d’où un système simple.
Question 1
Montrer, en utilisant deux intégrations par parties, que :
\[ \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt = \frac14. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Pourquoi deux intégrations par parties ? Le produit de l’exponentielle \(e^{-2t}\) et d’une fonction trigonométrique conduit à une intégration par parties dite cyclique : après une première application, apparaît une intégrale avec \(\sin(2t)\), et après la seconde, on retrouve l’intégrale initiale. Les fonctions intervenant sont continûment dérivables sur \([0;\pi/8]\). Nous introduisons deux intégrales \(A\) et \(B\) afin d’établir deux relations puis d’isoler \(A\). Il faut particulièrement surveiller les signes provenant des dérivées trigonométriques.
Posons :
\[ A= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt \]et :
\[ B= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\sin(2t)\,dt. \]On obtient :
\[ \begin{aligned} A &= \left[ -\frac12e^{-2t}\cos(2t) \right]_0^{\pi/8} - B. \end{aligned} \]Or :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}. \]Donc :
\[ A= \frac12 - \frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} - B. \tag{1} \]Alors :
\[ \begin{aligned} B &= \left[ -\frac12e^{-2t}\sin(2t) \right]_0^{\pi/8} + A\\ &= -\frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} + A. \end{aligned} \tag{2} \]En remplaçant l’égalité (2) dans l’égalité (1) :
\[ \begin{aligned} A &= \frac12 - \frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4}\\ &\quad- \left( -\frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} + A \right). \end{aligned} \]Les deux termes contenant \(e^{-\pi/4}\) se simplifient. Il vient :
\[ A=\frac12-A. \]Donc :
\[ 2A=\frac12. \]Le calcul de la seconde intégrale \(B\) fait réapparaître \(A\). Au lieu de poursuivre des intégrations sans fin, on substitue la seconde relation dans la première et on résout l’équation obtenue.
Une intégration par parties cyclique se termine par une équation portant sur l’intégrale initiale. Les termes exponentiels aux bornes se compensent ici, d’où la valeur \(1/4\).
Question 2 — Calcul de \(E+F\)
Calculer \(E+F\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Former une somme avant d’intégrer. Les intégrales \(E\) et \(F\) possèdent les mêmes bornes et le même facteur exponentiel ; seuls les carrés trigonométriques diffèrent. Comme leurs intégrandes sont continues sur le segment, la linéarité permet d’additionner sous un seul signe intégral. Nous utiliserons alors \(\cos^2t+\sin^2t=1\), valable pour tout réel \(t\). Cela ramène immédiatement la somme à une intégrale exponentielle usuelle.
Par linéarité de l’intégrale :
\[ \begin{aligned} E+F &= \int_0^{\pi/8} e^{-2t} \left( \cos^2t+\sin^2t \right)dt. \end{aligned} \]Or :
\[ \cos^2t+\sin^2t=1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} E+F &= \int_0^{\pi/8}e^{-2t}\,dt\\ &= \left[ -\frac12e^{-2t} \right]_0^{\pi/8}\\ &= \frac12 - \frac12e^{-\pi/4}. \end{aligned} \]Le choix de la somme supprime les deux carrés trigonométriques simultanément. Les bornes permettent d’évaluer directement la primitive \(-\frac12e^{-2t}\).
La somme est strictement positive, ce qui est attendu puisque les deux intégrandes de départ sont non négatifs. Elle fournit une première équation du système final.
Question 2 — Calcul de \(E-F\)
Calculer \(E-F\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Utiliser une identité et la question 1. La différence des intégrandes fait apparaître \(\cos^2t-\sin^2t=\cos(2t)\). La linéarité permet donc de ramener \(E-F\) à l’intégrale calculée à la question 1. Cette réutilisation d’un résultat établi est l’objectif du raisonnement : il serait inutile de recommencer les deux intégrations par parties.
Par linéarité :
\[ \begin{aligned} E-F &= \int_0^{\pi/8} e^{-2t} \left( \cos^2t-\sin^2t \right)dt. \end{aligned} \]On utilise l’identité :
\[ \cos^2t-\sin^2t=\cos(2t). \]Par conséquent :
\[ E-F= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt. \]D’après la question 1, cette intégrale vaut \(\frac14\). Nous nous servons donc du résultat déjà obtenu, au lieu de recommencer les deux intégrations par parties.
La différence est également positive : elle mesure l’écart entre les contributions du cosinus et du sinus au carré sur le segment considéré.
Question 2 — Valeurs de \(E\) et \(F\)
En déduire séparément les valeurs de \(E\) et \(F\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Résoudre le système. Les deux relations \(E+F\) et \(E-F\) ont été obtenues par des méthodes différentes, mais concernent les mêmes inconnues \(E\) et \(F\). On les utilise simultanément comme un système linéaire. L’addition donne \(2E\), et la soustraction donne \(2F\). Le calcul est purement algébrique ; aucune nouvelle primitive n’est nécessaire. Nous vérifierons ensuite que les valeurs trouvées sont non négatives, puisque les intégrandes de départ le sont.
Nous avons obtenu le système :
\[ \begin{cases} E+F=\dfrac{1-e^{-\pi/4}}2,\\[3mm] E-F=\dfrac14. \end{cases} \]En additionnant les deux égalités :
\[ 2E= \frac{1-e^{-\pi/4}}2 + \frac14. \]Donc :
\[ E= \frac{3-2e^{-\pi/4}}8. \]En soustrayant la deuxième égalité de la première :
\[ 2F= \frac{1-e^{-\pi/4}}2 - \frac14. \]Ainsi :
\[ F= \frac{1-2e^{-\pi/4}}8. \]Les deux identités sont indépendantes : la somme fixe la contribution totale, tandis que la différence les répartit entre \(E\) et \(F\).
Les deux valeurs sont positives et leur somme et différence reproduisent les deux résultats précédents. Ce double contrôle vérifie la cohérence de la résolution du système.
Exercice 18 — Suite intégrale et relation de récurrence
On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ I_n= \int_0^1x^n\sqrt{1-x}\,dx. \]1) Calculer \(I_0\).
2) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N) \qquad (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]b) En déduire les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\).
Méthode. Pour obtenir une relation entre deux intégrales consécutives, choisir l’intégration par parties qui fait diminuer l’exposant. Une écriture algébrique du facteur \((1-x)^{3/2}\) fera ensuite apparaître exactement les définitions de \(I_n\) et de \(I_{n+1}\).
Question 1
Calculer :
\[ I_0= \int_0^1\sqrt{1-x}\,dx. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Calculer le premier terme. Dans cette suite, le terme initial \(I_0\) est demandé avant la relation de récurrence. Pour \(n=0\), le facteur \(x^n\) vaut 1 ; il reste donc l’intégrale de \(\sqrt{1-x}\) sur \([0;1]\). Cette fonction est continue sur le segment, et la primitive affichée s’obtient par la règle de dérivation d’une puissance composée. Le premier terme servira de point de départ pour calculer les suivants.
Une primitive de \(\sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2}\) est :
\[ -\frac23(1-x)^{3/2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_0 &= \left[ -\frac23(1-x)^{3/2} \right]_0^1\\ &= 0-\left(-\frac23\right). \end{aligned} \]Aux bornes 0 et 1, la primitive se calcule sans difficulté. Ce résultat de départ sera réutilisé deux fois dans la dernière question.
Le terme \(I_0\) sert d’initialisation numérique à la relation de récurrence ; il permet d’obtenir les premiers termes sans recalculer leurs intégrales.
Question 2 a)
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Faire apparaître deux termes consécutifs. On veut relier \(I_{n+1}\) à \(I_n\), et non seulement calculer une intégrale isolée. Pour tout \(n\in\mathbb N\), les fonctions \(x^{n+1}\) et \(-\frac23(1-x)^{3/2}\) sont continûment dérivables sur \([0;1]\). L’intégration par parties avec \(u=x^{n+1}\) diminue l’exposant après dérivation. Puis l’identité \((1-x)^{3/2}=(1-x)\sqrt{1-x}\) fera apparaître exactement la différence \(I_n-I_{n+1}\).
Soit \(n\in\mathbb N\). Partons de :
\[ I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\sqrt{1-x}\,dx. \]La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I_{n+1} &= \left[ -\frac23 x^{n+1}(1-x)^{3/2} \right]_0^1\\ &\quad+ \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)^{3/2}\,dx. \end{aligned} \]Le terme intégré est nul aux deux bornes :
\[ x^{n+1}=0 \quad\text{pour }x=0, \]et :
\[ (1-x)^{3/2}=0 \quad\text{pour }x=1. \]Donc :
\[ I_{n+1} = \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)^{3/2}\,dx. \]Or :
\[ (1-x)^{3/2} = (1-x)\sqrt{1-x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_{n+1} &= \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)\sqrt{1-x}\,dx\\ &= \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 \left( x^n-x^{n+1} \right) \sqrt{1-x}\,dx\\ &= \frac{2(n+1)}3 \left( I_n-I_{n+1} \right). \end{aligned} \]En multipliant par \(3\) :
\[ 3I_{n+1} = 2(n+1)I_n - 2(n+1)I_{n+1}. \]Donc :
\[ \left( 3+2n+2 \right)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]Le terme de bord s’annule aux deux extrémités. Le facteur \(1-x\) permet alors de décomposer l’intégrande en deux intégrales définissant précisément \(I_n\) et \(I_{n+1}\).
La relation est valable pour tout entier naturel. Comme \(2n+5>0\), elle détermine \(I_{n+1}\) à partir de \(I_n\). Les intégrandes étant non négatifs, tous les termes sont également non négatifs.
Question 2 b)
En déduire les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Exploiter la récurrence. La relation précédente est vraie pour chaque entier naturel. Avec \(n=0\), elle fournit \(I_1\) en fonction de \(I_0\), déjà calculé. Avec \(n=1\), elle fournit ensuite \(I_2\) en fonction de \(I_1\). Cette démarche évite de calculer séparément les deux intégrales par de nouvelles primitives et montre comment utiliser une récurrence entre termes consécutifs.
Pour \(n=0\), la relation de récurrence donne :
\[ 5I_1=2I_0. \]Comme \(I_0=\dfrac23\) :
\[ I_1= \frac25\cdot\frac23 = \frac4{15}. \]Pour \(n=1\), la relation donne :
\[ 7I_2=4I_1. \]Donc :
\[ I_2= \frac47\cdot\frac4{15} = \frac{16}{105}. \]Il suffit d’appliquer deux fois la même formule, avec les indices successifs \(n=0\), puis \(n=1\). Vérifions que ces termes restent positifs, conformément à leurs intégrandes.
On a \(I_2<I_1<I_0\), ce qui concorde avec \(0\leq x^{n+1}\leq x^n\) sur \([0;1]\). La récurrence respecte donc le comportement attendu de ces intégrales.
À retenir
Exercice 15 : une formule paramétrée établie par intégration par parties peut être appliquée à une suite d’intégrales. Vérifier le sens des bornes et étudier séparément les termes lors du passage à la limite.
Exercice 16 : une dérivée obtenue dans la première question n’est pas accessoire : elle fournit la primitive à exploiter à la deuxième question.
Exercice 17 : une intégration par parties cyclique se résout par une relation entre deux intégrales. La somme et la différence de deux intégrales permettent ensuite de former un système.
Exercice 18 : une récurrence entre intégrales naît lorsque la transformation d’un intégrande fait réapparaître \(I_n\) et \(I_{n+1}\). Le premier terme, puis la récurrence, déterminent les valeurs suivantes.
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