Calcul intégral : suites d’intégrales et intégrations par parties répétées — Exercices 15 à 18

Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques

Ce bloc traite les suites définies par une intégrale, la réutilisation d’une dérivée, les intégrations par parties cycliques et l’établissement d’une relation de récurrence.

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Exercice 15

Énoncé

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par :

\[ u_n= \int_{1/2}^{1}x^n\ln(x)\,dx. \]

1) En utilisant une intégration par parties, calculer, pour tout \(r\in\mathbb Q\setminus\{-1\}\) et pour tout \(a\in\mathbb R_+^*\), l’intégrale :

\[ I_r(a)=\int_1^a x^r\ln(x)\,dx. \]

2) Étudier la limite de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\).

Question 1

Calculer, pour \(r\in\mathbb Q\setminus\{-1\}\) et \(a\in\mathbb R_+^*\) :

\[ I_r(a)=\int_1^a x^r\ln(x)\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(a>0\), les fonctions utilisées sont continûment dérivables sur le segment dont les extrémités sont \(1\) et \(a\).

Choix pour l’intégration par parties : \[ u=\ln x, \qquad u'=\frac1x, \] \[ v'=x^r, \qquad v=\frac{x^{r+1}}{r+1}. \]

Le réel \(r\) est différent de \(-1\), donc \(r+1\neq0\).

La formule d’intégration par parties donne :

\[ \begin{aligned} I_r(a) &= \left[ \frac{x^{r+1}\ln x}{r+1} \right]_1^a\\ &\quad- \frac1{r+1} \int_1^a x^r\,dx. \end{aligned} \]

Or :

\[ \int_1^a x^r\,dx = \left[ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_1^a = \frac{a^{r+1}-1}{r+1}. \]

De plus, \(\ln1=0\). Par conséquent :

\[ \begin{aligned} I_r(a) &= \frac{a^{r+1}\ln a}{r+1} - \frac{a^{r+1}-1}{(r+1)^2}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ I_r(a) = \frac{a^{r+1}\ln a}{r+1} - \frac{a^{r+1}-1}{(r+1)^2} }. \]

Question 2

Étudier la limite de la suite :

\[ u_n= \int_{1/2}^{1}x^n\ln(x)\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La question précédente donne, pour \(r=n\) et \(a=\dfrac12\) :

\[ I_n\left(\frac12\right) = \int_1^{1/2}x^n\ln(x)\,dx. \]

Comme les bornes sont inversées :

\[ u_n= -I_n\left(\frac12\right). \]

D’après la formule obtenue :

\[ \begin{aligned} I_n\left(\frac12\right) &= \frac{ \left(\dfrac12\right)^{n+1} \ln\left(\dfrac12\right) }{n+1}\\ &\quad- \frac{ \left(\dfrac12\right)^{n+1}-1 }{(n+1)^2}. \end{aligned} \]

Or :

\[ \ln\left(\frac12\right)=-\ln2 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac12\right)^{n+1} = \frac1{2^{n+1}}. \]

Donc :

\[ I_n\left(\frac12\right) = -\frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} + \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2}. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ u_n= \frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} - \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2} }. \]

Lorsque \(n\to+\infty\) :

\[ \frac{\ln2}{(n+1)2^{n+1}} \longrightarrow0, \]

et :

\[ 0\leq \frac{1-\dfrac1{2^{n+1}}}{(n+1)^2} \leq \frac1{(n+1)^2} \longrightarrow0. \]

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 }. \]

Exercice 16

Énoncé

On considère la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\frac{xe^x}{e^x+1}. \]

1) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[ f'(x)= \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2}. \]

2) En utilisant la formule d’intégration par parties, calculer :

\[ I= \int_1^2 \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2} \ln(x)\,dx. \]

Question 1

Calculer \(f'(x)\) et vérifier que :

\[ f'(x)= \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2}. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(e^x+1>0\). La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(\mathbb R\).

Posons :

\[ N(x)=xe^x \qquad\text{et}\qquad D(x)=e^x+1. \]

Alors :

\[ N'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1) \]

et :

\[ D'(x)=e^x. \]

D’après la formule de dérivation d’un quotient :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ N'(x)D(x)-N(x)D'(x) }{D(x)^2}\\ &= \frac{ e^x(x+1)(e^x+1)-xe^x\cdot e^x }{(e^x+1)^2}. \end{aligned} \]

Développons le numérateur :

\[ \begin{aligned} e^x(x+1)(e^x+1)-xe^{2x} &= e^{2x}(x+1)+e^x(x+1)-xe^{2x}\\ &= e^{2x}+e^x(x+1)\\ &= e^x(e^x+x+1). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f'(x)= \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2} }. \]

Question 2

Calculer :

\[ I= \int_1^2 \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2} \ln(x)\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente :

\[ \frac{ e^x(e^x+x+1) }{(e^x+1)^2} = f'(x). \]

On peut donc écrire :

\[ I= \int_1^2f'(x)\ln(x)\,dx. \]

Choix pour l’intégration par parties : \[ u=\ln x, \qquad u'=\frac1x, \] \[ v'=f'(x), \qquad v=f(x)=\frac{xe^x}{e^x+1}. \]

La formule d’intégration par parties donne :

\[ \begin{aligned} I &= \left[ f(x)\ln x \right]_1^2 - \int_1^2 \frac{f(x)}x\,dx. \end{aligned} \]

Or :

\[ \frac{f(x)}x = \frac{e^x}{e^x+1}. \]

De plus :

\[ \left[ f(x)\ln x \right]_1^2 = \frac{2e^2\ln2}{e^2+1}, \]

car \(\ln1=0\).

Enfin :

\[ \left(\ln(e^x+1)\right)' = \frac{e^x}{e^x+1}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} \int_1^2 \frac{e^x}{e^x+1}\,dx &= \left[ \ln(e^x+1) \right]_1^2\\ &= \ln(e^2+1)-\ln(e+1)\\ &= \ln\left( \frac{e^2+1}{e+1} \right). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ I= \frac{2e^2\ln2}{e^2+1} - \ln\left( \frac{e^2+1}{e+1} \right) }. \]

Exercice 17

Énoncé

1) En utilisant deux fois la formule d’intégration par parties, montrer que :

\[ \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt = \frac14. \]

2) On considère les intégrales \(E\) et \(F\) telles que :

\[ E= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos^2(t)\,dt \]

et :

\[ F= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\sin^2(t)\,dt. \]

Calculer \(E+F\) et \(E-F\), puis en déduire les valeurs de \(E\) et \(F\).

Question 1

Montrer, en utilisant deux intégrations par parties, que :

\[ \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt = \frac14. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Posons :

\[ A= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt \]

et :

\[ B= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\sin(2t)\,dt. \]

Première intégration par parties pour \(A\) : \[ u=\cos(2t), \qquad u'=-2\sin(2t), \] \[ v'=e^{-2t}, \qquad v=-\frac12e^{-2t}. \]

On obtient :

\[ \begin{aligned} A &= \left[ -\frac12e^{-2t}\cos(2t) \right]_0^{\pi/8} - B. \end{aligned} \]

Or :

\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2}. \]

Donc :

\[ A= \frac12 - \frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} - B. \tag{1} \]

Deuxième intégration par parties pour \(B\) : \[ u=\sin(2t), \qquad u'=2\cos(2t), \] \[ v'=e^{-2t}, \qquad v=-\frac12e^{-2t}. \]

Alors :

\[ \begin{aligned} B &= \left[ -\frac12e^{-2t}\sin(2t) \right]_0^{\pi/8} + A\\ &= -\frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} + A. \end{aligned} \tag{2} \]

En remplaçant l’égalité (2) dans l’égalité (1) :

\[ \begin{aligned} A &= \frac12 - \frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4}\\ &\quad- \left( -\frac{\sqrt2}{4}e^{-\pi/4} + A \right). \end{aligned} \]

Les deux termes contenant \(e^{-\pi/4}\) se simplifient. Il vient :

\[ A=\frac12-A. \]

Donc :

\[ 2A=\frac12. \]

\[ \boxed{ \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt = \frac14 }. \]

Question 2 — Calcul de \(E+F\)

Calculer \(E+F\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Par linéarité de l’intégrale :

\[ \begin{aligned} E+F &= \int_0^{\pi/8} e^{-2t} \left( \cos^2t+\sin^2t \right)dt. \end{aligned} \]

Or :

\[ \cos^2t+\sin^2t=1. \]

Donc :

\[ \begin{aligned} E+F &= \int_0^{\pi/8}e^{-2t}\,dt\\ &= \left[ -\frac12e^{-2t} \right]_0^{\pi/8}\\ &= \frac12 - \frac12e^{-\pi/4}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ E+F= \frac{1-e^{-\pi/4}}2 }. \]

Question 2 — Calcul de \(E-F\)

Calculer \(E-F\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Par linéarité :

\[ \begin{aligned} E-F &= \int_0^{\pi/8} e^{-2t} \left( \cos^2t-\sin^2t \right)dt. \end{aligned} \]

On utilise l’identité :

\[ \cos^2t-\sin^2t=\cos(2t). \]

Par conséquent :

\[ E-F= \int_0^{\pi/8} e^{-2t}\cos(2t)\,dt. \]

D’après la question 1 :

\[ \boxed{E-F=\frac14}. \]

Question 2 — Valeurs de \(E\) et \(F\)

En déduire séparément les valeurs de \(E\) et \(F\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Nous avons obtenu le système :

\[ \begin{cases} E+F=\dfrac{1-e^{-\pi/4}}2,\\[3mm] E-F=\dfrac14. \end{cases} \]

En additionnant les deux égalités :

\[ 2E= \frac{1-e^{-\pi/4}}2 + \frac14. \]

Donc :

\[ E= \frac{3-2e^{-\pi/4}}8. \]

En soustrayant la deuxième égalité de la première :

\[ 2F= \frac{1-e^{-\pi/4}}2 - \frac14. \]

Ainsi :

\[ F= \frac{1-2e^{-\pi/4}}8. \]

\[ \boxed{ E= \frac{3-2e^{-\pi/4}}8 } \qquad\text{et}\qquad \boxed{ F= \frac{1-2e^{-\pi/4}}8 }. \]

Exercice 18

Énoncé

On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ I_n= \int_0^1x^n\sqrt{1-x}\,dx. \]

1) Calculer \(I_0\).

2) a) En utilisant une intégration par parties, montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N) \qquad (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]

b) En déduire les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\).

Question 1

Calculer :

\[ I_0= \int_0^1\sqrt{1-x}\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Une primitive de \(\sqrt{1-x}=(1-x)^{1/2}\) est :

\[ -\frac23(1-x)^{3/2}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} I_0 &= \left[ -\frac23(1-x)^{3/2} \right]_0^1\\ &= 0-\left(-\frac23\right). \end{aligned} \]

\[ \boxed{I_0=\frac23}. \]

Question 2 a)

Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(n\in\mathbb N\). Partons de :

\[ I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\sqrt{1-x}\,dx. \]

Choix pour l’intégration par parties : \[ u=x^{n+1}, \qquad u'=(n+1)x^n, \] \[ v'=\sqrt{1-x}, \qquad v=-\frac23(1-x)^{3/2}. \]

La formule d’intégration par parties donne :

\[ \begin{aligned} I_{n+1} &= \left[ -\frac23 x^{n+1}(1-x)^{3/2} \right]_0^1\\ &\quad+ \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)^{3/2}\,dx. \end{aligned} \]

Le terme intégré est nul aux deux bornes :

\[ x^{n+1}=0 \quad\text{pour }x=0, \]

et :

\[ (1-x)^{3/2}=0 \quad\text{pour }x=1. \]

Donc :

\[ I_{n+1} = \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)^{3/2}\,dx. \]

Or :

\[ (1-x)^{3/2} = (1-x)\sqrt{1-x}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} I_{n+1} &= \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 x^n(1-x)\sqrt{1-x}\,dx\\ &= \frac{2(n+1)}3 \int_0^1 \left( x^n-x^{n+1} \right) \sqrt{1-x}\,dx\\ &= \frac{2(n+1)}3 \left( I_n-I_{n+1} \right). \end{aligned} \]

En multipliant par \(3\) :

\[ 3I_{n+1} = 2(n+1)I_n - 2(n+1)I_{n+1}. \]

Donc :

\[ \left( 3+2n+2 \right)I_{n+1} = (2n+2)I_n. \]

\[ \boxed{ (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n }. \]

Question 2 b)

En déduire les valeurs de \(I_1\) et \(I_2\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(n=0\), la relation de récurrence donne :

\[ 5I_1=2I_0. \]

Comme \(I_0=\dfrac23\) :

\[ I_1= \frac25\cdot\frac23 = \frac4{15}. \]

Pour \(n=1\), la relation donne :

\[ 7I_2=4I_1. \]

Donc :

\[ I_2= \frac47\cdot\frac4{15} = \frac{16}{105}. \]

\[ \boxed{I_1=\frac4{15}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{I_2=\frac{16}{105}}. \]

Méthodes à retenir : lorsqu’une question précédente fournit une dérivée, il faut la réutiliser explicitement dans l’intégration par parties. Pour une intégration cyclique, on introduit une seconde intégrale puis on résout le système obtenu. Pour une suite d’intégrales, le choix de \(u\) et \(v'\) doit faire apparaître les termes \(I_n\) et \(I_{n+1}\).

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