Correction de l’exercice 55 — Fonctions 1 à 5
Exercices de perfectionnement — Études complètes de fonctions
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page traite les cinq premières fonctions de l’exercice 55 du manuel Al Moufid. Pour chaque fonction, on détermine le domaine, les limites, les variations, les branches infinies et les éléments nécessaires à la construction de la courbe.
Exercice 55 — Partie 1 Étude des fonctions 1 à 5
1. Domaine de définition.
\[ D_f=]0,+\infty[. \]2. Limites aux bornes du domaine.
Lorsque \(x\to0^+\), posons \(t=-\ln x\). Alors \(t\to+\infty\) et \(x=e^{-t}\). Ainsi :
\[ f(x)=t^2-t-2e^{-t}\longrightarrow+\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x) = x\left( \frac{(\ln x)^2}{x} + \frac{\ln x}{x} - 2 \right). \]Or :
\[ \frac{(\ln x)^2}{x}\longrightarrow0 \qquad\text{et}\qquad \frac{\ln x}{x}\longrightarrow0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x) = \frac{2\ln x+1-2x}{x}. \]Posons :
\[ h(x)=2\ln x+1-2x. \]Alors :
\[ h'(x)=\frac{2(1-x)}x. \]La fonction \(h\) est croissante sur \(]0,1]\), puis décroissante sur \([1,+\infty[\). Elle atteint donc son maximum en \(x=1\). Or :
\[ h(1)=-1\lt0. \]Ainsi \(h(x)\lt0\) pour tout \(x\gt0\), donc :
\[ f'(x)\lt0. \]La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty[\), de \(+\infty\), lorsque \(x\to0^+\), vers \(-\infty\), lorsque \(x\to+\infty\).
Elle admet donc un unique zéro \(\alpha\). Numériquement :
\[ \alpha\simeq0{,}25396. \]4. Branches infinies.
La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
À \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x\longrightarrow-2 \]mais :
\[ f(x)+2x=(\ln x)^2+\ln x\longrightarrow+\infty. \]La courbe possède donc une branche parabolique de direction la droite \(y=-2x\).
La courbe C1 est strictement décroissante, possède l’asymptote verticale \(x=0\), coupe l’axe des abscisses en α ≃ 0,25396, puis présente à \(+\infty\) une branche parabolique de direction \(y=-2x\).
1. Domaine de définition.
\[ D_f=]0,1[\cup]1,+\infty[. \]2. Limites.
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]Au voisinage de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\in D_f\) :
\[ f'(x) = 1+\frac1{x(\ln x)^2}. \]Donc :
\[ f'(x)\gt0. \]Sur \(]0,1[\), \(f\) est strictement croissante de \(1\) vers \(+\infty\).
Sur \(]1,+\infty[\), \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(+\infty\).
La fonction ne s’annule pas sur \(]0,1[\). Sur \(]1,+\infty[\), elle admet un unique zéro \(\beta\), avec :
\[ \beta\simeq1{,}49340. \]4. Branches infinies.
La droite \(x=1\) est une asymptote verticale.
Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ f(x)-(x+1) = -\frac1{\ln x} \longrightarrow0. \]La droite :
\[ y=x+1 \]est donc une asymptote oblique. Pour \(x\gt1\), la courbe est située au-dessous de cette asymptote.
La courbe C2 admet l’asymptote verticale \(x=1\) et l’asymptote oblique \(y=x+1\). Elle tend vers le point non inclus \((0,1)\) à droite de \(0\), et coupe l’axe des abscisses en β ≃ 1,49340.
1. Domaine de définition.
Pour \(x\ne0\), le numérateur \(2x^2\) est strictement positif. Le quotient est donc positif exactement lorsque :
\[ 2x-1\gt0. \]Ainsi :
\[ D_f=\left]\frac12,+\infty\right[. \]2. Limites.
\[ \lim_{x\to\frac12^+}f(x)=+\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\), le quotient \(\dfrac{2x^2}{2x-1}\) tend vers \(+\infty\), donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\gt\dfrac12\) :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac2x-\frac2{2x-1}\\ &= \frac{2(x-1)}{x(2x-1)}. \end{aligned} \]Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x-1\).
Sur \(\left]\dfrac12,1\right[\), \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(\ln2\).
En \(x=1\), la fonction atteint son minimum : \[ f(1)=\ln2. \]
Sur \(]1,+\infty[\), \(f\) est strictement croissante de \(\ln2\) vers \(+\infty\).
Comme \(\ln2\gt0\), la courbe ne coupe pas l’axe des abscisses.
4. Branches infinies.
La droite \(x=\dfrac12\) est une asymptote verticale.
De plus :
\[ \begin{aligned} f(x)-\ln x &= \ln\left(\frac{2x}{2x-1}\right)\\ &\longrightarrow0. \end{aligned} \]La courbe se rapproche donc de la courbe \(y=\ln x\) à \(+\infty\). En particulier, comme \(f(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x\to0\), elle possède une branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
La courbe C3 admet l’asymptote verticale \(x=\dfrac12\), atteint son minimum \(M(1,\ln2)\), reste au-dessus de l’axe des abscisses et se rapproche de la courbe \(y=\ln x\) lorsque \(x\to+\infty\).
1. Domaine de définition.
\[ D_f=]0,1[\cup]1,+\infty[. \]2. Limites.
Lorsque \(x\to0^+\), posons \(t=-\ln x\). Alors \(x=e^{-t}\), et :
\[ f(x) = e^t\left(1+\frac1t\right) \longrightarrow+\infty. \]Au voisinage de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]3. Variations.
Pour \(x\in D_f\) :
\[ f'(x) = \frac{-(\ln x)^2+\ln x+1} {x^2(\ln x)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Posons \(t=\ln x\). Il faut étudier :
\[ -t^2+t+1. \]Ses racines sont :
\[ a=\frac{1-\sqrt5}{2}, \qquad b=\frac{1+\sqrt5}{2}. \]Comme le coefficient de \(t^2\) est négatif, l’expression est positive pour \(a\lt t\lt b\) et négative à l’extérieur.
Posons :
\[ x_1=e^a, \qquad x_2=e^b. \]Sur \(]0,x_1[\), \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(f(x_1)\).
Sur \(]x_1,1[\), \(f\) est strictement croissante de \(f(x_1)\) vers \(+\infty\).
Sur \(]1,x_2[\), \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) vers \(f(x_2)\).
Sur \(]x_2,+\infty[\), \(f\) est strictement décroissante de \(f(x_2)\) vers \(0\).
Numériquement :
\[ x_1\simeq0{,}53900, \qquad f(x_1)\simeq4{,}85718, \] \[ x_2\simeq5{,}04317, \qquad f(x_2)\simeq0{,}07574. \]Enfin :
\[ f(x)=0 \iff 1-\frac1{\ln x}=0 \iff x=e. \]4. Branches infinies.
Les droites \(x=0\) et \(x=1\) sont des asymptotes verticales.
La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale à \(+\infty\), et la courbe l’approche par valeurs positives.
La courbe C4 possède les asymptotes verticales \(x=0\) et \(x=1\), ainsi que l’asymptote horizontale \(y=0\). Elle coupe l’axe des abscisses en \(x=e\), possède un minimum sur \(]0,1[\) et un maximum sur \(]1,+\infty[\).
1. Domaine de définition.
\[ D_f=]0,+\infty[. \]2. Limites.
Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ 2x-1\longrightarrow-1 \]et :
\[ 2\ln x-1\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]Lorsque \(x\to+\infty\), les deux facteurs tendent vers \(+\infty\), donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]3. Variations.
Pour \(x\gt0\) :
\[ f'(x) = 2\left( 2\ln x+1-\frac1x \right). \]Posons :
\[ h(x)=2\ln x+1-\frac1x. \]Alors :
\[ h'(x) = \frac2x+\frac1{x^2} = \frac{2x+1}{x^2} \gt0. \]La fonction \(h\) est donc strictement croissante. Or :
\[ h(1)=0. \]Ainsi :
\[ h(x)\lt0 \quad\text{si}\quad 0\lt x\lt1, \]et :
\[ h(x)\gt0 \quad\text{si}\quad x\gt1. \]Sur \(]0,1]\), la fonction \(f\) est strictement décroissante de \(+\infty\) vers \(-1\).
En \(x=1\), elle atteint son minimum : \[ f(1)=-1. \]
Sur \([1,+\infty[\), elle est strictement croissante de \(-1\) vers \(+\infty\).
Les zéros sont obtenus par :
\[ (2x-1)(2\ln x-1)=0. \]Donc :
\[ x=\frac12 \qquad\text{ou}\qquad x=\sqrt e. \]4. Branches infinies.
La droite \(x=0\) est une asymptote verticale.
À \(+\infty\) :
\[ \frac{f(x)}x = \left(2-\frac1x\right)(2\ln x-1) \longrightarrow+\infty. \]La courbe possède donc une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
La courbe C5 admet l’asymptote verticale \(x=0\), décroît jusqu’au minimum \(M(1,-1)\), puis croît vers \(+\infty\). Elle coupe l’axe des abscisses en \(x=\dfrac12\) et \(x=\sqrt e\).
Méthodes à retenir
- Le signe d’une dérivée complexe peut être étudié à l’aide d’une fonction auxiliaire plus simple.
- La substitution \(t=\ln x\) transforme souvent le signe de la dérivée en un problème polynomial.
- Une limite infinie à une borne finie du domaine donne une asymptote verticale.
- Pour une asymptote oblique, on étudie \(f(x)-ax-b\).
- Lorsqu’il n’existe pas d’asymptote linéaire, les quotients \(f(x)/x\) permettent de préciser la direction d’une branche parabolique.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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