Correction des exercices 1 à 4 — Fonctions exponentielles — Al Moufid

Correction des exercices 01 à 04 — Fonctions exponentielles

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

01 02 03 04

Ces quatre premiers exercices du chapitre « Fonctions exponentielles » permettent d’installer les réflexes fondamentaux nécessaires pour toute la suite du cours. Il s’agit d’abord de reconnaître les relations entre l’exponentielle népérienne et le logarithme népérien, puis d’utiliser correctement les propriétés algébriques de l’exponentielle pour simplifier des expressions. Certaines questions font aussi intervenir des racines ou des logarithmes imbriqués : l’ordre des transformations devient alors important. Enfin, la présence d’un logarithme oblige toujours à contrôler que son argument est strictement positif avant d’appliquer une propriété. L’objectif est donc de ne pas manipuler les expressions mécaniquement : pour chaque calcul, il faut identifier la forme présente, choisir la propriété adaptée, vérifier ses conditions d’application puis interpréter la forme obtenue.

Repère de cours — Exponentielle et logarithme népérien

La fonction exponentielle népérienne est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. On dispose donc des relations fondamentales :

\[ e^{\ln a}=a\qquad\text{pour }a\gt0 \]

et :

\[ \ln(e^x)=x\qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]

De plus, l’exponentielle est strictement positive :

\[ e^x\gt0\qquad\text{pour tout }x\in\mathbb R. \]

Les propriétés algébriques permettent également de transformer un produit, un quotient ou un exposant négatif :

\[ e^{u+v}=e^ue^v, \qquad e^{u-v}=\frac{e^u}{e^v}, \qquad e^{-u}=\frac1{e^u}. \]

Avant d’utiliser une propriété portant sur \(\ln\), on vérifie toujours que l’argument du logarithme est strictement positif. Cette condition de définition reste valable même si l’expression obtenue après simplification paraît définie sur un ensemble plus grand.

Exercice 01

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{aligned} &a_1=e^{\ln13}, &&a_2=e^{4\ln5}, &&a_3=e^{-\ln7},\\ &b_1=e^{\frac13\ln27}, &&b_2=e^{\frac12\ln4}, &&b_3=e^{\ln3-\ln5},\\ &c_1=\frac{e^{\ln216}}{e^{3\ln6}}, &&c_2=\frac{e^{8+\ln7}}{e^{9+\ln14}}, &&c_3=-e^{-\ln\left(\frac13\right)}. \end{aligned} \]

Méthode. Toutes les quantités placées à l’intérieur des logarithmes sont ici strictement positives. On peut donc utiliser la relation \(e^{\ln a}=a\). Selon les expressions, il faudra ensuite reconnaître une puissance, un exposant négatif, un produit ou un quotient d’exponentielles. Le principe est de simplifier d’abord la composition entre \(e^x\) et \(\ln x\), puis d’appliquer les règles usuelles sur les exposants.

a) Simplification de \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\)

Afficher la correction Masquer la correction

Pour \(a_1\), l’exponentielle est directement appliquée à un logarithme. Comme \(13\gt0\), la relation \(e^{\ln a}=a\) s’applique immédiatement.

Calcul de \(a_1\).

Comme \(13\gt0\), on utilise \(e^{\ln13}=13\). Ainsi :

\[ a_1=13. \]

Dans \(a_2\), le coefficient \(4\) placé devant le logarithme devient naturellement une puissance.

Calcul de \(a_2\).

\[ e^{4\ln5}=\left(e^{\ln5}\right)^4=5^4=625. \]

Donc :

\[ a_2=625. \]

Pour \(a_3\), l’exposant est l’opposé de \(\ln7\). On utilise donc la propriété de l’exponentielle d’un opposé.

Calcul de \(a_3\).

\[ e^{-\ln7}=\frac1{e^{\ln7}}=\frac17. \]

Donc :

\[ a_3=\frac17. \]

\[ \boxed{a_1=13,\qquad a_2=625,\qquad a_3=\frac17} \]

Ces trois expressions correspondent à trois réflexes élémentaires : reconnaître \(e^{\ln a}\), transformer un coefficient de l’exposant en puissance et utiliser \(e^{-u}=\dfrac1{e^u}\).

b) Simplification de \(b_1\), \(b_2\) et \(b_3\)

Afficher la correction Masquer la correction

Les coefficients \(\frac13\) et \(\frac12\) devant les logarithmes conduisent respectivement à une racine cubique et à une racine carrée. Pour \(b_3\), la différence dans l’exposant se traduit par un quotient d’exponentielles.

Calcul de \(b_1\).

\[ e^{\frac13\ln27} =\left(e^{\ln27}\right)^{\frac13} =27^{\frac13} =3. \]

Donc \(b_1=3\).

Calcul de \(b_2\).

\[ e^{\frac12\ln4} =\left(e^{\ln4}\right)^{\frac12} =4^{\frac12} =2. \]

Donc \(b_2=2\).

Calcul de \(b_3\).

\[ b_3=e^{\ln3-\ln5} =\frac{e^{\ln3}}{e^{\ln5}} =\frac35. \]

\[ \boxed{b_1=3,\qquad b_2=2,\qquad b_3=\frac35} \]

Un exposant fractionnaire permet ici de retrouver directement une racine. Dans \(b_3\), la structure \(u-v\) de l’exposant indique au contraire qu’il faut utiliser la propriété du quotient.

c) Simplification de \(c_1\), \(c_2\) et \(c_3\)

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Ces trois expressions combinent plusieurs propriétés. Pour éviter les erreurs, on simplifie d’abord séparément les exponentielles du numérateur et du dénominateur, puis on effectue le quotient. Dans \(c_3\), le signe « − » placé devant l’exponentielle doit être conservé jusqu’à la fin.

Calcul de \(c_1\).

\[ e^{\ln216}=216 \]

et :

\[ e^{3\ln6}=\left(e^{\ln6}\right)^3=6^3=216. \]

Par conséquent :

\[ c_1=\frac{216}{216}=1. \]

Pour \(c_2\), on décompose les exponentielles d’une somme afin de faire apparaître les facteurs \(e^{\ln7}\) et \(e^{\ln14}\).

Calcul de \(c_2\).

\[ c_2 =\frac{e^8e^{\ln7}}{e^9e^{\ln14}} =\frac{7e^8}{14e^9} =\frac1{2e}. \]

Enfin, dans \(c_3\), l’exposant négatif transforme l’exponentielle en son inverse.

Calcul de \(c_3\).

\[ e^{-\ln\left(\frac13\right)} =\frac1{e^{\ln\left(\frac13\right)}} =\frac1{\frac13} =3. \]

En tenant compte du signe placé devant l’exponentielle :

\[ c_3=-3. \]

\[ \boxed{c_1=1,\qquad c_2=\frac1{2e},\qquad c_3=-3} \]

Lorsqu’une expression combine plusieurs exponentielles, il est souvent plus sûr de reconnaître successivement chaque propriété plutôt que de chercher une simplification globale immédiate.

Exercice 02

Simplifier les écritures des nombres suivants : \[ \begin{aligned} A_1&=\ln(e^{-5}),\\ A_2&=\ln\left(\frac1{e^3}\right),\\ A_3&=\ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^8)}}\right),\\ A_4&=\ln\left(\sqrt{e^6}\right)-\ln\left(\sqrt{e^4}\right),\\ A_5&=\exp\left(-\frac15\ln(e^{-5})\right). \end{aligned} \]

Méthode. La propriété centrale est ici \(\ln(e^x)=x\), valable pour tout réel \(x\). Lorsqu’une expression est imbriquée, on simplifie de l’intérieur vers l’extérieur. Les racines ne posent pas de difficulté de signe puisque toute exponentielle est strictement positive.

1) Simplification de \(A_1\)

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L’argument du logarithme est directement une exponentielle. On reconnaît donc la composition \(\ln(e^x)\).

Pour tout réel \(x\), on a \(\ln(e^x)=x\). Donc :

\[ A_1=-5. \]

\[ \boxed{A_1=-5} \]

Le logarithme restitue simplement ici l’exposant de l’exponentielle.

2) Simplification de \(A_2\)

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Pour faire apparaître la forme \(\ln(e^x)\), on commence par transformer l’inverse de \(e^3\) en exponentielle d’exposant négatif.

\[ \frac1{e^3}=e^{-3}. \]

Par conséquent :

\[ A_2=\ln(e^{-3})=-3. \]

\[ \boxed{A_2=-3} \]

La réécriture sous la forme d’une seule exponentielle permet d’utiliser immédiatement la relation entre \(\ln\) et \(\exp\).

3) Simplification de \(A_3\)

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L’expression contient plusieurs fonctions composées. On commence donc par le logarithme le plus intérieur, puis on traite successivement l’exponentielle, la racine et le logarithme extérieur.

\[ \ln(e^8)=8. \]

Donc :

\[ e^{-\ln(e^8)}=e^{-8}. \]

L’exponentielle étant positive, \(e^{-4}\gt0\). La racine carrée de \((e^{-4})^2\) vaut donc bien \(e^{-4}\).

Comme \(e^{-4}\gt0\), on a :

\[ \sqrt{e^{-8}}=\sqrt{(e^{-4})^2}=e^{-4}. \]

Par conséquent :

\[ A_3=\ln(e^{-4})=-4. \]

\[ \boxed{A_3=-4} \]

Pour une expression composée, l’ordre des simplifications est essentiel : on progresse ici de l’intérieur vers l’extérieur jusqu’à obtenir une forme élémentaire.

4) Simplification de \(A_4\)

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On commence par simplifier séparément les deux racines. La positivité de l’exponentielle permet d’écrire chacune d’elles sous la forme d’une exponentielle.

\[ \sqrt{e^6}=e^3 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{e^4}=e^2. \]

Donc :

\[ A_4=\ln(e^3)-\ln(e^2)=3-2=1. \]

\[ \boxed{A_4=1} \]

Après simplification des racines, les deux logarithmes donnent directement leurs exposants : le calcul devient une simple différence.

5) Simplification de \(A_5\)

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L’exponentielle extérieure ne doit être évaluée qu’après avoir simplifié complètement son exposant. On commence donc par le logarithme intérieur.

\[ \ln(e^{-5})=-5. \]

Par conséquent :

\[ -\frac15\ln(e^{-5})=-\frac15\times(-5)=1. \]

Donc :

\[ A_5=\exp(1)=e. \]

\[ \boxed{A_5=e} \]

L’exposant se réduit à \(1\), ce qui ramène finalement toute l’expression à la valeur \(e\).

Exercice 03

Si : \[ X=3\left(e^{-7+\ln(10^3)}-1\right), \] a-t-on l’égalité : \[ \ln X=\ln3+\ln(1000-e^7)-7\;? \]

Méthode. Avant d’utiliser une propriété du logarithme, il faut vérifier que chaque argument est strictement positif. La priorité n’est donc pas de transformer l’égalité proposée : on doit d’abord déterminer le signe de \(X\) et celui de \(1000-e^7\). Si l’un de ces nombres est négatif, le logarithme correspondant n’est pas défini dans \(\mathbb R\).

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On commence par transformer l’exponentielle afin d’obtenir une expression dont le signe pourra être étudié.

\[ e^{-7+\ln(10^3)} =e^{-7}e^{\ln(10^3)} =e^{-7}\times10^3 =\frac{1000}{e^7}. \]

Ainsi :

\[ X =3\left(\frac{1000}{e^7}-1\right) =\frac{3(1000-e^7)}{e^7}. \]

Le dénominateur \(e^7\) est strictement positif. Le signe de \(X\) est donc celui de \(1000-e^7\).

Or \(e^7\gt1000\). Donc :

\[ 1000-e^7\lt0. \]

Comme \(e^7\gt0\), on en déduit :

\[ X\lt0. \]

Le nombre \(\ln X\) n’est donc pas défini dans \(\mathbb R\). De même, \(\ln(1000-e^7)\) n’est pas défini dans \(\mathbb R\).

Piège à éviter. Une identité logarithmique ne peut pas être appliquée uniquement parce que les expressions semblent algébriquement compatibles. L’existence des logarithmes doit être vérifiée en premier.

\[ \boxed{\text{Non, l’égalité proposée n’est pas définie dans }\mathbb R.} \]

Le problème n’est donc pas une erreur de transformation de logarithmes : l’égalité proposée n’a tout simplement pas de sens dans \(\mathbb R\), car les arguments concernés ne sont pas strictement positifs.

Exercice 04

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{aligned} A&=(e^x)^7(e^{-3x})^2,\\ B&=\frac{e^{4x+5}}{e^{4x-3}},\\ C&=\frac{e^{3x}+e^{-2x}}{e^{-x}},\\ D&=\frac{e^{2x}\sqrt{e^{x+2}}}{e^{1{,}2x}\sqrt[6]{e^{2x}}},\\ E&=\ln(1+e^{2x})-\ln(1+e^{-2x}),\\ F&=e^{\ln(x+1)}-e^{\ln x},\\ G&=\sqrt[3]{e^{4s}}\left(\sqrt[6]{e^x}\right)^2. \end{aligned} \]

Méthode. Les expressions ne demandent pas toutes le même réflexe. Pour \(A\), \(B\) et \(C\), on travaille directement avec les règles sur les exposants. Pour \(D\) et \(G\), les racines sont d’abord transformées en puissances d’exponentielles. Dans \(E\) et \(F\), la présence du logarithme impose en plus de contrôler les conditions de définition avant toute simplification.

A, B et C — Propriétés sur les exposants

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Dans \(A\), une puissance d’une exponentielle multiplie les exposants, puis le produit d’exponentielles conduit à leur somme.

Simplification de \(A\).

\[ A=e^{7x}e^{-6x}=e^x. \]

Dans \(B\), le quotient de deux exponentielles de même base conduit à soustraire les exposants.

Simplification de \(B\).

\[ B=e^{(4x+5)-(4x-3)}=e^8. \]

Pour \(C\), on distribue le quotient sur les deux termes du numérateur, puis on soustrait les exposants.

Simplification de \(C\).

\[ C =\frac{e^{3x}}{e^{-x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{-x}} =e^{4x}+e^{-x}. \]

\[ \boxed{A=e^x,\qquad B=e^8,\qquad C=e^{4x}+e^{-x}} \]

Ces trois expressions montrent que les règles sur les puissances permettent souvent de ramener plusieurs exponentielles à une forme beaucoup plus simple en travaillant uniquement sur leurs exposants.

D — Racines et exposants fractionnaires

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Pour pouvoir regrouper tous les facteurs, on commence par transformer les racines en exponentielles. Cette transformation est licite puisque les exponentielles sont strictement positives.

\[ \sqrt{e^{x+2}}=e^{\frac{x+2}{2}} \qquad\text{et}\qquad \sqrt[6]{e^{2x}}=e^{\frac x3}. \]

De plus :

\[ 1{,}2x=\frac65x. \]

Tous les facteurs étant maintenant écrits sous la forme d’exponentielles, on peut réunir leurs exposants.

Par conséquent :

\[ D=e^{2x+\frac{x+2}{2}-\frac65x-\frac x3}. \]

Or :

\[ 2+\frac12-\frac65-\frac13=\frac{29}{30}. \]

Donc :

\[ D=e^{1+\frac{29}{30}x}. \]

\[ \boxed{D=e^{1+\frac{29}{30}x}} \]

L’expression initiale, qui comporte un quotient et deux racines, est ainsi ramenée à une seule exponentielle. La transformation des racines en puissances constitue ici l’étape essentielle.

E et F — Exponentielle, logarithme et domaine

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Pour \(E\), on vérifie d’abord les conditions d’existence. Comme une exponentielle est strictement positive, on a \(1+e^{2x}\gt0\) et \(1+e^{-2x}\gt0\) pour tout réel \(x\). La propriété sur la différence de deux logarithmes peut donc être utilisée.

Simplification de \(E\).

Pour tout réel \(x\), les deux arguments des logarithmes sont strictement positifs. Ainsi :

\[ E=\ln\left(\frac{1+e^{2x}}{1+e^{-2x}}\right). \]

On cherche maintenant à simplifier le quotient. La factorisation du dénominateur par \(e^{-2x}\) fait apparaître le même facteur \(1+e^{2x}\) qu’au numérateur.

Or :

\[ 1+e^{-2x}=e^{-2x}(1+e^{2x}). \]

Donc :

\[ \frac{1+e^{2x}}{1+e^{-2x}} =\frac1{e^{-2x}} =e^{2x}. \]

Par conséquent :

\[ E=\ln(e^{2x})=2x. \]

Pour \(F\), il faut conserver les conditions provenant de l’expression initiale. Les logarithmes \(\ln(x+1)\) et \(\ln x\) exigent respectivement \(x+1\gt0\) et \(x\gt0\). Leur condition commune est donc \(x\gt0\).

Simplification de \(F\).

L’expression initiale est définie lorsque \(x\gt0\). Pour tout \(x\gt0\) :

\[ F=(x+1)-x=1. \]

\[ \boxed{E=2x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb R} \] \[ \boxed{F=1\quad\text{pour tout }x\gt0} \]

À retenir. Même si la forme simplifiée de \(F\) vaut constamment \(1\), on ne peut pas étendre arbitrairement son domaine : la condition \(x\gt0\) appartient à l’expression initiale et doit être conservée.

Cette question montre que simplifier une expression ne consiste pas seulement à transformer ses symboles : il faut également conserver les conditions qui rendent les expressions de départ définies.

G — Racines d’exponentielles

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Les deux radicandes sont des exponentielles et sont donc strictement positifs. On transforme chacune des racines en puissance fractionnaire, puis on utilise la propriété du produit d’exponentielles de même base.

\[ \sqrt[3]{e^{4s}}=e^{\frac{4s}{3}} \]

et :

\[ \left(\sqrt[6]{e^x}\right)^2 =\left(e^{\frac x6}\right)^2 =e^{\frac x3}. \]

Les deux facteurs étant maintenant des exponentielles, leurs exposants s’additionnent.

Par conséquent :

\[ G=e^{\frac{4s}{3}}e^{\frac x3} =e^{\frac{4s+x}{3}}. \]

\[ \boxed{G=e^{\frac{4s+x}{3}}} \]

Le produit de deux expressions contenant des racines est ainsi ramené à une seule exponentielle, ce qui donne une forme plus simple de l’expression \(G\).

À retenir.

Ces quatre exercices reposent principalement sur la reconnaissance des formes. Lorsque l’on rencontre \(e^{\ln a}\), il faut d’abord vérifier que \(a\gt0\). La forme \(\ln(e^x)\), en revanche, est directement utilisable pour tout réel \(x\), puisque l’exponentielle est toujours strictement positive. Les produits, quotients et exposants négatifs se traitent ensuite à l’aide des propriétés algébriques de la fonction exponentielle.

Pour les expressions plus longues, une méthode efficace consiste à avancer étape par étape : simplifier d’abord les compositions entre \(\exp\) et \(\ln\), transformer ensuite les racines en puissances lorsque cela est utile, puis regrouper les exponentielles. Enfin, dès qu’un logarithme intervient, il faut conserver les conditions de définition de l’expression initiale. Ces réflexes seront indispensables dans les équations, les limites, les dérivées et les études de fonctions exponentielles qui suivent dans le chapitre.

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

Note : Ce site est une ressource pédagogique indépendante et n'est pas affilié aux éditeurs du manuel Al Moufid.