Correction des exercices 1 à 4
Fonctions exponentielles — Simplification des expressions
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose la correction détaillée des exercices 1 à 4 du chapitre « Fonctions exponentielles » du manuel Al Moufid. Ce premier bloc porte sur l’utilisation des relations entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien, ainsi que sur les propriétés algébriques des puissances.
Cette page propose la correction détaillée des exercices 1 à 4 du chapitre « Fonctions exponentielles » du manuel Al Moufid. Ce premier bloc porte sur l’utilisation des relations entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien, ainsi que sur les propriétés algébriques des puissances.
Exercice 1 Simplification à l’aide de l’exponentielle et du logarithme
Énoncé
Simplifier les expressions suivantes :
\[
\begin{aligned}
&a_1=e^{\ln13}, &&a_2=e^{4\ln5}, &&a_3=e^{-\ln7},\\
&b_1=e^{\frac13\ln27}, &&b_2=e^{\frac12\ln4}, &&b_3=e^{\ln3-\ln5},\\
&c_1=\frac{e^{\ln216}}{e^{3\ln6}},
&&c_2=\frac{e^{8+\ln7}}{e^{9+\ln14}},
&&c_3=-e^{-\ln\left(\frac13\right)}.
\end{aligned}
\]
a
Simplification de \(a_1\), \(a_2\) et \(a_3\)
Simplifier :
\[
a_1=e^{\ln13},\qquad
a_2=e^{4\ln5},\qquad
a_3=e^{-\ln7}.
\]
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Correction détaillée
Calcul de \(a_1\).
Comme \(13\gt0\), on utilise \(e^{\ln13}=13\). Ainsi :
\[ a_1=13. \]Calcul de \(a_2\).
\[ e^{4\ln5}=\left(e^{\ln5}\right)^4=5^4=625. \]Donc :
\[ a_2=625. \]Calcul de \(a_3\).
\[ e^{-\ln7}=\frac1{e^{\ln7}}=\frac17. \]Donc :
\[ a_3=\frac17. \]
\[
\boxed{a_1=13,\qquad a_2=625,\qquad a_3=\frac17}
\]
b
Simplification de \(b_1\), \(b_2\) et \(b_3\)
Simplifier :
\[
b_1=e^{\frac13\ln27},\qquad
b_2=e^{\frac12\ln4},\qquad
b_3=e^{\ln3-\ln5}.
\]
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Correction détaillée
Calcul de \(b_1\).
\[ e^{\frac13\ln27} =\left(e^{\ln27}\right)^{\frac13} =27^{\frac13} =3. \]Donc \(b_1=3\).
Calcul de \(b_2\).
\[ e^{\frac12\ln4} =\left(e^{\ln4}\right)^{\frac12} =4^{\frac12} =2. \]Donc \(b_2=2\).
Calcul de \(b_3\).
\[ b_3=e^{\ln3-\ln5} =\frac{e^{\ln3}}{e^{\ln5}} =\frac35. \]
\[
\boxed{b_1=3,\qquad b_2=2,\qquad b_3=\frac35}
\]
c
Simplification de \(c_1\), \(c_2\) et \(c_3\)
Simplifier :
\[
c_1=\frac{e^{\ln216}}{e^{3\ln6}},
\qquad
c_2=\frac{e^{8+\ln7}}{e^{9+\ln14}},
\qquad
c_3=-e^{-\ln\left(\frac13\right)}.
\]
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Correction détaillée
Calcul de \(c_1\).
\[ e^{\ln216}=216 \]et :
\[ e^{3\ln6}=\left(e^{\ln6}\right)^3=6^3=216. \]Par conséquent :
\[ c_1=\frac{216}{216}=1. \]Calcul de \(c_2\).
\[ c_2 =\frac{e^8e^{\ln7}}{e^9e^{\ln14}} =\frac{7e^8}{14e^9} =\frac1{2e}. \]Calcul de \(c_3\).
\[ e^{-\ln\left(\frac13\right)} =\frac1{e^{\ln\left(\frac13\right)}} =\frac1{\frac13} =3. \]En tenant compte du signe placé devant l’exponentielle :
\[ c_3=-3. \]
\[
\boxed{c_1=1,\qquad c_2=\frac1{2e},\qquad c_3=-3}
\]
Exercice 2 Simplification d’écritures logarithmiques
Énoncé
Simplifier les écritures des nombres suivants :
\[
\begin{aligned}
A_1&=\ln(e^{-5}),\\
A_2&=\ln\left(\frac1{e^3}\right),\\
A_3&=\ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^8)}}\right),\\
A_4&=\ln\left(\sqrt{e^6}\right)-\ln\left(\sqrt{e^4}\right),\\
A_5&=\exp\left(-\frac15\ln(e^{-5})\right).
\end{aligned}
\]
1Simplification de \(A_1\)
\[
A_1=\ln(e^{-5}).
\]
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Correction détaillée
Pour tout réel \(x\), on a \(\ln(e^x)=x\). Donc :
\[ A_1=-5. \]\[\boxed{A_1=-5}\]
2Simplification de \(A_2\)
\[
A_2=\ln\left(\frac1{e^3}\right).
\]
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Correction détaillée
\[
\frac1{e^3}=e^{-3}.
\]
Par conséquent :
\[ A_2=\ln(e^{-3})=-3. \]\[\boxed{A_2=-3}\]
3Simplification de \(A_3\)
\[
A_3=\ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^8)}}\right).
\]
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Correction détaillée
\[
\ln(e^8)=8.
\]
Donc :
\[ e^{-\ln(e^8)}=e^{-8}. \]Comme \(e^{-4}\gt0\), on a :
\[ \sqrt{e^{-8}}=\sqrt{(e^{-4})^2}=e^{-4}. \]Par conséquent :
\[ A_3=\ln(e^{-4})=-4. \]\[\boxed{A_3=-4}\]
4Simplification de \(A_4\)
\[
A_4=\ln\left(\sqrt{e^6}\right)-\ln\left(\sqrt{e^4}\right).
\]
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Correction détaillée
\[
\sqrt{e^6}=e^3
\qquad\text{et}\qquad
\sqrt{e^4}=e^2.
\]
Donc :
\[ A_4=\ln(e^3)-\ln(e^2)=3-2=1. \]\[\boxed{A_4=1}\]
5Simplification de \(A_5\)
\[
A_5=\exp\left(-\frac15\ln(e^{-5})\right).
\]
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Correction détaillée
\[
\ln(e^{-5})=-5.
\]
Par conséquent :
\[ -\frac15\ln(e^{-5})=-\frac15\times(-5)=1. \]Donc :
\[ A_5=\exp(1)=e. \]\[\boxed{A_5=e}\]
Exercice 3 Vérification d’une égalité logarithmique
Énoncé
Si :
\[
X=3\left(e^{-7+\ln(10^3)}-1\right),
\]
a-t-on l’égalité :
\[
\ln X=\ln3+\ln(1000-e^7)-7\;?
\]
1Étude du signe de \(X\)
Vérifier si l’égalité proposée est définie et valable dans \(\mathbb R\).
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Correction détaillée
\[
e^{-7+\ln(10^3)}
=e^{-7}e^{\ln(10^3)}
=e^{-7}\times10^3
=\frac{1000}{e^7}.
\]
Ainsi :
\[ X =3\left(\frac{1000}{e^7}-1\right) =\frac{3(1000-e^7)}{e^7}. \]Or \(e^7\gt1000\). Donc :
\[ 1000-e^7\lt0. \]Comme \(e^7\gt0\), on en déduit :
\[ X\lt0. \]Le nombre \(\ln X\) n’est donc pas défini dans \(\mathbb R\). De même, \(\ln(1000-e^7)\) n’est pas défini dans \(\mathbb R\).
Avant d’utiliser une propriété du logarithme népérien, il faut vérifier
que tous les nombres placés à l’intérieur des logarithmes sont strictement positifs.
\[
\boxed{\text{Non, l’égalité proposée n’est pas définie dans }\mathbb R.}
\]
Exercice 4 Propriétés algébriques de l’exponentielle
Énoncé
Simplifier les expressions suivantes :
\[
\begin{aligned}
A&=(e^x)^7(e^{-3x})^2,\\
B&=\frac{e^{4x+5}}{e^{4x-3}},\\
C&=\frac{e^{3x}+e^{-2x}}{e^{-x}},\\
D&=\frac{e^{2x}\sqrt{e^{x+2}}}{e^{1{,}2x}\sqrt[6]{e^{2x}}},\\
E&=\ln(1+e^{2x})-\ln(1+e^{-2x}),\\
F&=e^{\ln(x+1)}-e^{\ln x},\\
G&=\sqrt[3]{e^{4s}}\left(\sqrt[6]{e^x}\right)^2.
\end{aligned}
\]
A–CSimplification de \(A\), \(B\) et \(C\)
\[
A=(e^x)^7(e^{-3x})^2,\qquad
B=\frac{e^{4x+5}}{e^{4x-3}},\qquad
C=\frac{e^{3x}+e^{-2x}}{e^{-x}}.
\]
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Correction détaillée
Simplification de \(A\).
\[ A=e^{7x}e^{-6x}=e^x. \]Simplification de \(B\).
\[ B=e^{(4x+5)-(4x-3)}=e^8. \]Simplification de \(C\).
\[ C =\frac{e^{3x}}{e^{-x}}+\frac{e^{-2x}}{e^{-x}} =e^{4x}+e^{-x}. \]
\[
\boxed{A=e^x,\qquad B=e^8,\qquad C=e^{4x}+e^{-x}}
\]
DSimplification de \(D\)
\[
D=\frac{e^{2x}\sqrt{e^{x+2}}}{e^{1{,}2x}\sqrt[6]{e^{2x}}}.
\]
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Correction détaillée
\[
\sqrt{e^{x+2}}=e^{\frac{x+2}{2}}
\qquad\text{et}\qquad
\sqrt[6]{e^{2x}}=e^{\frac x3}.
\]
De plus :
\[ 1{,}2x=\frac65x. \]Par conséquent :
\[ D=e^{2x+\frac{x+2}{2}-\frac65x-\frac x3}. \]Or :
\[ 2+\frac12-\frac65-\frac13=\frac{29}{30}. \]Donc :
\[ D=e^{1+\frac{29}{30}x}. \]\[\boxed{D=e^{1+\frac{29}{30}x}}\]
E–FSimplification de \(E\) et \(F\)
\[
E=\ln(1+e^{2x})-\ln(1+e^{-2x})
\]
et
\[
F=e^{\ln(x+1)}-e^{\ln x}.
\]
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Correction détaillée
Simplification de \(E\).
Pour tout réel \(x\), les deux arguments des logarithmes sont strictement positifs. Ainsi :
\[ E=\ln\left(\frac{1+e^{2x}}{1+e^{-2x}}\right). \]Or :
\[ 1+e^{-2x}=e^{-2x}(1+e^{2x}). \]Donc :
\[ \frac{1+e^{2x}}{1+e^{-2x}} =\frac1{e^{-2x}} =e^{2x}. \]Par conséquent :
\[ E=\ln(e^{2x})=2x. \]Simplification de \(F\).
L’expression initiale est définie lorsque \(x\gt0\). Pour tout \(x\gt0\) :
\[ F=(x+1)-x=1. \]
\[
\boxed{E=2x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb R}
\]
\[
\boxed{F=1\quad\text{pour tout }x\gt0}
\]
GSimplification de \(G\)
\[
G=\sqrt[3]{e^{4s}}\left(\sqrt[6]{e^x}\right)^2.
\]
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Correction détaillée
\[
\sqrt[3]{e^{4s}}=e^{\frac{4s}{3}}
\]
et :
\[ \left(\sqrt[6]{e^x}\right)^2 =\left(e^{\frac x6}\right)^2 =e^{\frac x3}. \]Par conséquent :
\[ G=e^{\frac{4s}{3}}e^{\frac x3} =e^{\frac{4s+x}{3}}. \]\[\boxed{G=e^{\frac{4s+x}{3}}}\]
Méthodes essentielles :
utiliser les relations \(e^{\ln a}=a\) pour \(a\gt0\),
\(\ln(e^x)=x\), \(e^{x+y}=e^xe^y\),
\(e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}\), puis vérifier les conditions
d’existence des logarithmes avant d’appliquer leurs propriétés.
Méthodes à retenir
- Pour tout réel \(x\), on a \(\ln(e^x)=x\).
- Pour tout réel \(a\gt0\), on a \(e^{\ln a}=a\).
- Avant d’utiliser une propriété du logarithme, il faut vérifier que les arguments concernés sont strictement positifs.
- Les racines des exponentielles se transforment en puissances : \[ \sqrt[n]{e^x}=e^{\frac xn}. \]
- Une expression simplifiée reste soumise aux conditions d’existence de l’expression initiale.
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
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