Correction des exercices 103 et 104 – Calcul intégral
Irrationalité de \(\pi\) et théorème de la moyenne pondérée — Manuel Al Moufid
Exercice 103
Le but de cet exercice est de montrer l’irrationalité du nombre \(\pi\), c’est-à-dire :
\[ \pi\notin\mathbb Q. \]Soit \((u_n)\) une suite numérique à valeurs dans \(\mathbb Z\).
Montrer que la suite \((u_n)\) converge si et seulement si elle est stationnaire, c’est-à-dire s’il existe \(N\in\mathbb N\) tel que :
\[ (\forall n\geq N) \qquad u_n=u_N. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Premier sens : une suite stationnaire est convergente.
Supposons qu’il existe \(N\in\mathbb N\) tel que :
\[ (\forall n\geq N) \qquad u_n=u_N. \]À partir du rang \(N\), tous les termes de la suite sont égaux à la constante \(u_N\). Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=u_N. \]La suite \((u_n)\) est donc convergente.
Réciproquement : une suite convergente à valeurs entières est stationnaire.
Supposons que la suite \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
En prenant :
\[ \varepsilon=\frac12, \]il existe un entier \(N\in\mathbb N\) tel que, pour tout \(n\geq N\) :
\[ |u_n-\ell|<\frac12. \]Soient \(n\geq N\) et \(p\geq N\). D’après l’inégalité triangulaire :
\[ \begin{aligned} |u_n-u_p| &\leq |u_n-\ell|+|u_p-\ell|\\ &<\frac12+\frac12\\ &=1. \end{aligned} \]Or \(u_n\) et \(u_p\) sont des entiers. Leur différence \(u_n-u_p\) est donc également un entier.
Deux entiers distincts sont séparés d’au moins \(1\). Ainsi, l’inégalité :
\[ |u_n-u_p|<1 \]impose :
\[ u_n-u_p=0. \]Donc :
\[ u_n=u_p. \]En particulier, en prenant \(p=N\), on obtient :
\[ (\forall n\geq N) \qquad u_n=u_N. \]Pour tout triplet :
\[ (a;b;n)\in(\mathbb N^*)^3, \]on pose :
\[ P_n(x)= \frac1{n!}x^n(bx-a)^n \]et :
\[ I_n= \int_0^\pi P_n(x)\sin x\,dx. \]Montrer que, pour tout \((a;b;n)\in(\mathbb N^*)^3\), le polynôme \(P_n\) et ses dérivées successives prennent en \(0\) et en \(\dfrac ab\) des valeurs entières.
Lire la correction + Masquer la correction −
Fixons :
\[ (a;b;n)\in(\mathbb N^*)^3. \]D’après la formule du binôme de Newton :
\[ (bx-a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk (bx)^k(-a)^{n-k}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} P_n(x) &= \frac{x^n}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom nk b^kx^k(-a)^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-a)^{n-k}b^k} {k!(n-k)!} x^{n+k}. \end{aligned} \]Soit \(r\in\mathbb N\).
Si \(r\notin\{n;n+1;\ldots;2n\}\), alors :
\[ P_n^{(r)}(0)=0. \]Si \(r=n+k\), avec \(k\in\{0;1;\ldots;n\}\), seul le terme en \(x^{n+k}\) donne une valeur non nulle en \(0\). On obtient :
\[ P_n^{(n+k)}(0) = \frac{(n+k)!} {k!(n-k)!} (-a)^{n-k}b^k. \]Les nombres \(a\), \(b\), \(n\) et \(k\) étant entiers, on a :
\[ \frac{(n+k)!}{k!(n-k)!} = \binom{n+k}{k} \frac{n!}{(n-k)!} \in\mathbb N. \]Par conséquent :
\[ P_n^{(r)}(0)\in\mathbb Z \qquad \text{pour tout }r\in\mathbb N. \]Étudions maintenant les valeurs prises en \(\dfrac ab\).
Pour tout réel \(x\) :
\[ \begin{aligned} P_n\left(\frac ab-x\right) &= \frac1{n!} \left(\frac ab-x\right)^n \left( b\left(\frac ab-x\right)-a \right)^n\\ &= \frac1{n!} \left(\frac{a-bx}{b}\right)^n (-bx)^n\\ &= \frac{(-1)^n}{n!} x^n(a-bx)^n\\ &= \frac1{n!} x^n(bx-a)^n\\ &= P_n(x). \end{aligned} \]Ainsi :
\[ P_n\left(\frac ab-x\right)=P_n(x). \]En dérivant cette égalité \(r\) fois, on obtient :
\[ (-1)^r P_n^{(r)} \left(\frac ab-x\right) = P_n^{(r)}(x). \]En prenant \(x=0\) :
\[ (-1)^r P_n^{(r)} \left(\frac ab\right) = P_n^{(r)}(0). \]Donc :
\[ P_n^{(r)} \left(\frac ab\right) = (-1)^rP_n^{(r)}(0). \]Comme \(P_n^{(r)}(0)\in\mathbb Z\), on en déduit :
\[ P_n^{(r)} \left(\frac ab\right) \in\mathbb Z. \]Montrer que, pour tout \((a;b)\in(\mathbb N^*)^2\) :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Fixons deux entiers \(a\in\mathbb N^*\) et \(b\in\mathbb N^*\).
Pour tout \(x\in[0;\pi]\), on a :
\[ |x|\leq\pi \]et :
\[ |bx-a| \leq bx+a \leq b\pi+a. \]Par conséquent :
\[ |x(bx-a)| \leq \pi(b\pi+a). \]Posons :
\[ A=\pi(b\pi+a)>0. \]Pour tout \(x\in[0;\pi]\) :
\[ \begin{aligned} |P_n(x)| &= \frac{|x(bx-a)|^n}{n!}\\ &\leq \frac{A^n}{n!}. \end{aligned} \]Comme \(0\leq\sin x\leq1\) sur \([0;\pi]\), l’inégalité triangulaire pour les intégrales donne :
\[ \begin{aligned} |I_n| &\leq \int_0^\pi |P_n(x)|\sin x\,dx\\ &\leq \int_0^\pi \frac{A^n}{n!}\,dx\\ &= \pi\frac{A^n}{n!}. \end{aligned} \]Montrons que :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{A^n}{n!}=0. \]Choisissons un entier \(N\) tel que :
\[ N>2A. \]Pour tout \(n\geq N\) :
\[ \begin{aligned} \frac{A^n}{n!} &= \frac{A^N}{N!} \frac{A}{N+1} \frac{A}{N+2} \cdots \frac{A}{n}. \end{aligned} \]Pour tout entier \(k\geq N+1\), on a :
\[ 0<\frac Ak<\frac12. \]Donc :
\[ 0\leq \frac{A^n}{n!} \leq \frac{A^N}{N!} \left(\frac12\right)^{n-N}. \]Le membre de droite tend vers \(0\). D’après le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{A^n}{n!}=0. \]On a ainsi :
\[ 0\leq|I_n| \leq \pi\frac{A^n}{n!}, \]et la borne supérieure tend vers \(0\).
Supposons qu’il existe deux entiers strictement positifs \(a\) et \(b\) tels que :
\[ \pi=\frac ab. \]Avec les notations de la question 2 a), montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ I_n\in\mathbb Z. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Supposons :
\[ \pi=\frac ab, \qquad a\in\mathbb N^*, \qquad b\in\mathbb N^*. \]Le polynôme \(P_n\) est de degré \(2n\). Il est donc dérivable autant de fois que nécessaire, et :
\[ P_n^{(r)}=0 \qquad \text{pour tout }r>2n. \]Pour tout \(m\in\{0;1;\ldots;n\}\), posons :
\[ J_m= \int_0^\pi P_n^{(2m)}(x)\sin x\,dx. \]Effectuons une première intégration par parties avec :
\[ U(x)=P_n^{(2m)}(x), \qquad V'(x)=\sin x. \]Alors :
\[ U'(x)=P_n^{(2m+1)}(x), \qquad V(x)=-\cos x. \]On obtient :
\[ \begin{aligned} J_m &= \left[ -P_n^{(2m)}(x)\cos x \right]_0^\pi\\ &\quad+ \int_0^\pi P_n^{(2m+1)}(x)\cos x\,dx. \end{aligned} \]Comme :
\[ \cos\pi=-1 \qquad\text{et}\qquad \cos0=1, \]le terme aux bornes vaut :
\[ P_n^{(2m)}(\pi)+P_n^{(2m)}(0). \]Effectuons une seconde intégration par parties dans l’intégrale restante :
\[ \begin{aligned} \int_0^\pi P_n^{(2m+1)}(x)\cos x\,dx &= \left[ P_n^{(2m+1)}(x)\sin x \right]_0^\pi\\ &\quad- \int_0^\pi P_n^{(2m+2)}(x)\sin x\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \sin0=\sin\pi=0. \]Le terme aux bornes est donc nul, et :
\[ \int_0^\pi P_n^{(2m+1)}(x)\cos x\,dx = -J_{m+1}. \]Par conséquent :
\[ J_m= P_n^{(2m)}(\pi) + P_n^{(2m)}(0) - J_{m+1}. \]En répétant cette relation à partir de \(J_0=I_n\), on obtient :
\[ \begin{aligned} I_n &= \sum_{m=0}^{n} (-1)^m \left( P_n^{(2m)}(\pi) + P_n^{(2m)}(0) \right), \end{aligned} \]car :
\[ P_n^{(2n+2)}=0. \]D’après la question 2 a), les nombres :
\[ P_n^{(2m)}(0) \qquad\text{et}\qquad P_n^{(2m)} \left(\frac ab\right) \]sont entiers.
Or \(\pi=\dfrac ab\). Donc :
\[ P_n^{(2m)}(\pi)\in\mathbb Z. \]L’intégrale \(I_n\) est ainsi une somme finie d’entiers.
En utilisant le résultat de la question 1, déduire une contradiction.
Lire la correction + Masquer la correction −
Nous avons supposé :
\[ \pi=\frac ab. \]Pour tout \(x\in]0;\pi[\), on a :
\[ x>0 \]et :
\[ bx-a=b(x-\pi)<0. \]Considérons les indices pairs. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ P_{2n}(x) = \frac1{(2n)!} x^{2n}(bx-a)^{2n}. \]Comme les deux puissances sont paires :
\[ P_{2n}(x)>0 \qquad \text{pour tout }x\in]0;\pi[. \]De plus :
\[ \sin x>0 \qquad \text{pour tout }x\in]0;\pi[. \]La fonction :
\[ x\longmapsto P_{2n}(x)\sin x \]est donc continue, positive sur \([0;\pi]\) et strictement positive sur \(]0;\pi[\).
Par conséquent :
\[ I_{2n} = \int_0^\pi P_{2n}(x)\sin x\,dx >0. \]Posons :
\[ v_n=I_{2n}. \]D’après la question 3 a) :
\[ v_n\in\mathbb Z. \]D’après la question 2 b) :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n = \lim_{n\to+\infty}I_{2n} = 0. \]La suite \((v_n)\) est donc une suite convergente à valeurs entières.
D’après la question 1, elle est stationnaire. Il existe donc \(N\in\mathbb N^*\) tel que :
\[ (\forall n\geq N) \qquad v_n=v_N. \]Comme la suite converge vers \(0\), sa valeur constante à partir du rang \(N\) doit être égale à \(0\). Ainsi :
\[ (\forall n\geq N) \qquad v_n=0. \]Mais nous avons démontré que :
\[ v_n=I_{2n}>0 \qquad \text{pour tout }n\in\mathbb N^*. \]Nous obtenons une contradiction.
L’hypothèse :
\[ \pi\in\mathbb Q \]est donc fausse.
Exercice 104
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un segment \([a;b]\) telles que :
\[ (\forall t\in[a;b]) \qquad g(t)\geq0 \]et :
\[ (\exists M\in\mathbb R_+^*) (\forall t\in[a;b]) \qquad |f(t)|\leq M. \]Montrer que :
\[ \left| \int_a^bf(t)g(t)\,dt \right| \leq M\int_a^bg(t)\,dt. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Pour tout \(t\in[a;b]\), l’inégalité :
\[ |f(t)|\leq M \]équivaut à :
\[ -M\leq f(t)\leq M. \]Comme \(g(t)\geq0\), la multiplication par \(g(t)\) conserve le sens des inégalités :
\[ -Mg(t) \leq f(t)g(t) \leq Mg(t). \]Les fonctions considérées sont continues sur \([a;b]\). En intégrant membre à membre :
\[ -M\int_a^bg(t)\,dt \leq \int_a^bf(t)g(t)\,dt \leq M\int_a^bg(t)\,dt. \]Par ailleurs, comme \(g(t)\geq0\) :
\[ \int_a^bg(t)\,dt\geq0. \]On en déduit :
Montrer qu’il existe \(c\in[a;b]\) tel que :
\[ \int_a^bf(t)g(t)\,dt = f(c)\int_a^bg(t)\,dt. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Posons :
\[ G=\int_a^bg(t)\,dt. \]Comme \(g(t)\geq0\) sur \([a;b]\), on a :
\[ G\geq0. \]Premier cas : \(G=0\).
D’après la question précédente :
\[ \left| \int_a^bf(t)g(t)\,dt \right| \leq MG=0. \]Donc :
\[ \int_a^bf(t)g(t)\,dt=0. \]Pour tout \(c\in[a;b]\) :
\[ f(c)G=f(c)\times0=0. \]L’égalité demandée est donc vérifiée pour n’importe quel réel \(c\in[a;b]\).
Deuxième cas : \(G>0\).
La fonction \(f\) est continue sur le segment \([a;b]\). Elle atteint donc son minimum et son maximum.
Posons :
\[ m_f=\min_{t\in[a;b]}f(t) \]et :
\[ M_f=\max_{t\in[a;b]}f(t). \]Pour tout \(t\in[a;b]\) :
\[ m_f\leq f(t)\leq M_f. \]Comme \(g(t)\geq0\), on obtient :
\[ m_fg(t) \leq f(t)g(t) \leq M_fg(t). \]En intégrant sur \([a;b]\) :
\[ m_fG \leq \int_a^bf(t)g(t)\,dt \leq M_fG. \]Comme \(G>0\), nous pouvons diviser par \(G\) :
\[ m_f \leq \frac{ \displaystyle\int_a^bf(t)g(t)\,dt }{ \displaystyle\int_a^bg(t)\,dt } \leq M_f. \]Posons :
\[ \mu= \frac{ \displaystyle\int_a^bf(t)g(t)\,dt }{ \displaystyle\int_a^bg(t)\,dt }. \]On a :
\[ \mu\in[m_f;M_f]. \]Comme \(f\) est continue sur \([a;b]\), elle prend toutes les valeurs comprises entre son minimum \(m_f\) et son maximum \(M_f\).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un réel \(c\in[a;b]\) tel que :
\[ f(c)=\mu. \]Ainsi :
\[ f(c) = \frac{ \displaystyle\int_a^bf(t)g(t)\,dt }{ \displaystyle\int_a^bg(t)\,dt }. \]En multipliant par \(\displaystyle\int_a^bg(t)\,dt\), on obtient :
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