Correction des exercices 14 à 16
Continuité, asymptote et dérivabilité — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Présentation :
Cette page propose une correction détaillée des exercices 14 à 16 du chapitre Logarithme népérien. Le bloc porte sur le prolongement par continuité, les asymptotes, la dérivabilité à droite et l’interprétation graphique.
Cette page propose une correction détaillée des exercices 14 à 16 du chapitre Logarithme népérien. Le bloc porte sur le prolongement par continuité, les asymptotes, la dérivabilité à droite et l’interprétation graphique.
Méthodes essentielles :
- Déterminer le domaine avant toute étude.
- Calculer une limite finie pour définir un prolongement par continuité.
- Étudier \(f(x)-(ax+b)\) pour établir une asymptote oblique.
- Calculer le taux d’accroissement pour étudier la dérivabilité en une borne.
- Interpréter les limites infinies par une asymptote verticale.
Exercice 14 Domaine, prolongement par continuité et limites
Énoncé
Soit :
\[
f(x)=\frac{1-2\ln x}{1-\ln x}.
\]
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\) et donner ce prolongement.
3. Calculer les limites en \(e^-\), en \(e^+\) et en \(+\infty\).
2. Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\) et donner ce prolongement.
3. Calculer les limites en \(e^-\), en \(e^+\) et en \(+\infty\).
1
Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition de :
\[
f(x)=\frac{1-2\ln x}{1-\ln x}.
\]
Correction
La présence de \(\ln x\) impose :
\[ x\gt0. \]Il faut également que le dénominateur soit non nul :
\[ 1-\ln x\neq0. \]Or :
\[ 1-\ln x=0 \iff \ln x=1 \iff x=e. \]Ainsi :
\[\boxed{D_f=]0,e[\cup]e,+\infty[}\]
2
Prolongement par continuité en \(0\)
Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\) et donner ce prolongement.
Correction
On transforme l’expression :
\[ 1-2\ln x = 2(1-\ln x)-1. \]Donc, pour \(x\in D_f\) :
\[ f(x) = 2-\frac1{1-\ln x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\to-\infty, \]donc :
\[ 1-\ln x\to+\infty \]et :
\[ \frac1{1-\ln x}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=2. \]On définit alors la fonction prolongée \(\widetilde f\) par :
\[ \widetilde f(x)= \begin{cases} \dfrac{1-2\ln x}{1-\ln x}, & x\gt0,\ x\neq e,\\[2mm] 2, & x=0. \end{cases} \]Ainsi, \(\widetilde f\) est continue à droite en \(0\).
\[\boxed{\widetilde f(0)=2}\]
3
Calcul des limites
Calculer :
\[
\lim_{x\to e^-}f(x),
\qquad
\lim_{x\to e^+}f(x),
\qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x).
\]
Correction
On utilise :
\[ f(x)=2-\frac1{1-\ln x}. \]Au voisinage de \(e\) à gauche :
\[ x\to e^- \implies 1-\ln x\to0^+. \]Donc :
\[ -\frac1{1-\ln x}\to-\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to e^-}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(e\) à droite :
\[ x\to e^+ \implies 1-\ln x\to0^-. \]Donc :
\[ -\frac1{1-\ln x}\to+\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to e^+}f(x)=+\infty. \]Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ \ln x\to+\infty \implies \frac1{1-\ln x}\to0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=2. \]
\[
\boxed{
\lim_{x\to e^-}f(x)=-\infty,\quad
\lim_{x\to e^+}f(x)=+\infty,\quad
\lim_{x\to+\infty}f(x)=2
}
\]
Exercice 15 Asymptote oblique
Énoncé
On considère :
\[
f(x)=2x-x\ln\left(1+\frac2x\right).
\]
Montrer que la droite \(\mathcal D\) d’équation
\(y=2(x-1)\) est une asymptote oblique à la courbe
représentative de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
1
Asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\)
On considère :
\[
f(x)=2x-x\ln\left(1+\frac2x\right).
\]
Montrer que la droite \(\mathcal D\) d’équation :
\[
y=2(x-1)
\]
est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction
Il suffit de montrer que :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left[ f(x)-2(x-1) \right] =0. \]On calcule :
\[ \begin{aligned} f(x)-2(x-1) &= 2x-x\ln\left(1+\frac2x\right)-2x+2\\ &= 2-x\ln\left(1+\frac2x\right). \end{aligned} \]Posons :
\[ u=\frac2x. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0^+\) et \(x=\dfrac2u\). Ainsi :
\[ x\ln\left(1+\frac2x\right) = 2\frac{\ln(1+u)}u. \]Or la limite usuelle donne :
\[ \frac{\ln(1+u)}u\to1. \]Donc :
\[ x\ln\left(1+\frac2x\right)\to2. \]Par conséquent :
\[ f(x)-2(x-1)\to0. \]
\[
\boxed{
\mathcal D:\ y=2(x-1)
\text{ est une asymptote oblique à }\mathcal C
\text{ au voisinage de }+\infty
}
\]
Exercice 16 Continuité, dérivabilité et interprétation graphique
Énoncé
On considère :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1{\ln x}-\dfrac1{(\ln x)^2}, & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm]
0, & x=0.
\end{cases}
\]
1. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
2. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat.
3. Calculer les limites en \(1^-\) et en \(1^+\), puis interpréter graphiquement les résultats.
2. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat.
3. Calculer les limites en \(1^-\) et en \(1^+\), puis interpréter graphiquement les résultats.
1
Continuité à droite en \(0\)
On considère la fonction :
\[
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1{\ln x}-\dfrac1{(\ln x)^2}, & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm]
0, & x=0.
\end{cases}
\]
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
Correction
Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\to-\infty. \]Par conséquent :
\[ \frac1{\ln x}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{(\ln x)^2}\to0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Or :
\[ f(0)=0. \]Ainsi :
\[\boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=0}\]
2
Dérivabilité à droite en \(0\)
Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat.
Correction
Le taux d’accroissement à droite en \(0\) est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac1{x\ln x} - \frac1{x(\ln x)^2}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on utilise les limites usuelles :
\[ x\ln x\to0^- \]et :
\[ x(\ln x)^2\to0^+. \]Ainsi :
\[ \frac1{x\ln x}\to-\infty \]et :
\[ -\frac1{x(\ln x)^2}\to-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}x = -\infty. \]La fonction n’est donc pas dérivable à droite en \(0\) au sens usuel. Graphiquement, la courbe admet au point \(O(0,0)\) une demi-tangente verticale d’équation :
\[ x=0. \]
\[
\boxed{
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=-\infty
\quad\Longrightarrow\quad
\text{demi-tangente verticale }x=0
}
\]
3
Limites au voisinage de \(1\)
Calculer :
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to1^+}f(x),
\]
puis interpréter graphiquement les résultats.
Correction
On met l’expression sous une seule fraction :
\[ f(x) = \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \]Lorsque \(x\to1^-\) ou \(x\to1^+\), on a :
\[ \ln x\to0, \]donc :
\[ \ln x-1\to-1 \]et :
\[ (\ln x)^2\to0^+. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Graphiquement, la droite d’équation :
\[ x=1 \]est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\). Les deux branches de la courbe descendent vers \(-\infty\) de part et d’autre de cette droite.
\[
\boxed{
\lim_{x\to1^-}f(x)
=
\lim_{x\to1^+}f(x)
=
-\infty
\quad\Longrightarrow\quad
x=1\text{ asymptote verticale}
}
\]
Représentation graphique indicative : la courbe arrive en \(O(0,0)\)
avec une demi-tangente verticale et admet la droite \(x=1\)
comme asymptote verticale.
Méthodes à retenir
- Un prolongement par continuité en \(a\) est possible lorsque la limite en \(a\) existe et est finie.
- Une droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique lorsque \(f(x)-(ax+b)\to0\).
- Une limite infinie du taux d’accroissement correspond à une demi-tangente verticale.
- Si les limites de part et d’autre d’un réel valent \(\pm\infty\), la droite verticale correspondante est une asymptote.
- La figure doit confirmer l’interprétation obtenue par le calcul, sans remplacer la démonstration.
Préparé par :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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