Correction des exercices 14 à 16 — Logarithme népérien
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 14 à 16 font passer l’étude du logarithme népérien du simple calcul de limites à l’étude qualitative d’une fonction. Il faut ici déterminer correctement un domaine de définition, construire un prolongement par continuité, reconnaître des asymptotes et interpréter graphiquement une limite de taux d’accroissement. Le logarithme intervient donc à la fois par ses conditions d’existence, ses limites aux bornes de son domaine et la limite fondamentale de \(\dfrac{\ln(1+u)}u\). L’objectif est de comprendre que chaque conclusion graphique — asymptote horizontale, verticale, oblique ou demi-tangente verticale — doit être précédée d’un calcul précis. Les corrections existantes sont conservées dans leur méthode et dans leur ordre, tout en explicitant les propriétés utilisées.
Avant toute étude d’une expression contenant \(\ln x\), on vérifie que \(x\gt0\). Lorsqu’un logarithme apparaît au dénominateur, les valeurs qui annulent ce dénominateur doivent également être retirées du domaine.
Pour prolonger une fonction par continuité en une borne \(a\), on cherche une limite finie \(L\) et on attribue au prolongement la valeur \(L\) en \(a\).
Pour une droite \(\mathcal D:y=ax+b\), le critère utilisé dans l’exercice 15 est :
\[ f(x)-(ax+b)\longrightarrow0. \]Enfin, une limite infinie du taux d’accroissement à droite en un point traduit graphiquement une demi-tangente verticale. Une limite infinie de \(f\) lorsque \(x\) tend vers un réel \(a\) conduit, elle, à une asymptote verticale d’équation \(x=a\).
Dans l’exercice 14, la transformation algébrique de \(f\) simplifie simultanément l’étude en \(0\), en \(e\) et en \(+\infty\). Dans l’exercice 15, on ne cherche pas séparément les coefficients de l’asymptote puisque la droite est donnée : il suffit d’étudier directement la différence. Dans l’exercice 16, on revient à la définition du taux d’accroissement, puis on interprète la limite obtenue. À chaque étape, le calcul précède donc l’interprétation graphique.
Exercice 14 — Domaine, prolongement par continuité et limites
Soit :
\[ f(x)=\frac{1-2\ln x}{1-\ln x}. \]
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2. Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\) et donner ce prolongement.
3. Calculer les limites en \(e^-\), en \(e^+\) et en \(+\infty\).
1. Domaine de définition
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Deux conditions doivent être vérifiées. Tout d’abord, \(\ln x\) n’existe que pour \(x\gt0\). Ensuite, puisque l’expression est un quotient, son dénominateur doit être différent de zéro.
La présence de \(\ln x\) impose :
\[ x\gt0. \]Il faut également que le dénominateur soit non nul :
\[ 1-\ln x\neq0. \]Or :
\[ 1-\ln x=0 \iff \ln x=1 \iff x=e. \]La valeur \(e\) doit donc être retirée de l’ensemble \(]0,+\infty[\).
Ainsi :
2. Prolongement par continuité en \(0\)
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Comme \(f\) n’est définie que pour \(x\gt0\) au voisinage de \(0\), il faut étudier la limite à droite. La correction transforme d’abord \(f\) afin d’isoler un terme dont la limite est immédiate.
On transforme l’expression :
\[ 1-2\ln x = 2(1-\ln x)-1. \]Donc, pour \(x\in D_f\) :
\[ f(x) = 2-\frac1{1-\ln x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\to-\infty, \]donc :
\[ 1-\ln x\to+\infty \]et :
\[ \frac1{1-\ln x}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=2. \]La limite étant finie, on peut attribuer cette valeur à la fonction au point \(0\).
On définit alors la fonction prolongée \(\widetilde f\) par :
\[ \widetilde f(x)= \begin{cases} \dfrac{1-2\ln x}{1-\ln x}, & x\gt0,\ x\neq e,\\[2mm] 2, & x=0. \end{cases} \]Ainsi, \(\widetilde f\) est continue à droite en \(0\).
3. Calcul des limites
Afficher la correction
La forme obtenue à la question précédente est particulièrement adaptée :
\[ f(x)=2-\frac1{1-\ln x}. \]Au voisinage de \(e\), il faut être attentif au signe de \(1-\ln x\), car ce signe détermine celui de l’infini obtenu.
Au voisinage de \(e\) à gauche :
\[ x\to e^- \implies 1-\ln x\to0^+. \]Donc :
\[ -\frac1{1-\ln x}\to-\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to e^-}f(x)=-\infty. \]Au voisinage de \(e\) à droite :
\[ x\to e^+ \implies 1-\ln x\to0^-. \]Donc :
\[ -\frac1{1-\ln x}\to+\infty, \]d’où :
\[ \lim_{x\to e^+}f(x)=+\infty. \]Au voisinage de \(+\infty\) :
\[ \ln x\to+\infty \implies \frac1{1-\ln x}\to0. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=2. \]Exercice 15 — Asymptote oblique
On considère :
\[ f(x)=2x-x\ln\left(1+\frac2x\right). \]Montrer que la droite \(\mathcal D\) d’équation \(y=2(x-1)\) est une asymptote oblique à la courbe représentative de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
Asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\)
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La droite étant donnée dans l’énoncé, il n’est pas nécessaire de rechercher ses coefficients. On applique directement le critère d’une asymptote oblique. De plus, au voisinage de \(+\infty\), on a \(x\gt0\), donc \(1+\dfrac2x\gt0\) : le logarithme est bien défini.
Il suffit de montrer que :
\[ \lim_{x\to+\infty} \left[ f(x)-2(x-1) \right] =0. \]On calcule :
\[ \begin{aligned} f(x)-2(x-1) &= 2x-x\ln\left(1+\frac2x\right)-2x+2\\ &= 2-x\ln\left(1+\frac2x\right). \end{aligned} \]Posons :
\[ u=\frac2x. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0^+\) et \(x=\dfrac2u\). Ainsi :
\[ x\ln\left(1+\frac2x\right) = 2\frac{\ln(1+u)}u. \]Or la limite usuelle donne :
\[ \frac{\ln(1+u)}u\to1. \]Donc :
\[ x\ln\left(1+\frac2x\right)\to2. \]Par conséquent :
\[ f(x)-2(x-1)\to0. \]Exercice 16 — Continuité, dérivabilité et interprétation graphique
On considère :
\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac1{\ln x}-\dfrac1{(\ln x)^2}, & x\gt0,\ x\neq1,\\[2mm] 0, & x=0. \end{cases} \]
1. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
2. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat.
3. Calculer les limites en \(1^-\) et en \(1^+\), puis interpréter graphiquement les résultats.
1. Continuité à droite en \(0\)
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La fonction n’est définie que du côté droit de \(0\) au voisinage de ce point. Pour vérifier la continuité à droite, il faut donc comparer \(\lim_{x\to0^+}f(x)\) à la valeur déjà donnée \(f(0)=0\).
Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\to-\infty. \]Par conséquent :
\[ \frac1{\ln x}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac1{(\ln x)^2}\to0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Or :
\[ f(0)=0. \]Ainsi :
2. Dérivabilité à droite en \(0\)
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La dérivabilité à droite se teste à partir du taux d’accroissement. Pour qu’une dérivée réelle existe, cette limite doit être finie.
Le taux d’accroissement à droite en \(0\) est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac1{x\ln x} - \frac1{x(\ln x)^2}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on utilise les limites usuelles :
\[ x\ln x\to0^- \]et :
\[ x(\ln x)^2\to0^+. \]Ainsi :
\[ \frac1{x\ln x}\to-\infty \]et :
\[ -\frac1{x(\ln x)^2}\to-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-f(0)}x = -\infty. \]La limite n’étant pas un réel fini, la fonction n’est donc pas dérivable à droite en \(0\) au sens usuel. Cette limite infinie possède cependant une interprétation géométrique précise.
Graphiquement, la courbe admet au point \(O(0,0)\) une demi-tangente verticale d’équation :
\[ x=0. \]3. Limites au voisinage de \(1\)
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Lorsque \(x\to1\), on a \(\ln x\to0\). Mettre les deux fractions sous un même dénominateur permet de déterminer immédiatement le signe du quotient.
On met l’expression sous une seule fraction :
\[ f(x) = \frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}. \]Lorsque \(x\to1^-\) ou \(x\to1^+\), on a :
\[ \ln x\to0, \]donc :
\[ \ln x-1\to-1 \]et :
\[ (\ln x)^2\to0^+. \]Le numérateur tend donc vers un réel strictement négatif, tandis que le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs strictement positives.
Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty. \]Graphiquement, la droite d’équation :
\[ x=1 \]est une asymptote verticale à la courbe représentative de \(f\). Les deux branches de la courbe descendent vers \(-\infty\) de part et d’autre de cette droite.
À retenir
Ces trois exercices illustrent plusieurs étapes essentielles d’une étude de fonction logarithmique. Le domaine doit toujours être établi avant les calculs : l’argument du logarithme doit être positif et les dénominateurs doivent rester non nuls. Un prolongement par continuité consiste ensuite à ajouter à une borne une valeur égale à une limite finie. Pour les asymptotes, l’interprétation graphique repose sur des critères calculatoires précis : une limite infinie au voisinage d’un réel produit une asymptote verticale, tandis que \(f(x)-(ax+b)\to0\) établit une asymptote oblique. Enfin, l’étude du taux d’accroissement reste indispensable pour la dérivabilité en une borne ; lorsqu’il tend vers l’infini, on obtient une demi-tangente verticale plutôt qu’une dérivée réelle finie. Dans tous les cas, le résultat graphique est donc la conséquence du calcul, et non son remplacement.
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