Correction du Devoir 5 de Calcul intégral

Al Moufid - 2e Bac Sciences Mathématiques - Encadrement logarithmique et intégrale à paramètre

On établit d'abord un encadrement de \(\ln(n+x)\), puis on l'intègre pour encadrer \(I_n(a)\) avant d'étudier ses variations suivant le paramètre \(a\).

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Question 1 Question 2 Question 3

Devoir 5

Définition

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\) et tout \(a\in\mathbb R_+^*\), on pose :

\[ I_n(a)=\int_0^a e^{-nx}\ln(n+x)\,dx. \]

Question 1

Établir l'encadrement :

\[ (\forall x\in\mathbb R_+^*) (\forall n\in\mathbb N^*) \qquad \ln n \leq \ln(n+x) \leq \ln n+\frac xn. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soient \(x>0\) et \(n\in\mathbb N^*\).

Comme :

\[ n+x\geq n>0 \]

et que la fonction logarithme népérien est croissante sur \(\mathbb R_+^*\), on obtient :

\[ \ln(n+x)\geq\ln n. \]

Pour établir la seconde inégalité, on écrit :

\[ \begin{aligned} \ln(n+x)-\ln n &= \ln\left(\frac{n+x}{n}\right)\\ &= \ln\left(1+\frac xn\right). \end{aligned} \]

Montrons que, pour tout \(u\geq0\) :

\[ \ln(1+u)\leq u. \]

Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb R_+\) par :

\[ \varphi(u)=u-\ln(1+u). \]

Elle est dérivable et :

\[ \begin{aligned} \varphi'(u) &= 1-\frac1{1+u}\\ &= \frac{u}{1+u}\geq0. \end{aligned} \]

La fonction \(\varphi\) est donc croissante sur \(\mathbb R_+\). Comme :

\[ \varphi(0)=0, \]

on a, pour tout \(u\geq0\) :

\[ \varphi(u)\geq0, \]

c'est-à-dire :

\[ \ln(1+u)\leq u. \]

En prenant :

\[ u=\frac xn\geq0, \]

on obtient :

\[ \ln\left(1+\frac xn\right) \leq \frac xn. \]

Donc :

\[ \ln(n+x)-\ln n \leq \frac xn. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{ \ln n \leq \ln(n+x) \leq \ln n+\frac xn }. \]

Question 2

Trouver alors un encadrement de \(I_n(a)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\in[0;a]\), la question précédente donne :

\[ \ln n \leq \ln(n+x) \leq \ln n+\frac xn. \]

Comme \(e^{-nx}>0\), on peut multiplier les trois membres par \(e^{-nx}\) sans changer le sens des inégalités :

\[ e^{-nx}\ln n \leq e^{-nx}\ln(n+x) \leq e^{-nx}\ln n+\frac xn e^{-nx}. \]

En intégrant entre \(0\) et \(a\), on obtient :

\[ \ln n\int_0^a e^{-nx}\,dx \leq I_n(a) \leq \ln n\int_0^a e^{-nx}\,dx + \frac1n\int_0^a xe^{-nx}\,dx. \]

Calculons la première intégrale :

\[ \begin{aligned} \int_0^a e^{-nx}\,dx &= \left[-\frac1n e^{-nx}\right]_0^a\\ &= \frac{1-e^{-na}}n. \end{aligned} \]

Calculons maintenant :

\[ A=\int_0^a xe^{-nx}\,dx \]

par intégration par parties.

\[ u(x)=x, \qquad u'(x)=1, \qquad v'(x)=e^{-nx}, \qquad v(x)=-\frac1n e^{-nx}. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} A &= \left[-\frac xn e^{-nx}\right]_0^a + \frac1n\int_0^a e^{-nx}\,dx\\ &= -\frac an e^{-na} + \frac{1-e^{-na}}{n^2}. \end{aligned} \]

Par conséquent :

\[ \frac1nA = -\frac{a}{n^2}e^{-na} + \frac{1-e^{-na}}{n^3}. \]

En remplaçant dans l'encadrement précédent, on obtient :

\[ \boxed{ \frac{\ln n}{n} \left(1-e^{-na}\right) \leq I_n(a) \leq \frac{\ln n}{n} \left(1-e^{-na}\right) + \frac{1-e^{-na}}{n^3} - \frac{a}{n^2}e^{-na} }. \]

Question 3

Montrer que la fonction :

\[ a\longmapsto I_n(a) \]

est croissante sur \(\mathbb R_+^*\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Fixons \(n\in\mathbb N^*\).

La fonction :

\[ x\longmapsto e^{-nx}\ln(n+x) \]

est continue sur \(\mathbb R_+\). Par conséquent, la fonction :

\[ I_n(a) = \int_0^a e^{-nx}\ln(n+x)\,dx \]

est dérivable sur \(\mathbb R_+^*\), et le théorème fondamental du calcul intégral donne :

\[ I_n'(a) = e^{-na}\ln(n+a). \]

Pour tout \(a>0\), on a :

\[ e^{-na}>0. \]

De plus, puisque \(n\geq1\) et \(a>0\) :

\[ n+a>1, \]

d'où :

\[ \ln(n+a)>0. \]

Par conséquent :

\[ I_n'(a)>0 \qquad \text{pour tout }a\in\mathbb R_+^*. \]

\[ \boxed{ a\longmapsto I_n(a) \text{ est strictement croissante sur } \mathbb R_+^* }. \]

Méthode à retenir : un encadrement ponctuel d'une fonction positive peut être intégré membre à membre. Pour étudier les variations d'une intégrale dont la borne supérieure est variable, on dérive cette intégrale à l'aide du théorème fondamental du calcul intégral.

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