Correction du Problème 2 de Calcul intégral

Al Moufid - 2e Bac Sciences Mathématiques - Examen National 2004, session normale

Ce problème étudie une fonction logarithmique possédant une propriété de symétrie, sa primitive définie par une intégrale, puis une suite récurrente.

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Première partie - Étude de la fonction \(f\)

Question 1.a Question 1.b Question 2.a Question 2.b Question 2.c Question 2.d

Deuxième partie - Étude de la fonction \(F\)

Question 1.a Question 1.b Question 1.c Question 2.a Question 2.b

Troisième partie - Suite récurrente

Question 1.a Question 1.b Question 1.c Question 2.a Question 2.b Question 2.c

Première partie - Étude de la fonction \(f\)

Définition

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ \begin{cases} \displaystyle f(x)=\frac{-x\ln x}{1+x^2} &\text{si }x>0,\\[6pt] f(0)=0. \end{cases} \]

Question 1.a

Montrer que la fonction \(f\) est continue sur \(]0;+\infty[\) et à droite en \(0\).

On admet dans la suite que \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \(]0;+\infty[\), les fonctions :

\[ x\longmapsto -x\ln x \qquad\text{et}\qquad x\longmapsto1+x^2 \]

sont continues.

De plus :

\[ 1+x^2>0. \]

La fonction :

\[ f(x)=\frac{-x\ln x}{1+x^2} \]

est donc continue sur \(]0;+\infty[\).

Étudions maintenant la continuité à droite en \(0\). Pour \(0 \[ 0\leq f(x) = \frac{-x\ln x}{1+x^2} \leq -x\ln x. \]

Or :

\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]

Comme \(f(0)=0\), on obtient :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0) }. \] La fonction \(f\) est donc continue à droite en \(0\).

Question 1.b

Étudier le signe de \(f(x)\) sur \([0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\), on a :

\[ x>0 \qquad\text{et}\qquad 1+x^2>0. \]

Le signe de \(f(x)\) est donc celui de \(-\ln x\).

Si \(0 \[ f(x)>0. \]

Si \(x=1\), alors :

\[ f(1)=0. \]

Si \(x>1\), alors \(\ln x>0\), donc :

\[ f(x)<0. \]

De plus, \(f(0)=0\). Finalement :

\[ \boxed{ \begin{aligned} &f(0)=f(1)=0,\\ &f(x)>0 \quad\text{sur } ]0;1[,\\ &f(x)<0 \quad\text{sur } ]1;+\infty[. \end{aligned} } \]

Question 2.a

Montrer que :

\[ (\forall x\in\mathbb R_+^*) \qquad f\left(\frac1x\right)=-f(x). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(x>0\). On a :

\[ \begin{aligned} f\left(\frac1x\right) &= \frac{ -\dfrac1x\ln\left(\dfrac1x\right) }{ 1+\dfrac1{x^2} }\\[6pt] &= \frac{ \dfrac{\ln x}{x} }{ \dfrac{x^2+1}{x^2} }\\[6pt] &= \frac{x\ln x}{1+x^2}. \end{aligned} \]

Or :

\[ -f(x)=\frac{x\ln x}{1+x^2}. \]

\[ \boxed{ f\left(\frac1x\right)=-f(x) }. \]

Question 2.b

Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \(]0;+\infty[\), les fonctions :

\[ x\longmapsto -x\ln x \qquad\text{et}\qquad x\longmapsto1+x^2 \]

sont dérivables et \(1+x^2\neq0\).

La fonction \(f\) est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\).

Calculons sa dérivée. Posons :

\[ u(x)=-x\ln x \qquad\text{et}\qquad v(x)=1+x^2. \]

Alors :

\[ u'(x)=-(\ln x+1) \qquad\text{et}\qquad v'(x)=2x. \]

Ainsi :

\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{ -(\ln x+1)(1+x^2) +2x^2\ln x }{ (1+x^2)^2 }\\[4pt] &= \frac{ (x^2-1)\ln x-(1+x^2) }{ (1+x^2)^2 }. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f'(x) = \frac{ (x^2-1)\ln x-(1+x^2) }{ (1+x^2)^2 } \quad(x>0) }. \]

Question 2.c

Montrer qu'il existe un réel :

\[ \alpha\in]0;1[ \]

tel que :

\[ f'(\alpha)=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(f\) est continue sur \([0;1]\) et dérivable sur \(]0;1[\).

De plus :

\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(1)=0. \]

Toutes les hypothèses du théorème de Rolle sont donc vérifiées sur \([0;1]\).

Il existe alors un réel :

\[ \alpha\in]0;1[ \]

tel que :

\[ \boxed{f'(\alpha)=0}. \]

Question 2.d

En déduire que :

\[ f'\left(\frac1\alpha\right)=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x>0\), on a :

\[ f\left(\frac1x\right)=-f(x). \]

Les deux membres sont dérivables sur \(]0;+\infty[\). En dérivant par rapport à \(x\), on obtient :

\[ -\frac1{x^2} f'\left(\frac1x\right) = -f'(x). \]

Donc :

\[ f'\left(\frac1x\right) = x^2f'(x). \]

En prenant \(x=\alpha\), on obtient :

\[ f'\left(\frac1\alpha\right) = \alpha^2f'(\alpha). \]

Or \(f'(\alpha)=0\). Par conséquent :

\[ \boxed{ f'\left(\frac1\alpha\right)=0 }. \]

Deuxième partie - Étude de la fonction \(F\)

Définition

On considère la fonction \(F\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \]

On note \(\mathcal C_F\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Question 1.a

Vérifier que :

\[ (\forall t\in[1;+\infty[) \qquad \frac12 \leq \frac{t^2}{1+t^2} \leq1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(t\geq1\).

Comme :

\[ t^2\leq1+t^2, \]

on obtient :

\[ \frac{t^2}{1+t^2}\leq1. \]

D'autre part, \(t\geq1\) entraîne :

\[ t^2\geq1. \]

Donc :

\[ 2t^2\geq1+t^2. \]

En divisant par \(2(1+t^2)>0\) :

\[ \frac{t^2}{1+t^2}\geq\frac12. \]

\[ \boxed{ \frac12 \leq \frac{t^2}{1+t^2} \leq1 }. \]

Question 1.b

En déduire que, pour tout \(x\geq1\) :

\[ F(1)-\frac12(\ln x)^2 \leq F(x) \leq F(1)-\frac14(\ln x)^2. \]

On remarquera que :

\[ F(x) = \int_0^1f(t)\,dt - \int_1^x \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t}\,dt. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(t>0\) :

\[ f(t) = -\frac{t\ln t}{1+t^2} = - \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t}. \]

Pour \(x\geq1\), on a donc :

\[ \begin{aligned} F(x) &= \int_0^1f(t)\,dt + \int_1^xf(t)\,dt\\ &= F(1) - \int_1^x \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t}\,dt. \end{aligned} \]

Pour \(t\in[1;x]\), on a :

\[ \frac12 \leq \frac{t^2}{1+t^2} \leq1 \]

et :

\[ \frac{\ln t}{t}\geq0. \]

Par conséquent :

\[ \frac12\frac{\ln t}{t} \leq \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t} \leq \frac{\ln t}{t}. \]

En intégrant entre \(1\) et \(x\) :

\[ \frac12 \int_1^x\frac{\ln t}{t}\,dt \leq \int_1^x \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t}\,dt \leq \int_1^x\frac{\ln t}{t}\,dt. \]

Or :

\[ \int_1^x\frac{\ln t}{t}\,dt = \left[ \frac12(\ln t)^2 \right]_1^x = \frac12(\ln x)^2. \]

Donc :

\[ \frac14(\ln x)^2 \leq \int_1^x \left( \frac{t^2}{1+t^2} \right) \frac{\ln t}{t}\,dt \leq \frac12(\ln x)^2. \]

En soustrayant les trois membres à \(F(1)\), les inégalités s'inversent :

\[ \boxed{ F(1)-\frac12(\ln x)^2 \leq F(x) \leq F(1)-\frac14(\ln x)^2 }. \]

Question 1.c

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}F(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x, \]

puis interpréter graphiquement les résultats obtenus.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\geq1\) :

\[ F(1)-\frac12(\ln x)^2 \leq F(x) \leq F(1)-\frac14(\ln x)^2. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), les deux membres encadrants tendent vers \(-\infty\). Ainsi :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}F(x)=-\infty }. \]

Divisons maintenant l'encadrement par \(x>0\) :

\[ \frac{F(1)}x - \frac{(\ln x)^2}{2x} \leq \frac{F(x)}x \leq \frac{F(1)}x - \frac{(\ln x)^2}{4x}. \]

Or :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(1)}x=0 \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=0. \]

Le théorème d'encadrement donne :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 }. \]

Comme :

\[ F(x)\to-\infty \qquad\text{et}\qquad \frac{F(x)}x\to0, \]

la courbe \(\mathcal C_F\) admet, au voisinage de \(+\infty\) :

\[ \boxed{ \text{une branche parabolique de direction l'axe des abscisses} }. \]

Question 2.a

Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R_+^*\), puis calculer \(F'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\).

D'après le théorème fondamental du calcul intégral, la fonction :

\[ F(x)=\int_0^xf(t)\,dt \]

est dérivable sur \(]0;+\infty[\), et :

\[ F'(x)=f(x). \]

Par conséquent, pour tout \(x>0\) :

\[ \boxed{ F'(x) = -\frac{x\ln x}{1+x^2} }. \]

Question 2.b

Étudier les variations de la fonction \(F\) sur \(\mathbb R_+^*\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x>0\) :

\[ F'(x)=f(x). \]

D'après l'étude du signe de \(f\) :

\[ F'(x)>0 \quad\text{sur } ]0;1[, \] \[ F'(1)=0, \] \[ F'(x)<0 \quad\text{sur } ]1;+\infty[. \]

La fonction \(F\) est donc strictement croissante sur \([0;1]\), puis strictement décroissante sur \([1;+\infty[\).

De plus :

\[ F(0)=0, \qquad F(1)=\int_0^1f(t)\,dt>0 \]

et :

\[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=-\infty. \]

\(x\)	\(0\)	\(]0;1[\)	\(1\)	\(]1;+\infty[\)	\(+\infty\)
\(F'(x)\)		+	\(0\)	−
\(F(x)\)	\(0\)	↗	\(F(1)\)	↘	\(-\infty\)

\[ \boxed{ F\text{ admet son maximum en }x=1 }. \]

Troisième partie - Étude d'une suite récurrente

Question 1.a

Montrer que :

\[ (\forall t\in\mathbb R_+^*) \qquad -t\ln t\leq\frac1e. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Considérons la fonction \(\varphi\) définie sur \(]0;+\infty[\) par :

\[ \varphi(t)=-t\ln t. \]

Elle est dérivable et :

\[ \varphi'(t)=-(\ln t+1). \]

On a :

\[ \varphi'(t)>0 \iff \ln t<-1 \iff t<\frac1e, \]

et :

\[ \varphi'(t)<0 \iff t>\frac1e. \]

La fonction \(\varphi\) est donc croissante sur \(]0;\frac1e]\), puis décroissante sur \([\frac1e;+\infty[\).

Elle admet son maximum en \(t=\dfrac1e\). Or :

\[ \varphi\left(\frac1e\right) = -\frac1e\ln\left(\frac1e\right) = \frac1e. \]

\[ \boxed{ (\forall t>0) \qquad -t\ln t\leq\frac1e }. \]

Question 1.b

Montrer que :

\[ (\forall t\in\mathbb R_+^*) \qquad f(t)\leq\frac1e. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Premier cas : \(0

On a \(-t\ln t\geq0\) et \(1+t^2\geq1\). Donc :

\[ f(t) = \frac{-t\ln t}{1+t^2} \leq -t\ln t. \]

D'après la question précédente :

\[ -t\ln t\leq\frac1e. \]

Ainsi :

\[ f(t)\leq\frac1e. \]

Deuxième cas : \(t\geq1\).

On a \(\ln t\geq0\), donc :

\[ f(t)\leq0<\frac1e. \]

\[ \boxed{ (\forall t>0) \qquad f(t)\leq\frac1e }. \]

Question 1.c

En déduire que :

\[ (\forall x>0) \qquad F(x)

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(t>0\) :

\[ f(t)\leq\frac1e. \]

En intégrant entre \(0\) et \(x>0\), on obtient :

\[ \begin{aligned} F(x) &= \int_0^xf(t)\,dt\\ &\leq \int_0^x\frac1e\,dt\\ &= \frac xe. \end{aligned} \]

Or :

\[ \frac1e<1. \]

Donc, pour tout \(x>0\) :

\[ \boxed{ F(x)\leq\frac xe

Définition de la suite \((u_n)\)

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :

\[ u_0\in]0;1[ \]

et :

\[ (\forall n\in\mathbb N) \qquad u_{n+1}=F(u_n). \]

Question 2.a

Montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N) \qquad u_n\in]0;1[. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Montrons la propriété par récurrence.

Initialisation.

Par définition :

\[ u_0\in]0;1[. \]

La propriété est donc vraie au rang \(0\).

Hérédité.

Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\) :

\[ 0Pour tout \(t\in]0;u_n[\), on a \(0 \[ f(t)>0. \]

Par conséquent :

\[ u_{n+1} = F(u_n) = \int_0^{u_n}f(t)\,dt >0. \]

D'autre part, d'après la question 1.c :

\[ F(u_n)Donc :

\[ 0La propriété est vraie au rang \(n+1\).

\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N) \qquad u_n\in]0;1[ }. \]

Question 2.b

Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(u_n>0\).

D'après la question 1.c :

\[ F(u_n)Or :

\[ u_{n+1}=F(u_n). \]

Donc :

\[ u_{n+1}La suite \((u_n)\) est ainsi strictement décroissante.

De plus :

\[ u_n>0. \]

La suite est donc minorée par \(0\). Toute suite décroissante et minorée est convergente.

\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement décroissante et convergente} }. \]

Question 2.c

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La suite \((u_n)\) est convergente. Posons :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]

Comme \(u_n>0\), on a :

\[ \ell\geq0. \]

La fonction \(F\) est continue sur \([0;+\infty[\). En passant à la limite dans :

\[ u_{n+1}=F(u_n), \]

on obtient :

\[ \ell=F(\ell). \]

Supposons que \(\ell>0\). D'après la question 1.c :

\[ F(\ell)<\ell. \]

Ce résultat contredit l'égalité \(F(\ell)=\ell\).

Par conséquent :

\[ \ell=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 }. \]

Méthode à retenir : une relation fonctionnelle comme \(f\left(\dfrac1x\right)=-f(x)\) permet de transporter une propriété de dérivée d'un point vers son inverse. Pour une suite définie par \(u_{n+1}=F(u_n)\), l'inégalité \(0<F(x)<x\) assure à la fois la stabilité de l'intervalle, la décroissance et l'identification de la limite.

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