Correction du Problème 3 de Calcul intégral

Al Moufid - 2e Bac Sciences Mathématiques - Examen National 2014, session normale

Ce problème étudie une fonction prolongée par continuité en zéro, une fonction définie par une intégrale, puis une somme de Riemann.

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Question 1 Question 2.a Question 2.b Question 2.c Question 3

Problème 3

Définition de la fonction \(g\)

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ g(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac1{x^2}e^{-1/x}, &\text{si }x>0,\\[6pt] 0, &\text{si }x=0. \end{cases} \]

Question 1

Montrer que la fonction \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \(]0;+\infty[\), la fonction :

\[ g(x)=\frac1{x^2}e^{-1/x} \]

est continue comme produit et composée de fonctions continues.

Il reste à étudier la continuité à droite en \(0\). Posons :

\[ u=\frac1x. \]

Lorsque \(x\to0^+\), on a \(u\to+\infty\), et :

\[ g(x)=u^2e^{-u}=\frac{u^2}{e^u}. \]

Pour \(u>0\), l'inégalité \(e^y\geq1+y\) appliquée à \(y=\dfrac u3\) donne :

\[ e^{u/3}\geq1+\frac u3>\frac u3. \]

En élevant au cube :

\[ e^u>\frac{u^3}{27}. \]

Par conséquent :

\[ 0\leq\frac{u^2}{e^u}<\frac{27}{u}. \]

Or \(\dfrac{27}{u}\to0\) lorsque \(u\to+\infty\). Le théorème d'encadrement donne :

\[ \lim_{x\to0^+}g(x)=0. \]

Comme \(g(0)=0\), on obtient :

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}g(x)=g(0) } \] La fonction \(g\) est donc continue sur \([0;+\infty[\).

Définition de la fonction \(L\)

Pour tout \(x\in]0;+\infty[\), on pose :

\[ L(x)=\int_0^x g(t)\,dt. \]

Question 2.a

Calculer \(L(x)\) pour tout \(x\in]0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(x>0\). Pour tout \(t>0\), posons :

\[ H(t)=e^{-1/t}. \]

La fonction \(H\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), et :

\[ \begin{aligned} H'(t) &=e^{-1/t}\left(\frac1{t^2}\right)\\ &=\frac1{t^2}e^{-1/t}\\ &=g(t). \end{aligned} \]

Pour tout \(\varepsilon\in]0;x[\), on a donc :

\[ \begin{aligned} \int_{\varepsilon}^{x}g(t)\,dt &=\left[e^{-1/t}\right]_{\varepsilon}^{x}\\ &=e^{-1/x}-e^{-1/\varepsilon}. \end{aligned} \]

Lorsque \(\varepsilon\to0^+\), on a :

\[ \frac1\varepsilon\to+\infty \qquad\text{et}\qquad e^{-1/\varepsilon}\to0. \]

Comme \(g\) est continue sur \([0;x]\), on peut faire tendre \(\varepsilon\) vers \(0^+\). Il vient :

\[ \boxed{ L(x)=e^{-1/x} \qquad(x>0) }. \]

Question 2.b

Montrer que la fonction \(L\) est continue sur \(]0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

D'après la question précédente, pour tout \(x>0\) :

\[ L(x)=e^{-1/x}. \]

La fonction \(x\mapsto-\dfrac1x\) est continue sur \(]0;+\infty[\), et la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbb R\).

Par composition :

\[ \boxed{ L\text{ est continue sur } ]0;+\infty[ }. \]

Question 2.c

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+}L(x), \]

puis en déduire \(L(0)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x>0\) :

\[ L(x)=e^{-1/x}. \]

Lorsque \(x\to0^+\), on a :

\[ -\frac1x\to-\infty. \]

Par conséquent :

\[ \lim_{x\to0^+}L(x) = \lim_{x\to0^+}e^{-1/x} =0. \]

D'autre part, par définition naturelle de l'intégrale à borne variable :

\[ L(0)=\int_0^0g(t)\,dt=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}L(x)=0=L(0) }. \] La fonction \(L\) se prolonge donc continûment en \(0\) par \(L(0)=0\).

Question 3

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :

\[ s_n= \frac1n \sum_{p=0}^{n-1} g\left(\frac pn\right). \]

Montrer que la suite \((s_n)_{n\geq1}\) est convergente, puis préciser sa limite.

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(g\) est continue sur le segment \([0;1]\).

Pour chaque \(n\geq1\), partageons \([0;1]\) en \(n\) intervalles de même longueur :

\[ \left[ \frac pn;\frac{p+1}{n} \right], \qquad p=0,1,\ldots,n-1. \]

La longueur de chaque intervalle est :

\[ \Delta x=\frac1n. \]

La somme :

\[ s_n= \sum_{p=0}^{n-1} g\left(\frac pn\right)\frac1n \]

est donc la somme de Riemann à gauche associée à la fonction \(g\) sur \([0;1]\).

Par le théorème des sommes de Riemann :

\[ \lim_{n\to+\infty}s_n = \int_0^1g(t)\,dt. \]

Or :

\[ \int_0^1g(t)\,dt =L(1) =e^{-1}. \]

\[ \boxed{ (s_n)_{n\geq1}\text{ est convergente et } \lim_{n\to+\infty}s_n=\frac1e }. \]

Méthode à retenir : lorsqu'une fonction prend la forme \(\dfrac1{x^2}e^{-1/x}\), il faut reconnaître la dérivée de \(e^{-1/x}\). Une somme de la forme \(\dfrac1n\sum_{p=0}^{n-1}g\left(\dfrac pn\right)\) est une somme de Riemann sur \([0;1]\).

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