Correction détaillée du problème 3
Fonctions exponentielles et suites de solutions
Se préparer aux examens — Examen national 2012, session normale
Problème 3 Se préparer aux examens
Dans tout le problème, \(n\) est un entier naturel non nul. On considère :
\[ f_n(x)=x+\frac{e^{-x}}n, \qquad x\in\mathbb R. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f_n(x). \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Au voisinage de \(+\infty\).
\[ e^{-x}\longrightarrow0. \]Donc :
\[ f_n(x) = x+\frac{e^{-x}}n \longrightarrow+\infty. \]Au voisinage de \(-\infty\).
On factorise par \(e^{-x}\) :
\[ f_n(x) = e^{-x} \left( xe^x+\frac1n \right). \]Or :
\[ xe^x\longrightarrow0 \qquad(x\to-\infty), \]donc :
\[ xe^x+\frac1n \longrightarrow \frac1n>0. \]Comme \(e^{-x}\to+\infty\), on obtient :
Étudier la nature de la branche infinie de la courbe \(\mathcal C_n\) au voisinage de \(-\infty\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On sait que :
\[ f_n(x)\longrightarrow+\infty \qquad(x\to-\infty). \]Étudions le quotient :
\[ \frac{f_n(x)}x = 1+\frac{e^{-x}}{nx}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), le numérateur \(e^{-x}\) tend vers \(+\infty\), tandis que \(nx\lt0\). De plus, l’exponentielle domine \(|x|\), donc :
\[ \frac{e^{-x}}{nx}\longrightarrow-\infty. \]Ainsi :
\[ \frac{f_n(x)}x\longrightarrow-\infty. \]La courbe \(\mathcal C_n\) possède au voisinage de \(-\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Montrer que la droite \(\mathcal D\) d’équation \(y=x\) est une asymptote de \(\mathcal C_n\) au voisinage de \(+\infty\), puis déterminer leur position relative.
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On calcule :
\[ f_n(x)-x=\frac{e^{-x}}n. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{e^{-x}}n\longrightarrow0. \]Ainsi, la droite \(y=x\) est une asymptote oblique à \(\mathcal C_n\) au voisinage de \(+\infty\).
De plus :
\[ \frac{e^{-x}}n>0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R. \]La courbe \(\mathcal C_n\) est située strictement au-dessus de la droite \(\mathcal D\).
Calculer \(f_n'(x)\), puis dresser le tableau de variations de \(f_n\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
La fonction \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ f_n'(x) = 1-\frac{e^{-x}}n. \]Résolvons \(f_n'(x)=0\) :
\[ 1-\frac{e^{-x}}n=0 \iff e^{-x}=n \iff x=-\ln n. \]Si \(x\lt-\ln n\), alors \(e^{-x}\gt n\), donc :
\[ f_n'(x)\lt0. \]Si \(x\gt-\ln n\), alors \(e^{-x}\lt n\), donc :
\[ f_n'(x)\gt0. \]La valeur minimale est :
\[ \begin{aligned} f_n(-\ln n) &= -\ln n+\frac{e^{\ln n}}n\\ &= 1-\ln n. \end{aligned} \]\(f_n\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-\ln n]\), puis strictement croissante sur \([-\ln n;+\infty[\).
\[ \boxed{ \min_{\mathbb R}f_n=1-\ln n } \]Construire la courbe \(\mathcal C_3\).
On prendra :
\[ f_3(-1{,}5)\approx0, \qquad f_3(-0{,}6)\approx0, \qquad \ln3\approx1{,}1. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(n=3\) :
\[ f_3(x)=x+\frac{e^{-x}}3. \]La courbe possède les caractéristiques suivantes :
- branche parabolique de direction verticale au voisinage de \(-\infty\) ;
- asymptote oblique \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\) ;
- minimum pour \(x=-\ln3\approx-1{,}1\) ;
- valeur minimale : \(f_3(-\ln3)=1-\ln3\approx-0{,}1\) ;
- deux intersections avec l’axe des abscisses, près de \(-1{,}5\) et de \(-0{,}6\).
La courbe C₃ admet y = x comme asymptote à droite, possède un minimum en x = −ln 3, et coupe l’axe des abscisses près de −1,5 et de −0,6.
Montrer que, si \(n\ge3\), alors :
\[ \frac en\lt\ln n. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On utilise l’encadrement usuel \(e\lt3\). Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante :
\[ \ln e\lt\ln3, \]c’est-à-dire :
\[ 1\lt\ln3. \]Pour \(n\ge3\) :
\[ \ln n\ge\ln3>1 \]et :
\[ \frac en\le\frac e3\lt1. \]Montrer que, si \(n\ge3\), l’équation \(f_n(x)=0\) admet exactement deux solutions \(x_n\) et \(y_n\) telles que :
\[ x_n\le-\ln n \qquad\text{et}\qquad -\frac en\le y_n\le0. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Pour \(n\ge3\), on a :
\[ f_n(-\ln n)=1-\ln n\lt 0. \]D’autre part, \(f_n(x)\to+\infty\) aux deux extrémités de \(\mathbb R\).
Comme \(f_n\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-\ln n]\), elle y admet exactement une racine \(x_n\), avec :
\[ x_n\lt -\ln n. \]Comme \(f_n\) est strictement croissante sur \([-\ln n;+\infty[\), elle y admet exactement une seconde racine \(y_n\).
Encadrons cette seconde racine.
\[ f_n(0)=\frac1n>0. \]De plus :
\[ \begin{aligned} f_n\left(-\frac en\right) &= -\frac en + \frac{e^{e/n}}n\\ &= \frac{e^{e/n}-e}{n}. \end{aligned} \]Comme \(n\ge3\), on a \(\dfrac en\lt 1\), donc \(e^{e/n}\lt e\). Ainsi :
\[ f_n\left(-\frac en\right)\lt 0. \]Enfin, la question 5.a donne \(-\dfrac en>-\ln n\). L’intervalle \(\left[-\dfrac en;0\right]\) est donc contenu dans la branche croissante.
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}x_n \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}y_n. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
On a :
\[ x_n\le-\ln n. \]Or :
\[ -\ln n\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ x_n\longrightarrow-\infty. \]D’autre part :
\[ -\frac en\le y_n\le0. \]Comme :
\[ -\frac en\longrightarrow0, \]le théorème d’encadrement donne :
Soit \(g\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par :
\[ g(x)= \begin{cases} -1-x\ln x,&x\gt0,\\ -1,&x=0. \end{cases} \]Montrer que \(g\) est continue à droite en \(0\).
Lire la réponse +Masquer la réponse −
On sait que :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}g(x) = -1. \]Or :
\[ g(0)=-1. \]La fonction \(g\) est donc continue à droite en \(0\).
Vérifier que, pour tout \(n\ge3\) :
\[ g\left(-\frac1{x_n}\right) = \frac{\ln n}{x_n}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
Comme \(x_n\) est une racine de \(f_n\) :
\[ x_n+\frac{e^{-x_n}}n=0. \]Donc :
\[ e^{-x_n}=-nx_n. \]Comme \(x_n\lt 0\), le nombre \(-x_n\) est strictement positif. En prenant le logarithme :
\[ -x_n = \ln n+\ln(-x_n). \]Ainsi :
\[ -x_n-\ln(-x_n)=\ln n. \tag{1} \]Or :
\[ \begin{aligned} g\left(-\frac1{x_n}\right) &= -1 + \frac1{x_n} \ln\left(-\frac1{x_n}\right)\\ &= -1 - \frac{\ln(-x_n)}{x_n}\\ &= \frac{-x_n-\ln(-x_n)}{x_n}. \end{aligned} \]En utilisant (1) :
En déduire :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n}{x_n}. \]Lire la réponse +Masquer la réponse −
D’après la question 5.c :
\[ x_n\longrightarrow-\infty. \]Donc :
\[ -\frac1{x_n}\longrightarrow0^+. \]La continuité à droite de \(g\) en \(0\) donne :
\[ g\left(-\frac1{x_n}\right) \longrightarrow g(0)=-1. \]Or, d’après la question 6.b :
\[ g\left(-\frac1{x_n}\right) = \frac{\ln n}{x_n}. \]Méthodes et résultats essentiels
- Pour étudier les branches infinies, calculer d’abord les limites, puis comparer fₙ(x) à x et étudier le quotient fₙ(x)/x.
- Le nombre de solutions de fₙ(x)=0 se déduit des variations, du minimum 1−ln n et des limites aux deux extrémités.
- Pour la limite finale, transformer l’équation fₙ(xₙ)=0 afin d’obtenir une relation avec une fonction continue au voisinage de 0.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
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