Correction des exercices 01 à 04 — Logarithme népérien
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Ces quatre premiers exercices permettent de mettre en place les réflexes fondamentaux du chapitre sur le logarithme népérien. Avant tout calcul, il faut d’abord se demander si les logarithmes écrits ont réellement un sens : l’argument de chaque logarithme doit être strictement positif. Ensuite seulement interviennent les propriétés algébriques de \(\ln\), notamment celles concernant un produit, un quotient ou une puissance. Les exercices 01 à 04 suivent précisément cette progression : déterminer des domaines de définition, exprimer certains logarithmes à l’aide de valeurs connues, exploiter les propriétés algébriques puis simplifier des expressions plus élaborées. Dans chaque correction, on indiquera donc non seulement le calcul effectué, mais aussi la propriété utilisée et les conditions qui autorisent son application.
Exercice 01 — Déterminer des domaines de définition
La fonction logarithme népérien est définie sur \(]0,+\infty[\). Ainsi, lorsqu’une expression est de la forme \(\ln(u(x))\), la condition fondamentale est :
\[ u(x)\gt0. \]Lorsque le logarithme apparaît lui-même au dénominateur, cette condition doit être complétée par la non-nullité du dénominateur. Il faut donc toujours déterminer les conditions d’existence avant d’effectuer toute transformation.
Question 1
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Ici, l’argument du logarithme est \(x+2\). La fonction est donc définie exactement lorsque cet argument est strictement positif :
\[ x+2\gt0. \]Ainsi :
\[ x\gt-2. \]Question 2
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Le logarithme existe lorsque son argument est strictement positif. Il faut donc résoudre :
\[ x^2-5x\gt0. \]Or :
\[ x^2-5x=x(x-5). \]Le produit \(x(x-5)\) est strictement positif lorsque les deux facteurs sont de même signe. Ainsi :
\[ x(x-5)\gt0\iff x\lt0\quad\text{ou}\quad x\gt5. \]Question 3
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L’argument du logarithme est ici une valeur absolue. Il doit être strictement positif :
\[ |x+1|\gt0. \]Or :
\[ |x+1|=0\iff x=-1. \]La seule valeur interdite est donc \(x=-1\).
Question 4
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L’écriture \(\ln^2x\) désigne \((\ln x)^2\). Élever le logarithme au carré n’ajoute donc aucune nouvelle condition : il faut simplement que \(\ln x\) existe.
\[ x\gt0. \]Question 5
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Il faut que :
\[ (x-1)^2\gt0. \]Un carré est nul uniquement lorsque :
\[ x-1=0\iff x=1. \]La valeur \(1\) doit donc être exclue.
Question 6
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La racine cubique est définie pour tout nombre réel. Elle n’impose donc aucune condition supplémentaire. La seule restriction provient de \(\ln x\) :
\[ x\gt0. \]Question 7
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Les deux logarithmes doivent être définis simultanément. Il faut donc satisfaire les deux conditions :
\[ \begin{cases} x+2\gt0,\\ x-1\gt0. \end{cases} \]Autrement dit :
\[ \begin{cases} x\gt-2,\\ x\gt1. \end{cases} \]L’intersection de ces deux conditions est \(x\gt1\).
Question 8
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Cette fois, il n’y a qu’un seul logarithme. C’est donc le produit complet qui doit être strictement positif :
\[ (x+2)(x-1)\gt0. \]Le produit est strictement positif lorsque ses deux facteurs sont de même signe :
\[ (x+2)(x-1)\gt0\iff x\lt-2\quad\text{ou}\quad x\gt1. \]Question 9
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Il s’agit d’un logarithme composé. L’argument du logarithme extérieur est \(\ln x\), qui doit être strictement positif :
\[ \ln x\gt0. \]Comme \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) et que \(\ln1=0\), on obtient :
\[ \ln x\gt0\iff x\gt1. \]Question 10
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L’argument entier du logarithme doit être strictement positif :
\[ \frac{x+2}{3-x}\gt0. \]Les valeurs critiques sont \(-2\) et \(3\). L’étude du signe donne :
\[ -2\lt x\lt3. \]Question 11
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Pour tout réel \(x\), on a :
\[ x^2+4\gt0. \]Le logarithme est donc toujours défini. Il reste seulement à imposer que le dénominateur extérieur ne soit pas nul :
\[ x\neq0. \]Question 12
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Plusieurs logarithmes et plusieurs dénominateurs apparaissent. Les conditions doivent donc être déterminées terme par terme, puis réunies.
Pour le premier terme :
\[ x\gt0\quad\text{et}\quad\ln x\neq0 \iff x\gt0\quad\text{et}\quad x\neq1. \]Pour le deuxième terme :
\[ x-3\gt0\quad\text{et}\quad\ln(x-3)\neq0 \iff x\gt3\quad\text{et}\quad x\neq4. \]Pour le troisième terme :
\[ x\neq0\quad\text{et}\quad1+\ln|x|\neq0. \]Or :
\[ 1+\ln|x|=0\iff |x|=e^{-1}. \]Ces valeurs sont déjà exclues par \(x\gt3\). Il reste donc seulement à retirer \(4\) de \(]3,+\infty[\).
Exercice 02 — Exprimer des logarithmes à l’aide de deux nombres donnés
On pose :
\[ a=\ln5\qquad\text{et}\qquad b=\ln4. \]Calculer en fonction de \(a\) et \(b\) les nombres :
\[ \alpha=\ln2,\quad \beta=\ln100,\quad \gamma=\ln1000,\quad \lambda=\ln\left(\frac8{125}\right),\quad \mu=\ln(0,64). \]L’idée consiste à transformer les nombres placés dans les logarithmes afin de faire apparaître \(4\) et \(5\), puisque leurs logarithmes sont précisément les deux données connues.
Pour des nombres strictement positifs, on utilise notamment :
\[ \ln(uv)=\ln u+\ln v, \qquad \ln\left(\frac uv\right)=\ln u-\ln v, \qquad \ln(u^r)=r\ln u. \]1. Calcul de \(\alpha\)
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Comme \(4=2^2\), la propriété relative à une puissance permet de relier directement \(\ln2\) à la donnée \(b=\ln4\) :
\[ b=\ln4=\ln(2^2)=2\ln2. \]Donc :
\[ \ln2=\frac b2. \]2. Calcul de \(\beta\)
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On écrit :
\[ 100=4\times25=4\times5^2. \]Les facteurs étant strictement positifs, on peut appliquer la propriété du logarithme d’un produit :
\[ \begin{aligned} \beta&=\ln(4\times5^2)\\ &=\ln4+2\ln5\\ &=b+2a. \end{aligned} \]3. Calcul de \(\gamma\)
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On a :
\[ 1000=2^3\times5^3. \]On décompose donc le logarithme du produit puis on remplace \(\ln2\) par la valeur obtenue précédemment :
\[ \begin{aligned} \gamma&=3\ln2+3\ln5\\ &=3\left(\frac b2\right)+3a. \end{aligned} \]4. Calcul de \(\lambda\)
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On écrit :
\[ \frac8{125}=\frac{2^3}{5^3}. \]Le numérateur et le dénominateur étant strictement positifs, la propriété du logarithme d’un quotient s’applique :
\[ \begin{aligned} \lambda&=3\ln2-3\ln5\\ &=\frac{3b}{2}-3a. \end{aligned} \]5. Calcul de \(\mu\)
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On commence par écrire le nombre décimal sous une forme faisant apparaître \(4\) et \(5\) :
\[ 0,64=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}=\frac{4^2}{5^2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \mu&=2\ln4-2\ln5\\ &=2b-2a. \end{aligned} \]Exercice 03 — Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels strictement positifs. On pose :
\[ A=\ln a,\qquad B=\ln b,\qquad C=\ln c. \]Exprimer \(X\), \(Y\), \(Z\) et \(T\) en fonction de \(A\), \(B\) et \(C\).
L’hypothèse \(a\gt0\), \(b\gt0\) et \(c\gt0\) est essentielle : elle garantit l’existence des logarithmes et permet d’utiliser les propriétés algébriques du cours. Les puissances à exposants rationnels qui apparaissent dans les expressions sont donc compatibles avec ces transformations.
1. Calcul de \(X\)
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Comme \(a\), \(b\) et \(c\) sont strictement positifs, toutes les propriétés logarithmiques utilisées ci-dessous sont applicables :
\[ \begin{aligned} X&=8\ln a+9\ln b-\frac32\ln c\\ &=8A+9B-\frac32C. \end{aligned} \]2. Calcul de \(Y\)
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Les quantités concernées sont strictement positives puisque \(a\), \(b\) et \(c\) le sont. On applique donc les propriétés du quotient et des puissances :
\[ \begin{aligned} Y&=\ln a-7\ln b-\ln a-3\ln c\\ &=-7B-3C. \end{aligned} \]3. Calcul de \(Z\)
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Pour appliquer facilement les propriétés du logarithme, on transforme d’abord les racines en puissances rationnelles :
\[ \sqrt[5]{a}=a^{\frac15}, \qquad \sqrt[4]{b}=b^{\frac14}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} Z &=\frac12\ln\left(a^{\frac65}b^{\frac54}c\right)\\ &=\frac12\left(\frac65\ln a+\frac54\ln b+\ln c\right)\\ &=\frac35A+\frac58B+\frac12C. \end{aligned} \]4. Calcul de \(T\)
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Comme dans la question précédente, on commence par convertir les racines en puissances rationnelles :
\[ \sqrt a=a^{\frac12}, \qquad \sqrt[3]{b^{-2}}=b^{-\frac23}, \qquad c\sqrt c=c^{\frac32}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} T &=\frac15\left(\frac12\ln a-\frac23\ln b+\frac32\ln c\right)\\ &=\frac1{10}A-\frac2{15}B+\frac3{10}C. \end{aligned} \]Exercice 04 — Simplifier des expressions logarithmiques
Avant de réunir plusieurs logarithmes en un seul, il faut vérifier que chacun des logarithmes écrits dans l’expression initiale existe. Ce contrôle est indispensable : les propriétés algébriques de \(\ln\) ne doivent être utilisées que lorsque les quantités concernées sont strictement positives.
1. Simplification de \(A\)
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Le premier argument est clairement strictement positif. Pour le second, on remarque que :
\[ 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2\gt0. \]Les deux logarithmes sont donc définis. On peut alors utiliser la propriété du logarithme d’un produit :
\[ \begin{aligned} A &=\ln\left[\big((7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)\big)^{15}\right]\\ &=\ln\left[(49-48)^{15}\right]\\ &=\ln1. \end{aligned} \]2. Simplification de \(B\)
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Avant de regrouper les logarithmes, il faut notamment vérifier que le troisième argument est strictement positif. Comme \(\sqrt2\lt2\), on a \(2+\sqrt2\lt4\), donc :
\[ \sqrt{2+\sqrt2}\lt2. \]Ainsi, tous les logarithmes sont définis. Posons :
\[ u=\sqrt{2+\sqrt2}. \]Les conditions d’application étant vérifiées, on peut réunir les trois logarithmes :
\[ \begin{aligned} B &=\ln\big(2(2+u)(2-u)\big)\\ &=\ln\big(2(4-u^2)\big)\\ &=\ln\left(2\left[4-(2+\sqrt2)\right]\right)\\ &=\ln(4-2\sqrt2). \end{aligned} \]À retenir
Ces quatre exercices mettent en évidence un principe essentiel : avec le logarithme népérien, les conditions d’existence doivent toujours précéder les transformations algébriques. Pour déterminer un domaine, on impose la positivité de chaque argument de logarithme et la non-nullité des éventuels dénominateurs. Pour simplifier une expression, on vérifie d’abord ces conditions puis on utilise les propriétés du produit, du quotient et des puissances. Enfin, lorsqu’une expression contient des racines, leur écriture sous forme de puissances rationnelles permet souvent de faire apparaître directement les propriétés du logarithme. Ce réflexe « conditions d’abord, calcul ensuite » sera utilisé dans tout le reste du chapitre.
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