Correction des exercices 01 à 04
Logarithme népérien — Al Moufid
2e Bac Sciences Mathématiques
Cette page propose une correction détaillée des exercices 01 à 04 consacrés aux premiers calculs sur le logarithme népérien.
Chaque question est rappelée avant sa résolution. Les conditions d’existence sont vérifiées avant l’utilisation des propriétés de la fonction logarithme.
Pour chaque expression contenant un logarithme, on commence par vérifier que son argument est strictement positif. Lorsqu’un logarithme apparaît au dénominateur, on vérifie également qu’il n’est pas nul.
Exercice 01Déterminer des domaines de définition
La fonction logarithme népérien est définie lorsque son argument est strictement positif. On doit donc avoir :
\[ x+2\gt0. \]Ainsi :
\[ x\gt-2. \]Il faut que :
\[ x^2-5x\gt0. \]Or :
\[ x^2-5x=x(x-5). \]Le produit \(x(x-5)\) est strictement positif lorsque les deux facteurs sont de même signe. Ainsi :
\[ x(x-5)\gt0\iff x\lt0\quad\text{ou}\quad x\gt5. \]Il faut que :
\[ |x+1|\gt0. \]Or :
\[ |x+1|=0\iff x=-1. \]La seule valeur interdite est donc \(x=-1\).
L’écriture \(\ln^2x\) désigne \((\ln x)^2\). La seule condition d’existence provient donc de \(\ln x\) :
\[ x\gt0. \]Il faut que :
\[ (x-1)^2\gt0. \]Un carré est nul uniquement lorsque :
\[ x-1=0\iff x=1. \]La valeur \(1\) doit donc être exclue.
La racine cubique est définie pour tout nombre réel. La seule condition provient de \(\ln x\) :
\[ x\gt0. \]Chaque logarithme doit être défini. On doit donc avoir :
\[ \begin{cases} x+2\gt0,\\ x-1\gt0. \end{cases} \]Autrement dit :
\[ \begin{cases} x\gt-2,\\ x\gt1. \end{cases} \]L’intersection de ces deux conditions est \(x\gt1\).
Il faut que :
\[ (x+2)(x-1)\gt0. \]Le produit est strictement positif lorsque ses deux facteurs sont de même signe :
\[ (x+2)(x-1)\gt0\iff x\lt-2\quad\text{ou}\quad x\gt1. \]L’argument du logarithme extérieur doit être strictement positif :
\[ \ln x\gt0. \]Comme \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) et que \(\ln1=0\), on obtient :
\[ \ln x\gt0\iff x\gt1. \]Il faut résoudre :
\[ \frac{x+2}{3-x}\gt0. \]Les valeurs critiques sont \(-2\) et \(3\). L’étude du signe donne :
\[ -2\lt x\lt3. \]Pour tout réel \(x\), on a :
\[ x^2+4\gt0. \]Le logarithme est donc toujours défini. Il reste à imposer :
\[ x\neq0. \]Pour le premier terme :
\[ x\gt0\quad\text{et}\quad\ln x\neq0 \iff x\gt0\quad\text{et}\quad x\neq1. \]Pour le deuxième terme :
\[ x-3\gt0\quad\text{et}\quad\ln(x-3)\neq0 \iff x\gt3\quad\text{et}\quad x\neq4. \]Pour le troisième terme :
\[ x\neq0\quad\text{et}\quad1+\ln|x|\neq0. \]Or :
\[ 1+\ln|x|=0\iff |x|=e^{-1}. \]Ces valeurs sont déjà exclues par \(x\gt3\). Il reste donc seulement à retirer \(4\) de \(]3,+\infty[\).
Exercice 02Exprimer des logarithmes à l’aide de deux nombres donnés
Comme \(4=2^2\), on a :
\[ b=\ln4=\ln(2^2)=2\ln2. \]Donc :
\[ \ln2=\frac b2. \]On écrit :
\[ 100=4\times25=4\times5^2. \]Alors :
\[ \begin{aligned} \beta&=\ln(4\times5^2)\\ &=\ln4+2\ln5\\ &=b+2a. \end{aligned} \]On a :
\[ 1000=2^3\times5^3. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \gamma&=3\ln2+3\ln5\\ &=3\left(\frac b2\right)+3a. \end{aligned} \]On écrit :
\[ \frac8{125}=\frac{2^3}{5^3}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \lambda&=3\ln2-3\ln5\\ &=\frac{3b}{2}-3a. \end{aligned} \]On a :
\[ 0,64=\frac{64}{100}=\frac{16}{25}=\frac{4^2}{5^2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \mu&=2\ln4-2\ln5\\ &=2b-2a. \end{aligned} \]Exercice 03Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
Comme \(a\), \(b\) et \(c\) sont strictement positifs :
\[ \begin{aligned} X&=8\ln a+9\ln b-\frac32\ln c\\ &=8A+9B-\frac32C. \end{aligned} \]On utilise :
\[ \sqrt[5]{a}=a^{\frac15}, \qquad \sqrt[4]{b}=b^{\frac14}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} Z &=\frac12\ln\left(a^{\frac65}b^{\frac54}c\right)\\ &=\frac12\left(\frac65\ln a+\frac54\ln b+\ln c\right)\\ &=\frac35A+\frac58B+\frac12C. \end{aligned} \]On utilise :
\[ \sqrt a=a^{\frac12}, \qquad \sqrt[3]{b^{-2}}=b^{-\frac23}, \qquad c\sqrt c=c^{\frac32}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} T &=\frac15\left(\frac12\ln a-\frac23\ln b+\frac32\ln c\right)\\ &=\frac1{10}A-\frac2{15}B+\frac3{10}C. \end{aligned} \]Exercice 04Simplifier des expressions logarithmiques
On remarque que :
\[ 7-4\sqrt3=(2-\sqrt3)^2\gt0. \]Les deux logarithmes sont donc définis. Puis :
\[ \begin{aligned} A &=\ln\left[\big((7+4\sqrt3)(7-4\sqrt3)\big)^{15}\right]\\ &=\ln\left[(49-48)^{15}\right]\\ &=\ln1. \end{aligned} \]Comme \(\sqrt2\lt2\), on a \(2+\sqrt2\lt4\), donc :
\[ \sqrt{2+\sqrt2}\lt2. \]Ainsi, tous les logarithmes sont définis. Posons :
\[ u=\sqrt{2+\sqrt2}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} B &=\ln\big(2(2+u)(2-u)\big)\\ &=\ln\big(2(4-u^2)\big)\\ &=\ln\left(2\left[4-(2+\sqrt2)\right]\right)\\ &=\ln(4-2\sqrt2). \end{aligned} \]Méthodes à retenir
- Avant d’utiliser un logarithme, vérifier que son argument est strictement positif.
- Lorsqu’un logarithme est placé au dénominateur, vérifier également qu’il n’est pas nul.
- La propriété \(\ln(uv)=\ln u+\ln v\) s’utilise lorsque \(u\gt0\) et \(v\gt0\).
- Pour \(u\gt0\), on peut écrire \(\ln(u^r)=r\ln u\).
- Les racines peuvent être transformées en puissances rationnelles afin de simplifier les calculs.
Lycée Oum Rabiaâ — M’rirt
Parcours Maths Maroc
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