Parcours Maths Maroc — Correction détaillée interactive

Examen national 2023 — Session de rattrapage

Sciences Mathématiques A et B — Option française

Exercice 1 — Analyse Exercice 2 — Complexes Exercice 3 — Structures Exercice 4 — Arithmétique

Exercice 1 — Analyse10 points

Partie I

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(I=[0,+\infty[\) par

\[ f_n(0)=0\qquad\text{et}\qquad f_n(x)=\sqrt{x}(\ln x)^n\quad\text{pour }x>0\]

1.a) Vérifier que, pour tout \(x>0\),

\[ \sqrt{x}(\ln x)^n=(2n)^n\left(x^{\frac1{2n}}\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\right)^n\]

puis en déduire que \(f_n\) est continue à droite en \(0\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour comprendre l’identité demandée, on transforme séparément les deux facteurs \(\sqrt{x}\) et \((\ln x)^n\).

1) Transformation de \(\sqrt{x}\)

\[ \sqrt{x}=x^{\frac12}=\left(x^{\frac1{2n}}\right)^n\]

2) Transformation de \(\ln x\)

La propriété \(\ln(x^a)=a\ln x\) donne

\[ \ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)=\frac1{2n}\ln x, \qquad\text{donc}\qquad \ln x=2n\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\]

En élevant cette dernière égalité à la puissance \(n\), puis en multipliant par l’expression de \(\sqrt{x}\), on obtient

\[ \sqrt{x}(\ln x)^n =\left(x^{\frac1{2n}}\right)^n \left(2n\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\right)^n =(2n)^n\left(x^{\frac1{2n}}\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\right)^n\]

3) Continuité à droite en \(0\)

Posons \(t=x^{1/(2n)}\). Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to0^+\). Il faut donc utiliser la limite \(t\ln t\to0\).

Justification de cette limite : en posant \(u=1/t\), on a \(u\to+\infty\) et \[ t\ln t=-\frac{\ln u}{u}\longrightarrow0\] car \(\displaystyle\frac{\ln u}{u}\to0\).

Ainsi,

\[ \lim_{x\to0^+}f_n(x) =(2n)^n\left(\lim_{t\to0^+}t\ln t\right)^n=0=f_n(0)\]

\(\boxed{f_n\text{ est continue à droite en }0}\).

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

À partir de \(x>e\), on a \(\ln x>1\), donc \((\ln x)^n\geq1\). Par conséquent,

\[ f_n(x)=\sqrt{x}(\ln x)^n\geq\sqrt{x}\]

Or \(\sqrt{x}\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\). La fonction \(f_n\), qui est alors minorée par une quantité tendant vers \(+\infty\), tend elle aussi vers \(+\infty\).

\[ \boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty}\]

1.c) Vérifier que

\[ \frac{f_n(x)}x=(2n)^n\left(\frac{\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)}{x^{\frac1{2n}}}\right)^n\]

puis calculer la limite en \(+\infty\) et l’interpréter graphiquement.

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après l’identité obtenue en 1.a),

\[ f_n(x)=(2n)^n\left(x^{\frac1{2n}}\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\right)^n\]

Comme \(x=\left(x^{1/(2n)}\right)^{2n}\), on a

\[ \frac{f_n(x)}x =(2n)^n \frac{\left(x^{\frac1{2n}}\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)\right)^n} {\left(x^{\frac1{2n}}\right)^{2n}} =(2n)^n\left( \frac{\ln\left(x^{\frac1{2n}}\right)}{x^{\frac1{2n}}} \right)^n\]

Posons \(t=x^{1/(2n)}\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(t\to+\infty\). La croissance comparée du logarithme et de la fonction affine donne

\[ \frac{\ln t}{t}\longrightarrow0\]

Le nombre \(n\) est fixé. Par conséquent, la puissance \(\left(\frac{\ln t}{t}\right)^n\) tend aussi vers \(0\), puis la multiplication par la constante \((2n)^n\) ne change pas la limite.

\[ \boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}x=0}\]

Interprétation graphique : on a simultanément \(f_n(x)\to+\infty\) et \(f_n(x)/x\to0\). La courbe monte donc vers \(+\infty\), mais beaucoup moins vite que la droite \(y=x\). Elle possède au voisinage de \(+\infty\) une branche infinie de direction asymptotique l’axe des abscisses.

1.d) Calculer, suivant la parité de \(n\),

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)}x\]

puis interpréter graphiquement le résultat.

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On utilise l’expression de la question précédente et on pose encore \(t=x^{1/(2n)}\) :

\[ \frac{f_n(x)}x=(2n)^n\left(\frac{\ln t}{t}\right)^n\]

Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to0^+\). Posons \(u=1/t\). Alors \(u\to+\infty\) et

\[ \frac{\ln t}{t}=-u\ln u\longrightarrow-\infty\]

Le signe de la puissance dépend maintenant de la parité de \(n\) :

• si \(n\) est pair, la puissance d’un nombre négatif est positive, donc elle tend vers \(+\infty\) ;
• si \(n\) est impair, elle reste négative, donc elle tend vers \(-\infty\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)}x= \begin{cases} +\infty,&\text{si }n\text{ est pair},\\ -\infty,&\text{si }n\text{ est impair}. \end{cases}}\]

Or

\[ \frac{f_n(x)}x=\frac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}\]

Il s’agit donc du taux d’accroissement de \(f_n\) à droite en \(0\). Une limite infinie de ce taux signifie que la courbe possède en \(O(0,0)\) une demi-tangente verticale d’équation \(x=0\).

Elle est orientée vers le haut lorsque \(n\) est pair et vers le bas lorsque \(n\) est impair.

2.a) Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que

\[ f_n'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n+\ln x)\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Sur \(]0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto\sqrt{x}\) et \(x\mapsto(\ln x)^n\) sont dérivables. On applique la formule de dérivation d’un produit :

\[ (uv)'=u'v+uv'\]

Ici,

\[ (\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}} \qquad\text{et}\qquad \bigl((\ln x)^n\bigr)'=n(\ln x)^{n-1}\frac1x\]

Donc

\[ f_n'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}(\ln x)^n +\sqrt{x}\,n(\ln x)^{n-1}\frac1x\]

Comme \(\sqrt{x}/x=1/\sqrt{x}\),

\[ f_n'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}(\ln x)^n +\frac{n}{\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}\]

On factorise par \(\dfrac{(\ln x)^{n-1}}{2\sqrt{x}}\) :

\[ \boxed{f_n'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}(\ln x)^{n-1}(2n+\ln x)}\]

2.b) Pour \(n\geq2\), résoudre \(f_n'(x)=0\) sur \(]0,+\infty[\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x>0\), le dénominateur \(2\sqrt{x}\) est strictement positif. Il ne peut donc jamais annuler la dérivée.

Comme \(n\geq2\), l’exposant \(n-1\) est un entier naturel non nul. Ainsi,

\[ f_n'(x)=0 \iff (\ln x)^{n-1}(2n+\ln x)=0\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ (\ln x)^{n-1}=0 \iff \ln x=0 \iff x=1\]

\[ 2n+\ln x=0 \iff \ln x=-2n \iff x=e^{-2n}\]

\[ \boxed{f_n'(x)=0\iff x=1\text{ ou }x=e^{-2n}}\]

2.c) Étudier, suivant la parité de \(n\), les variations de \(f_n\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Cas où \(n=1\)

On a

\[ f_1'(x)=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}\]

Le signe de \(f_1'(x)\) est donc celui de \(\ln x+2\), d’où

\[ f_1'(x)<0\quad\text{si }0<x<e^{-2},\qquad f_1'(e^{-2})=0,\qquad f_1'(x)>0\quad\text{si }x>e^{-2}\]

\(x\)	\(0\)	\(e^{-2}\)	\(+\infty\)
\(f_1'\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f_1\)	\(0\)	\(-\dfrac{2}{e}\)	\(+\infty\)

Cas où \(n\) est impair et \(n\geq3\)

Alors \(n-1\) est pair, donc \((\ln x)^{n-1}\geq0\). Le signe de \(f_n'(x)\) est celui de \(2n+\ln x\), sauf en \(x=1\) où \((\ln x)^{n-1}=0\).

\[ 2n+\ln x\begin{cases} <0,&0<x<e^{-2n},\\ =0,&x=e^{-2n},\\ >0,&x>e^{-2n} \end{cases}\]

Le zéro de la dérivée en \(x=1\) ne change pas son signe. De plus,

\[ f_n(e^{-2n})=e^{-n}(-2n)^n=-\left(\frac{2n}{e}\right)^n, \qquad f_n(1)=0\]

\(x\)	\(0\)	\(e^{-2n}\)	\(1\)	\(+\infty\)
\(f_n'\)	\(-\)	\(0\)	\(+\;\;0\;\;+\)
\(f_n\)	\(0\)	\(-\left(\frac{2n}{e}\right)^n\)	\(0\)	\(+\infty\)

Ainsi, pour tout \(n\) impair, \(f_n\) est décroissante sur \([0,e^{-2n}]\), puis croissante sur \([e^{-2n},+\infty[\). Lorsque \(n\geq3\), on a en plus \(f_n'(1)=0\).

Cas où \(n\) est pair

Alors \(n-1\) est impair, donc \((\ln x)^{n-1}\) a le signe de \(\ln x\). Le signe de \(f_n'\) est celui du produit \(\ln x(2n+\ln x)\).

\[ f_n'(x)\begin{cases} >0,&0<x<e^{-2n},\\ <0,&e^{-2n}<x<1,\\ >0,&x>1 \end{cases}\]

Et

\[ f_n(e^{-2n})=e^{-n}(2n)^n=\left(\frac{2n}{e}\right)^n, \qquad f_n(1)=0\]

\(x\)	\(0\)	\(e^{-2n}\)	\(1\)	\(+\infty\)
\(f_n'\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\;\;+\)
\(f_n\)	\(0\)	\(\left(\frac{2n}{e}\right)^n\)	\(0\)	\(+\infty\)

Les variations sont donc entièrement déterminées par la parité de \(n\).

2.d) Si \(n\) est impair et \(n\geq3\), montrer que le point d’abscisse \(1\) est un point d’inflexion de \((C_n)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour étudier la convexité, on calcule la dérivée seconde.

À partir de

\[ f_n'(x)=\frac12x^{-1/2}(\ln x)^{n-1}(2n+\ln x)\]

on dérive le produit des trois facteurs. Après réduction et factorisation, on obtient

\[ f_n''(x)=\frac{(\ln x)^{n-2}}{4x^{3/2}} \left(4n(n-1)-(\ln x)^2\right)\]

Étudions le signe de \(f_n''\) au voisinage de \(1\).

• Le dénominateur \(4x^{3/2}\) est strictement positif pour \(x>0\).
• Pour \(x=1\), le facteur \(4n(n-1)-(\ln x)^2\) vaut \(4n(n-1)>0\). Par continuité, ce facteur reste positif lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(1\).
• Comme \(n\) est impair, \(n-2\) est impair. Ainsi, \((\ln x)^{n-2}\) a le même signe que \(\ln x\).

Or \(\ln x<0\) pour \(0<x<1\), tandis que \(\ln x>0\) pour \(x>1\). Donc, au voisinage de \(1\),

\[ f_n''(x)<0\quad\text{à gauche de }1, \qquad f_n''(x)>0\quad\text{à droite de }1\]

La convexité change donc en \(x=1\). Comme \(f_n(1)=0\), le point de la courbe concerné est \(A(1,0)\).

\[ \boxed{A(1,0)\text{ est un point d’inflexion de }(C_n)}\]

Partie II

Soit \(\beta\in]1,e[\) et \(u_n=f_n(\beta)=\sqrt\beta(\ln\beta)^n\).

1.a) Montrer que \(0<u_n<\sqrt e\) pour tout \(n\geq1\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Comme \(1<\beta<e\) et comme les fonctions \(\ln\) et \(x\mapsto\sqrt{x}\) sont strictement croissantes sur \(]0,+\infty[\), on obtient

\[ 0<\ln\beta<1 \qquad\text{et}\qquad 1<\sqrt\beta<\sqrt e\]

Puisque \(0<\ln\beta<1\), l’élévation à la puissance entière \(n\geq1\) conserve la positivité et donne

\[ 0<(\ln\beta)^n<1\]

En multipliant cette inégalité par le nombre positif \(\sqrt\beta\), on obtient

\[ 0<\sqrt\beta(\ln\beta)^n<\sqrt\beta\]

Enfin, \(\sqrt\beta<\sqrt e\). Comme \(u_n=\sqrt\beta(\ln\beta)^n\),

\[ \boxed{0<u_n<\sqrt e}\]

1.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour comparer deux termes consécutifs, calculons \(u_{n+1}\) :

\[ \begin{aligned} u_{n+1} &=\sqrt\beta(\ln\beta)^{n+1}\\ &=\sqrt\beta(\ln\beta)^n\ln\beta\\ &=u_n\ln\beta \end{aligned}\]

D’après la question précédente, \(u_n>0\), et l’on sait que \(0<\ln\beta<1\). En multipliant le nombre positif \(u_n\) par un nombre strictement compris entre \(0\) et \(1\), on obtient un nombre strictement plus petit que \(u_n\) :

\[ 0<u_{n+1}=u_n\ln\beta<u_n\]

\(\boxed{(u_n)\text{ est strictement décroissante}}\).

1.c) Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Posons \(q=\ln\beta\). Comme \(1<\beta<e\), on a \(0<q<1\).

La suite \((q^n)\) est donc une suite géométrique de raison \(q\) vérifiant \(|q|<1\). Par conséquent,

\[ q^n=(\ln\beta)^n\longrightarrow0\]

Le nombre \(\sqrt\beta\) est une constante indépendante de \(n\). Ainsi,

\[ \boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n =\sqrt\beta\lim_{n\to+\infty}(\ln\beta)^n=0}\]

2.a) Montrer que, pour tout \(n\geq1\), il existe un unique \(x_n\in]1,e[\) tel que \(f_n(x_n)=1\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Fixons un entier \(n\geq1\). Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle \([1,e]\).

1) Continuité

La fonction \(f_n\) est continue sur \([1,e]\), car elle y est le produit des fonctions continues \(x\mapsto\sqrt{x}\) et \(x\mapsto(\ln x)^n\).

2) Valeurs aux extrémités

\[ f_n(1)=\sqrt1(\ln1)^n=0<1\]

\[ f_n(e)=\sqrt e(\ln e)^n=\sqrt e>1\]

Le nombre \(1\) est donc strictement compris entre \(f_n(1)\) et \(f_n(e)\). Le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’au moins un réel \(x_n\in]1,e[\) tel que \(f_n(x_n)=1\).

3) Unicité

Pour \(x\in]1,e[\), on a \(\ln x>0\), \(2n+\ln x>0\) et \(2\sqrt{x}>0\). Ainsi,

\[ f_n'(x)=\frac{(\ln x)^{n-1}(2n+\ln x)}{2\sqrt{x}}>0\]

La fonction \(f_n\) est donc strictement croissante sur \(]1,e[\). Une fonction strictement croissante ne peut prendre la valeur \(1\) qu’une seule fois.

Pour tout \(n\geq1\), il existe un unique \(x_n\in]1,e[\) tel que \(\boxed{f_n(x_n)=1}\).

2.b) Montrer que \((x_n)\) est croissante, puis qu’elle est convergente.

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Par définition de \(x_n\),

\[ f_n(x_n)=\sqrt{x_n}(\ln x_n)^n=1\]

Calculons la valeur de \(f_{n+1}\) au point \(x_n\) :

\[ \begin{aligned} f_{n+1}(x_n) &=\sqrt{x_n}(\ln x_n)^{n+1}\\ &=\left(\sqrt{x_n}(\ln x_n)^n\right)\ln x_n\\ &=f_n(x_n)\ln x_n\\ &=\ln x_n \end{aligned}\]

Comme \(1<x_n<e\), la croissance de la fonction logarithme donne

\[ 0<\ln x_n<1\]

Donc

\[ f_{n+1}(x_n)=\ln x_n<1=f_{n+1}(x_{n+1})\]

Or \(f_{n+1}\) est strictement croissante sur \(]1,e[\). L’ordre des images est donc le même que l’ordre des antécédents :

\[ x_n<x_{n+1}\]

Ainsi, la suite \((x_n)\) est strictement croissante. De plus, \(x_n<e\) pour tout \(n\), donc elle est majorée par \(e\).

Une suite croissante et majorée est convergente. Ainsi, \(\boxed{(x_n)\text{ converge}}\).

3.a) En posant \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n\), montrer que \(1<\ell\leq e\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour tout \(n\geq1\), la construction de \(x_n\) donne

\[ 1<x_n<e\]

En passant à la limite dans les inégalités larges \(1\leq x_n\leq e\), on obtient

\[ 1\leq\ell\leq e\]

Il reste à montrer que \(\ell\neq1\). Comme la suite \((x_n)\) est croissante, on a

\[ x_n\geq x_1>1\qquad\text{pour tout }n\]

En passant à la limite,

\[ \ell\geq x_1>1\]

\[ \boxed{1<\ell\leq e}\]

3.b) Montrer que

\[ \lim_{n\to+\infty}(\ln x_n)^n=\frac1{\sqrt\ell}\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Par définition de \(x_n\),

\[ f_n(x_n)=\sqrt{x_n}(\ln x_n)^n=1\]

Comme \(x_n>1\), on a \(\sqrt{x_n}>0\). On peut donc diviser les deux membres par \(\sqrt{x_n}\) :

\[ (\ln x_n)^n=\frac1{\sqrt{x_n}}\]

Or \(x_n\to\ell\) et \(\ell>0\). La fonction \(x\mapsto1/\sqrt{x}\) est continue sur \(]0,+\infty[\). Ainsi,

\[ \boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\ln x_n)^n =\frac1{\sqrt\ell}}\]

3.c) Montrer que si \(\ell<e\), alors

\[ \lim_{n\to+\infty}n\ln(\ln x_n)=-\infty\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Supposons \(\ell<e\). Choisissons un réel \(a\) tel que

\[ \ell<a<e\]

Comme \(x_n\to\ell\), il existe un rang \(N\) tel que, pour tout \(n\geq N\),

\[ x_n<a\]

La fonction logarithme étant strictement croissante, on obtient alors

\[ 0<\ln x_n<\ln a<1\]

Posons \(r=\ln a\). On a \(0<r<1\), donc \(\ln r<0\). Comme la fonction logarithme est croissante,

\[ \ln(\ln x_n)\leq\ln r<0\]

En multipliant par \(n>0\),

\[ n\ln(\ln x_n)\leq n\ln r\]

Le nombre \(\ln r\) est une constante strictement négative. Ainsi, \(n\ln r\to-\infty\). Par comparaison,

\[ \boxed{\ell<e\Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}n\ln(\ln x_n)=-\infty}\]

3.d) En déduire la valeur de \(\ell\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après la question 3.b),

\[ (\ln x_n)^n\longrightarrow\frac1{\sqrt\ell}\]

Comme \(\ell>1\), le nombre \(1/\sqrt\ell\) est strictement positif. La fonction logarithme est continue sur \(]0,+\infty[\), donc

\[ \ln\left((\ln x_n)^n\right) \longrightarrow \ln\left(\frac1{\sqrt\ell}\right)\]

Or

\[ \ln\left((\ln x_n)^n\right)=n\ln(\ln x_n)\]

La suite \(n\ln(\ln x_n)\) possède donc une limite réelle finie.

Si \(\ell<e\), la question 3.c) affirme au contraire que cette même suite tend vers \(-\infty\). Cette contradiction montre que \(\ell<e\) est impossible.

Comme on sait déjà que \(\ell\leq e\), il reste une seule possibilité :

\[ \boxed{\ell=e}\]

Partie III

Pour tout \(x\in I\), on pose

\[ F(x)=\int_x^1\bigl(f_1(t)\bigr)^2\,dt\]

1.a) Montrer que \(F\) est continue sur \(I\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

La fonction \(f_1\) est continue sur \(I=[0,+\infty[\). Par conséquent, la fonction

\[ g(t)=\bigl(f_1(t)\bigr)^2\]

est elle aussi continue sur \(I\).

Considérons la fonction

\[ H(x)=\int_0^x g(t)\,dt\]

La continuité de \(g\) implique que \(H\) est dérivable sur \(I\), donc continue. Or

\[ F(x)=\int_x^1g(t)\,dt =\int_0^1g(t)\,dt-\int_0^xg(t)\,dt =H(1)-H(x)\]

La fonction \(F\) est donc la différence d’une constante et d’une fonction continue.

\(\boxed{F\text{ est continue sur }I}\).

1.b) Par une double intégration par parties, montrer que, pour \(x>0\),

\[ F(x)=-\frac{x^2}{2}\ln^2x+\frac{x^2}{2}\ln x+\frac14(1-x^2)\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Comme \(f_1(t)=\sqrt t\ln t\), on a

\[ \bigl(f_1(t)\bigr)^2=t(\ln t)^2, \qquad F(x)=\int_x^1t(\ln t)^2\,dt\]

Première intégration par parties

On choisit

\[ u(t)=(\ln t)^2, \qquad v'(t)=t\]

Alors

\[ u'(t)=\frac{2\ln t}{t}, \qquad v(t)=\frac{t^2}{2}\]

La formule \(\int uv'=uv-\int u'v\) donne

\[ \int t(\ln t)^2\,dt =\frac{t^2}{2}(\ln t)^2-\int t\ln t\,dt\]

Deuxième intégration par parties

Pour calculer \(\int t\ln t\,dt\), on prend \(u(t)=\ln t\) et \(v'(t)=t\). Ainsi,

\[ \int t\ln t\,dt =\frac{t^2}{2}\ln t-\frac12\int t\,dt =\frac{t^2}{2}\ln t-\frac{t^2}{4}\]

Une primitive de \(t(\ln t)^2\) est donc

\[ G(t)=\frac{t^2}{2}(\ln t)^2-\frac{t^2}{2}\ln t+\frac{t^2}{4}\]

Comme \(F(x)=G(1)-G(x)\), et puisque \(\ln1=0\),

\[ G(1)=\frac14\]

Par conséquent,

\[ \boxed{F(x)=-\frac{x^2}{2}\ln^2x +\frac{x^2}{2}\ln x +\frac14(1-x^2)}\]

2.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}F(x)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On utilise la formule obtenue en 1.b) :

\[ F(x)=-\frac{x^2}{2}\ln^2x+\frac{x^2}{2}\ln x+\frac14(1-x^2)\]

Justifions les deux limites contenant le logarithme. Posons \(u=1/x\). Lorsque \(x\to0^+\), on a \(u\to+\infty\), et

\[ x^2\ln x=-\frac{\ln u}{u^2}\longrightarrow0\]

\[ x^2(\ln x)^2=\frac{(\ln u)^2}{u^2}\longrightarrow0\]

car toute puissance positive de \(u\) domine toute puissance de \(\ln u\) en \(+\infty\).

Enfin, \((1-x^2)/4\to1/4\). Ainsi,

\[ \boxed{\displaystyle\lim_{x\to0^+}F(x)=\frac14}\]

2.b) En déduire \(F(0)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

La question 1.a) a établi que \(F\) est continue sur \(I\), donc en particulier continue à droite en \(0\). Par définition de la continuité,

\[ F(0)=\lim_{x\to0^+}F(x)\]

En utilisant le résultat de 2.a),

\[ \boxed{F(0)=\frac14}\]

2.c) Calculer le volume du solide obtenu par rotation autour de l’axe des abscisses de la portion de \((C_1)\) correspondant à \([0,1]\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Lorsqu’une courbe \(y=f(x)\) tourne autour de l’axe des abscisses, une section perpendiculaire à cet axe est un disque de rayon \(|f(x)|\). Son aire vaut donc \(\pi f(x)^2\).

Le volume engendré par la portion de \((C_1)\) correspondant à \([0,1]\) est alors

\[ V=\pi\int_0^1\bigl(f_1(t)\bigr)^2\,dt\]

Or la définition de \(F\) donne

\[ F(0)=\int_0^1\bigl(f_1(t)\bigr)^2\,dt=\frac14\]

Comme l’unité graphique sur l’axe des abscisses est \(1\ \mathrm{cm}\), le volume s’exprime en \(\mathrm{cm}^3\).

\[ \boxed{V=\frac\pi4\ \mathrm{cm}^3}\]

Exercice 2 — Nombres complexes3,5 points

Partie I

On considère dans \(\mathbb R_+^2\) le système

\[ (S):\begin{cases} \sqrt{x}\left(1+\dfrac1{x+y}\right)=\dfrac{12}{5},\\[6pt] \sqrt{y}\left(1-\dfrac1{x+y}\right)=\dfrac45 \end{cases}\]

Pour une solution \((x,y)\), on pose \(z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\).

1.a) Montrer que

\[ z+\frac1z=\frac{12}{5}+\frac45i\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Puisque les expressions du système contiennent \(1/(x+y)\), toute solution vérifie \(x+y\neq0\). Ainsi, \(z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\neq0\).

On a

\[ |z|^2=(\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2=x+y\]

et, pour tout nombre complexe non nul, \(1/z=\overline z/|z|^2\). Donc

\[ \frac1z=\frac{\sqrt{x}-i\sqrt{y}}{x+y}\]

En additionnant \(z\) et \(1/z\), puis en regroupant la partie réelle et la partie imaginaire,

\[ \begin{aligned} z+\frac1z ={}&\sqrt{x}\left(1+\frac1{x+y}\right)\\ &+i\sqrt{y}\left(1-\frac1{x+y}\right) \end{aligned}\]

Les deux parenthèses sont exactement celles qui apparaissent dans le système \((S)\). En utilisant ses deux équations, on obtient

\[ \boxed{z+\frac1z=\frac{12}{5}+\frac45i}\]

1.b) Montrer que

\[ z^2-\left(\frac{12}{5}+\frac45i\right)z+1=0\]

puis déterminer les valeurs possibles de \(z\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On part de l’égalité précédente et on multiplie ses deux membres par \(z\neq0\) :

\[ z^2+1=\left(\frac{12}{5}+\frac45i\right)z\]

En ramenant tous les termes dans le premier membre,

\[ z^2-\left(\frac{12}{5}+\frac45i\right)z+1=0\]

Cette équation du second degré a pour discriminant

\[ \begin{aligned} \Delta &=\left(\frac{12}{5}+\frac45i\right)^2-4\\ &=\frac{144-16+96i}{25}-\frac{100}{25}\\ &=\frac{28}{25}+\frac{96}{25}i \end{aligned}\]

L’indication de l’énoncé donne

\[ \Delta=\left(\frac25(4+3i)\right)^2 =\left(\frac{8+6i}{5}\right)^2\]

On peut donc prendre \(\delta=(8+6i)/5\) comme racine carrée de \(\Delta\). Les solutions sont

\[ z=\frac{\frac{12+4i}{5}\pm\frac{8+6i}{5}}2\]

Avec le signe \(+\),

\[ z_1=\frac{20+10i}{10}=2+i\]

Avec le signe \(-\),

\[ z_2=\frac{4-2i}{10}=\frac25-\frac15i\]

\[ \boxed{z\in\left\{2+i,\ \frac25-\frac15i\right\}}\]

1.c) En déduire les valeurs possibles de \((x,y)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Par définition,

\[ z=\sqrt{x}+i\sqrt{y}\]

Les nombres \(\sqrt{x}\) et \(\sqrt{y}\) sont tous les deux positifs ou nuls. La partie réelle et la partie imaginaire de \(z\) doivent donc être positives ou nulles.

• Pour \(z=\dfrac25-\dfrac15i\), la partie imaginaire vaut \(-1/5<0\). Cette valeur est impossible.
• Pour \(z=2+i\), on lit \(\sqrt{x}=2\) et \(\sqrt{y}=1\).

En élevant au carré,

\[ x=2^2=4, \qquad y=1^2=1\]

La seule valeur possible est \(\boxed{(x,y)=(4,1)}\).

2. Résoudre le système \((S)\) dans \(\mathbb R_+^2\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Les questions précédentes montrent que toute solution du système \((S)\) doit nécessairement être le couple \((4,1)\). Il reste cependant à vérifier que ce couple satisfait effectivement les deux équations.

Pour la première équation,

\[ \sqrt4\left(1+\frac1{4+1}\right) =2\left(1+\frac15\right) =2\times\frac65=\frac{12}{5}\]

Pour la seconde équation,

\[ \sqrt1\left(1-\frac1{4+1}\right) =1\left(1-\frac15\right) =\frac45\]

Le couple \((4,1)\) vérifie donc bien les deux équations. Comme aucun autre couple n’est possible,

\[ \boxed{S_{(S)}=\{(4,1)\}}\]

Partie II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Les points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(C(c)\) appartiennent au cercle unité, sont deux à deux distincts et \(c\neq-a\).

1. Montrer que, pour tout \(z\in\mathbb C^*\),

\[ |z|=1\iff\overline z=\frac1z\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On utilise l’identité fondamentale

\[ z\overline z=|z|^2\]

Sens direct

Supposons \(|z|=1\). Alors \(z\overline z=1\). Comme \(z\neq0\), on peut diviser par \(z\) :

\[ \overline z=\frac1z\]

Sens réciproque

Supposons maintenant \(\overline z=1/z\). En multipliant par \(z\),

\[ z\overline z=1\]

donc \(|z|^2=1\). Puisque le module est toujours positif ou nul, l’unique possibilité est \(|z|=1\).

\[ \boxed{|z|=1\iff\overline z=\frac1z}\]

2.a) La droite passant par \(A\) et parallèle à \((BC)\) recoupe le cercle unité en \(P(p)\). Montrer que

\[ p=\frac{bc}{a}\]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Critère géométrique complexe : si \(X(x)\), \(Y(y)\), \(U(u)\) et \(V(v)\), alors les droites \((XY)\) et \((UV)\) sont parallèles si et seulement si \(\dfrac{y-x}{v-u}\) est réel, lorsque les dénominateurs sont non nuls.

Posons

\[ p_0=\frac{bc}{a}\]

Comme \(|a|=|b|=|c|=1\),

\[ |p_0|=\frac{|b||c|}{|a|}=1\]

Le point \(P_0(p_0)\) appartient donc au cercle unité. Vérifions maintenant que \((AP_0)\parallel(BC)\).

Puisque \(B\neq C\), on a \(c-b\neq0\). Considérons

\[ R=\frac{p_0-a}{c-b}=\frac{bc-a^2}{a(c-b)}\]

Sur le cercle unité, \(\overline a=1/a\), \(\overline b=1/b\) et \(\overline c=1/c\). Ainsi,

\[ \overline R =\frac{\frac{a}{bc}-\frac1a}{\frac1c-\frac1b} =\frac{bc-a^2}{a(c-b)}=R\]

Un nombre complexe égal à son conjugué est réel. Donc \(R\in\mathbb R\), ce qui prouve que \((AP_0)\parallel(BC)\).

Le point \(P_0\) possède les deux propriétés qui définissent \(P\) : il appartient au cercle et la droite passant par \(A\) et \(P_0\) est parallèle à \((BC)\).

\[ \boxed{p=\frac{bc}{a}}\]

2.b) La droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\) recoupe le cercle unité en \(Q(q)\). Montrer que \(q=-p\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Critère de perpendicularité : deux directions complexes non nulles sont perpendiculaires si leur quotient est imaginaire pur, c’est-à-dire si son conjugué est son opposé.

Posons

\[ q_0=-\frac{bc}{a}=-p\]

Comme \(|q_0|=|bc/a|=1\), le point \(Q_0(q_0)\) appartient au cercle unité.

Étudions la direction de \((AQ_0)\) par rapport à celle de \((BC)\) :

\[ R=\frac{q_0-a}{c-b}=-\frac{bc+a^2}{a(c-b)}\]

En utilisant de nouveau \(\overline a=1/a\), \(\overline b=1/b\) et \(\overline c=1/c\), on obtient

\[ \overline R=\frac{bc+a^2}{a(c-b)}=-R\]

Le quotient \(R\) est donc imaginaire pur. Par conséquent, \((AQ_0)\perp(BC)\). Le point \(Q_0\) est le point demandé.

\[ \boxed{q=-\frac{bc}{a}=-p}\]

2.c) La droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\) recoupe le cercle unité en \(R(r)\). Montrer que \((PR)\perp(OB)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

En appliquant le résultat de 2.a) à la droite passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\), on permute les rôles de \(A\) et \(C\). On obtient

\[ r=\frac{ab}{c}\]

La direction de la droite \((PR)\) est donnée par \(r-p\), tandis que celle de \((OB)\) est donnée par \(b\). Considérons donc le quotient

\[ \frac{r-p}{b} =\frac1b\left(\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}\right) =\frac{a}{c}-\frac{c}{a}\]

Calculons son conjugué :

\[ \overline{\left(\frac{a}{c}-\frac{c}{a}\right)} =\frac{\overline a}{\overline c}-\frac{\overline c}{\overline a} =\frac{c}{a}-\frac{a}{c} =-\left(\frac{a}{c}-\frac{c}{a}\right)\]

Le quotient \((r-p)/b\) est donc imaginaire pur. Cela signifie que les directions \(r-p\) et \(b\) sont perpendiculaires.

La condition \(c\neq-a\), ajoutée à \(c\neq a\), assure que \(r\neq p\) ; la droite \((PR)\) est donc bien définie.

\[ \boxed{(PR)\perp(OB)}\]

Exercice 3 — Structures algébriques3,5 points

On considère

\[ E=\left\{M(a,b,c)= \begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&-c\\0&c&b\end{pmatrix} \ ;\ (a,b,c)\in\mathbb R^3\right\}\]

1. Montrer que \(E\) est un sous-groupe de \((M_3(\mathbb R),+)\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Critère utilisé : un sous-ensemble non vide \(H\) d’un groupe \((G,+)\) est un sous-groupe si, pour tous \(X,Y\in H\), on a \(X-Y\in H\).

L’ensemble \(E\) n’est pas vide, car la matrice nulle s’écrit

\[ 0_{3}=M(0,0,0)\in E\]

Soient \(M(a,b,c)\) et \(M(a',b',c')\) deux éléments de \(E\). Leur différence vaut

\[ M(a,b,c)-M(a',b',c') =M(a-a',b-b',c-c')\]

Les trois nombres \(a-a'\), \(b-b'\) et \(c-c'\) sont réels. Cette différence appartient donc encore à \(E\).

Le critère de sous-groupe est vérifié, donc \(\boxed{E\text{ est un sous-groupe de }(M_3(\mathbb R),+)}\).

Sur \(\mathbb R\times\mathbb C\), on définit

\[ (x,z)*(x',z')=(x+x',z+z')\]

Et \(\varphi:E\to\mathbb R\times\mathbb C\) par

\[ \varphi(M(a,b,c))=(a,b+ci)\]

2.a) Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme et que \(\varphi(E)=\mathbb R\times\mathbb C\).

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Soient \(M=M(a,b,c)\) et \(M'=M(a',b',c')\) deux éléments de \(E\). On a

\[ M+M'=M(a+a',b+b',c+c')\]

En appliquant \(\varphi\),

\[ \varphi(M+M')=(a+a',(b+b')+(c+c')i)\]

D’autre part,

\[ \begin{aligned} \varphi(M)*\varphi(M') &=(a,b+ci)*(a',b'+c'i)\\ &=(a+a',(b+b')+(c+c')i) \end{aligned}\]

Les deux résultats sont égaux, donc \(\varphi\) respecte les lois :

\[ \varphi(M+M')=\varphi(M)*\varphi(M')\]

Ainsi, \(\varphi\) est un homomorphisme.

Montrons maintenant la surjectivité. Soit \((x,z)\in\mathbb R\times\mathbb C\). Écrivons \(z=u+iv\), avec \(u,v\in\mathbb R\). La matrice \(M(x,u,v)\) appartient à \(E\) et

\[ \varphi(M(x,u,v))=(x,u+iv)=(x,z)\]

Tout élément de \(\mathbb R\times\mathbb C\) possède donc un antécédent.

\(\boxed{\varphi\text{ est un homomorphisme surjectif et }\varphi(E)=\mathbb R\times\mathbb C}\).

2.b) En déduire que \((\mathbb R\times\mathbb C,*)\) est un groupe commutatif.

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le groupe \((E,+)\) est commutatif, car l’addition des matrices est commutative.

Résultat utilisé : l’image d’un groupe par un homomorphisme est un groupe. Si le groupe de départ est commutatif, son image est également commutative.

La question précédente montre que \(\varphi\) est un homomorphisme et que son image est tout l’ensemble \(\mathbb R\times\mathbb C\). Ainsi, \((\mathbb R\times\mathbb C,*)\) est l’image du groupe commutatif \((E,+)\).

Concrètement, son neutre est \((0,0)\), le symétrique de \((x,z)\) est \((-x,-z)\), et l’associativité ainsi que la commutativité viennent de l’addition dans \(\mathbb R\) et dans \(\mathbb C\).

\[ \boxed{(\mathbb R\times\mathbb C,*)\text{ est un groupe commutatif}}\]

On définit une seconde loi \(T\) sur \(\mathbb R\times\mathbb C\) par

\[ (x,z)T(x',z')=\bigl(x\operatorname{Re}(z')+x'\operatorname{Re}(z),zz'\bigr)\]

3.a) Montrer que \(T\) est commutative.

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Soient \((x,z)\) et \((x',z')\) dans \(\mathbb R\times\mathbb C\). Par définition,

\[ (x,z)T(x',z') =\bigl(x\operatorname{Re}(z')+x'\operatorname{Re}(z),zz'\bigr)\]

En échangeant les deux couples,

\[ (x',z')T(x,z) =\bigl(x'\operatorname{Re}(z)+x\operatorname{Re}(z'),z'z\bigr)\]

L’addition des réels est commutative, donc les premières composantes sont égales. La multiplication dans \(\mathbb C\) est aussi commutative, donc \(zz'=z'z\).

\[ \boxed{(x,z)T(x',z')=(x',z')T(x,z)}\]

3.b) Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre de \(T\).

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Pour tout \((x,z)\in\mathbb R\times\mathbb C\),

\[ \begin{aligned} (x,z)T(0,1) &=\bigl(x\operatorname{Re}(1)+0\operatorname{Re}(z),z\times1\bigr)\\ &=(x\times1+0,z)=(x,z) \end{aligned}\]

La loi \(T\) étant commutative, on a aussi

\[ (0,1)T(x,z)=(x,z)\]

Le couple \((0,1)\) est donc neutre à droite et à gauche.

\(\boxed{(0,1)\text{ est l’élément neutre de }T}\).

3.c) Vérifier que \((1,i)T(x,-i)=(0,1)\) pour tout \(x\in\mathbb R\), puis montrer que \(T\) n’est pas associative.

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Comme \(\operatorname{Re}(i)=\operatorname{Re}(-i)=0\), pour tout réel \(x\),

\[ \begin{aligned} (1,i)T(x,-i) &=\bigl(1\operatorname{Re}(-i)+x\operatorname{Re}(i),i(-i)\bigr)\\ &=(0,1) \end{aligned}\]

Pour montrer que \(T\) n’est pas associative, il suffit de trouver un contre-exemple. Posons

\[ A=(1,i),\qquad B=(0,-i),\qquad C=(1,-i)\]

D’abord, la relation précédente avec \(x=0\) donne \(ATB=(0,1)\). Comme \((0,1)\) est le neutre,

\[ (ATB)TC=(0,1)TC=C=(1,-i)\]

Calculons maintenant l’autre parenthésage :

\[ BTC=(0,-i)T(1,-i)=(0,-1)\]

puis

\[ AT(BTC)=(1,i)T(0,-1)=(-1,-i)\]

Les résultats \((1,-i)\) et \((-1,-i)\) sont différents. Donc

\[ \boxed{(ATB)TC\neq AT(BTC),\quad T\text{ n’est pas associative}}\]

On considère

\[ G=\{(\operatorname{Im}z,z)\ ;\ z\in\mathbb C\}\]

4.a) Montrer que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathbb R\times\mathbb C,*)\).

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Nous utilisons le critère de sous-groupe dans le groupe commutatif \((\mathbb R\times\mathbb C,*)\).

L’ensemble \(G\) est non vide, car

\[ (0,0)=(\operatorname{Im}0,0)\in G\]

Soient \((\operatorname{Im}z,z)\) et \((\operatorname{Im}w,w)\) deux éléments de \(G\). Leur différence pour la loi \(*\) est

\[ \begin{aligned} (\operatorname{Im}z,z)*(-\operatorname{Im}w,-w) &=(\operatorname{Im}z-\operatorname{Im}w,z-w)\\ &=(\operatorname{Im}(z-w),z-w) \end{aligned}\]

Ce couple appartient encore à \(G\). Le critère de sous-groupe est donc vérifié.

\(\boxed{G\text{ est un sous-groupe de }(\mathbb R\times\mathbb C,*)}\).

4.b) Pour \(z\in\mathbb C^*\), on pose \(\psi(z)=(\operatorname{Im}z,z)\). Montrer que \(\psi\) est un homomorphisme de \((\mathbb C^*,\times)\) vers \((\mathbb R\times\mathbb C,T)\).

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Soient \(z,w\in\mathbb C^*\). Par définition de \(T\),

\[ \psi(z)T\psi(w) =(\operatorname{Im}z,z)T(\operatorname{Im}w,w)\]

Sa première composante est

\[ \operatorname{Im}z\operatorname{Re}w +\operatorname{Im}w\operatorname{Re}z\]

Si \(z=a+ib\) et \(w=c+id\), alors \(zw=(ac-bd)+i(ad+bc)\). Ainsi, \[ \operatorname{Im}(zw)=ad+bc =\operatorname{Im}z\operatorname{Re}w +\operatorname{Im}w\operatorname{Re}z\]

La seconde composante est simplement \(zw\). Par conséquent,

\[ \psi(z)T\psi(w)=(\operatorname{Im}(zw),zw)=\psi(zw)\]

\(\boxed{\psi\text{ est un homomorphisme}}\).

4.c) En déduire que \((G\setminus\{(0,0)\},T)\) est un groupe commutatif.

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L’application \(\psi\) est injective : si \(\psi(z)=\psi(w)\), l’égalité des secondes composantes donne immédiatement \(z=w\).

Elle est aussi surjective de \(\mathbb C^*\) sur \(G\setminus\{(0,0)\}\) : tout élément non nul de \(G\) s’écrit \((\operatorname{Im}z,z)=\psi(z)\) avec \(z\neq0\).

La question 4.b) montre en plus que \(\psi\) respecte les lois. C’est donc un isomorphisme entre le groupe commutatif \((\mathbb C^*,\times)\) et \((G\setminus\{(0,0)\},T)\).

L’isomorphisme transporte toutes les propriétés de groupe : associativité, élément neutre, existence des inverses et commutativité.

\[ \boxed{(G\setminus\{(0,0)\},T)\text{ est un groupe commutatif}}\]

5. Montrer que \((G,*,T)\) est un corps commutatif.

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Pour montrer que \((G,*,T)\) est un corps commutatif, nous vérifions les propriétés déjà établies et la distributivité.

• La question 4.a) montre que \((G,*)\) est un groupe commutatif. Son élément neutre est \((0,0)\).
• La question 4.c) montre que \((G\setminus\{(0,0)\},T)\) est un groupe commutatif. Son élément neutre est \((0,1)\).
• Les deux éléments neutres sont distincts : \((0,0)\neq(0,1)\).

Il reste à vérifier que \(T\) est distributive par rapport à \(*\). Soient

\[ X=(\operatorname{Im}z,z),\quad Y=(\operatorname{Im}w,w),\quad Z=(\operatorname{Im}u,u)\]

trois éléments de \(G\). On a

\[ Y*Z=(\operatorname{Im}(w+u),w+u)\]

Grâce au résultat de 4.b), la loi \(T\) sur les éléments de \(G\) correspond à la multiplication des nombres complexes. Ainsi,

\[ XT(Y*Z)=(\operatorname{Im}(z(w+u)),z(w+u))\]

D’autre part,

\[ XTY=(\operatorname{Im}(zw),zw), \qquad XTZ=(\operatorname{Im}(zu),zu)\]

Donc

\[ \begin{aligned} (XTY)*(XTZ) &=(\operatorname{Im}(zw)+\operatorname{Im}(zu),zw+zu)\\ &=(\operatorname{Im}(z(w+u)),z(w+u)) \end{aligned}\]

Par conséquent,

\[ XT(Y*Z)=(XTY)*(XTZ)\]

La distributivité à droite découle de la commutativité de \(T\).

Toutes les propriétés d’un corps commutatif sont vérifiées. Ainsi, \(\boxed{(G,*,T)\text{ est un corps commutatif}}\).

Exercice 4 — Arithmétique3 points

Soit \(p\) un nombre premier impair et

\[ S=1+p+p^2+\cdots+p^{p-1}\]

Soit \(q\) un nombre premier divisant \(S\).

1.a) Montrer que \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux.

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Réduisons la somme \(S\) modulo \(p\). Tous les termes contenant un facteur \(p\) sont congrus à \(0\) modulo \(p\) :

\[ p\equiv p^2\equiv\cdots\equiv p^{p-1}\equiv0\pmod p\]

Il reste donc seulement le premier terme :

\[ S=1+p+p^2+\cdots+p^{p-1}\equiv1\pmod p\]

Ainsi, \(p\) ne divise pas \(S\). Or \(q\) divise \(S\). Si l’on avait \(q=p\), alors \(p\) diviserait \(S\), ce qui est impossible. Donc \(p\neq q\).

Deux nombres premiers distincts n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\).

\[ \boxed{\gcd(p,q)=1}\]

1.b) En déduire que \(p^{q-1}\equiv1\pmod q\).

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Petit théorème de Fermat : si \(q\) est premier et si \(q\nmid a\), alors \(a^{q-1}\equiv1\pmod q\).

Ici, \(q\) est premier et la question 1.a) donne \(\gcd(p,q)=1\), donc \(q\nmid p\). On peut appliquer le petit théorème de Fermat avec \(a=p\).

\[ \boxed{p^{q-1}\equiv1\pmod q}\]

1.c) Vérifier que \(p^p-1=(p-1)S\), puis en déduire que \(p^p\equiv1\pmod q\).

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Multiplions la somme \(S\) par \(p-1\) :

\[ \begin{aligned} (p-1)S &=pS-S\\ &=(p+p^2+\cdots+p^p)-(1+p+\cdots+p^{p-1}) \end{aligned}\]

Tous les termes intermédiaires se simplifient ; il reste

\[ (p-1)S=p^p-1\]

Comme \(q\mid S\), on a \(S\equiv0\pmod q\), donc

\[ (p-1)S\equiv0\pmod q\]

En utilisant l’identité précédente,

\[ p^p-1\equiv0\pmod q\]

\[ \boxed{p^p\equiv1\pmod q}\]

2.a) On suppose que \(p\) et \(q-1\) sont premiers entre eux. En utilisant Bézout, montrer que \(p\equiv1\pmod q\).

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L’hypothèse \(\gcd(p,q-1)=1\) permet d’appliquer le théorème de Bézout. Il existe donc deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que

\[ up+v(q-1)=1\]

D’après les questions 1.b) et 1.c),

\[ p^{q-1}\equiv1\pmod q \qquad\text{et}\qquad p^p\equiv1\pmod q\]

Comme \(\gcd(p,q)=1\), la classe de \(p\) modulo \(q\) possède un inverse. On peut donc utiliser des exposants entiers relatifs ; un exposant négatif désigne une puissance de cet inverse.

En élevant les deux congruences aux puissances \(v\) et \(u\), puis en les multipliant,

\[ (p^p)^u(p^{q-1})^v\equiv1^u1^v\equiv1\pmod q\]

Mais

\[ (p^p)^u(p^{q-1})^v =p^{up+v(q-1)}=p^1=p\]

\[ \boxed{p\equiv1\pmod q}\]

2.b) En déduire que \(S\equiv1\pmod q\).

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De \(p\equiv1\pmod q\), on déduit, pour tout entier \(k\geq0\),

\[ p^k\equiv1^k\equiv1\pmod q\]

La somme \(S=1+p+p^2+\cdots+p^{p-1}\) comporte exactement \(p\) termes. Chacun de ces termes est congru à \(1\) modulo \(q\). Ainsi,

\[ S\equiv\underbrace{1+1+\cdots+1}_{p\text{ termes}}\equiv p\pmod q\]

Or la question 2.a) donne \(p\equiv1\pmod q\). Donc

\[ \boxed{S\equiv1\pmod q}\]

3. Montrer que \(q\equiv1\pmod p\).

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Nous raisonnons par contradiction. Supposons que \(p\) et \(q-1\) soient premiers entre eux, c’est-à-dire

\[ \gcd(p,q-1)=1\]

Alors la question 2.b) donne

\[ S\equiv1\pmod q\]

Mais l’énoncé affirme que \(q\mid S\), donc nécessairement

\[ S\equiv0\pmod q\]

Les congruences \(S\equiv1\pmod q\) et \(S\equiv0\pmod q\) sont incompatibles. L’hypothèse \(\gcd(p,q-1)=1\) est donc fausse :

\[ \gcd(p,q-1)\neq1\]

Or \(p\) est premier. Le nombre \(\gcd(p,q-1)\) est un diviseur positif de \(p\), donc il ne peut être que \(1\) ou \(p\). Comme il n’est pas égal à \(1\), il vaut \(p\).

\[ \gcd(p,q-1)=p, \qquad\text{donc}\qquad p\mid(q-1)\]

\[ \boxed{q\equiv1\pmod p}\]

Correction complète — Chaque question peut être ouverte ou masquée indépendamment.