Examen national 2023 — Session de rattrapage — Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre

Parcours Maths Maroc — Correction détaillée interactive

Examen national 2023 — Session de rattrapage

Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre — Option française

Exercice 1 — Suites Exercice 2 — Espace Exercice 3 — Complexes Exercice 4 — Probabilités Problème — Analyse

Exercice 1 — Suites numériques3 points

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par

\[ u_0=0 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{u_n-2}{2u_n+5} \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N \]

1) Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n>-1\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour tout \(n\in\mathbb N\), notons \(P_n\) la propriété

\[ P_n:\quad u_n>-1 \]

Initialisation

Pour \(n=0\), on a \(u_0=0>-1\). La propriété \(P_0\) est donc vraie.

Hérédité

Soit \(n\in\mathbb N\) fixé. Supposons que \(P_n\) est vraie, c’est-à-dire supposons que \(u_n>-1\).

Alors \(u_n+1>0\) et

\[ 2u_n+5>2(-1)+5=3>0 \]

De plus,

\[ \begin{aligned} u_{n+1}+1 &=\frac{u_n-2}{2u_n+5}+1\\ &=\frac{u_n-2+2u_n+5}{2u_n+5}\\ &=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5} \end{aligned} \]

Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs. Ainsi, \(u_{n+1}+1>0\), donc \(u_{n+1}>-1\). La propriété \(P_{n+1}\) est vraie.

Conclusion

Par le principe de récurrence, la propriété \(P_n\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).

\[ \forall n\in\mathbb N\qquad u_n>-1 \]

2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante, puis en déduire qu’elle est convergente

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après la question précédente, pour tout \(n\in\mathbb N\), on a \(u_n>-1\), donc \(2u_n+5>3>0\).

Calculons la différence \(u_{n+1}-u_n\)

\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=\frac{u_n-2}{2u_n+5}-u_n\\ &=\frac{u_n-2-u_n(2u_n+5)}{2u_n+5}\\ &=\frac{-2u_n^2-4u_n-2}{2u_n+5}\\ &=\frac{-2(u_n+1)^2}{2u_n+5} \end{aligned} \]

Comme \((u_n+1)^2>0\) et \(2u_n+5>0\), on obtient \(u_{n+1}-u_n<0\). La suite \((u_n)\) est donc strictement décroissante.

Par ailleurs, elle est minorée par \(-1\). Toute suite décroissante et minorée est convergente.

La suite \((u_n)\) est strictement décroissante et convergente

3.a) On pose \(v_n=\dfrac{3}{1+u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(2\), puis déterminer son premier terme

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après la question 1, \(u_n>-1\), donc \(1+u_n\neq0\) et la suite \((v_n)\) est bien définie.

On a déjà obtenu

\[ u_{n+1}+1=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5} \]

Par conséquent,

\[ \begin{aligned} v_{n+1} &=\frac{3}{1+u_{n+1}}\\ &=\frac{3}{\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}}\\ &=\frac{2u_n+5}{u_n+1}\\ &=\frac{2(u_n+1)+3}{u_n+1}\\ &=2+\frac{3}{u_n+1}\\ &=2+v_n \end{aligned} \]

Ainsi, \(v_{n+1}-v_n=2\). La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\).

Son premier terme est

\[ v_0=\frac{3}{1+u_0}=\frac{3}{1}=3 \]

La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(v_0=3\)

3.b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), pour tout \(n\in\mathbb N\), puis en déduire la limite de la suite \((u_n)\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Puisque \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et de premier terme \(v_0=3\), on a

\[ v_n=v_0+2n=2n+3 \]

Or \(v_n=\dfrac{3}{1+u_n}\). Donc

\[ \frac{3}{1+u_n}=2n+3 \]

Il vient

\[ 1+u_n=\frac{3}{2n+3} \]

puis

\[ u_n=\frac{3}{2n+3}-1=-\frac{2n}{2n+3} \]

Lorsque \(n\to+\infty\), le quotient \(-\dfrac{2n}{2n+3}\) tend vers le quotient des coefficients dominants.

\[ u_n=-\frac{2n}{2n+3} \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}u_n=-1 \]

4.a) On pose \(w_n=e^{3-v_n}\). Montrer que \((w_n)\) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Comme \(v_{n+1}=v_n+2\), on obtient

\[ \begin{aligned} w_{n+1} &=e^{3-v_{n+1}}\\ &=e^{3-(v_n+2)}\\ &=e^{-2}e^{3-v_n}\\ &=e^{-2}w_n \end{aligned} \]

La suite \((w_n)\) est donc géométrique de raison \(e^{-2}\).

Son premier terme est

\[ w_0=e^{3-v_0}=e^{3-3}=1 \]

La suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(e^{-2}\) et de premier terme \(w_0=1\)

4.b) On pose \(S_n=w_0+w_1+\cdots+w_n\). Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

La suite \((w_n)\) est géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(q=e^{-2}\), avec \(0<q<1\).

La somme des \(n+1\) premiers termes est donc

\[ S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} =\frac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}} \]

Comme \(e^{-2(n+1)}\to0\), on obtient

\[ \lim_{n\to+\infty}S_n =\frac{1}{1-e^{-2}} =\frac{e^2}{e^2-1} \]

Exercice 2 — Géométrie dans l’espace3 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points

\[ A(2,1,2),\quad B(-2,0,5),\quad C(4,-5,7),\quad \Omega(1,-1,0) \]

On pose \(\vec u=\overrightarrow{\Omega A}\). Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R=3\).

1.a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\vec u\), puis en déduire que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On calcule d’abord les vecteurs

\[ \overrightarrow{AB}=(-4,-1,3), \qquad \overrightarrow{AC}=(2,-6,5) \]

Le produit vectoriel vaut

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} &=\begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ -4&-1&3\\ 2&-6&5 \end{vmatrix}\\ &=(13,26,26)\\ &=13(1,2,2) \end{aligned} \]

Or

\[ \vec u=\overrightarrow{\Omega A}=(2-1,1-(-1),2-0)=(1,2,2) \]

Donc

\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13\vec u \]

Ce produit vectoriel est non nul. Par conséquent, les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.

Les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés

1.b) Vérifier que \(x+2y+2z-8=0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Un vecteur normal au plan \((ABC)\) est

\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=13(1,2,2) \]

Le vecteur \((1,2,2)\) est donc normal au plan \((ABC)\). Une équation de ce plan est de la forme

\[ x+2y+2z+d=0 \]

Comme le point \(A(2,1,2)\) appartient au plan,

\[ 2+2\times1+2\times2+d=0 \]

d’où \(d=-8\).

\[ (ABC):\quad x+2y+2z-8=0 \]

1.c) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On a

\[ \overrightarrow{\Omega A}=(1,2,2) \]

et

\[ \Omega A=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3=R \]

Ainsi, le point \(A\) appartient à la sphère \((S)\).

De plus, le vecteur \(\overrightarrow{\Omega A}=(1,2,2)\) est normal au plan \((ABC)\). Le plan passe donc par un point de la sphère et il est orthogonal au rayon mené à ce point.

Le plan \((ABC)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(A\)

2.a) Soit \((P)\) le plan d’équation \(3x+4y+z+1=0\), et \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et orthogonale à \((P)\). Montrer que \((\Delta)\) coupe \((P)\) au point \(H\left(\dfrac12,-1,\dfrac32\right)\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Un vecteur normal au plan \((P)\) est \(\vec n=(3,4,1)\). Puisque \((\Delta)\) est orthogonale à \((P)\), elle a pour vecteur directeur \(\vec n\).

Comme elle passe par \(A(2,1,2)\), une représentation paramétrique de \((\Delta)\) est

\[ \begin{cases} x=2+3t\\ y=1+4t\\ z=2+t \end{cases} \qquad t\in\mathbb R \]

Un point de \((\Delta)\) appartient au plan \((P)\) si

\[ 3(2+3t)+4(1+4t)+(2+t)+1=0 \]

Donc

\[ 13+26t=0 \qquad\Longrightarrow\qquad t=-\frac12 \]

Pour cette valeur,

\[ x=\frac12, \qquad y=-1, \qquad z=\frac32 \]

\[ H\left(\frac12,-1,\frac32\right) \]

2.b) Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(H\) soit le milieu du segment \([AD]\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le point \(H\) est le milieu de \([AD]\), donc

\[ \overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA} \]

Ainsi,

\[ \begin{aligned} x_D&=2\times\frac12-2=-1\\ y_D&=2\times(-1)-1=-3\\ z_D&=2\times\frac32-2=1 \end{aligned} \]

\[ D(-1,-3,1) \]

3.a) Soit \((Q)\) le plan passant par \(D\) et de vecteur normal \(\overrightarrow{\Omega D}\). Montrer que \((Q)\) est tangent à la sphère \((S)\) en \(D\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On calcule

\[ \overrightarrow{\Omega D}=(-1-1,-3-(-1),1-0)=(-2,-2,1) \]

Sa norme est

\[ \Omega D=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=3=R \]

Le point \(D\) appartient donc à la sphère \((S)\).

Par définition, le plan \((Q)\) passe par \(D\) et possède pour vecteur normal le rayon \(\overrightarrow{\Omega D}\).

Le plan \((Q)\) est tangent à la sphère \((S)\) au point \(D\)

3.b) Montrer que les plans \((Q)\) et \((ABC)\) se coupent suivant la droite \((BC)\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le plan \((Q)\) passe par \(D(-1,-3,1)\) et a pour vecteur normal \((-2,-2,1)\). Une équation cartésienne de \((Q)\) est donc

\[ -2(x+1)-2(y+3)+(z-1)=0 \]

soit

\[ (Q):\quad -2x-2y+z-9=0 \]

Vérifions que \(B\) et \(C\) appartiennent à \((Q)\)

\[ -2(-2)-2(0)+5-9=0 \]

\[ -2(4)-2(-5)+7-9=0 \]

Ainsi, les points distincts \(B\) et \(C\) appartiennent à la fois aux plans \((Q)\) et \((ABC)\).

Les vecteurs normaux \((-2,-2,1)\) et \((1,2,2)\) ne sont pas colinéaires, donc les deux plans sont sécants. Leur intersection est la droite passant par \(B\) et \(C\).

\[ (Q)\cap(ABC)=(BC) \]

Exercice 3 — Nombres complexes3 points

On utilise les notations usuelles du plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\).

1.a) On considère \(a=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac32i\). Montrer que \(a=\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le module de \(a\) est

\[ |a|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac32\right)^2} =\sqrt{\frac34+\frac94} =\sqrt3 \]

De plus,

\[ \cos\theta=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3}=\frac12, \qquad \sin\theta=\frac{\frac32}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2} \]

Comme les parties réelle et imaginaire sont positives, on peut choisir \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).

\[ a=\sqrt3\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) \]

1.b) En déduire que \(a^{2022}\) est un nombre réel

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après la formule de Moivre,

\[ a^{2022}=(\sqrt3)^{2022} \left(\cos\frac{2022\pi}{3}+i\sin\frac{2022\pi}{3}\right) \]

Or

\[ \frac{2022\pi}{3}=674\pi \]

Donc \(\sin(674\pi)=0\) et \(\cos(674\pi)=1\).

\[ a^{2022}=3^{1011}\in\mathbb R \]

2) Les points \(A\) et \(B\) ont pour affixes respectives \(a\) et \(\overline a\). Déterminer une mesure de l’angle de la rotation de centre \(O\) qui transforme \(B\) en \(A\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On a \(|a|=\sqrt3\), donc \(a\neq0\) et \(\overline a\neq0\).

Si \(\theta\) est l’angle de cette rotation, alors

\[ a=e^{i\theta}\overline a \]

Comme \(\overline a\neq0\), on peut diviser par \(\overline a\). Donc

\[ e^{i\theta}=\frac{a}{\overline a} \]

On a \(\arg(a)=\dfrac{\pi}{3}\) et \(\arg(\overline a)=-\dfrac{\pi}{3}\). Ainsi,

\[ \theta\equiv\arg(a)-\arg(\overline a) \equiv\frac{2\pi}{3}\pmod{2\pi} \]

\[ \theta=\frac{2\pi}{3} \]

3.a) On considère \((E_\alpha):z^2-\sqrt3z+\alpha=0\), où \(\alpha\) est réel non nul. On suppose que ses racines sont deux nombres complexes conjugués non réels \(z\) et \(\overline z\). Justifier que \(\alpha>\dfrac34\) et que \(\alpha=z\overline z\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le discriminant de l’équation est

\[ \Delta=3-4\alpha \]

Comme les deux racines sont non réelles, on doit avoir \(\Delta<0\). Donc

\[ 3-4\alpha<0 \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha>\frac34 \]

D’après les relations de Viète, le produit des racines vaut le terme constant divisé par le coefficient de \(z^2\).

\[ z\overline z=\alpha \]

\[ \alpha>\frac34 \qquad\text{et}\qquad \alpha=z\overline z \]

3.b) Sans résoudre l’équation, montrer que \(|z|=|z-\sqrt3|\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

D’après les relations de Viète, la somme des deux racines est

\[ z+\overline z=\sqrt3 \]

Il en résulte

\[ z-\sqrt3=-\overline z \]

En prenant les modules,

\[ |z-\sqrt3|=|-\overline z|=|\overline z|=|z| \]

\[ |z|=|z-\sqrt3| \]

3.c) En déduire que les points \(M(z)\) et \(N(\overline z)\) appartiennent à la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([OP]\), où \(P\) a pour affixe \(\sqrt3\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour le point \(M\), on a

\[ OM=|z| \qquad\text{et}\qquad PM=|z-\sqrt3| \]

D’après la question précédente, \(OM=PM\). Le point \(M\) est donc équidistant de \(O\) et de \(P\), ce qui signifie qu’il appartient à la médiatrice de \([OP]\).

De même,

\[ ON=|\overline z|=|z| \]

et

\[ PN=|\overline z-\sqrt3| =|\overline{z-\sqrt3}| =|z-\sqrt3| \]

Donc \(ON=PN\), et le point \(N\) appartient aussi à la médiatrice de \([OP]\).

Les points \(M\) et \(N\) appartiennent à la médiatrice \((\Delta)\) du segment \([OP]\)

3.d) Déterminer la valeur de \(\alpha\) pour laquelle \(|z-\sqrt3|=\sqrt3\), puis déterminer les points d’intersection de \((\Delta)\) avec le cercle de centre \(P\) et de rayon \(\sqrt3\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Si \(|z-\sqrt3|=\sqrt3\), alors, d’après la question 3.b,

\[ |z|=\sqrt3 \]

Or \(\alpha=z\overline z=|z|^2\). Donc

\[ \alpha=3 \]

Pour \(\alpha=3\), l’équation devient

\[ z^2-\sqrt3z+3=0 \]

Son discriminant est

\[ \Delta=3-12=-9 \]

Les deux racines sont

\[ z_1=\frac{\sqrt3+3i}{2}, \qquad z_2=\frac{\sqrt3-3i}{2} \]

Elles représentent les deux points appartenant à la fois à la médiatrice \((\Delta)\) et au cercle de centre \(P\) et de rayon \(\sqrt3\).

\[ \alpha=3 \]

\[ \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac32\right) \qquad\text{et}\qquad \left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac32\right) \]

Exercice 4 — Calcul des probabilités3 points

Une urne contient quatre boules blanches et deux boules noires, indiscernables au toucher.

1.a) On tire simultanément deux boules. Calculer la probabilité de l’événement \(A\) : « tirer au moins une boule noire »

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Le nombre total de tirages simultanés de deux boules parmi six est

\[ \binom62=15 \]

L’événement contraire de \(A\) est : « tirer deux boules blanches ». Il possède

\[ \binom42=6 \]

issues favorables. Donc

\[ P(A)=1-\frac{6}{15}=\frac{9}{15}=\frac35 \]

\[ P(A)=\frac35 \]

1.b) Soit \(B\) l’événement : « obtenir deux boules de même couleur ». Montrer que \(P(B)=\dfrac7{15}\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

L’événement \(B\) se réalise lorsque les deux boules sont blanches ou lorsque les deux boules sont noires.

Le nombre d’issues favorables est donc

\[ \binom42+\binom22=6+1=7 \]

Comme le nombre total d’issues est \(15\),

\[ P(B)=\frac7{15} \]

1.c) On répète l’expérience cinq fois avec remise. Calculer la probabilité que l’événement \(B\) soit réalisé exactement trois fois

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Les cinq expériences sont indépendantes et, à chaque expérience, la probabilité de réaliser \(B\) est \(p=\dfrac7{15}\).

Le nombre de réalisations de \(B\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(5\) et \(\dfrac7{15}\).

La probabilité d’obtenir exactement trois réalisations est

\[ \binom53\left(\frac7{15}\right)^3 \left(1-\frac7{15}\right)^2 \]

\[ P=\binom53\left(\frac7{15}\right)^3\left(\frac8{15}\right)^2 \]

2.a) On tire les boules une à une, sans remise, et on s’arrête lorsqu’on obtient une boule blanche pour la première fois. Soit \(X\) le nombre de tirages effectués. Justifier que \(X\) prend les valeurs \(1\), \(2\) et \(3\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Si la première boule est blanche, l’expérience s’arrête après un tirage : \(X=1\).

Si la première boule est noire et la deuxième blanche, l’expérience s’arrête après deux tirages : \(X=2\).

Enfin, si les deux premières boules sont les deux boules noires, la troisième boule est nécessairement blanche. L’expérience s’arrête alors après trois tirages : \(X=3\).

\[ X(\Omega)=\{1,2,3\} \]

2.b) Montrer que \(P(X=2)=\dfrac4{15}\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

L’événement \(X=2\) signifie : tirer d’abord une boule noire, puis une boule blanche.

\[ P(X=2)=\frac26\times\frac45 =\frac{8}{30} =\frac4{15} \]

\[ P(X=2)=\frac4{15} \]

2.c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On a

\[ P(X=1)=\frac46=\frac23 \]

La question précédente donne

\[ P(X=2)=\frac4{15} \]

Enfin, \(X=3\) signifie que les deux premières boules sont noires

\[ P(X=3)=\frac26\times\frac15=\frac1{15} \]

\(x\)	1	2	3
\(P(X=x)\)	\(\frac23\)	\(\frac4{15}\)	\(\frac1{15}\)

On vérifie que \(\dfrac23+\dfrac4{15}+\dfrac1{15}=1\).

2.d) Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule noire

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Obtenir au moins une boule noire signifie que la première boule n’est pas blanche. Cela correspond aux événements \(X=2\) ou \(X=3\).

\[ P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3) \]

\[ P(X\geq2)=\frac4{15}+\frac1{15}=\frac5{15}=\frac13 \]

\[ P(\text{au moins une boule noire})=\frac13 \]

Problème — Fonctions et calcul intégral8 points

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[ f(x)= \begin{cases} (x-1)^2e^{x(2-x)}&\text{si }x\leq2\\[4pt] 1+(x-2)^2\ln(x-2)&\text{si }x>2 \end{cases} \]

On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\), d’unité \(1\,\mathrm{cm}\).

1) Montrer que la fonction \(f\) est continue au point \(2\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Comme \(2\leq2\),

\[ f(2)=(2-1)^2e^{2(2-2)}=1 \]

La fonction définie par \((x-1)^2e^{x(2-x)}\) est continue, donc

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=f(2)=1 \]

À droite de \(2\), posons \(t=x-2\). Alors \(t\to0^+\) et

\[ f(x)=1+t^2\ln t \]

Pour justifier la limite, posons \(u=1/t\). Lorsque \(t\to0^+\), \(u\to+\infty\), et

\[ t^2\ln t=-\frac{\ln u}{u^2}\longrightarrow0 \]

par croissance comparée. Ainsi,

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=1 \]

Les deux limites sont égales à \(f(2)\).

La fonction \(f\) est continue au point \(2\)

2.a) Vérifier que, pour tout \(x<2\) et \(x\neq0\),

\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} =xe^{x(2-x)}-x\frac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)} \]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Soit \(x<2\) avec \(x\neq0\). Alors \(x\neq2\), et les dénominateurs \(x\), \(2-x\) et \(x-2\) sont non nuls.

On a

\[ f(x)-f(2)=(x-1)^2e^{x(2-x)}-1 \]

Or

\[ (x-1)^2=1-x(2-x) \]

Donc

\[ f(x)-f(2)=\bigl(1-x(2-x)\bigr)e^{x(2-x)}-1 \]

D’autre part,

\[ \begin{aligned} &(x-2)\left[xe^{x(2-x)}-x\frac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}\right]\\ &=x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}-1\\ &=\bigl(1-x(2-x)\bigr)e^{x(2-x)}-1\\ &=f(x)-f(2) \end{aligned} \]

Comme \(x\neq2\), on peut diviser par \(x-2\), ce qui donne l’égalité demandée.

2.b) Montrer que \(f\) est dérivable à gauche en \(2\)

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Dans l’égalité de la question précédente, posons

\[ u=x(2-x) \]

Lorsque \(x\to2^-\), on a \(u\to0\). De plus,

\[ xe^{u}\longrightarrow2 \]

et la limite usuelle

\[ \lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1 \]

donne

\[ x\frac{e^u-1}{u}\longrightarrow2 \]

Ainsi,

\[ \lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2-2=0 \]

La fonction \(f\) est dérivable à gauche en \(2\) et son nombre dérivé à gauche vaut \(0\)

2.c) Montrer que \(f\) est dérivable en \(2\), que \(f'(2)=0\), puis interpréter géométriquement le résultat

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x>2\),

\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} =\frac{(x-2)^2\ln(x-2)}{x-2} =(x-2)\ln(x-2) \]

Lorsque \(x\to2^+\), on a la limite usuelle

\[ (x-2)\ln(x-2)\longrightarrow0 \]

Le nombre dérivé à droite en \(2\) vaut donc \(0\). D’après la question précédente, le nombre dérivé à gauche vaut également \(0\).

\[ f'(2)=0 \]

La courbe \((C)\) admet au point \(A(2,1)\) une tangente horizontale d’équation \(y=1\)

3.a) Vérifier que, pour tout \(x\leq2\),

\[ f(x)=x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)} \]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

On a

\[ x(x-2)+1=x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

Par conséquent,

\[ \begin{aligned} x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)} &=\bigl(x(x-2)+1\bigr)e^{x(2-x)}\\ &=(x-1)^2e^{x(2-x)}\\ &=f(x) \end{aligned} \]

3.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\), puis interpréter géométriquement le résultat

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x\leq2\), on remarque que

\[ x(2-x)=1-(x-1)^2 \]

Ainsi,

\[ f(x)=e\,(x-1)^2e^{-(x-1)^2} \]

Posons \(t=(x-1)^2\). Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(t\to+\infty\). Donc

\[ f(x)=e\frac{t}{e^t} \]

La croissance comparée donne \(\dfrac{t}{e^t}\to0\).

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \]

La droite d’équation \(y=0\) est une asymptote horizontale à \((C)\) au voisinage de \(-\infty\)

3.c) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\), puis interpréter géométriquement les résultats

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x>2\), posons \(t=x-2\). Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(t\to+\infty\), et

\[ f(x)=1+t^2\ln t \]

Comme \(t^2\to+\infty\) et \(\ln t\to+\infty\),

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]

De plus,

\[ \frac{f(x)}x=\frac{1}{t+2}+\frac{t^2}{t+2}\ln t \]

On a \(\dfrac{1}{t+2}\to0\). De plus, pour \(t\geq2\),

\[ \frac{t^2}{t+2}\geq\frac t2 \]

Or \(\dfrac t2\ln t\to+\infty\). Par comparaison, \(\dfrac{t^2}{t+2}\ln t\to+\infty\). Ainsi,

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty \]

La courbe \((C)\) possède au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

4.a) Montrer que, pour tout \(x<2\),

\[ f'(x)=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)} \]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x<2\),

\[ f(x)=(x-1)^2e^{x(2-x)} \]

La dérivée de \((x-1)^2\) est \(2(x-1)\), et la dérivée de \(x(2-x)\) est \(2-2x=-2(x-1)\).

En appliquant la formule de dérivation d’un produit,

\[ \begin{aligned} f'(x) &=2(x-1)e^{x(2-x)} +(x-1)^2(2-2x)e^{x(2-x)}\\ &=2(x-1)e^{x(2-x)}-2(x-1)^3e^{x(2-x)}\\ &=2(x-1)e^{x(2-x)}\bigl(1-(x-1)^2\bigr) \end{aligned} \]

Or

\[ 1-(x-1)^2=x(2-x) \]

Donc

\[ f'(x)=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)} \]

4.b) Montrer que, pour tout \(x>2\),

\[ f'(x)=(x-2)\bigl(1+2\ln(x-2)\bigr) \]

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Pour \(x>2\),

\[ f(x)=1+(x-2)^2\ln(x-2) \]

En dérivant le produit \((x-2)^2\ln(x-2)\), on obtient

\[ \begin{aligned} f'(x) &=2(x-2)\ln(x-2)+(x-2)^2\frac1{x-2}\\ &=2(x-2)\ln(x-2)+(x-2)\\ &=(x-2)\bigl(1+2\ln(x-2)\bigr) \end{aligned} \]

4.c) Résoudre dans \(]2,+\infty[\) l’inéquation

\[ 1+2\ln(x-2)\leq0 \]

Lire la correction +Masquer la correction −+-

Pour \(x>2\), on a \(x-2>0\). L’inéquation équivaut à

\[ 2\ln(x-2)\leq-1 \]

puis

\[ \ln(x-2)\leq-\frac12 \]

La fonction logarithme népérien étant strictement croissante,

\[ 0<x-2\leq e^{-1/2}=\frac1{\sqrt e} \]

\[ x\in\left]2,2+\frac1{\sqrt e}\right] \]

4.d) Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb R\), puis dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb R\)

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Signe de \(f'\) sur \(]-\infty,2[\)

Pour \(x<2\), les facteurs \(2\), \(2-x\) et \(e^{x(2-x)}\) sont strictement positifs. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x(x-1)\).

• Si \(x<0\), alors \(x<0\) et \(x-1<0\), donc \(f'(x)>0\)
• Si \(0<x<1\), alors \(x>0\) et \(x-1<0\), donc \(f'(x)<0\)
• Si \(1<x<2\), alors \(x>0\) et \(x-1>0\), donc \(f'(x)>0\)

De plus, \(f'(0)=0\), \(f'(1)=0\) et \(f'(2)=0\).

Signe de \(f'\) sur \(]2,+\infty[\)

Le facteur \(x-2\) est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(1+2\ln(x-2)\).

• Sur \(\left]2,2+\dfrac1{\sqrt e}\right[\), on a \(f'(x)<0\)
• Pour \(x=2+\dfrac1{\sqrt e}\), on a \(f'(x)=0\)
• Sur \(\left]2+\dfrac1{\sqrt e},+\infty\right[\), on a \(f'(x)>0\)

Variations de \(f\)

Les valeurs utiles sont

\[ f(0)=1, \qquad f(1)=0, \qquad f(2)=1 \]

\[ f\left(2+\frac1{\sqrt e}\right) =1+\frac1e\ln\left(\frac1{\sqrt e}\right) =1-\frac1{2e} \]

• \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty,0]\), de la limite \(0\) jusqu’à la valeur \(1\)
• \(f\) est strictement décroissante sur \([0,1]\), de \(1\) jusqu’à \(0\)
• \(f\) est strictement croissante sur \([1,2]\), de \(0\) jusqu’à \(1\)
• \(f\) est strictement décroissante sur \(\left[2,2+\dfrac1{\sqrt e}\right]\), de \(1\) jusqu’à \(1-\dfrac1{2e}\)
• \(f\) est strictement croissante sur \(\left[2+\dfrac1{\sqrt e},+\infty\right[\), de \(1-\dfrac1{2e}\) vers \(+\infty\)

5) Construire la courbe \((C)\). On donne \(f(3)=1\), \(2+\dfrac1{\sqrt e}\approx2{,}6\) et \(f\left(2+\dfrac1{\sqrt e}\right)\approx0{,}8\)

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Pour construire la courbe, on utilise les résultats précédents :

• la droite \(y=0\) est une asymptote horizontale au voisinage de \(-\infty\)
• la courbe passe par \((0,1)\), \((1,0)\), \((2,1)\) et \((3,1)\)
• elle admet des tangentes horizontales aux points d’abscisses \(0\), \(1\), \(2\) et \(2+\dfrac1{\sqrt e}\)
• son minimum sur \(]2,+\infty[\) est atteint pour \(x=2+\dfrac1{\sqrt e}\), avec une ordonnée voisine de \(0{,}8\)
• au voisinage de \(+\infty\), elle possède une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

Le tracé fait apparaître l’asymptote \(y=0\) au voisinage de \(-\infty\), les tangentes horizontales et la branche parabolique au voisinage de \(+\infty\)

6.a) Soit \(\lambda\in]2,3[\). En utilisant une intégration par parties, montrer que

\[ \int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\,dx =-\frac19+\frac13(\lambda-2)^3\left(\frac13-\ln(\lambda-2)\right) \]

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Posons

\[ u(x)=\ln(x-2), \qquad v'(x)=(x-2)^2 \]

Alors

\[ u'(x)=\frac1{x-2}, \qquad v(x)=\frac{(x-2)^3}{3} \]

La formule d’intégration par parties donne

\[ \begin{aligned} \int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\,dx &=\left[\frac{(x-2)^3}{3}\ln(x-2)\right]_\lambda^3\\ &\quad-\frac13\int_\lambda^3(x-2)^2\,dx \end{aligned} \]

Or

\[ \left[\frac{(x-2)^3}{3}\ln(x-2)\right]_\lambda^3 =-\frac{(\lambda-2)^3}{3}\ln(\lambda-2) \]

et

\[ \frac13\int_\lambda^3(x-2)^2\,dx =\left[\frac{(x-2)^3}{9}\right]_\lambda^3 =\frac19-\frac{(\lambda-2)^3}{9} \]

Par conséquent,

\[ \int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\,dx =-\frac19+\frac13(\lambda-2)^3\left(\frac13-\ln(\lambda-2)\right) \]

6.b) Déduire, en fonction de \(\lambda\), l’aire \(\mathcal A(\lambda)\) de la partie du plan limitée par \((C)\) et les droites \(y=1\), \(x=\lambda\) et \(x=3\)

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Pour \(x\in[\lambda,3]\), on a \(0<x-2\leq1\), donc \(\ln(x-2)\leq0\). Ainsi,

\[ f(x)=1+(x-2)^2\ln(x-2)\leq1 \]

L’aire cherchée est donc

\[ \mathcal A(\lambda) =\int_\lambda^3\bigl(1-f(x)\bigr)\,dx \]

Comme \(1-f(x)=-(x-2)^2\ln(x-2)\),

\[ \mathcal A(\lambda) =-\int_\lambda^3(x-2)^2\ln(x-2)\,dx \]

D’après la question précédente,

\[ \mathcal A(\lambda) =\frac19-\frac13(\lambda-2)^3 \left(\frac13-\ln(\lambda-2)\right) \]

L’unité graphique étant \(1\,\mathrm{cm}\), cette aire est exprimée en \(\mathrm{cm}^2\)

6.c) Calculer \(\displaystyle\lim_{\lambda\to2^+}\mathcal A(\lambda)\)

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Lorsque \(\lambda\to2^+\), posons \(t=\lambda-2\). Alors \(t\to0^+\).

On a \(t^3\to0\). Pour justifier la seconde limite, posons \(u=1/t\). Alors \(u\to+\infty\) et

\[ t^3\ln t=-\frac{\ln u}{u^3}\longrightarrow0 \]

Par conséquent,

\[ (\lambda-2)^3\left(\frac13-\ln(\lambda-2)\right)\longrightarrow0 \]

\[ \lim_{\lambda\to2^+}\mathcal A(\lambda)=\frac19\,\mathrm{cm}^2 \]

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