Examen national 2026 — Mathématiques — Sciences Mathématiques A/B
Énoncé de l’examen national unifié du baccalauréat — session ordinaire 2026.
Compétences et points clés
Le national SM 2026 relie inégalités exponentielles, intégrales auxiliaires et étude d’une fonction prolongée en zéro. Les exercices suivants abordent les complexes, l’arithmétique et une famille de matrices ; les résultats d’une partie deviennent des outils pour la suivante.
Prérequis à revoir : inégalités, limites de suites et comptage des termes; limites usuelles et définition du nombre dérivé; stabilité, associativité et homomorphismes.
Rappels de cours utiles
Encadrement et comparaison. Pour étudier une somme dépendant d’un entier, encadrer chaque terme, puis multiplier les bornes obtenues par le nombre exact de termes. Le théorème des gendarmes s’applique lorsque les deux bornes convergent vers la même limite. Le sens d’une inégalité doit être contrôlé lors d’une division.
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Conserver les encadrements obtenus pour les intégrales auxiliaires afin d’étudier la continuité et la dérivabilité à droite. En arithmétique, partir d’une solution particulière de l’équation entière et décrire les autres. Dans la famille de matrices, distinguer produit usuel et seconde loi avant les conclusions de structure.
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques A/B — Option française
Matière : Mathématiques
Durée : 4 heures
Coefficient : 9
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- La durée de l’épreuve est de 4 heures.
- L’épreuve comporte quatre exercices indépendants.
- Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
- L’usage d’une calculatrice non programmable est autorisé.
- L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé.
Exercice 110 points
Partie I
Montrer que : \[ \forall x\in\mathbb R,\qquad 1+x\le e^x. \]
En déduire que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad \frac{x^2}{2}+1+x\le e^x. \]
Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad I(x)\le \frac{x^2}{2}. \]
Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad I(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+1. \]
En utilisant les résultats des questions \(1\)-b) et \(2\)-b) de la partie I, montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac12\le g(x)\le \frac{e^x}{2}. \]
En déduire que : \[ \lim_{x\to0^+}g(x)=\frac12. \]
Partie II
Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad f(x)=\frac{x}{e^x-e^{-x}}, \qquad f(0)=\frac12. \] Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x), \] puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac{f(x)-f(0)}{x} = -e^{-x}f(x)\left(\frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2}\right). \]
Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad \frac{e^{2x}-2xe^x-1}{2x^2} = 2g(2x)-\frac{e^x-1}{x}. \]
En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et que : \[ f'_d(0)=0. \]
Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le I(x)\le J(x). \]
Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad J(x)=(x-1)e^x+1. \]
Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad f'(x)=\frac{I(x)-J(x)}{(e^x-e^{-x})^2}. \]
En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) sur \([0,+\infty[\).
Montrer que la fonction \(f\) réalise une bijection de \([0,+\infty[\) vers un intervalle à déterminer. On note \(f^{-1}\) la bijection réciproque de la fonction \(f\).
Montrer que l'équation \[ f(x)=x \] admet une unique solution \(\alpha\), à déterminer dans \([0,+\infty[\).
Représenter graphiquement la courbe \((C)\) et la courbe \((C')\) de la fonction \(f^{-1}\) dans le repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\). On prendra : \[ \|\vec i\|=\|\vec j\|=2\,\mathrm{cm}. \] On admet que le point \(P(x_0,f(x_0))\) est un point d'inflexion pour la courbe \((C)\), avec : \[ x_0\simeq1,6 \qquad\text{et}\qquad f(x_0)\simeq0,3. \]
Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\le u_n\le \frac12. \]
Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_{n+1}-\alpha|\le \frac12 |u_n-\alpha|. \] On admet que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad -\frac12\lt f'(x)\lt 0. \]
Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\le \left(\frac12\right)^n. \]
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) converge vers \(\alpha\).
Partie III
On considère la fonction \(F\), définie sur \([0,+\infty[\) par : \[ F(x)=\int_x^{2x}f(t)\,dt. \]
Montrer que : \[ \forall x\in[0,+\infty[,\qquad 0\le F(x)\le xf(x). \]
En déduire : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x). \]
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
Montrer que : \[ \forall x\in]0,+\infty[,\qquad F'(x)=\frac{-f(x)}{e^{2x}+1}\left(e^{2x}-4e^x+1\right). \]
Montrer que : \[ F\left(\ln(2+\sqrt3)\right) \] est un extremum de la fonction \(F\) sur \([0,+\infty[\).
Exercice 23,5 points
Soit le nombre complexe : \[ m=\sqrt2e^{i\theta} \qquad\text{où}\qquad \theta\in\mathbb R-\{k\pi\mid k\in\mathbb Z\}. \]
Partie I
On considère, dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\), l'équation \((E_m)\) d'inconnue \(z\) : \[ (E_m):\qquad \overline m z^2-2z+m=0. \]
Étant donné que le nombre complexe : \[ z_1=\frac{m(1-i)}2 \] est une solution de l'équation \((E_m)\), déduire que sa deuxième solution est : \[ z_2=\frac{m(1+i)}2. \]
Écrire \(z_1\) sous forme exponentielle.
Partie II
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A,B,M,M_1\) et \(M_2\), d'affixes respectives : \[ a=1,\qquad b=-1,\qquad m,\qquad z_1,\qquad z_2. \] Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
Montrer que : \[ R(M_1)=M_2. \]
Montrer que : \[ (MM_1)\perp(OM_1) \qquad\text{et}\qquad (MM_2)\perp(OM_2). \]
Vérifier que : \[ OM_1=OM_2=1. \]
Déterminer la nature du quadrilatère \(OM_1MM_2\).
Montrer que : \[ \operatorname{Re}(m-\overline h)=0 \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Re}(1-h\overline m)=0. \]
Montrer que : \[ \operatorname{Re}\left(\frac{a-h}{m+1}\right)=0. \]
En déduire que : \[ (MH)\perp(AB) \qquad\text{et}\qquad (AH)\perp(MB). \]
Montrer que : \[ \frac{h-z_1}{z_2-z_1} = \frac12\left(1-\operatorname{cotan}(\theta)\right). \]
En déduire que les points \(H,M_1\) et \(M_2\) sont alignés.
Exercice 33 points
Partie I
A. On considère, dans \(\mathbb Z^2\), l'équation suivante : \[ (F):\qquad 5u-9v=1. \]
Donner une solution particulière \((u_0,v_0)\in\mathbb N^2\) de \((F)\).
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation \((F)\).
Vérifier que : \[ 5^{u_0}\equiv 6\ [19]. \]
B. On considère dans \(\mathbb Z^*\) l'équation suivante : \[ (E):\qquad x^{2026}\equiv 5\ [19]. \] Soit \(x\) une solution de l'équation \((E)\).
Montrer que \(x\) et \(19\) sont premiers entre eux et que : \[ x^{18}\equiv1\ [19]. \]
Montrer que : \[ x^{10}\equiv5\ [19]. \]
En déduire que : \[ x^2\equiv6\ [19]. \] On pourra utiliser les résultats de la partie A.
Montrer que : \[ x\equiv5\ [19] \qquad\text{ou}\qquad x\equiv-5\ [19]. \]
Montrer que si : \[ x\equiv5\ [19] \qquad\text{ou}\qquad x\equiv-5\ [19], \] alors \(x\) est solution de l'équation \((E)\).
Partie II
On considère une urne contenant \(100\) boules numérotées de \(1\) à \(100\), indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard de cette urne. On considère l'événement : \[ V:\ \text{« Le numéro de la boule tirée est solution de l'équation }(E)\text{ »}. \]
Montrer que la probabilité de l'événement \(V\) est : \[ p=0,11. \]
Soit \(n\in\mathbb N^*\). On effectue \(n\) tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne. Déterminer la valeur minimale de \(n\) pour que la probabilité de réalisation de l'événement \(V\) au moins une fois soit strictement supérieure à \(0,95\).
Exercice 43,5 points
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire et non commutatif, de zéro la matrice : \[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \] et d'unité la matrice : \[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
On considère l'ensemble : \[ E=\left\{ M(x)= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ x^2&1-x&x\\ x^2+2x&-x&x+1 \end{pmatrix} \ \middle|\ x\in\mathbb R \right\}. \]
Montrer que : \[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad M(x)\times M(y)=M(x+y). \]
On considère l'application \(\varphi\) définie de \(\mathbb R\) vers \(M_3(\mathbb R)\) par : \[ \forall x\in\mathbb R,\qquad \varphi(x)=M(x). \]
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((M_3(\mathbb R),\times)\) et que : \[ \varphi(\mathbb R)=E. \]
En déduire que \((E,\times)\) est un groupe commutatif.
On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par : \[ \forall(x,y)\in\mathbb R^2,\qquad M(x)\,T\,M(y)=M(2xy). \]
Montrer que \((E-\{I\},T)\) est un groupe commutatif.
Montrer que \((E,\times,T)\) est un corps commutatif.
Soit \(x\in\mathbb R\). On pose : \[ (M(x))^n= \underbrace{M(x)\times M(x)\times\cdots\times M(x)}_{n\ \text{fois}}, \qquad n\in\mathbb N^*. \]
Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad (M(x))^n=M(nx). \]
Résoudre dans \(E\) l'équation : \[ X^3-X^2= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 5&1&-1\\ 3&1&-1 \end{pmatrix}. \]
PDF de l’énoncé
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