Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 49 Question 1 Question 2 Question 3 Énoncé : Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\). a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite. 3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) es...

Correction de l’exercice 34 — Somme des inverses des carrés et encadrement d’une limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 34 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{ u_n^2+\frac1{(n+1)^2} } \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). 3. Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ v_n= \sum_{k=1}^{n}\frac1{k^2}. \] a) Montrer que : \[ v_n\le2-\frac1n. \] b) Montrer que : \[ u_n=\sqrt{1+v_n}. \] c) En déduire que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\le\sqrt3, \] puis montrer que la suite \((u_n)\) est convergente. 4.a) Montrer par récurrence que : \[ ...

Correction des exercices 04 à 07 — Encadrement et critères de convergence Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques Menu des exercices Exercice 04 Exercice 05 Exercice 06 Exercice 07 Exercice 04 On considère la suite \((u_n)_{n\ge2}\) définie par : \[ u_n=3+\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \] On veut établir que, pour tout \(n\ge2\) : \[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. \] Puis on en déduira la limite de la suite \((u_n)\). 1. Encadrement de \(u_n-3\) Lire la réponse + Masquer la réponse − D’après la définition de la suite : \[ u_n-3=\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \] Pour tout entier \(n\ge2\), on a : \[ -1\le (-1)^n\le 1. \] En ajoutant \(n\), on obtient : \[ n-1\le n+(-1)^n\le n+1. \] Comme \(n\ge2\), les trois nombres \(n-1\), \(n+(-1)^n\)...