Correction des exercices 04 à 07 — Suites numériques Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction des exercices 04 à 07 — Suites numériques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

04 05 06 07

Ces quatre exercices développent une idée centrale du chapitre des suites numériques : lorsqu’un terme est difficile à étudier directement, on cherche à le comparer à des expressions plus simples dont la limite est connue. Le théorème d’encadrement intervient naturellement lorsque deux suites qui entourent la suite étudiée ont la même limite. Son corollaire permet aussi de conclure à partir d’une majoration de \(|u_n-\ell|\). Les exercices mobilisent en outre des acquis déjà rencontrés : bornes de \(\sin\) et \(\cos\), passage aux inverses de nombres positifs, suites géométriques, puissances et partie entière. Ces rappels ne remplacent pas le cours : ils servent à reconnaître rapidement l’outil utile, à vérifier ses conditions d’application, puis à comprendre pourquoi la correction peut conclure.

Exercice 04

Donnée de l’exercice.

Soit \((u_n)_{n\ge2}\) la suite numérique définie par :

\[ u_n=3+\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]

Repère de cours — Théorème d’encadrement

Le cours énonce que si deux suites \((v_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite \(\ell\) et si, à partir d’un certain rang, \(v_n\le u_n\le w_n\), alors \((u_n)\) converge vers \(\ell\). Avant d’appliquer ce théorème, il faut donc construire l’encadrement puis vérifier séparément la limite des deux bornes.

Rappel utile. Pour des nombres strictement positifs, le passage aux inverses renverse l’ordre : si \(0\lt a\le b\), alors \(1/b\le1/a\).

Question 1

Établir que, pour tout \(n\ge2\) :

\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]

Méthode. La présence de \((-1)^n\) indique qu’il faut d’abord utiliser son encadrement \(-1\le(-1)^n\le1\). Comme les dénominateurs obtenus sont strictement positifs pour \(n\ge2\), on peut ensuite passer aux inverses en renversant le sens des inégalités, puis multiplier par \(\sqrt n\gt0\).

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D’après la définition de la suite :

\[ u_n-3=\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]

Pour tout entier \(n\ge2\), on a :

\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]

En ajoutant \(n\), on obtient :

\[ n-1\le n+(-1)^n\le n+1. \]

Comme \(n\ge2\), les trois nombres \(n-1\), \(n+(-1)^n\) et \(n+1\) sont strictement positifs. En passant aux inverses, le sens des inégalités change :

\[ \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n+(-1)^n}\le \frac{1}{n-1}. \]

Comme \(\sqrt n\gt0\), on multiplie par \(\sqrt n\) et on obtient :

\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n} \le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]

Or :

\[ \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}=u_n-3. \]

Donc :

\[ \boxed{ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. } \]

Interprétation. L’expression \(u_n-3\) est désormais enfermée entre deux termes positifs explicites. Cet encadrement prépare directement l’application du théorème d’encadrement à la question suivante.

Question 2

En déduire :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

Méthode. On utilise l’encadrement obtenu à la question précédente. Il faut d’abord calculer la limite de chacune des deux bornes ; comme elles tendent toutes les deux vers \(0\), le théorème d’encadrement s’applique à \(u_n-3\).

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On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n-3\).

\[ \frac{\sqrt n}{n+1} = \frac{1}{\sqrt n+\frac{1}{\sqrt n}}. \]

Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(\sqrt n\to+\infty\), donc :

\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\to0. \]

De même :

\[ \frac{\sqrt n}{n-1} = \frac{1}{\sqrt n-\frac{1}{\sqrt n}}, \]

et, lorsque \(n\to+\infty\) :

\[ \frac{\sqrt n}{n-1}\to0. \]

Comme :

\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}, \]

et comme les deux bornes tendent vers \(0\), le théorème d’encadrement donne :

\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=3.} \]

Interprétation. Le théorème donne \(u_n-3\to0\). Autrement dit, l’écart entre \(u_n\) et \(3\) devient arbitrairement petit : la suite converge vers \(3\).

Exercice 05

Donnée de l’exercice.

Soit \((u_n)_{n\ge1}\) la suite définie par :

\[ u_n=\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}. \]

Repère de cours — Corollaire de l’encadrement

Le cours donne le corollaire suivant : s’il existe une suite \((v_n)\) telle que \(v_n\to0\) et \(|u_n-\ell|\le v_n\) à partir d’un certain rang, alors \(u_n\to\ell\). Ici, l’objectif naturel est de prendre \(\ell=0\).

Rappel utile. Pour tout réel \(x\), \(-1\le\cos x\le1\), donc \(|\cos x|\le1\).

Question 1

Vérifier que :

\[ (\forall n\ge1)\qquad |u_n|\le\frac1{\sqrt n}. \]

Méthode. On part de l’encadrement classique \(|\cos x|\le1\), valable pour tout réel \(x\). Comme \(\sqrt n\gt0\), la division conserve le sens de l’inégalité. L’objectif est d’obtenir une majoration de \(|u_n|\) par une suite qui tend vers \(0\).

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Pour tout réel \(x\), on sait que :

\[ |\cos x|\le1. \]

En particulier, pour \(x=3n\), on a :

\[ |\cos(3n)|\le1. \]

Comme \(\sqrt n\gt0\) pour tout \(n\ge1\), on divise par \(\sqrt n\) :

\[ \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}\le \frac{1}{\sqrt n}. \]

Or :

\[ |u_n|=\left|\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}\right| = \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}. \]

Donc :

\[ \boxed{(\forall n\ge1)\qquad |u_n|\le\frac{1}{\sqrt n}.} \]

Interprétation. On a obtenu exactement la forme utile pour le corollaire du théorème d’encadrement : \(|u_n-0|\) est majoré par \(1/\sqrt n\), qui tend vers \(0\).

Question 2

En déduire la limite de la suite \((u_n)_{n\ge1}\).

Méthode. La question précédente fournit \(|u_n|\le1/\sqrt n\). On peut soit écrire l’encadrement double correspondant, soit utiliser directement le corollaire du cours : si \(|u_n-\ell|\le v_n\) et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to\ell\). Ici \(\ell=0\).

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De l’inégalité précédente, on déduit :

\[ -\frac{1}{\sqrt n}\le u_n\le \frac{1}{\sqrt n}. \]

Or :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{\sqrt n}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n}=0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

Interprétation. Même si \(\cos(3n)\) oscille, son amplitude est multipliée par \(1/\sqrt n\), qui tend vers \(0\). L’oscillation est donc écrasée et la suite converge vers \(0\).

Exercice 06

Consigne.

Calculer la limite de chacune des suites suivantes.

Repère de cours — Outils à reconnaître

Plusieurs questions reposent sur le théorème d’encadrement et son corollaire. Le cours rappelle également que, pour une suite géométrique \(q^n\), on a \(q^n\to0\) lorsque \(-1\lt q\lt1\), et que les puissances rationnelles de \(n\) ont les limites usuelles correspondantes.

On réutilisera aussi des acquis simples : \(|\sin x|\le1\), \(|\cos x|\le1\), conservation ou inversion du sens des inégalités selon l’opération effectuée, et propriétés élémentaires de la partie entière.

Question 1

Calculer la limite de :

\[ a_n=\left(\frac34\right)^n\sin n \]

Méthode. On combine deux informations : \(|\sin n|\le1\) et \(\left(\frac34\right)^n\to0\) puisque \(0\lt\frac34\lt1\). Cela donne une majoration de \(|a_n|\) par une suite tendant vers \(0\), ce qui permet d’appliquer le corollaire d’encadrement.

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On a :

\[ |\sin n|\le1. \]

Donc :

\[ |a_n|\le \left(\frac34\right)^n. \]

Or :

\[ \left(\frac34\right)^n\to0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=0.} \]

Interprétation. Le facteur trigonométrique reste borné, tandis que le facteur géométrique tend vers \(0\). Le produit est donc forcé de tendre vers \(0\).

Question 2

Calculer la limite de :

\[ b_n=\frac{n-\sin n}{n+\sin n} \]

Méthode. On divise par \(n\), puis on doit justifier que \(\sin n/n\to0\). La borne \(|\sin n|\le1\) donne \[ -\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n, \] d’où cette limite par encadrement. Le quotient obtenu a alors un dénominateur tendant vers \(1\neq0\).

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On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\) :

\[ b_n= \frac{1-\frac{\sin n}{n}} {1+\frac{\sin n}{n}}. \]

Comme \(|\sin n|\le1\), on a :

\[ -\frac1n\le \frac{\sin n}{n}\le \frac1n. \]

Donc :

\[ \frac{\sin n}{n}\to0. \]

Ainsi :

\[ 1-\frac{\sin n}{n}\to1 \qquad\text{et}\qquad 1+\frac{\sin n}{n}\to1. \]

Par quotient de limites, on obtient :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}b_n=1.} \]

Interprétation. Les perturbations \(\pm\sin n\) restent bornées alors que \(n\) croît sans borne. Après division par \(n\), elles disparaissent à la limite et le quotient tend vers \(1\).

Question 3

Calculer la limite de :

\[ c_n=n+1-\sin(2n) \]

Méthode. On utilise \(-1\le\sin(2n)\le1\), puis on ajoute \(n+1\). L’expression est alors comprise entre \(n\) et \(n+2\), deux suites qui tendent vers \(+\infty\). La comparaison permet donc de conclure.

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Comme :

\[ -1\le \sin(2n)\le1, \]

on a :

\[ -1\le -\sin(2n)\le1. \]

En ajoutant \(n+1\), on obtient :

\[ n\le c_n\le n+2. \]

Or :

\[ n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n+2\to+\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}c_n=+\infty.} \]

Interprétation. Le terme oscillant \(-\sin(2n)\) reste compris entre \(-1\) et \(1\) ; il ne peut pas modifier la croissance imposée par le terme \(n\).

Question 4

Calculer la limite de :

\[ d_n=2(-1)^n+4n^2+3 \]

Méthode. Le terme \((-1)^n\) reste compris entre \(-1\) et \(1\). On encadre donc \(d_n\) entre deux expressions ayant le même terme dominant \(4n^2\), puis on utilise la comparaison avec des suites tendant vers \(+\infty\).

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Comme :

\[ -1\le (-1)^n\le1, \]

on obtient :

\[ -2\le 2(-1)^n\le2. \]

En ajoutant \(4n^2+3\), on a :

\[ 4n^2+1\le d_n\le 4n^2+5. \]

Or :

\[ 4n^2+1\to+\infty \qquad\text{et}\qquad 4n^2+5\to+\infty. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}d_n=+\infty.} \]

Interprétation. Le terme \(2(-1)^n\) ne prend que des valeurs bornées. Il ne modifie pas le comportement imposé par \(4n^2\), qui tend vers \(+\infty\).

Question 5

Calculer la limite de :

\[ u_n=\frac{3n}{5+\cos n} \]

Méthode. On encadre d’abord \(5+\cos n\) grâce à \(-1\le\cos n\le1\). Les bornes étant positives, on peut passer aux inverses, puis multiplier par \(3n\gt0\). Pour conclure vers \(+\infty\), la borne inférieure \(n/2\to+\infty\) suffit.

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Comme :

\[ -1\le \cos n\le1, \]

on a :

\[ 4\le 5+\cos n\le6. \]

Les nombres étant strictement positifs, on obtient :

\[ \frac16\le \frac{1}{5+\cos n}\le \frac14. \]

En multipliant par \(3n\gt0\), il vient :

\[ \frac{n}{2}\le u_n\le \frac{3n}{4}. \]

Comme :

\[ \frac n2\to+\infty, \]

on en déduit :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.} \]

Interprétation. Le dénominateur reste toujours compris entre \(4\) et \(6\) : il ne peut donc pas compenser la croissance du numérateur \(3n\). La suite tend vers \(+\infty\).

Question 6

Calculer la limite de :

\[ v_n=\frac{n-\cos n}{n^2+2n} \]

Méthode. On borne le numérateur avec \(-1\le\cos n\le1\). Comme le dénominateur est positif, on obtient une majoration positive de \(v_n\). Il reste à vérifier que cette majoration tend vers \(0\), puis à appliquer l’encadrement.

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Comme \(-1\le \cos n\le1\), on a :

\[ n-1\le n-\cos n\le n+1. \]

Pour \(n\ge1\), le dénominateur \(n^2+2n\) est strictement positif, donc :

\[ 0\le v_n\le \frac{n+1}{n^2+2n}. \]

Or :

\[ \frac{n+1}{n^2+2n} = \frac{n+1}{n(n+2)} \to0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=0.} \]

Interprétation. Le numérateur est de taille comparable à \(n\), tandis que le dénominateur contient un terme en \(n^2\). L’encadrement confirme que le quotient tend vers \(0\).

Question 7

Calculer la limite de :

\[ w_n=\sqrt[5]{2^n}-\sqrt[3]{2^n} \]

Méthode. On réutilise une méthode déjà rencontrée : transformer les racines en puissances puis factoriser par la puissance dominante. Comme \(1/3\gt1/5\), le terme \(2^{n/3}\) domine \(2^{n/5}\).

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On écrit :

\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]

Comme \(\frac13\gt\frac15\), on factorise directement par \(2^{n/3}\) :

\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right). \]

Donc :

\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]

Or :

\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]

Ainsi le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty.} \]

Interprétation. Après factorisation, le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\) tandis que \(2^{n/3}\to+\infty\). Le signe négatif du facteur limite impose donc la divergence vers \(-\infty\).

Question 8

Calculer la limite de :

\[ x_n=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2n-1}} \]

Méthode. On sépare les deux termes du numérateur et on les réécrit sous forme de suites géométriques. Les raisons \(2/9\) et \(1/3\) appartiennent à \(]-1,1[\), donc les deux puissances tendent vers \(0\).

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On sépare les deux termes :

\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]

Pour le premier terme :

\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]

Pour le second terme :

\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]

Donc :

\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]

Or :

\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]

Donc :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}x_n=0.} \]

Interprétation. Les deux contributions deviennent nulles à la limite. Leur somme tend donc vers \(0\).

Question 9

Calculer la limite de :

\[ y_n=\frac{3n+E(n)}{n+5} \]

Méthode. Ici, la simplification repose d’abord sur la partie entière. Comme \(n\) est un entier naturel, on a exactement \(E(n)=n\). Le quotient devient alors rationnel en \(n\) et on divise par \(n\).

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Ici, \(E(n)\) désigne la partie entière de \(n\). Comme \(n\) est un entier naturel, on a :

\[ E(n)=n. \]

Donc :

\[ y_n=\frac{3n+n}{n+5} = \frac{4n}{n+5}. \]

En divisant par \(n\), on obtient :

\[ y_n=\frac{4}{1+\frac5n}. \]

Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}y_n=4.} \]

Interprétation. Le recours à la partie entière ne crée ici aucune difficulté : sur les entiers, \(E(n)=n\). Le quotient se réduit donc à une forme classique dont la limite vaut \(4\).

Question 10

Calculer la limite de :

\[ z_n=\frac1{n(3-\sin n)} \]

Méthode. On encadre \(3-\sin n\) à partir de \(-1\le\sin n\le1\). Comme le dénominateur est positif et au moins égal à \(2n\), on obtient \(0\lt z_n\le1/(2n)\). Le théorème d’encadrement permet alors de conclure.

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Comme :

\[ -1\le \sin n\le1, \]

on obtient :

\[ 2\le 3-\sin n\le4. \]

Donc :

\[ n(3-\sin n)\ge2n. \]

Puisque le dénominateur est strictement positif, on a :

\[ 0\lt z_n\le \frac{1}{2n}. \]

Or :

\[ \frac{1}{2n}\to0. \]

D’après le théorème d’encadrement :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}z_n=0.} \]

Interprétation. Le dénominateur croît au moins comme \(2n\), donc son inverse devient arbitrairement petit. La suite converge vers \(0\).

Exercice 07

Donnée de l’exercice.

On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :

\[ u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}. \]

Repère de cours — Encadrer une somme terme à terme

Dans l’exemple qui accompagne le théorème d’encadrement, le cours utilise précisément cette stratégie : on encadre chaque terme d’une somme dépendant de \(n\), puis on somme les inégalités obtenues. On calcule enfin les limites des deux bornes pour conclure.

Le point technique à vérifier est la positivité des dénominateurs avant de passer aux inverses. La sommation conserve ensuite l’ordre puisque l’on additionne des inégalités de même sens.

Question 1

Montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad \frac{n}{n+1}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+1}. \]

Méthode. La suite est une somme de \(n\) termes. Pour \(1\le k\le n\), on encadre d’abord chaque dénominateur \(n^2+k\). Comme ces quantités sont positives, on passe aux inverses, on multiplie par \(n\), puis on somme les \(n\) inégalités. C’est exactement la stratégie d’encadrement d’une somme utilisée dans le cours.

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Pour tout entier \(k\) tel que \(1\le k\le n\), on a :

\[ 1\le k\le n. \]

En ajoutant \(n^2\), il vient :

\[ n^2+1\le n^2+k\le n^2+n. \]

Ces trois quantités sont strictement positives. En passant aux inverses, on obtient :

\[ \frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}. \]

En multipliant par \(n\gt0\), on obtient :

\[ \frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}. \]

Cette inégalité est vraie pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\). En sommant ces \(n\) inégalités, on obtient :

\[ n\cdot\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k} \le n\cdot\frac{n}{n^2+1}. \]

Or :

\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k}=u_n. \]

Donc :

\[ \frac{n^2}{n^2+n} \le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. \]

Comme :

\[ \frac{n^2}{n^2+n} = \frac{n}{n+1}, \]

on obtient :

\[ \boxed{ \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. } \]

Interprétation. Chaque terme de la somme a été encadré par deux termes indépendants de \(k\). La sommation transforme cet encadrement terme à terme en un encadrement global de \(u_n\), prêt pour le théorème d’encadrement.

Question 2

En déduire :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

Méthode. On calcule les limites des deux bornes obtenues à la question précédente. Elles tendent toutes les deux vers \(1\). Les conditions du théorème d’encadrement sont donc satisfaites.

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On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n\).

\[ \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+\frac1n} \to1. \]

Et :

\[ \frac{n^2}{n^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \to1. \]

Comme :

\[ \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}, \]

et comme les deux bornes tendent vers \(1\), le théorème d’encadrement donne :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1.} \]

Interprétation. Les deux suites qui entourent \(u_n\) ont la même limite \(1\). L’encadrement impose alors à \(u_n\) de converger vers cette même valeur.

À retenir

• Un terme oscillant comme \((-1)^n\), \(\sin n\) ou \(\cos n\) se traite d’abord par un encadrement.
• Avant de passer aux inverses, vérifier que les quantités sont strictement positives.
• Pour une somme, encadrer chaque terme puis sommer les inégalités.
• Le théorème d’encadrement s’applique seulement après vérification des limites des deux bornes.

Conclusion générale.

Ces exercices montrent que l’encadrement n’est pas seulement une technique de calcul : il permet de remplacer une expression oscillante ou compliquée par deux suites plus simples dont le comportement est connu. La démarche rigoureuse consiste toujours à identifier la borne utile, vérifier les signes avant toute inversion ou multiplication, calculer les limites des bornes, puis citer le résultat du cours qui autorise la conclusion.

Ils illustrent aussi l’intérêt de mobiliser rapidement des acquis antérieurs — bornes trigonométriques, suites géométriques, partie entière ou comparaison des puissances — sans refaire tout le cours correspondant. Ces rappels servent uniquement à justifier l’étape nécessaire au raisonnement.

Ressources liées

• Suites numériques — Al Moufid
• Correction des exercices 01 à 03
• Exercices résolus — Al Moufid

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

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