Correction des exercices 04 à 07
Encadrement et critères de convergence · Manuel Al Moufid
Exercice 04
Soit \((u_n)_{n\ge2}\) la suite numérique définie par :
\[ u_n=3+\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]Établir que, pour tout \(n\ge2\) :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Afficher la correctionMasquer la correction
D’après la définition de la suite :
\[ u_n-3=\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]Pour tout entier \(n\ge2\), on a :
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]En ajoutant \(n\), on obtient :
\[ n-1\le n+(-1)^n\le n+1. \]Comme \(n\ge2\), les trois nombres \(n-1\), \(n+(-1)^n\) et \(n+1\) sont strictement positifs. En passant aux inverses, le sens des inégalités change :
\[ \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n+(-1)^n}\le \frac{1}{n-1}. \]Comme \(\sqrt n\gt0\), on multiplie par \(\sqrt n\) et on obtient :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n} \le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]Or :
\[ \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}=u_n-3. \]Donc :
Afficher la correctionMasquer la correction
On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n-3\).
\[ \frac{\sqrt n}{n+1} = \frac{1}{\sqrt n+\frac{1}{\sqrt n}}. \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(\sqrt n\to+\infty\), donc :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\to0. \]De même :
\[ \frac{\sqrt n}{n-1} = \frac{1}{\sqrt n-\frac{1}{\sqrt n}}, \]et, lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \frac{\sqrt n}{n-1}\to0. \]Comme :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}, \]et comme les deux bornes tendent vers \(0\), le théorème d’encadrement donne :
\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0. \]Par conséquent :
Exercice 05
Soit \((u_n)_{n\ge1}\) la suite définie par :
\[ u_n=\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}. \]Vérifier que :
\[ (\forall n\ge1)\qquad |u_n|\le\frac1{\sqrt n}. \]En déduire la limite de la suite \((u_n)_{n\ge1}\).
Afficher la correctionMasquer la correction
Pour tout réel \(x\), on sait que :
\[ |\cos x|\le1. \]En particulier, pour \(x=3n\), on a :
\[ |\cos(3n)|\le1. \]Comme \(\sqrt n\gt0\) pour tout \(n\ge1\), on divise par \(\sqrt n\) :
\[ \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}\le \frac{1}{\sqrt n}. \]Or :
\[ |u_n|=\left|\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}\right| = \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}. \]Donc :
Afficher la correctionMasquer la correction
De l’inégalité précédente, on déduit :
\[ -\frac{1}{\sqrt n}\le u_n\le \frac{1}{\sqrt n}. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{\sqrt n}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n}=0. \]D’après le théorème d’encadrement :
Exercice 06
Calculer la limite de chacune des suites suivantes :
Afficher la correctionMasquer la correction
On a :
\[ |\sin n|\le1. \]Donc :
\[ |a_n|\le \left(\frac34\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac34\right)^n\to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
Afficher la correctionMasquer la correction
On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ b_n= \frac{1-\frac{\sin n}{n}} {1+\frac{\sin n}{n}}. \]Comme \(|\sin n|\le1\), on a :
\[ -\frac1n\le \frac{\sin n}{n}\le \frac1n. \]Donc :
\[ \frac{\sin n}{n}\to0. \]Ainsi :
\[ 1-\frac{\sin n}{n}\to1 \qquad\text{et}\qquad 1+\frac{\sin n}{n}\to1. \]Par quotient de limites, on obtient :
Afficher la correctionMasquer la correction
Comme :
\[ -1\le \sin(2n)\le1, \]on a :
\[ -1\le -\sin(2n)\le1. \]En ajoutant \(n+1\), on obtient :
\[ n\le c_n\le n+2. \]Or :
\[ n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n+2\to+\infty. \]Donc :
Afficher la correctionMasquer la correction
Comme :
\[ -1\le (-1)^n\le1, \]on obtient :
\[ -2\le 2(-1)^n\le2. \]En ajoutant \(4n^2+3\), on a :
\[ 4n^2+1\le d_n\le 4n^2+5. \]Or :
\[ 4n^2+1\to+\infty \qquad\text{et}\qquad 4n^2+5\to+\infty. \]Donc :
Afficher la correctionMasquer la correction
Comme :
\[ -1\le \cos n\le1, \]on a :
\[ 4\le 5+\cos n\le6. \]Les nombres étant strictement positifs, on obtient :
\[ \frac16\le \frac{1}{5+\cos n}\le \frac14. \]En multipliant par \(3n\gt0\), il vient :
\[ \frac{n}{2}\le u_n\le \frac{3n}{4}. \]Comme :
\[ \frac n2\to+\infty, \]on en déduit :
Afficher la correctionMasquer la correction
Comme \(-1\le \cos n\le1\), on a :
\[ n-1\le n-\cos n\le n+1. \]Pour \(n\ge1\), le dénominateur \(n^2+2n\) est strictement positif, donc :
\[ 0\le v_n\le \frac{n+1}{n^2+2n}. \]Or :
\[ \frac{n+1}{n^2+2n} = \frac{n+1}{n(n+2)} \to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
Afficher la correctionMasquer la correction
On écrit :
\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]Comme \(\frac13\gt\frac15\), on factorise directement par \(2^{n/3}\) :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right). \]Donc :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]Or :
\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]Ainsi le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :
Afficher la correctionMasquer la correction
On sépare les deux termes :
\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]Pour le second terme :
\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]Donc :
\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]Donc :
Afficher la correctionMasquer la correction
Ici, \(E(n)\) désigne la partie entière de \(n\). Comme \(n\) est un entier naturel, on a :
\[ E(n)=n. \]Donc :
\[ y_n=\frac{3n+n}{n+5} = \frac{4n}{n+5}. \]En divisant par \(n\), on obtient :
\[ y_n=\frac{4}{1+\frac5n}. \]Par conséquent :
Afficher la correctionMasquer la correction
Comme :
\[ -1\le \sin n\le1, \]on obtient :
\[ 2\le 3-\sin n\le4. \]Donc :
\[ n(3-\sin n)\ge2n. \]Puisque le dénominateur est strictement positif, on a :
\[ 0\lt z_n\le \frac{1}{2n}. \]Or :
\[ \frac{1}{2n}\to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
Exercice 07
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}. \]Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad \frac{n}{n+1}\le u_n\le\frac{n^2}{n^2+1}. \]En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Afficher la correctionMasquer la correction
Pour tout entier \(k\) tel que \(1\le k\le n\), on a :
\[ 1\le k\le n. \]En ajoutant \(n^2\), il vient :
\[ n^2+1\le n^2+k\le n^2+n. \]Ces trois quantités sont strictement positives. En passant aux inverses, on obtient :
\[ \frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}. \]En multipliant par \(n\gt0\), on obtient :
\[ \frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}. \]Cette inégalité est vraie pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\). En sommant ces \(n\) inégalités, on obtient :
\[ n\cdot\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k} \le n\cdot\frac{n}{n^2+1}. \]Or :
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k}=u_n. \]Donc :
\[ \frac{n^2}{n^2+n} \le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. \]Comme :
\[ \frac{n^2}{n^2+n} = \frac{n}{n+1}, \]on obtient :
Afficher la correctionMasquer la correction
On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n\).
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+\frac1n} \to1. \]Et :
\[ \frac{n^2}{n^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \to1. \]Comme :
\[ \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}, \]et comme les deux bornes tendent vers \(1\), le théorème d’encadrement donne :
- Encadrer d’abord les termes oscillants : \((-1)^n\), \(\sin n\) et \(\cos n\).
- Vérifier la positivité avant tout passage aux inverses.
- Pour une somme, encadrer chaque terme puis sommer les inégalités.
- Appliquer le théorème d’encadrement seulement après avoir calculé les limites des deux bornes.
Commentaires
Enregistrer un commentaire