Correction des exercices 04 à 07 — Encadrement et critères de convergence
Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques — Suites numériques
Exercice 04
On considère la suite \((u_n)_{n\ge2}\) définie par :
\[ u_n=3+\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]On veut établir que, pour tout \(n\ge2\) :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]Puis on en déduira la limite de la suite \((u_n)\).
1. Encadrement de \(u_n-3\)
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D’après la définition de la suite :
\[ u_n-3=\frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}. \]Pour tout entier \(n\ge2\), on a :
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]En ajoutant \(n\), on obtient :
\[ n-1\le n+(-1)^n\le n+1. \]Comme \(n\ge2\), les trois nombres \(n-1\), \(n+(-1)^n\) et \(n+1\) sont strictement positifs. En passant aux inverses, le sens des inégalités change :
\[ \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n+(-1)^n}\le \frac{1}{n-1}. \]Comme \(\sqrt n\gt0\), on multiplie par \(\sqrt n\) et on obtient :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n} \le \frac{\sqrt n}{n-1}. \]Or :
\[ \frac{\sqrt n}{n+(-1)^n}=u_n-3. \]Donc :
\[ \boxed{ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}. } \]2. Limite de \(u_n\)
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On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n-3\).
\[ \frac{\sqrt n}{n+1} = \frac{1}{\sqrt n+\frac{1}{\sqrt n}}. \]Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(\sqrt n\to+\infty\), donc :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\to0. \]De même :
\[ \frac{\sqrt n}{n-1} = \frac{1}{\sqrt n-\frac{1}{\sqrt n}}, \]et, lorsque \(n\to+\infty\) :
\[ \frac{\sqrt n}{n-1}\to0. \]Comme :
\[ \frac{\sqrt n}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt n}{n-1}, \]et comme les deux bornes tendent vers \(0\), le théorème d’encadrement donne :
\[ \lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=3.} \]Exercice 05
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_n=\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}. \]1. Vérification de l’encadrement
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Pour tout réel \(x\), on sait que :
\[ |\cos x|\le1. \]En particulier, pour \(x=3n\), on a :
\[ |\cos(3n)|\le1. \]Comme \(\sqrt n\gt0\) pour tout \(n\ge1\), on divise par \(\sqrt n\) :
\[ \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}\le \frac{1}{\sqrt n}. \]Or :
\[ |u_n|=\left|\frac{\cos(3n)}{\sqrt n}\right| = \frac{|\cos(3n)|}{\sqrt n}. \]Donc :
\[ \boxed{(\forall n\ge1)\qquad |u_n|\le\frac{1}{\sqrt n}.} \]2. Limite de la suite \((u_n)\)
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De l’inégalité précédente, on déduit :
\[ -\frac{1}{\sqrt n}\le u_n\le \frac{1}{\sqrt n}. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{\sqrt n}\right)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt n}=0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]Exercice 06
On calcule la limite de chacune des suites suivantes. Dans tout l’exercice, on utilise le fait que :
\[ -1\le \sin n\le1,\qquad -1\le \cos n\le1. \]1. Suite \(a_n\)
\[ a_n=\left(\frac34\right)^n\sin n. \]Lire la réponse +
On a :
\[ |\sin n|\le1. \]Donc :
\[ |a_n|\le \left(\frac34\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac34\right)^n\to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}a_n=0.} \]2. Suite \(b_n\)
\[ b_n=\frac{n-\sin n}{n+\sin n}. \]Lire la réponse +
On divise le numérateur et le dénominateur par \(n\) :
\[ b_n= \frac{1-\frac{\sin n}{n}} {1+\frac{\sin n}{n}}. \]Comme \(|\sin n|\le1\), on a :
\[ -\frac1n\le \frac{\sin n}{n}\le \frac1n. \]Donc :
\[ \frac{\sin n}{n}\to0. \]Ainsi :
\[ 1-\frac{\sin n}{n}\to1 \qquad\text{et}\qquad 1+\frac{\sin n}{n}\to1. \]Par quotient de limites, on obtient :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}b_n=1.} \]3. Suite \(c_n\)
\[ c_n=n+1-\sin(2n). \]Lire la réponse +
Comme :
\[ -1\le \sin(2n)\le1, \]on a :
\[ -1\le -\sin(2n)\le1. \]En ajoutant \(n+1\), on obtient :
\[ n\le c_n\le n+2. \]Or :
\[ n\to+\infty \qquad\text{et}\qquad n+2\to+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}c_n=+\infty.} \]4. Suite \(d_n\)
\[ d_n=2(-1)^n+4n^2+3. \]Lire la réponse +
Comme :
\[ -1\le (-1)^n\le1, \]on obtient :
\[ -2\le 2(-1)^n\le2. \]En ajoutant \(4n^2+3\), on a :
\[ 4n^2+1\le d_n\le 4n^2+5. \]Or :
\[ 4n^2+1\to+\infty \qquad\text{et}\qquad 4n^2+5\to+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}d_n=+\infty.} \]5. Suite \(u_n\)
\[ u_n=\frac{3n}{5+\cos n}. \]Lire la réponse +
Comme :
\[ -1\le \cos n\le1, \]on a :
\[ 4\le 5+\cos n\le6. \]Les nombres étant strictement positifs, on obtient :
\[ \frac16\le \frac{1}{5+\cos n}\le \frac14. \]En multipliant par \(3n\gt0\), il vient :
\[ \frac{n}{2}\le u_n\le \frac{3n}{4}. \]Comme :
\[ \frac n2\to+\infty, \]on en déduit :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.} \]6. Suite \(v_n\)
\[ v_n=\frac{n-\cos n}{n^2+2n}. \]Lire la réponse +
Comme \(-1\le \cos n\le1\), on a :
\[ n-1\le n-\cos n\le n+1. \]Pour \(n\ge1\), le dénominateur \(n^2+2n\) est strictement positif, donc :
\[ 0\le v_n\le \frac{n+1}{n^2+2n}. \]Or :
\[ \frac{n+1}{n^2+2n} = \frac{n+1}{n(n+2)} \to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}v_n=0.} \]7. Suite \(w_n\)
\[ w_n=\sqrt[5]{2^n}-\sqrt[3]{2^n}. \]Lire la réponse +
On écrit :
\[ w_n=2^{\frac n5}-2^{\frac n3}. \]Comme \(\frac13\gt\frac15\), le terme \(2^{n/3}\) domine le terme \(2^{n/5}\). On factorise par \(2^{n/3}\) :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{\frac n5-\frac n3}-1\right). \]Donc :
\[ w_n=2^{\frac n3} \left(2^{-\frac{2n}{15}}-1\right). \]Or :
\[ 2^{-\frac{2n}{15}}\to0. \]Ainsi le facteur entre parenthèses tend vers \(-1\), tandis que \(2^{n/3}\to+\infty\). Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}w_n=-\infty.} \]8. Suite \(x_n\)
\[ x_n=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Lire la réponse +
On sépare les deux termes :
\[ x_n= \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}}. \]Pour le premier terme :
\[ \frac{2^{n+1}}{3^{2n-1}} = 6\left(\frac29\right)^n. \]Pour le second terme :
\[ \frac{3^{n+1}}{3^{2n-1}} = 3^{2-n} = 9\left(\frac13\right)^n. \]Donc :
\[ x_n=6\left(\frac29\right)^n+9\left(\frac13\right)^n. \]Or :
\[ \left(\frac29\right)^n\to0 \qquad\text{et}\qquad \left(\frac13\right)^n\to0. \]Donc :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}x_n=0.} \]9. Suite \(y_n\)
\[ y_n=\frac{3n+E(n)}{n+5}. \]Lire la réponse +
Ici, \(E(n)\) désigne la partie entière de \(n\). Comme \(n\) est un entier naturel, on a :
\[ E(n)=n. \]Donc :
\[ y_n=\frac{3n+n}{n+5} = \frac{4n}{n+5}. \]En divisant par \(n\), on obtient :
\[ y_n=\frac{4}{1+\frac5n}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}y_n=4.} \]10. Suite \(z_n\)
\[ z_n=\frac{1}{n(3-\sin n)}. \]Lire la réponse +
Comme :
\[ -1\le \sin n\le1, \]on obtient :
\[ 2\le 3-\sin n\le4. \]Donc :
\[ n(3-\sin n)\ge2n. \]Puisque le dénominateur est strictement positif, on a :
\[ 0\lt z_n\le \frac{1}{2n}. \]Or :
\[ \frac{1}{2n}\to0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}z_n=0.} \]Exercice 07
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_n= \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} +\cdots+ \frac{n}{n^2+n}. \]On veut montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. \]1. Encadrement de \(u_n\)
Lire la réponse +
Pour tout entier \(k\) tel que \(1\le k\le n\), on a :
\[ 1\le k\le n. \]En ajoutant \(n^2\), il vient :
\[ n^2+1\le n^2+k\le n^2+n. \]Ces trois quantités sont strictement positives. En passant aux inverses, on obtient :
\[ \frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}. \]En multipliant par \(n\gt0\), on obtient :
\[ \frac{n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+k} \le \frac{n}{n^2+1}. \]Cette inégalité est vraie pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\). En sommant ces \(n\) inégalités, on obtient :
\[ n\cdot\frac{n}{n^2+n} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k} \le n\cdot\frac{n}{n^2+1}. \]Or :
\[ \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k}=u_n. \]Donc :
\[ \frac{n^2}{n^2+n} \le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. \]Comme :
\[ \frac{n^2}{n^2+n} = \frac{n}{n+1}, \]on obtient :
\[ \boxed{ \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}. } \]2. Limite de \(u_n\)
Lire la réponse +
On étudie les deux suites qui encadrent \(u_n\).
\[ \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+\frac1n} \to1. \]Et :
\[ \frac{n^2}{n^2+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \to1. \]Comme :
\[ \frac{n}{n+1}\le u_n\le \frac{n^2}{n^2+1}, \]et comme les deux bornes tendent vers \(1\), le théorème d’encadrement donne :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1.} \]Repères pédagogiques et ressources
Cette correction concerne les exercices 04 à 07 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid, niveau 2e Bac Sciences Mathématiques. Ces exercices portent sur l’utilisation des critères de convergence : encadrement, comparaison, majoration, minoration et théorème d’encadrement.
L’objectif est de savoir transformer une expression difficile en une suite encadrée par deux suites plus simples. Cette méthode est essentielle dans le chapitre des suites : elle permet de prouver une limite sans calcul direct.
Dans les exercices d’encadrement, il faut toujours repérer les quantités bornées : \(\sin n\), \(\cos n\), \((-1)^n\), ou encore une partie entière. Ensuite, on encadre la suite étudiée par deux suites dont les limites sont connues.
Dans ce bloc, on a utilisé les méthodes suivantes :
1. Encadrer une expression contenant \((-1)^n\), \(\sin n\) ou \(\cos n\).
2. Utiliser le théorème d’encadrement pour obtenir une limite.
3. Transformer une somme en encadrant chaque terme, puis en sommant les inégalités.
4. Justifier soigneusement le passage aux inverses uniquement lorsque les quantités sont strictement positives.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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