Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 1 — Problèmes de synthèse sur les suites numériques Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 1 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7 Question 1 — Sommes contenant des puissances de \(x\) Rappel de la question : Pour \(x\in]0;1[\), calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}x^k \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − 1. Première limite Posons : \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}x^k. \] Comme \(x\ne1\), la somme géométrique donne : \[ S_n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \] Or : \[ 0\lt x\lt1. \] Donc : \[ x^{n+1}\longrightarrow0. \] Par conséquent : \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=0}^{n}x^k = \frac1{1-x}. } \] 2. Deuxième limite Posons : \[ T_n=\sum_{k=0}^{n}kx^k. \] ...

Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 49 Question 1 Question 2 Question 3 Énoncé : Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\). a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite. 3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) es...

Correction de l’exercice 43 — Sous-suites adjacentes, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 43 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \] 3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14|u_n-u_{n-1}|. \] 4. On considère les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) définies par : \[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] a) Vérifier que : \[ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. \] b) Mo...

Correction des exercices 37 à 39 — Suites associées, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 37 Exercice 38 Exercice 39 Exercice 37 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=2\pi \] et : \[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n} + \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0 \] et : \[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \] 2. Montrer que la suite \(\left(\frac1{u_n}\right)\) est arithmétique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Positivité et congruence Lire la réponse + Masquer la réponse − Montrons simultanément par récurrence que : \[ u_n\gt0 \] et : \[ \f...