Correction de l’exercice 43 — Sous-suites adjacentes, contraction et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \] 3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14|u_n-u_{n-1}|. \] 4. On considère les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) définies par : \[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] a) Vérifier que : \[ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. \] b) Montrer que : \[ \alpha_n\le\beta_n. \] c) Montrer que la suite \((\alpha_n)\) est croissante et que la suite \((\beta_n)\) est décroissante.
d) Montrer que les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) convergent vers la même limite.
5.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad |u_{n+1}-\sqrt2| \le \frac14|u_n-\sqrt2|. \] 5.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
5.c) Déterminer un entier naturel \(N\) à partir duquel : \[ (\forall n\ge N)\qquad |u_n-\sqrt2|\lt10^{-2}. \]
1. Calcul des premiers termes
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À partir de la relation :
\[ u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n}, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} u_1 &= 1+\frac1{1+u_0}\\ &= 1+\frac1{1+1}\\ &= 1+\frac12\\ &= \frac32. \end{aligned} \]Puis :
\[ \begin{aligned} u_2 &= 1+\frac1{1+u_1}\\ &= 1+\frac1{1+\frac32}\\ &= 1+\frac1{\frac52}\\ &= 1+\frac25\\ &= \frac75. \end{aligned} \]Enfin :
\[ \begin{aligned} u_3 &= 1+\frac1{1+u_2}\\ &= 1+\frac1{1+\frac75}\\ &= 1+\frac1{\frac{12}{5}}\\ &= 1+\frac5{12}\\ &= \frac{17}{12}. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ u_1=\frac32, \qquad u_2=\frac75, \qquad u_3=\frac{17}{12}. } \]Les premiers termes oscillent : \[ u_0\lt u_2\lt u_3\lt u_1. \] Cette observation suggère d’étudier séparément les termes de rang pair et ceux de rang impair.
2. Encadrement de la suite
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \]Initialisation
Pour \(n=0\) :
\[ u_0=1. \]Donc :
\[ 1\le u_0\le\frac32. \]Hérédité
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ 1\le u_n\le\frac32. \]Comme \(u_n\ge1\) :
\[ 1+u_n\ge2. \]Donc :
\[ 0 \lt \frac1{1+u_n} \le \frac12. \]En ajoutant \(1\) :
\[ 1 \lt 1+\frac1{1+u_n} \le \frac32. \]Or :
\[ u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n}. \]Ainsi :
\[ 1\le u_{n+1}\le\frac32. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. } \]Plus précisément, pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ 1\lt u_n\le\frac32. \]3. Contraction entre deux termes consécutifs
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Pour tout entier \(n\ge1\), on a :
\[ u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \]et :
\[ u_n = 1+\frac1{1+u_{n-1}}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac1{1+u_n} - \frac1{1+u_{n-1}}\\ &= \frac{ 1+u_{n-1}-(1+u_n) }{ (1+u_n)(1+u_{n-1}) }\\ &= \frac{ u_{n-1}-u_n }{ (1+u_n)(1+u_{n-1}) }. \end{aligned} \]En prenant les valeurs absolues :
\[ |u_{n+1}-u_n| = \frac{ |u_n-u_{n-1}| }{ (1+u_n)(1+u_{n-1}) }. \]D’après la question précédente :
\[ u_n\ge1 \qquad\text{et}\qquad u_{n-1}\ge1. \]Ainsi :
\[ (1+u_n)(1+u_{n-1}) \ge 2\times2 = 4. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14 |u_n-u_{n-1}|. } \]Les écarts entre deux termes consécutifs changent de signe et leur valeur absolue diminue au moins comme une suite géométrique de raison \(\frac14\).
4. Étude des sous-suites paires et impaires
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1}. \]4.a) Relation entre \(\alpha_n\) et \(\beta_n\)
La relation de récurrence appliquée au rang \(2n\) donne :
\[ u_{2n+1} = 1+\frac1{1+u_{2n}}. \]Comme :
\[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1}, \]on obtient :
\[ \boxed{ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. } \]De même :
\[ \boxed{ \alpha_{n+1} = 1+\frac1{1+\beta_n}. } \]4.b) Comparaison de \(\alpha_n\) et \(\beta_n\)
Posons :
\[ \Delta_n=u_{n+1}-u_n. \]Le calcul effectué à la question 3 donne :
\[ \Delta_n = - \frac{ \Delta_{n-1} }{ (1+u_n)(1+u_{n-1}) } \qquad(n\ge1). \]Le signe de \(\Delta_n\) est donc opposé à celui de \(\Delta_{n-1}\).
Or :
\[ \Delta_0 = u_1-u_0 = \frac32-1 = \frac12 \gt0. \]Les signes alternent donc :
\[ \Delta_{2n}\gt0 \]et :
\[ \Delta_{2n+1}\lt0. \]Or :
\[ \beta_n-\alpha_n = u_{2n+1}-u_{2n} = \Delta_{2n}. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \alpha_n\lt\beta_n. } \]On obtient donc, en particulier :
\[ \boxed{ \alpha_n\le\beta_n. } \]4.c) Monotonie de \((\alpha_n)\)
On a :
\[ \begin{aligned} \alpha_{n+1}-\alpha_n &= u_{2n+2}-u_{2n}\\ &= \left( u_{2n+2}-u_{2n+1} \right) + \left( u_{2n+1}-u_{2n} \right)\\ &= \Delta_{2n+1}+\Delta_{2n}. \end{aligned} \]Comme :
\[ \Delta_{2n}\gt0 \qquad\text{et}\qquad \Delta_{2n+1}\lt0, \]on peut écrire :
\[ \alpha_{n+1}-\alpha_n = \Delta_{2n} - |\Delta_{2n+1}|. \]D’après l’inégalité de contraction :
\[ |\Delta_{2n+1}| \le \frac14|\Delta_{2n}| = \frac14\Delta_{2n}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \alpha_{n+1}-\alpha_n &\ge \Delta_{2n} - \frac14\Delta_{2n}\\ &= \frac34\Delta_{2n}\\ &\gt0. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\alpha_n)\text{ est strictement croissante}. } \]Monotonie de \((\beta_n)\)
On a :
\[ \begin{aligned} \beta_{n+1}-\beta_n &= u_{2n+3}-u_{2n+1}\\ &= \left( u_{2n+3}-u_{2n+2} \right) + \left( u_{2n+2}-u_{2n+1} \right)\\ &= \Delta_{2n+2}+\Delta_{2n+1}. \end{aligned} \]Comme :
\[ \Delta_{2n+1}\lt0 \qquad\text{et}\qquad \Delta_{2n+2}\gt0, \]on écrit :
\[ \beta_{n+1}-\beta_n = -|\Delta_{2n+1}| + \Delta_{2n+2}. \]Or :
\[ |\Delta_{2n+2}| \le \frac14|\Delta_{2n+1}|. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \beta_{n+1}-\beta_n &\le -|\Delta_{2n+1}| + \frac14|\Delta_{2n+1}|\\ &= -\frac34|\Delta_{2n+1}|\\ &\lt0. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\beta_n)\text{ est strictement décroissante}. } \]4.d) Convergence vers une même limite
On a déjà établi que :
\[ \alpha_n\le\beta_n. \]De plus :
\[ \beta_n-\alpha_n = u_{2n+1}-u_{2n} = |\Delta_{2n}|. \]En appliquant successivement l’inégalité de contraction :
\[ |\Delta_{2n}| \le \left(\frac14\right)^{2n} |\Delta_0|. \]Or :
\[ |\Delta_0| = |u_1-u_0| = \frac12. \]Donc :
\[ 0 \le \beta_n-\alpha_n \le \frac12 \left(\frac14\right)^{2n}. \]Comme :
\[ \frac12 \left(\frac14\right)^{2n} \longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \beta_n-\alpha_n \longrightarrow0. \]La suite \((\alpha_n)\) est croissante, la suite \((\beta_n)\) est décroissante et leur différence tend vers \(0\).
Elles sont donc adjacentes.
\[ \boxed{ (\alpha_n)\text{ et }(\beta_n) \text{ convergent vers une même limite}. } \]5. Convergence vers \(\sqrt2\)
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5.a) Contraction de l’écart à \(\sqrt2\)
Posons :
\[ r=\sqrt2. \]On a :
\[ \frac1{1+\sqrt2} = \sqrt2-1. \]Donc :
\[ \sqrt2 = 1+\frac1{1+\sqrt2}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-\sqrt2 &= \left( 1+\frac1{1+u_n} \right) - \left( 1+\frac1{1+\sqrt2} \right)\\ &= \frac1{1+u_n} - \frac1{1+\sqrt2}\\ &= \frac{ \sqrt2-u_n }{ (1+u_n)(1+\sqrt2) }. \end{aligned} \]En prenant les valeurs absolues :
\[ |u_{n+1}-\sqrt2| = \frac{ |u_n-\sqrt2| }{ (1+u_n)(1+\sqrt2) }. \]Comme :
\[ u_n\ge1 \qquad\text{et}\qquad \sqrt2\ge1, \]on a :
\[ (1+u_n)(1+\sqrt2) \ge 2\times2 = 4. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad |u_{n+1}-\sqrt2| \le \frac14|u_n-\sqrt2|. } \]5.b) Limite de la suite
En itérant l’inégalité précédente :
\[ |u_n-\sqrt2| \le \left(\frac14\right)^n |u_0-\sqrt2|. \]Comme \(u_0=1\) :
\[ |u_0-\sqrt2| = \sqrt2-1. \]Donc :
\[ \boxed{ |u_n-\sqrt2| \le \left(\frac14\right)^n (\sqrt2-1). } \]Or :
\[ \left(\frac14\right)^n (\sqrt2-1) \longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ |u_n-\sqrt2| \longrightarrow0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt2. } \]Les deux sous-suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) ont donc également pour limite :
\[ \boxed{\sqrt2}. \]5.c) Détermination du rang \(N\)
Nous cherchons un entier naturel \(N\) tel que :
\[ (\forall n\ge N)\qquad |u_n-\sqrt2|\lt10^{-2}. \]Nous disposons de :
\[ |u_n-\sqrt2| \le \left(\frac14\right)^n (\sqrt2-1). \]Pour tout \(n\ge3\) :
\[ |u_n-\sqrt2| \le \left(\frac14\right)^3 (\sqrt2-1). \]Or :
\[ \sqrt2\lt\frac32. \]Donc :
\[ \sqrt2-1\lt\frac12. \]Ainsi :
\[ |u_n-\sqrt2| \lt \frac1{4^3}\times\frac12 = \frac1{128}. \]Or :
\[ \frac1{128} \lt \frac1{100} = 10^{-2}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ N=3\text{ convient}. } \]Pour \(n=2\) : \[ u_2=\frac75. \] Or : \[ \left(\frac{141}{100}\right)^2 = \frac{19881}{10000} \lt 2. \] Comme les deux nombres sont positifs : \[ \frac{141}{100}\lt\sqrt2. \] Donc : \[ \left| \frac75-\sqrt2 \right| = \sqrt2-\frac75 \gt \frac{141}{100}-\frac{140}{100} = \frac1{100}. \] Ainsi, \(N=2\) ne convient pas. Le plus petit entier possible est donc : \[ \boxed{N_{\min}=3}. \]
Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 43 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice étudie une suite récurrente oscillante grâce à une contraction entre deux termes consécutifs, aux sous-suites de rangs pairs et impairs et au théorème des suites adjacentes.
Savoir encadrer une suite récurrente, contrôler ses oscillations, étudier séparément ses sous-suites paires et impaires, démontrer leur adjacence et obtenir une estimation quantitative de l’écart entre \(u_n\) et sa limite.
- Calculer les premiers termes de la suite.
- Montrer que tous les termes restent dans \(\left[1,\frac32\right]\).
- Établir une contraction entre deux termes consécutifs.
- Étudier les sous-suites \(\alpha_n=u_{2n}\) et \(\beta_n=u_{2n+1}\).
- Montrer que ces deux sous-suites sont adjacentes.
- Contrôler directement l’écart à \(\sqrt2\).
- Déterminer un rang assurant une erreur inférieure à \(10^{-2}\).
Une suite récurrente peut osciller sans être monotone. L’étude séparée des sous-suites paires et impaires permet alors de faire apparaître deux suites adjacentes. Une inégalité de contraction fournit en plus une estimation explicite de la vitesse de convergence.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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