Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 29 à 31 — Suites récurrentes et transformations Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 29 Exercice 30 Exercice 31 Exercice 29 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0\in[0,1] \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. \] 2. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente. 3.a) On pose : \[ u_0=\cos\theta, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \] Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). \] 3.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\). 1. Encadrement de la suite Lire la réponse + Masquer la réponse − Montrons par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le...

Correction du devoir 3 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité 2. Dérivabilité 3. Signe de f′ 4. Variations 5. Courbe 6. Intervalle stable 7. Suite récurrente 8. Contraction 9. Identité trigonométrique 10. Expression explicite Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -x+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\geq0,\\[2mm] \dfrac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right) & \text{si }x\lt0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la première expression : \[ f(0)=-0+\sqrt{0^2+1}=1. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ f(x)=-x+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0+1=1. \] Lorsque \(x\to0^-\), on a : \[ f(x)=\frac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \] Or : \[ -x+\sqrt{x^2+1}\to1...

Primitive d’une fonction trigonométrique Étude de la fonction f(x) = sin 4 (x) — Exercice corrigé avec vidéo Présentation de l’exercice Cet exercice propose une méthode originale pour déterminer une primitive de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin 4 (x). La démarche utilise le calcul de la dérivée seconde, une identité trigonométrique et une condition permettant de déterminer une primitive particulière. Chapitre Primitives et fonctions trigonométriques Fonction étudiée f(x) = sin 4 (x) Compétences travaillées Dérivation, identités trigonométriques et primitives Support complémentaire Vidéo explicative intégrée Énoncé Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = sin 4 (x) Questions Calculer f″(x) pour tout x ∈ ℝ. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ : f(x) = − 1 4 f...

Limites trigonométriques — Exercice 38 corrigé 15 limites détaillées — 1re Bac Sciences Expérimentales Présentation de l’exercice Cet exercice regroupe quinze limites trigonométriques. La correction détaille la méthode utilisée et distingue les limites bilatérales des limites à droite et à gauche lorsque cela est nécessaire. Résultats du cours mobilisés sin u / u tend vers 1 lorsque u tend vers 0 ; tan u / u tend vers 1 lorsque u tend vers 0 ; (1−cos u) / u² tend vers 1/2 lorsque u tend vers 0 ; √(v²)=|v| : la valeur absolue ne doit pas être oubliée ; près d’une valeur non nulle, on cherche à faire apparaître un écart de la forme x−x₀. Question 1 Rappel de la question lim x → 0 sin ( 3 x ) x Réponse lim x → 0 sin ( 3 x ) x = 3 lim x → 0 sin ( 3 x ) 3 x = 3 Réponse finale : La limite vaut 3 . Question 2 ...