Primitive de la fonction sin⁴(x) — Exercice corrigé avec vidéo

Primitive d’une fonction trigonométrique

Étude de la fonction f(x) = sin⁴(x) — Exercice corrigé avec vidéo

Présentation de l’exercice

Cet exercice propose une méthode originale pour déterminer une primitive de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = sin⁴(x). La démarche utilise le calcul de la dérivée seconde, une identité trigonométrique et une condition permettant de déterminer une primitive particulière.

Chapitre Primitives et fonctions trigonométriques

Fonction étudiée f(x) = sin⁴(x)

Compétences travaillées Dérivation, identités trigonométriques et primitives

Support complémentaire Vidéo explicative intégrée

Énoncé

Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = sin⁴(x)

Questions

1. Calculer f″(x) pour tout x ∈ ℝ.
2. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ :
   f(x) = − 14 f″(x) + 38 − 38 cos(4x)
3. En déduire une primitive de f sur ℝ.
4. Déterminer la primitive F de f telle que F(π) = 0.

Idée directrice : l’identité demandée à la deuxième question exprime f à l’aide de f″ et d’une fonction trigonométrique facile à intégrer. Une primitive de f peut alors être obtenue sans développer directement sin⁴(x).

Correction détaillée

Résolution progressive des quatre questions.

1. Calcul de la dérivée seconde

La fonction f est dérivable sur ℝ. Par dérivation d’une puissance composée :

f′(x) = 4 sin³(x) cos(x)

En dérivant le produit sin³(x) cos(x), on obtient :

f″(x) = 12 sin²(x) cos²(x) − 4 sin⁴(x)

Résultat : f″(x) = 12 sin²(x) cos²(x) − 4 sin⁴(x).

2. Démonstration de l’identité

D’après l’expression de f″(x) :

− 14 f″(x) = −3 sin²(x) cos²(x) + sin⁴(x)

D’autre part, en utilisant 1 − cos(4x) = 2 sin²(2x) et sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), on a :

38 [1 − cos(4x)] = 3 sin²(x) cos²(x)

En additionnant les deux expressions, les termes en sin²(x) cos²(x) s’annulent. Il vient :

f(x) = − 14 f″(x) + 38 − 38 cos(4x)

3. Détermination d’une primitive de f

En intégrant l’identité précédente terme à terme, une primitive de f est :

G(x) = − 14 f′(x) + 38 x − 332 sin(4x)

Comme f′(x) = 4 sin³(x) cos(x), on peut aussi écrire :

G(x) = − sin³(x) cos(x) + 38 x − 332 sin(4x)

4. Primitive F vérifiant F(π) = 0

Toute primitive de f s’écrit F(x) = G(x) + C, où C est une constante réelle.

Or sin(π) = 0 et sin(4π) = 0. Par conséquent :

G(π) = 3π8

La condition F(π) = 0 donne donc :

C = − 3π8

Réponse finale :

F(x) = − sin³(x) cos(x) + 38 (x − π) − 332 sin(4x)

Vérification : la dérivée de la fonction F obtenue est bien f(x) = sin⁴(x), et F(π) = 0.

Vidéo explicative

Présentation vidéo de la méthode de résolution.

Exercice proposé et corrigé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt