Correction des exercices 29 à 31 — Suites récurrentes et transformations
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 29
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0\in[0,1] \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. \] 2. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.
3.a) On pose : \[ u_0=\cos\theta, \qquad \theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \] Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). \] 3.b) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).
1. Encadrement de la suite
Lire la réponse +
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. \]Pour \(n=0\), cette propriété est vraie puisque :
\[ u_0\in[0,1]. \]Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ 0\le u_n\le1. \]Alors :
\[ 1\le1+u_n\le2. \]En divisant par \(2\) :
\[ \frac12 \le \frac{1+u_n}{2} \le1. \]La fonction racine carrée étant croissante sur \([0,+\infty[\), on obtient :
\[ 0 \le \sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \le1. \]Or :
\[ u_{n+1} = \sqrt{\frac{1+u_n}{2}}. \]Donc :
\[ 0\le u_{n+1}\le1. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le1. } \]2. Convergence de la suite
Lire la réponse +
Pour tout entier \(n\in\mathbb N\) :
\[ u_{n+1}^2 = \frac{1+u_n}{2}. \]Calculons :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}^2-u_n^2 &= \frac{1+u_n}{2}-u_n^2\\ &= \frac{1+u_n-2u_n^2}{2}\\ &= \frac{(1-u_n)(2u_n+1)}{2}. \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ 0\le u_n\le1. \]Donc :
\[ 1-u_n\ge0 \]et :
\[ 2u_n+1\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}^2-u_n^2\ge0. \]Comme \(u_n\ge0\) et \(u_{n+1}\ge0\), on en déduit :
\[ u_{n+1}\ge u_n. \]La suite \((u_n)\) est donc croissante. Elle est également majorée par \(1\).
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]3.a) Expression trigonométrique de \(u_n\)
Lire la réponse +
Puisque :
\[ u_0\in[0,1], \]il existe un unique réel :
\[ \theta\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \]tel que :
\[ u_0=\cos\theta. \]Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). \]Pour \(n=0\) :
\[ \cos\left(\frac{\theta}{2^0}\right) = \cos\theta = u_0. \]Supposons que :
\[ u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). \]Alors :
\[ u_{n+1} = \sqrt{ \frac{ 1+\cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right) }{2} }. \]Pour tout réel \(x\in[0,\pi]\), la formule de l’angle moitié donne :
\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}. \]Or :
\[ \frac{\theta}{2^n} \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. \]Donc :
\[ u_{n+1} = \cos\left(\frac{\theta}{2^{n+1}}\right). \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n= \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right). } \]La relation : \[ u_{n+1} = \sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \] reproduit exactement la formule trigonométrique de l’angle moitié.
3.b) Limite de la suite
Lire la réponse +
Comme :
\[ \frac{\theta}{2^n} \longrightarrow0, \]et que la fonction cosinus est continue en \(0\), on obtient :
\[ u_n = \cos\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \longrightarrow \cos0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=1. } \]Exercice 30
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=-2 \] et : \[ u_{n+1} = \frac{3u_n+5}{u_n+3} \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\lt\sqrt5. \] 2. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3. Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite.
Avant d’étudier la suite, il faut vérifier que le dénominateur \(u_n+3\) ne s’annule jamais. Nous allons démontrer la propriété plus forte : \[ -2\le u_n\lt\sqrt5. \] Elle garantit notamment que : \[ u_n+3\ge1\gt0. \]
1. Encadrement et bonne définition de la suite
Lire la réponse +
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad -2\le u_n\lt\sqrt5. \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=-2. \]Donc :
\[ -2\le u_0\lt\sqrt5. \]Supposons maintenant que :
\[ -2\le u_n\lt\sqrt5. \]On a alors :
\[ u_n+3\ge1\gt0. \]Calculons d’abord :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}+2 &= \frac{3u_n+5}{u_n+3}+2\\ &= \frac{3u_n+5+2u_n+6}{u_n+3}\\ &= \frac{5u_n+11}{u_n+3}. \end{aligned} \]Comme \(u_n\ge-2\), on a :
\[ 5u_n+11\ge1\gt0. \]Le dénominateur étant également strictement positif :
\[ u_{n+1}+2\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}\gt-2. \]Étudions ensuite la différence avec \(\sqrt5\) :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-\sqrt5 &= \frac{3u_n+5}{u_n+3}-\sqrt5\\ &= \frac{ 3u_n+5-\sqrt5(u_n+3) }{ u_n+3 }\\ &= \frac{ (3-\sqrt5)(u_n-\sqrt5) }{ u_n+3 }. \end{aligned} \]Or :
\[ 3-\sqrt5\gt0, \qquad u_n-\sqrt5\lt0 \]et :
\[ u_n+3\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}-\sqrt5\lt0. \]Ainsi :
\[ -2\lt u_{n+1}\lt\sqrt5. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad -2\le u_n\lt\sqrt5. } \]En particulier :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\lt\sqrt5. } \]2. Monotonie de la suite
Lire la réponse +
Pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac{3u_n+5}{u_n+3}-u_n\\ &= \frac{ 3u_n+5-u_n(u_n+3) }{ u_n+3 }\\ &= \frac{5-u_n^2}{u_n+3}. \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ -2\le u_n\lt\sqrt5. \]Or :
\[ -\sqrt5\lt-2. \]Donc :
\[ -\sqrt5\lt u_n\lt\sqrt5. \]Ainsi :
\[ u_n^2\lt5. \]Par conséquent :
\[ 5-u_n^2\gt0. \]De plus :
\[ u_n+3\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement croissante}. } \]3. Convergence et limite
Lire la réponse +
La suite \((u_n)\) est strictement croissante et majorée par \(\sqrt5\).
D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]D’après l’encadrement obtenu précédemment :
\[ -2\le\ell\le\sqrt5. \]La fonction :
\[ x\longmapsto\frac{3x+5}{x+3} \]est continue en \(\ell\), car :
\[ \ell+3\ge1\gt0. \]En passant à la limite dans la relation de récurrence :
\[ \ell = \frac{3\ell+5}{\ell+3}. \]Donc :
\[ \ell(\ell+3)=3\ell+5. \]Ainsi :
\[ \ell^2=5. \]Les solutions possibles sont :
\[ \ell=-\sqrt5 \qquad\text{ou}\qquad \ell=\sqrt5. \]Mais :
\[ \ell\ge-2 \]et :
\[ -\sqrt5\lt-2. \]La valeur \(-\sqrt5\) est impossible. Finalement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt5. } \]Exercice 31
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0= \sqrt[3]{\frac27} \] et : \[ u_{n+1} = \sqrt[3]{ \frac{1+u_n^3}{8} } \quad(\forall n\in\mathbb N). \] 1.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt\sqrt[3]{\frac17}. \] 1.b) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \frac{u_{n+1}}{u_n}\lt1. \] 2. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
3.a) On pose : \[ v_n= \frac78u_n^3-\frac18. \] Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique.
3.b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1.a) Minoration de la suite
Lire la réponse +
La fonction cube étant strictement croissante sur \(\mathbb R\), l’inégalité :
\[ u_n\gt\sqrt[3]{\frac17} \]équivaut à :
\[ u_n^3\gt\frac17. \]Montrons cette dernière propriété par récurrence.
Pour \(n=0\) :
\[ u_0^3=\frac27. \]Donc :
\[ u_0^3=\frac27\gt\frac17. \]Supposons maintenant que :
\[ u_n^3\gt\frac17. \]On a :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}^3-\frac17 &= \frac{1+u_n^3}{8}-\frac17\\ &= \frac{7+7u_n^3-8}{56}\\ &= \frac{7u_n^3-1}{56}\\ &= \frac18 \left( u_n^3-\frac17 \right). \end{aligned} \]D’après l’hypothèse de récurrence :
\[ u_n^3-\frac17\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}^3-\frac17\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}^3\gt\frac17. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt\sqrt[3]{\frac17}. } \]1.b) Comparaison de deux termes consécutifs
Lire la réponse +
D’après la question précédente :
\[ u_n^3\gt\frac17. \]Donc :
\[ 7u_n^3\gt1. \]Ainsi :
\[ 1+u_n^3 \lt 8u_n^3. \]En divisant par \(8\gt0\) :
\[ \frac{1+u_n^3}{8} \lt u_n^3. \]Or :
\[ u_{n+1}^3 = \frac{1+u_n^3}{8}. \]Donc :
\[ u_{n+1}^3\lt u_n^3. \]La fonction racine cubique étant strictement croissante :
\[ u_{n+1}\lt u_n. \]De plus, \(u_n\gt0\). On peut donc diviser par \(u_n\) :
\[ \boxed{ \frac{u_{n+1}}{u_n}\lt1. } \]2. Convergence de la suite
Lire la réponse +
La suite \((u_n)\) est décroissante.
D’après la question 1.a), elle est minorée par :
\[ \sqrt[3]{\frac17}. \]D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]3.a) Étude de la suite auxiliaire \((v_n)\)
Lire la réponse +
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ v_n= \frac78u_n^3-\frac18. \]Calculons \(v_{n+1}\) :
\[ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac78u_{n+1}^3-\frac18\\ &= \frac78 \left( \frac{1+u_n^3}{8} \right) - \frac18\\ &= \frac{7+7u_n^3}{64} - \frac8{64}\\ &= \frac{7u_n^3-1}{64}. \end{aligned} \]Or :
\[ v_n= \frac{7u_n^3-1}{8}. \]Donc :
\[ v_{n+1} = \frac18v_n. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est géométrique de raison }\frac18. } \]Calculons son premier terme :
\[ \begin{aligned} v_0 &= \frac78u_0^3-\frac18\\ &= \frac78\cdot\frac27-\frac18\\ &= \frac14-\frac18\\ &= \frac18. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \boxed{ v_n= \frac18 \left(\frac18\right)^n = \left(\frac18\right)^{n+1}. } \]3.b) Expression et limite de \(u_n\)
Lire la réponse +
On a :
\[ \frac78u_n^3-\frac18 = \left(\frac18\right)^{n+1}. \]En multipliant par \(8\) :
\[ 7u_n^3-1 = \left(\frac18\right)^n. \]Donc :
\[ 7u_n^3 = 1+\left(\frac18\right)^n. \]Ainsi :
\[ u_n^3 = \frac{ 1+\left(\frac18\right)^n }{7}. \]Finalement :
\[ \boxed{ u_n= \sqrt[3]{ \frac{ 1+\left(\frac18\right)^n }{7} }. } \]Comme :
\[ \left(\frac18\right)^n \longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n = \sqrt[3]{\frac17}. } \]Cet article propose une correction détaillée des exercices 29 à 31 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Les exercices portent sur les suites récurrentes, la formule trigonométrique de l’angle moitié, les suites homographiques, les points fixes et les suites géométriques auxiliaires.
Apprendre à transformer une relation de récurrence afin d’obtenir une expression explicite ou une convergence : changement trigonométrique, étude d’un intervalle stable, recherche d’un point fixe et introduction d’une suite auxiliaire géométrique.
- Vérifier que tous les termes appartiennent à un intervalle adapté.
- Étudier la monotonie à partir de \(u_{n+1}-u_n\) ou de \(u_{n+1}^2-u_n^2\).
- Utiliser une identité trigonométrique pour expliciter la suite.
- Vérifier que la suite homographique est bien définie.
- Construire une suite auxiliaire géométrique lorsque la relation porte sur une puissance de \(u_n\).
Une relation de récurrence peut parfois être simplifiée grâce à une identité trigonométrique, à l’étude des points fixes d’une fonction homographique ou à l’introduction d’une suite auxiliaire portant sur une puissance de \(u_n\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire