Parcours Maths Maroc

Correction exercices 3 à 7 — Dérivation Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques Manuel : Al Moufid Chapitre : Dérivation Partie : Dérivabilité à droite et à gauche Exercices : 3 à 7 Remarque importante : Les énoncés complets ne sont pas reproduits. Veuillez consulter le manuel pour lire les exercices originaux. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction. Accès rapide : Exercice 03 Exercice 04 Exercice 05 Exercice 06 Exercice 07 Dans ces exercices, on utilise principalement la définition du nombre dérivé à droite et à gauche : \[ f_d^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] et \[ f_g^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] Exercice 03 On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f(x)= \begin{cases} (x-1)\sqrt{x-1} & \text{si } x\geq 1\\ x^3-x & \text{si } x<1 \end{cases} \] 1) Continuité en \(1\) On a : \[ f(1)=0 \] À droite de \(1\)...

Correction exercice 2 — Dérivation Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques Manuel : Al Moufid Chapitre : Dérivation Partie : Dérivabilité à droite et à gauche Exercice : 2 Remarque importante : L’énoncé complet n’est pas reproduit. Veuillez consulter le manuel pour lire l’exercice original. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction. Rappel. On calcule : \[ f_d^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] et \[ f_g^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si ces deux limites existent, sont finies et égales. 1) \[ f(x)=|x^2-1|,\qquad x_0=1 \] On a : \[ f(1)=0 \] Au voisinage de \(1\), on a : \[ x^2-1=(x-1)(x+1) \] et \(x+1>0\). À droite de \(1\) Si \(x>1\), alors : \[ x^2-1>0 \] Donc : \[ f(x)=x^2-1 \] Ainsi : \[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \] Donc : \[ f_d^{\prime}(1)=\lim_{x\...

Correction exercice 1 — Dérivation Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques Manuel : Al Moufid Chapitre : Dérivation Partie : Dérivabilité en un point Exercice : 1 Remarque importante : L’énoncé complet n’est pas reproduit. Veuillez consulter le manuel pour lire l’exercice original. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction. Rappel. Pour montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\), on calcule : \[ f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] lorsque cette limite existe et est finie. 1) \[ f(x)=\sqrt{x^2+1},\qquad x_0=0 \] On a : \[ f(0)=1 \] Donc : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} \] On multiplie par le conjugué : \[ \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} = \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2+1}+1)} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \] Ainsi : \[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}=0 \] \[ \boxed{f^{\prime}(0)=0} \] 2) \[ f(x)=2x-\sqrt{x},\qquad x_0=1 \] On a : \[ f(1)=2-1=1 \] Donc : \[ \fr...