Correction exercice 1 — Dérivation
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Manuel : Al Moufid
Chapitre : Dérivation
Partie : Dérivabilité en un point
Exercice : 1
Remarque importante :
L’énoncé complet n’est pas reproduit. Veuillez consulter le manuel pour lire l’exercice original. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction.
L’énoncé complet n’est pas reproduit. Veuillez consulter le manuel pour lire l’exercice original. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction.
Rappel.
Pour montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\), on calcule : \[ f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] lorsque cette limite existe et est finie.
Pour montrer que \(f\) est dérivable en \(x_0\), on calcule : \[ f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] lorsque cette limite existe et est finie.
1)
\[ f(x)=\sqrt{x^2+1},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=1 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} \]On multiplie par le conjugué :
\[ \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} = \frac{x^2}{x(\sqrt{x^2+1}+1)} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}=0 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=0}
\]
2)
\[ f(x)=2x-\sqrt{x},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=2-1=1 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{2x-\sqrt{x}-1}{x-1} \] \[ = \frac{2(x-1)-(\sqrt{x}-1)}{x-1} \] \[ = 2-\frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \]Or :
\[ \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x}+1} \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = 2-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \]
\[
\boxed{f^{\prime}(1)=2-\frac12=\frac32}
\]
3)
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+2},\qquad x_0=-2 \]On a :
\[ f(-2)=\frac16 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} = \frac{\frac{1}{x^2+2}-\frac16}{x+2} \] \[ = \frac{6-(x^2+2)}{6(x^2+2)(x+2)} \] \[ = \frac{4-x^2}{6(x^2+2)(x+2)} \] \[ = \frac{(2-x)(x+2)}{6(x^2+2)(x+2)} \] \[ = \frac{2-x}{6(x^2+2)} \]
\[
\boxed{f^{\prime}(-2)=\frac{2-(-2)}{6(4+2)}=\frac19}
\]
4)
\[ f(x)=x|x|,\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=0 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{x|x|}{x} = |x| \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0}|x|=0 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=0}
\]
5)
\[ f(x)=2x-\operatorname{Arctan}\sqrt{x+1},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=-\frac{\pi}{4} \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = 2-\frac{\operatorname{Arctan}\sqrt{x+1}-\frac{\pi}{4}}{x} \]Posons :
\[ u=\operatorname{Arctan}\sqrt{x+1}-\frac{\pi}{4} \]Alors \(u\to0\) lorsque \(x\to0\). De plus :
\[ \tan u = \tan\left(\operatorname{Arctan}\sqrt{x+1}-\frac{\pi}{4}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{x+1}-1}{1+\sqrt{x+1}} \]Donc :
\[ \frac{\tan u}{x} = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x(1+\sqrt{x+1})} \]Or :
\[ \sqrt{x+1}-1 = \frac{x}{\sqrt{x+1}+1} \]Ainsi :
\[ \frac{\tan u}{x} = \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2} \]Comme :
\[ \lim_{u\to0}\frac{u}{\tan u}=1 \]on obtient :
\[ \lim_{x\to0}\frac{u}{x}=\frac14 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=2-\frac14=\frac74}
\]
6)
\[ f(x)=\cos x-\sin^2x+\tan(4x),\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=1 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\cos x-1}{x} - \frac{\sin^2x}{x} + \frac{\tan(4x)}{x} \]On sait que :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0 \]et :
\[ \frac{\sin^2x}{x} = \sin x\cdot\frac{\sin x}{x} \to0 \]Enfin :
\[ \frac{\tan(4x)}{x} = 4\frac{\tan(4x)}{4x} \to4 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=4}
\]
7)
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\quad \text{si }x\neq0, \qquad f(0)=\frac12, \qquad x_0=0 \]Pour \(x\neq0\), on simplifie :
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}-\frac12}{x} \] \[ = \frac{2-(\sqrt{x+1}+1)}{2x(\sqrt{x+1}+1)} \] \[ = \frac{1-\sqrt{x+1}}{2x(\sqrt{x+1}+1)} \]Or :
\[ 1-\sqrt{x+1} = -\frac{x}{1+\sqrt{x+1}} \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = -\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)^2} \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=-\frac18}
\]
8)
\[ f(x)=x^2\cos\left(\frac1x\right)\quad \text{si }x\neq0, \qquad f(0)=0, \qquad x_0=0 \]On a :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{x^2\cos\left(\frac1x\right)}{x} = x\cos\left(\frac1x\right) \]Or :
\[ -1\leq \cos\left(\frac1x\right)\leq 1 \]Donc :
\[ -|x|\leq x\cos\left(\frac1x\right)\leq |x| \]Comme :
\[ \lim_{x\to0}|x|=0 \]on obtient :
\[ \lim_{x\to0}x\cos\left(\frac1x\right)=0 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(0)=0}
\]
9)
\[ f(x)=\frac{\sin(x^2-1)}{x-1},\qquad x_0=-1 \]On a :
\[ f(-1)=0 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{\sin(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} \]Or :
\[ (x-1)(x+1)=x^2-1 \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{\sin(x^2-1)}{x^2-1} \]Lorsque \(x\to-1\), on a :
\[ x^2-1\to0 \]Donc, d’après la limite usuelle :
\[ \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 \]
\[
\boxed{f^{\prime}(-1)=1}
\]
Remarque pédagogique.
Cet exercice est un exercice direct sur la définition du nombre dérivé. Il ne faut donc pas utiliser automatiquement les formules de dérivation.
Les étapes essentielles sont :
1. Calculer \(f(x_0)\)
2. Former le quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
3. Simplifier par factorisation ou par le conjugué
4. Utiliser les limites usuelles déjà vues
La question 5 est la plus délicate, car elle utilise le lien entre \(\operatorname{Arctan}\) et \(\tan\).
Cet exercice est un exercice direct sur la définition du nombre dérivé. Il ne faut donc pas utiliser automatiquement les formules de dérivation.
Les étapes essentielles sont :
1. Calculer \(f(x_0)\)
2. Former le quotient \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
3. Simplifier par factorisation ou par le conjugué
4. Utiliser les limites usuelles déjà vues
La question 5 est la plus délicate, car elle utilise le lien entre \(\operatorname{Arctan}\) et \(\tan\).
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