Correction exercices 3 à 7 — Dérivation
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Manuel : Al Moufid
Chapitre : Dérivation
Partie : Dérivabilité à droite et à gauche
Exercices : 3 à 7
Les énoncés complets ne sont pas reproduits. Veuillez consulter le manuel pour lire les exercices originaux. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction.
Exercice 03
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} (x-1)\sqrt{x-1} & \text{si } x\geq 1\\ x^3-x & \text{si } x<1 \end{cases} \]1) Continuité en \(1\)
On a :
\[ f(1)=0 \]À droite de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}(x-1)\sqrt{x-1}=0 \]À gauche de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}(x^3-x)=1-1=0 \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=0 \]2) Dérivabilité à droite et à gauche en \(1\)
À droite de \(1\), pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(x-1)\sqrt{x-1}}{x-1} = \sqrt{x-1} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0 \]À gauche de \(1\), pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x^3-x}{x-1} \]Or :
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]Donc :
\[ \frac{x^3-x}{x-1}=x(x+1) \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to1^-}x(x+1)=2 \]Comme :
\[ f_d^{\prime}(1)\neq f_g^{\prime}(1) \]La courbe admet deux demi-tangentes au point d’abscisse \(1\) :
à droite, une demi-tangente horizontale ;
à gauche, une demi-tangente de coefficient directeur \(2\).
Exercice 04
1)
\[ f(x)=\sqrt[4]{x-2},\qquad x_0=2 \]On a :
\[ f(2)=0 \]Pour \(x>2\) :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\sqrt[4]{x-2}}{x-2} = \frac{1}{(x-2)^{3/4}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(2\).
2)
\[ f(x)=\sqrt{1-x^2},\qquad x_0=-1 \]On a :
\[ f(-1)=0 \]Pour \(x>-1\) proche de \(-1\) :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x+1} \]Or :
\[ 1-x^2=(1-x)(1+x) \]Comme \(x+1>0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x+1} = \frac{\sqrt{(1-x)(1+x)}}{x+1} = \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to-1^+}\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(-1\).
3)
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x-2},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Or :
\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]Pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(x-1)(x+2)}}{x-1} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^+}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(1\).
4)
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x}+5},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=0 \]Pour \(x>0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{x}{\sqrt[3]{x}+5}}{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}+5} \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt[3]{x}+5}=\frac15 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(\dfrac15\).
5)
\[ f(x)=\cos\left(\sqrt[3]{x}\right),\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=1 \]Pour \(x>0\), posons :
\[ t=\sqrt[3]{x} \]Alors \(x=t^3\) et \(t\to0^+\). Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\cos t-1}{t^3} \]Or :
\[ \cos t-1=-2\sin^2\left(\frac t2\right) \]Donc :
\[ \frac{\cos t-1}{t^3} = -\frac{1}{2t} \left( \frac{\sin\left(\frac t2\right)}{\frac t2} \right)^2 \]Comme :
\[ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 \]on obtient :
\[ \lim_{t\to0^+} -\frac{1}{2t} \left( \frac{\sin\left(\frac t2\right)}{\frac t2} \right)^2 = -\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(0\).
6)
\[ f(x)=\left(\operatorname{Arctan}\sqrt{x-3}\right)^2,\qquad x_0=3 \]On a :
\[ f(3)=0 \]Pour \(x>3\), posons :
\[ t=\sqrt{x-3} \]Alors \(x-3=t^2\) et \(t\to0^+\). Donc :
\[ \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \frac{(\operatorname{Arctan}t)^2}{t^2} = \left(\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\right)^2 \]Comme :
\[ \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}=1 \]alors :
\[ \lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=1 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(1\).
Exercice 05
1)
\[ f(x)=x+\sqrt[3]{1-x},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=1 \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1+\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} \]Comme :
\[ x-1=-(1-x) \]alors :
\[ 1+\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1-\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
2)
\[ f(x)=\sqrt{x^2-5x+4},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Or :
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(x-1)(x-4)}}{x-1} \]Comme \(x-1<0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{(x-1)(x-4)}}{x-1} = -\sqrt{\frac{x-4}{x-1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}-\sqrt{\frac{x-4}{x-1}}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
3)
\[ f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=0 \]Pour \(x<0\) :
\[ \frac{x^3}{x-2} = x^2\frac{x}{x-2} \]Donc :
\[ f(x)=|x|\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Comme \(x<0\), on a \(|x|=-x\). Alors :
\[ f(x)=-x\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = -\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^-} -\sqrt{\frac{x}{x-2}}=0 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente horizontale à gauche.
4)
\[ f(x)=\sqrt{\pi-3\operatorname{Arctan}x},\qquad x_0=\sqrt3 \]On a :
\[ f(\sqrt3)=0 \]Pour \(x<\sqrt3\), posons :
\[ u=\frac{\pi}{3}-\operatorname{Arctan}x \]Alors \(u\to0^+\) lorsque \(x\to\sqrt3^-\), et :
\[ \pi-3\operatorname{Arctan}x=3u \]De plus :
\[ \tan u = \tan\left(\frac{\pi}{3}-\operatorname{Arctan}x\right) = \frac{\sqrt3-x}{1+\sqrt3x} \]Comme :
\[ \lim_{u\to0}\frac{u}{\tan u}=1 \]on obtient :
\[ \frac{u}{\sqrt3-x}\to\frac14 \]Donc :
\[ \frac{\pi-3\operatorname{Arctan}x}{\sqrt3-x}\to\frac34 \]Comme \(x-\sqrt3<0\), alors :
\[ \frac{f(x)-f(\sqrt3)}{x-\sqrt3} = \frac{\sqrt{\pi-3\operatorname{Arctan}x}}{x-\sqrt3} \to-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
5)
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x-2},\qquad x_0=-2 \]On a :
\[ f(-2)=0 \]Or :
\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1) \]Pour \(x<-2\) :
\[ \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} = \frac{\sqrt{(x+2)(x-1)}}{x+2} \]Comme \(x+2<0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{(x+2)(x-1)}}{x+2} = -\sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to-2^-}-\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
6)
\[ f(x)=\sqrt{1-x^3},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Pour \(x<1\) :
\[ 1-x^3=(1-x)(1+x+x^2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(1-x)(1+x+x^2)}}{x-1} \]Comme \(x-1=-(1-x)\), alors :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\sqrt{\frac{1+x+x^2}{1-x}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-} -\sqrt{\frac{1+x+x^2}{1-x}} =-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
7)
\[ f(x)=\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-x^2},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=1 \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} - \frac{\sqrt[3]{x-x^2}}{x-1} \]On a :
\[ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1} \to\frac13 \]Et comme :
\[ x-x^2=x(1-x) \]alors :
\[ -\frac{\sqrt[3]{x-x^2}}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{x(1-x)}}{1-x} = \frac{\sqrt[3]{x}}{(1-x)^{2/3}} \to+\infty \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
Exercice 06
On considère :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{|x-2|-2} \]1) Domaine de définition
On doit avoir :
\[ |x-2|-2\neq0 \]Donc :
\[ |x-2|\neq2 \]Ce qui donne :
\[ x-2\neq2 \quad \text{et} \quad x-2\neq-2 \]Donc :
\[ x\neq4 \quad \text{et} \quad x\neq0 \]2) Dérivabilité à droite et à gauche en \(x_0=2\)
On a :
\[ f(2)=\frac{2^2-2\cdot2-3}{|2-2|-2} = \frac{-3}{-2} = \frac32 \]À droite de \(2\)
Si \(x>2\), alors :
\[ |x-2|=x-2 \]Donc :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-4} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\frac{x^2-2x-3}{x-4}-\frac32}{x-2} \] \[ = \frac{2x^2-4x-6-3x+12}{2(x-4)(x-2)} \] \[ = \frac{2x^2-7x+6}{2(x-4)(x-2)} \]Or :
\[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{2x-3}{2(x-4)} \]Ainsi :
\[ f_d^{\prime}(2)=\frac{4-3}{2(2-4)} = -\frac14 \]À gauche de \(2\)
Si \(x<2\), alors :
\[ |x-2|=2-x \]Donc :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{-x} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\frac{x^2-2x-3}{-x}-\frac32}{x-2} \] \[ = \frac{-2x^2+4x+6-3x}{2x(x-2)} \] \[ = \frac{-2x^2+x+6}{2x(x-2)} \]Or :
\[ -2x^2+x+6=-(2x+3)(x-2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -\frac{2x+3}{2x} \]Ainsi :
\[ f_g^{\prime}(2) = -\frac{4+3}{4} = -\frac74 \]Comme :
\[ f_d^{\prime}(2)\neq f_g^{\prime}(2) \]Interprétation : la courbe admet deux demi-tangentes au point d’abscisse \(2\), de coefficients directeurs différents.
Exercice 07
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\setminus\{4\}\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} x-\sqrt[3]{1-x} & \text{si } x<1\\[2mm] \dfrac1{2-\sqrt{x}} & \text{si } x\geq1 \text{ et } x\neq4 \end{cases} \]1) Dérivabilité à droite et à gauche en \(x_0=1\)
On a :
\[ f(1)=\frac1{2-\sqrt1}=1 \]À droite de \(1\)
Pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\frac1{2-\sqrt{x}}-1}{x-1} \] \[ = \frac{\sqrt{x}-1}{(2-\sqrt{x})(x-1)} \]Or :
\[ x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac1{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)} \]Ainsi :
\[ f_d^{\prime}(1)=\frac1{(2-1)(1+1)}=\frac12 \]À gauche de \(1\)
Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x-\sqrt[3]{1-x}-1}{x-1} \] \[ = 1-\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} \]Comme :
\[ x-1=-(1-x) \]alors :
\[ 1-\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1+\frac1{(1-x)^{2/3}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty \]Par conséquent :
2) Interprétation géométrique
La courbe admet au point d’abscisse \(1\) :
\[ \text{une demi-tangente à droite de coefficient directeur } \frac12 \]et :
\[ \text{une demi-tangente verticale à gauche} \]Ces exercices entraînent surtout la lecture correcte du quotient de dérivabilité à droite et à gauche.
Le point essentiel est le suivant : lorsque la limite du quotient vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\), il n’y a pas de nombre dérivé fini. Donc la fonction n’est pas dérivable du côté considéré.
Pour conclure que la fonction est dérivable en \(x_0\), il faut que les deux nombres dérivés à droite et à gauche existent, soient finis et soient égaux.
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