Correction exercices 3 à 7 — Dérivation
Objectifs et parcours de résolution
Les exercices 3 à 7 d’Al Moufid associent fonctions définies par morceaux, dérivabilité unilatérale et interprétation géométrique. Le raccord de deux expressions se traite en deux temps : comparer leurs limites et la valeur au point, puis comparer les taux d’accroissement. Les racines étudiées à une borne rappellent aussi qu’une limite infinie du quotient ne donne pas un nombre dérivé fini.
Repères de cours utiles
En un point intérieur \(a\) du domaine, le nombre dérivé est la limite finie du taux d’accroissement \((f(x)-f(a))/(x-a)\). L’existence de cette limite implique la continuité en \(a\). La continuité seule ne garantit pas la dérivabilité.
Pour une racine carrée, multiplier par l’expression conjuguée peut faire apparaître le facteur \(x-a\). Pour une valeur absolue ou une fonction définie par morceaux, déterminer l’expression utilisée à gauche et à droite avant de simplifier. Deux limites unilatérales finies différentes donnent deux demi-tangentes de pentes différentes.
Une limite infinie du taux d’accroissement ne définit pas un nombre dérivé fini. Lorsque la fonction est continue au point étudié, elle permet une interprétation géométrique par une tangente ou une demi-tangente verticale, selon les côtés du domaine effectivement accessibles.
Méthode de travail sur ce sujet
Dans l’exercice 3, vérifier le raccord en \(1\) avant de calculer séparément les deux pentes. Pour une racine à une borne, utiliser le côté du domaine où la fonction existe.
Pour chaque question, terminer par une phrase distinguant continuité, dérivabilité et tangente ou demi-tangente. Une courbe peut être continue sans que les deux pentes soient égales.
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Manuel : Al Moufid
Chapitre : Dérivation
Partie : Dérivabilité à droite et à gauche
Exercices : 3 à 7
Les énoncés complets ne sont pas reproduits. Veuillez consulter le manuel pour lire les exercices originaux. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction.
Exercice 03
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} (x-1)\sqrt{x-1} & \text{si } x\geq 1\\ x^3-x & \text{si } x<1 \end{cases} \]1) Continuité en \(1\)
On a :
\[ f(1)=0 \]À droite de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^+}(x-1)\sqrt{x-1}=0 \]À gauche de \(1\) :
\[ \lim_{x\to1^-}(x^3-x)=1-1=0 \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=0 \]2) Dérivabilité à droite et à gauche en \(1\)
À droite de \(1\), pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(x-1)\sqrt{x-1}}{x-1} = \sqrt{x-1} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0 \]À gauche de \(1\), pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x^3-x}{x-1} \]Or :
\[ x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) \]Donc :
\[ \frac{x^3-x}{x-1}=x(x+1) \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to1^-}x(x+1)=2 \]Comme :
\[ f_d^{\prime}(1)\neq f_g^{\prime}(1) \]La courbe admet deux demi-tangentes au point d’abscisse \(1\) :
à droite, une demi-tangente horizontale ;
à gauche, une demi-tangente de coefficient directeur \(2\).
Exercice 04
1)
\[ f(x)=\sqrt[4]{x-2},\qquad x_0=2 \]On a :
\[ f(2)=0 \]Pour \(x>2\) :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\sqrt[4]{x-2}}{x-2} = \frac{1}{(x-2)^{3/4}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(2\).
2)
\[ f(x)=\sqrt{1-x^2},\qquad x_0=-1 \]On a :
\[ f(-1)=0 \]Pour \(x>-1\) proche de \(-1\) :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x+1} \]Or :
\[ 1-x^2=(1-x)(1+x) \]Comme \(x+1>0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{1-x^2}}{x+1} = \frac{\sqrt{(1-x)(1+x)}}{x+1} = \sqrt{\frac{1-x}{x+1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to-1^+}\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(-1\).
3)
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x-2},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Or :
\[ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \]Pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(x-1)(x+2)}}{x-1} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^+}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(1\).
4)
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x}+5},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=0 \]Pour \(x>0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{x}{\sqrt[3]{x}+5}}{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}+5} \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt[3]{x}+5}=\frac15 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(\dfrac15\).
5)
\[ f(x)=\cos\left(\sqrt[3]{x}\right),\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=1 \]Pour \(x>0\), posons :
\[ t=\sqrt[3]{x} \]Alors \(x=t^3\) et \(t\to0^+\). Donc :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\cos t-1}{t^3} \]Or :
\[ \cos t-1=-2\sin^2\left(\frac t2\right) \]Donc :
\[ \frac{\cos t-1}{t^3} = -\frac{1}{2t} \left( \frac{\sin\left(\frac t2\right)}{\frac t2} \right)^2 \]Comme :
\[ \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 \]on obtient :
\[ \lim_{t\to0^+} -\frac{1}{2t} \left( \frac{\sin\left(\frac t2\right)}{\frac t2} \right)^2 = -\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à droite au point d’abscisse \(0\).
6)
\[ f(x)=\left(\operatorname{Arctan}\sqrt{x-3}\right)^2,\qquad x_0=3 \]On a :
\[ f(3)=0 \]Pour \(x>3\), posons :
\[ t=\sqrt{x-3} \]Alors \(x-3=t^2\) et \(t\to0^+\). Donc :
\[ \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \frac{(\operatorname{Arctan}t)^2}{t^2} = \left(\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\right)^2 \]Comme :
\[ \lim_{t\to0}\frac{\operatorname{Arctan}t}{t}=1 \]alors :
\[ \lim_{x\to3^+}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=1 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(1\).
Exercice 05
1)
\[ f(x)=x+\sqrt[3]{1-x},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=1 \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1+\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} \]Comme :
\[ x-1=-(1-x) \]alors :
\[ 1+\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1-\frac{1}{(1-x)^{2/3}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
2)
\[ f(x)=\sqrt{x^2-5x+4},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Or :
\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(x-1)(x-4)}}{x-1} \]Comme \(x-1<0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{(x-1)(x-4)}}{x-1} = -\sqrt{\frac{x-4}{x-1}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}-\sqrt{\frac{x-4}{x-1}}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
3)
\[ f(x)=\sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\qquad x_0=0 \]On a :
\[ f(0)=0 \]Pour \(x<0\) :
\[ \frac{x^3}{x-2} = x^2\frac{x}{x-2} \]Donc :
\[ f(x)=|x|\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Comme \(x<0\), on a \(|x|=-x\). Alors :
\[ f(x)=-x\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = -\sqrt{\frac{x}{x-2}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^-} -\sqrt{\frac{x}{x-2}}=0 \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente horizontale à gauche.
4)
\[ f(x)=\sqrt{\pi-3\operatorname{Arctan}x},\qquad x_0=\sqrt3 \]On a :
\[ f(\sqrt3)=0 \]Pour \(x<\sqrt3\), posons :
\[ u=\frac{\pi}{3}-\operatorname{Arctan}x \]Alors \(u\to0^+\) lorsque \(x\to\sqrt3^-\), et :
\[ \pi-3\operatorname{Arctan}x=3u \]De plus :
\[ \tan u = \tan\left(\frac{\pi}{3}-\operatorname{Arctan}x\right) = \frac{\sqrt3-x}{1+\sqrt3x} \]Comme :
\[ \lim_{u\to0}\frac{u}{\tan u}=1 \]on obtient :
\[ \frac{u}{\sqrt3-x}\to\frac14 \]Donc :
\[ \frac{\pi-3\operatorname{Arctan}x}{\sqrt3-x}\to\frac34 \]Comme \(x-\sqrt3<0\), alors :
\[ \frac{f(x)-f(\sqrt3)}{x-\sqrt3} = \frac{\sqrt{\pi-3\operatorname{Arctan}x}}{x-\sqrt3} \to-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
5)
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x-2},\qquad x_0=-2 \]On a :
\[ f(-2)=0 \]Or :
\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1) \]Pour \(x<-2\) :
\[ \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} = \frac{\sqrt{(x+2)(x-1)}}{x+2} \]Comme \(x+2<0\), alors :
\[ \frac{\sqrt{(x+2)(x-1)}}{x+2} = -\sqrt{\frac{x-1}{x+2}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to-2^-}-\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}=-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
6)
\[ f(x)=\sqrt{1-x^3},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Pour \(x<1\) :
\[ 1-x^3=(1-x)(1+x+x^2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt{(1-x)(1+x+x^2)}}{x-1} \]Comme \(x-1=-(1-x)\), alors :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\sqrt{\frac{1+x+x^2}{1-x}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-} -\sqrt{\frac{1+x+x^2}{1-x}} =-\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
7)
\[ f(x)=\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-x^2},\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=1 \]Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} - \frac{\sqrt[3]{x-x^2}}{x-1} \]On a :
\[ \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}+1} \to\frac13 \]Et comme :
\[ x-x^2=x(1-x) \]alors :
\[ -\frac{\sqrt[3]{x-x^2}}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{x(1-x)}}{1-x} = \frac{\sqrt[3]{x}}{(1-x)^{2/3}} \to+\infty \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty \]Interprétation : la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche.
Exercice 06
On considère :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{|x-2|-2} \]1) Domaine de définition
On doit avoir :
\[ |x-2|-2\neq0 \]Donc :
\[ |x-2|\neq2 \]Ce qui donne :
\[ x-2\neq2 \quad \text{et} \quad x-2\neq-2 \]Donc :
\[ x\neq4 \quad \text{et} \quad x\neq0 \]2) Dérivabilité à droite et à gauche en \(x_0=2\)
On a :
\[ f(2)=\frac{2^2-2\cdot2-3}{|2-2|-2} = \frac{-3}{-2} = \frac32 \]À droite de \(2\)
Si \(x>2\), alors :
\[ |x-2|=x-2 \]Donc :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x-4} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\frac{x^2-2x-3}{x-4}-\frac32}{x-2} \] \[ = \frac{2x^2-4x-6-3x+12}{2(x-4)(x-2)} \] \[ = \frac{2x^2-7x+6}{2(x-4)(x-2)} \]Or :
\[ 2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{2x-3}{2(x-4)} \]Ainsi :
\[ f_d^{\prime}(2)=\frac{4-3}{2(2-4)} = -\frac14 \]À gauche de \(2\)
Si \(x<2\), alors :
\[ |x-2|=2-x \]Donc :
\[ f(x)=\frac{x^2-2x-3}{-x} \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{\frac{x^2-2x-3}{-x}-\frac32}{x-2} \] \[ = \frac{-2x^2+4x+6-3x}{2x(x-2)} \] \[ = \frac{-2x^2+x+6}{2x(x-2)} \]Or :
\[ -2x^2+x+6=-(2x+3)(x-2) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -\frac{2x+3}{2x} \]Ainsi :
\[ f_g^{\prime}(2) = -\frac{4+3}{4} = -\frac74 \]Comme :
\[ f_d^{\prime}(2)\neq f_g^{\prime}(2) \]Interprétation : la courbe admet deux demi-tangentes au point d’abscisse \(2\), de coefficients directeurs différents.
Exercice 07
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\setminus\{4\}\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} x-\sqrt[3]{1-x} & \text{si } x<1\\[2mm] \dfrac1{2-\sqrt{x}} & \text{si } x\geq1 \text{ et } x\neq4 \end{cases} \]1) Dérivabilité à droite et à gauche en \(x_0=1\)
On a :
\[ f(1)=\frac1{2-\sqrt1}=1 \]À droite de \(1\)
Pour \(x>1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{\frac1{2-\sqrt{x}}-1}{x-1} \] \[ = \frac{\sqrt{x}-1}{(2-\sqrt{x})(x-1)} \]Or :
\[ x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) \]Donc :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac1{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)} \]Ainsi :
\[ f_d^{\prime}(1)=\frac1{(2-1)(1+1)}=\frac12 \]À gauche de \(1\)
Pour \(x<1\) :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x-\sqrt[3]{1-x}-1}{x-1} \] \[ = 1-\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} \]Comme :
\[ x-1=-(1-x) \]alors :
\[ 1-\frac{\sqrt[3]{1-x}}{x-1} = 1+\frac1{(1-x)^{2/3}} \]Donc :
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=+\infty \]Par conséquent :
2) Interprétation géométrique
La courbe admet au point d’abscisse \(1\) :
\[ \text{une demi-tangente à droite de coefficient directeur } \frac12 \]et :
\[ \text{une demi-tangente verticale à gauche} \]Ces exercices entraînent surtout la lecture correcte du quotient de dérivabilité à droite et à gauche.
Le point essentiel est le suivant : lorsque la limite du quotient vaut \(+\infty\) ou \(-\infty\), il n’y a pas de nombre dérivé fini. Donc la fonction n’est pas dérivable du côté considéré.
Pour conclure que la fonction est dérivable en \(x_0\), il faut que les deux nombres dérivés à droite et à gauche existent, soient finis et soient égaux.
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