Correction exercice 2 — Dérivation
Objectifs et parcours de résolution
L’exercice 2 d’Al Moufid étudie les nombres dérivés à gauche et à droite, notamment pour une valeur absolue et une racine de valeur absolue. Le signe de l’expression à l’intérieur de la valeur absolue détermine la formule à utiliser de chaque côté. La correction apprend à séparer une limite finie, une limite infinie et l’existence d’une dérivée au point considéré.
Repères de cours utiles
En un point intérieur \(a\) du domaine, le nombre dérivé est la limite finie du taux d’accroissement \((f(x)-f(a))/(x-a)\). L’existence de cette limite implique la continuité en \(a\). La continuité seule ne garantit pas la dérivabilité.
Pour une racine carrée, multiplier par l’expression conjuguée peut faire apparaître le facteur \(x-a\). Pour une valeur absolue ou une fonction définie par morceaux, déterminer l’expression utilisée à gauche et à droite avant de simplifier. Deux limites unilatérales finies différentes donnent deux demi-tangentes de pentes différentes.
Une limite infinie du taux d’accroissement ne définit pas un nombre dérivé fini. Lorsque la fonction est continue au point étudié, elle permet une interprétation géométrique par une tangente ou une demi-tangente verticale, selon les côtés du domaine effectivement accessibles.
Méthode de travail sur ce sujet
Dans \(|x^2-1|\) au voisinage de \(1\), utiliser la factorisation \((x-1)(x+1)\) pour déterminer le signe de chaque côté.
Pour \(\sqrt{|x^2-4|}\) au voisinage de \(-2\), tenir compte du signe de \(x+2\) dans le taux d’accroissement. Conclure séparément sur les limites unilatérales et leur interprétation géométrique.
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Manuel : Al Moufid
Chapitre : Dérivation
Partie : Dérivabilité à droite et à gauche
Exercice : 2
L’énoncé complet n’est pas reproduit. Veuillez consulter le manuel pour lire l’exercice original. Les expressions ci-dessous sont rappelées uniquement pour suivre la correction.
On calcule : \[ f_d^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] et \[ f_g^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \] La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si ces deux limites existent, sont finies et égales.
1)
\[ f(x)=|x^2-1|,\qquad x_0=1 \]On a :
\[ f(1)=0 \]Au voisinage de \(1\), on a :
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]et \(x+1>0\).
À droite de \(1\)
Si \(x>1\), alors :
\[ x^2-1>0 \]Donc :
\[ f(x)=x^2-1 \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \]Donc :
\[ f_d^{\prime}(1)=\lim_{x\to1^+}(x+1)=2 \]À gauche de \(1\)
Si \(x<1\) proche de \(1\), alors :
\[ x^2-1<0 \]Donc :
\[ f(x)=1-x^2 \]Ainsi :
\[ \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{1-x^2}{x-1} = -(x+1) \]Donc :
\[ f_g^{\prime}(1)=\lim_{x\to1^-}-(x+1)=-2 \]Comme :
\[ f_d^{\prime}(1)\neq f_g^{\prime}(1) \]2)
\[ g(x)=\sqrt{|x^2-4|},\qquad x_0=-2 \]On a :
\[ g(-2)=0 \]À droite de \(-2\)
Pour \(x>-2\) proche de \(-2\), on a :
\[ x^2-4<0 \]Donc :
\[ g(x)=\sqrt{4-x^2} \]Alors :
\[ \frac{g(x)-g(-2)}{x+2} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x+2} \]Or :
\[ 4-x^2=(2-x)(x+2) \]Comme \(x>-2\), on a \(x+2>0\). Donc :
\[ \frac{\sqrt{4-x^2}}{x+2} = \frac{\sqrt{(2-x)(x+2)}}{x+2} = \sqrt{\frac{2-x}{x+2}} \]Lorsque \(x\to -2^+\), on a :
\[ x+2\to0^+ \]Donc :
\[ \sqrt{\frac{2-x}{x+2}}\to+\infty \]Donc \(g\) n’est pas dérivable à droite en \(-2\), car la limite n’est pas finie.
À gauche de \(-2\)
Pour \(x<-2\), on a :
\[ x^2-4>0 \]Donc :
\[ g(x)=\sqrt{x^2-4} \]Alors :
\[ \frac{g(x)-g(-2)}{x+2} = \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2} \]Posons :
\[ t=x+2 \]Lorsque \(x\to-2^-\), on a \(t\to0^-\). De plus :
\[ x=t-2 \]Donc :
\[ x^2-4=(t-2)^2-4=t^2-4t=t(t-4) \]Ainsi :
\[ \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2} = \frac{\sqrt{t(t-4)}}{t} \]Lorsque \(t\to0^-\), on obtient :
\[ \frac{\sqrt{t(t-4)}}{t}\to-\infty \]Donc \(g\) n’est pas dérivable à gauche en \(-2\).
Interprétation géométrique : la courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse \(-2\).
3)
\[ h(x)= \begin{cases} 4x^3-3 & \text{si } x\geq1\\ 2x^2-1 & \text{si } x<1 \end{cases} \qquad x_0=1 \]On a :
\[ h(1)=4-3=1 \]À droite de \(1\)
Si \(x>1\), alors :
\[ h(x)=4x^3-3 \]Donc :
\[ \frac{h(x)-h(1)}{x-1} = \frac{4x^3-3-1}{x-1} = \frac{4x^3-4}{x-1} \] \[ = 4\frac{x^3-1}{x-1} = 4(x^2+x+1) \]Donc :
\[ h_d^{\prime}(1)=\lim_{x\to1^+}4(x^2+x+1)=12 \]À gauche de \(1\)
Si \(x<1\), alors :
\[ h(x)=2x^2-1 \]Donc :
\[ \frac{h(x)-h(1)}{x-1} = \frac{2x^2-1-1}{x-1} = \frac{2x^2-2}{x-1} \] \[ = 2\frac{x^2-1}{x-1} = 2(x+1) \]Donc :
\[ h_g^{\prime}(1)=\lim_{x\to1^-}2(x+1)=4 \]Comme :
\[ h_d^{\prime}(1)\neq h_g^{\prime}(1) \]Cet exercice est important parce qu’il distingue la dérivabilité à droite et la dérivabilité à gauche.
Pour conclure qu’une fonction est dérivable en \(x_0\), il faut que les deux nombres dérivés existent, soient finis et soient égaux.
Dans la question 2, les limites du quotient tendent vers \(+\infty\) et \(-\infty\). Donc il n’y a pas de nombre dérivé fini. On peut seulement interpréter graphiquement ce résultat par une tangente verticale.
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