Suite complexe — Exercice corrigé : forme exponentielle et alignement

Suite complexe — Exercice corrigé

Suite géométrique, forme exponentielle, limites et alignement de points

Présentation de l’exercice

Cet exercice relie les suites numériques et la géométrie complexe. Une suite complexe est définie par récurrence, puis une translation permet d’obtenir une suite géométrique. L’étude conduit ensuite aux parties réelle et imaginaire, à la forme trigonométrique et à l’alignement de points dans le plan complexe.

Niveau 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre Nombres complexes et suites

Compétences Récurrence, forme exponentielle et géométrie

Support Correction écrite et correction numérisée

Idée directrice : soustraire le point fixe i à chaque terme de la suite permet de transformer la relation affine définissant Z_n en une relation géométrique simple pour U_n.

Énoncé

On définit deux suites de nombres complexes.

Z₀ = 1    et    Z_n+1 = Z_n3 + 2i3

U_n = Z_n − i

1. Démontrer que la suite (U_n) est géométrique et exprimer U_n en fonction de n.
2. On pose U_n = x_n + i y_n. Exprimer x_n et y_n en fonction de n, puis calculer leurs limites.
3. On note A_n et B_n les points d’affixes respectives U_n et Z_n.
   • Donner les formes trigonométrique et exponentielle de U_n.
   • Montrer que les points A_n et B_n appartiennent respectivement à deux droites D et D′ dont on déterminera les équations.

Correction détaillée

Résolution complète de l’exercice.

1. Nature et expression de la suite (U_n)

Pour tout entier naturel n :

U_n+1 = Z_n+1 − i = Z_n3 + 2i3 − i

U_n+1 = Z_n − i3 = 13 U_n

La suite (U_n) est donc géométrique de raison 1/3. De plus :

U₀ = Z₀ − i = 1 − i

Résultat :

U_n = 1 − i3ⁿ

2. Parties réelle et imaginaire

À partir de l’expression précédente :

U_n = 13ⁿ − i 13ⁿ

Par identification :

x_n = 13ⁿ    et    y_n = − 13ⁿ

Limites : x_n → 0 et y_n → 0 lorsque n → +∞. Par conséquent, U_n → 0 et Z_n → i.

3. Formes trigonométrique et exponentielle de U_n

On a :

|1 − i| = √2    et    arg(1 − i) = − π4 [2π]

Comme 3ⁿ est un réel strictement positif :

U_n = √23ⁿ [ cos(− π4) + i sin(− π4) ]

Forme exponentielle :

U_n = √23ⁿ e^−iπ/4

4. Alignement des points A_n et B_n

Points A_n

Le point A_n, d’affixe U_n, a pour coordonnées :

A_n( 13ⁿ ; − 13ⁿ )

Ses coordonnées vérifient y = −x.

Tous les points A_n appartiennent à la droite D : y = −x.

Points B_n

Comme Z_n = U_n + i :

Z_n = 13ⁿ + i( 1 − 13ⁿ )

Le point B_n a donc pour coordonnées :

B_n( 13ⁿ ; 1 − 13ⁿ )

Ses coordonnées vérifient x + y = 1.

Tous les points B_n appartiennent à la droite D′ : x + y = 1.

Correction manuscrite

Document original associé à l’exercice.

Correction manuscrite de l’exercice

Points de vigilance

• calculer correctement U₀ avant d’écrire le terme général ;
• ne pas oublier que le réel 3ⁿ est strictement positif et ne modifie pas l’argument ;
• distinguer les coordonnées de A_n de celles de B_n ;
• écrire une équation cartésienne complète pour chaque droite ;
• vérifier que la limite de Z_n est i et non 0.

Conseil : refaire l’exercice en partant uniquement de la relation de récurrence, puis vérifier chaque résultat en remplaçant n par 0 ou 1.

Ressource proposée et corrigée par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt