Systèmes exponentiels et logarithme naturel — Trois corrections détaillées

Systèmes exponentiels et logarithme naturel

Trois propositions de correction — Méthodes de résolution avec ln

Présentation de la ressource

Cette page rassemble trois propositions de correction consacrées à la résolution de systèmes comportant des expressions exponentielles. Les solutions utilisent le logarithme naturel, noté ln, pour transformer certaines relations multiplicatives ou exponentielles en relations plus simples.

Les trois documents numérisés correspondent aux systèmes S1, S2 et S3. Ils sont présentés séparément afin de permettre une lecture progressive et une comparaison entre plusieurs démarches de résolution.

L’objectif est de comprendre pourquoi le logarithme naturel peut être appliqué, quelles conditions doivent être vérifiées et comment contrôler les solutions obtenues dans le système de départ.

Thème Systèmes exponentiels

Outil principal Logarithme naturel ln

Contenu Trois propositions de correction

Format Trois documents numérisés

Rappels utiles sur le logarithme naturel

Le logarithme naturel est défini uniquement pour les nombres strictement positifs. Avant d’appliquer ln aux deux membres d’une égalité, il faut donc vérifier que les expressions concernées sont positives.

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

ln(a/b) = ln(a) − ln(b)

ln(a^r) = r ln(a)

ln(e^x) = x

Ces propriétés sont valables sous les conditions habituelles de positivité, notamment a > 0 et b > 0.

Démarche générale : identifier d’abord les expressions positives, appliquer le logarithme naturel seulement lorsque cela est justifié, simplifier le système obtenu, puis vérifier chaque couple solution dans le système initial.

Compétences travaillées

• reconnaître une équation ou un système de type exponentiel ;
• vérifier les conditions permettant l’utilisation de ln ;
• transformer un produit, un quotient ou une puissance ;
• résoudre le système algébrique obtenu après transformation ;
• contrôler les solutions dans les équations d’origine ;
• rédiger une résolution complète et logiquement justifiée.

Erreur fréquente à éviter : on ne peut pas écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme les produits en sommes, mais il ne transforme pas une somme en somme de logarithmes.

Correction du système S1

Première proposition de résolution à l’aide du logarithme naturel.

Document 1 sur 3 — Correction du système S1

Correction du système S2

Deuxième proposition de résolution à l’aide du logarithme naturel.

Document 2 sur 3 — Correction du système S2

Correction du système S3

Troisième proposition de résolution à l’aide du logarithme naturel.

Document 3 sur 3 — Correction du système S3

Comment exploiter les trois corrections ?

Il est conseillé de traiter chaque système avant de consulter sa correction. Après la comparaison, il faut repérer l’étape où le logarithme naturel est introduit et vérifier que les conditions de positivité sont bien satisfaites.

La dernière étape consiste à reprendre les couples obtenus et à les remplacer dans le système initial. Cette vérification permet d’écarter une valeur éventuelle qui ne respecterait pas les conditions de départ.

Remarque : ces documents constituent des propositions pédagogiques de résolution. La qualité d’une correction repose autant sur la justification des transformations que sur les résultats finaux.

Publié par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt