Suites d’intégrales et série liée à e² — Exercice corrigé — 2e Bac Sciences Mathématiques

Suites d’intégrales et convergence vers e²

Exercice corrigé — 2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation de la ressource

Cette page propose un exercice de niveau 2e Bac Sciences Mathématiques consacré aux suites d’intégrales et à l’étude d’une série dont la somme est liée au nombre e².

Le travail demandé met en relation plusieurs notions importantes du programme : calcul intégral, intégration par parties, étude d’une suite, passage à la limite et exploitation d’une relation de récurrence ou d’un encadrement adapté.

Les quatre pages numérisées ci-dessous présentent l’exercice et son traitement détaillé. Elles sont conservées dans leur ordre afin de faciliter le suivi des calculs et des raisonnements.

Niveau 2e Bac Sciences Mathématiques

Thème principal Suites d’intégrales

Notions mobilisées Intégration par parties et convergence

Résultat étudié Relation avec la valeur e²

Type de ressource Exercice corrigé

Format Quatre pages numérisées

Objectifs pédagogiques

Cet exercice permet de travailler une démarche classique dans l’étude des suites d’intégrales : transformer une intégrale, obtenir une relation entre plusieurs termes, puis exploiter cette relation pour étudier la convergence ou identifier une limite.

La ressource aide notamment à :

• choisir correctement les fonctions dans une intégration par parties ;
• organiser les calculs sans perdre les bornes de l’intégrale ;
• obtenir une relation utile entre les termes d’une suite ;
• justifier un passage à la limite ;
• relier une somme ou une série à une valeur exponentielle connue ;
• améliorer la rédaction d’une solution longue et structurée.

Méthode de travail conseillée : essayer d’abord de résoudre chaque question sans consulter les pages suivantes. Après comparaison, reprendre les calculs difficiles sur une feuille séparée et vérifier soigneusement chaque intégration par parties.

Exercice et correction détaillée

Les quatre documents sont présentés dans leur ordre original.

Document 1 sur 4 — début de l’exercice

Document 2 sur 4 — développement de la solution

Document 3 sur 4 — poursuite des calculs et des justifications

Document 4 sur 4 — conclusion de la correction

Points de vigilance

Dans ce type d’exercice, une erreur de signe ou une mauvaise gestion des bornes peut modifier toute la suite du raisonnement. Il faut donc vérifier chaque transformation avant de l’utiliser dans une relation de récurrence ou dans un passage à la limite.

• écrire clairement les fonctions choisies pour l’intégration par parties ;
• conserver les bornes à chaque étape du calcul ;
• justifier les encadrements utilisés ;
• vérifier les conditions permettant le passage à la limite ;
• ne pas se limiter au résultat final sans expliquer la méthode.

Comment exploiter cette correction ?

Après la lecture, il est recommandé de refaire l’exercice sans regarder les images. L’objectif est de reconstruire la démarche, et non de mémoriser les calculs ligne par ligne.

Les étapes qui restent difficiles doivent être reprises séparément : intégration par parties, relation entre les termes, étude de la convergence puis identification du résultat final.

Remarque : cette proposition de correction constitue un support pédagogique destiné à accompagner les élèves dans leur préparation. Elle doit être utilisée comme outil de compréhension et de révision.

Publié par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt