Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 3 — Moyennes arithmétiques et convergence des suites Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 3 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite réelle. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}. \] 1. On suppose que \(u_n\longrightarrow0\). a) Soit \(\varepsilon\gt0\). Montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\) : \[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n}+\varepsilon, \] où \(M\) est une constante dépendant des premiers termes de la suite. b) En déduire que : \[ S_n\longrightarrow0. \] 2. On considère la suite définie par : \[ u_n=(-1)^n. \] Étudier la convergence de \((S_n)\) et comparer avec celle de \((u_n)\). 3. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow\ell. \] Montrer que : \[ ...

Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 49 Question 1 Question 2 Question 3 Énoncé : Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\). a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite. 3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) es...

Correction des exercices 44 à 47 — Sommes partielles, comparaison et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 44 Exercice 45 Exercice 46 Exercice 47 Exercice 44 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ u_n = \sum_{k=1}^{n}\frac1{\sqrt{k}}, \] \[ v_n=u_n-2\sqrt{n+1} \] et : \[ w_n=u_n-2\sqrt n. \] 1. Étudier la monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\). 2. Montrer que les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes. 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Monotonie des suites \((v_n)\) et \((w_n)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\) : \[ u_{n+1} = u_n+\frac1{\sqrt{n+1}}. \] Donc : \[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= u_{n+1}-2\sqrt{n+2} - \left( u_n-2\sqrt{n+1} \right)\\ &= \frac1{\sqrt{n+1}} - 2\left( ...

Correction de l’exercice 43 — Sous-suites adjacentes, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 43 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Énoncé : On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1} = 1+\frac1{1+u_n} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). 2. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 1\le u_n\le\frac32. \] 3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad |u_{n+1}-u_n| \le \frac14|u_n-u_{n-1}|. \] 4. On considère les suites \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) définies par : \[ \alpha_n=u_{2n} \qquad\text{et}\qquad \beta_n=u_{2n+1} \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] a) Vérifier que : \[ \beta_n = 1+\frac1{1+\alpha_n}. \] b) Mo...

Correction des exercices 40 à 42 — Racines d’équations, suites adjacentes et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 40 Exercice 41 Exercice 42 Exercice 40 Énoncé : Pour tout entier \(n\ge1\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ f_n(x)=x^3+nx-1. \] 1. Montrer que l’équation : \[ f_n(x)=0 \] admet une unique solution \(x_n\) dans \(]0,1[\). 2.a) Montrer que la suite \((x_n)_{n\ge1}\) est strictement décroissante. 2.b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente. 3. Montrer que : \[ 0\lt x_n\lt\frac1n, \] puis déterminer la limite de \((x_n)\). 1. Existence et unicité de \(x_n\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour tout entier \(n\ge1\), la fonction \(f_n\) est un polynôme. Elle est donc continue sur \(\mathbb R\). Sa dérivée est : \[ f_n...