Concours ENSA Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc

Session juillet 2024 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min

Présentation

Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2024. L’épreuve comporte 20 questions, avec quatre propositions A, B, C et D pour chaque question.

Remarque sur l’archive

Cet énoncé est une archive du concours ENSA Maroc 2024. Il a été recoupé avec une version scannée et une transcription pédagogique. Les notations issues du scan ont été conservées avec prudence.

Correction détaillée

Après avoir traité l’énoncé, vous pouvez consulter la correction détaillée avec les réponses expliquées question par question.

Voir la correction ENSA Maroc 2024

Consignes

Calculatrices non autorisées.
Téléphones, smartwatches et tous types de documents non autorisés.
L’épreuve comporte 20 questions.
Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
Une seule réponse est juste.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Dans une salle d’examen où les places sont numérotées, \(100\) candidats passent un concours d’accès aux ENSA. On dispose des feuilles de brouillon de trois couleurs différentes ordonnées ainsi : bleu, vert, jaune. Une feuille sur quatre, en commençant par la quatrième, contient le logo des ENSA. Les feuilles sont distribuées en respectant l’ordre des numéros des places ainsi que celui des couleurs mentionnées ci-dessus.

Le nombre de candidats ayant reçu une feuille de brouillon jaune contenant le logo est :

A) \(8\)
B) \(10\)
C) \(12\)
D) \(15\)

Question 2

Calculer :

\[ \frac{1}{5}\sqrt{(101\times102\times103\times104)+1}. \]

A) \(2101\)
B) \(2102\)
C) \(2103\)
D) \(2104\)

Question 3

Calculer la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n n+1}{n+\sqrt n}. \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(-1\)
D) n’a pas de limite

Question 4

Calculer :

\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\left(\frac{2x}{3}\right)-\sqrt3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)} {\cos(2x)}. \]

A) \(\frac{11}{3}\)
B) \(\frac{10}{6}\)
C) \(\frac{10}{3}\)
D) \(\frac{11}{6}\)

Question 5

Soit \((u_n)\) une suite de réels éléments de \(]0,1[\) telle que :

\[ \forall n\in\mathbb N,\quad (1-u_n)u_{n+1}\gt\frac14. \]

Alors :

A) \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\frac14\)
B) \((u_n)\) est décroissante et converge vers \(\frac14\)
C) \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\frac12\)
D) \((u_n)\) est divergente

Question 6

Dans \(\mathbb R\), l’équation :

\[ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1 \]

A) admet une solution
B) admet deux solutions
C) admet trois solutions
D) n’admet pas de solution

Question 7

Soit \(m\in\mathbb R\) et \((E_m)\) l’équation d’inconnue réelle \(x\) :

\[ (E_m):\quad e^{2x}-2me^x+1=0. \]

Alors :

A) si \(m\in]1,+\infty[\), \((E_m)\) admet deux solutions de signe contraire
B) si \(m\in]-1,1[\), \((E_m)\) admet au moins une solution
C) si \(m\in]-\infty,-1]\), \((E_m)\) admet deux solutions négatives
D) si \(m\in[1,+\infty[\), \((E_m)\) admet deux solutions positives

Question 8

Soit une fonction \(f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) dérivable telle que :

\[ f(0)=0. \]

On suppose que :

\[ \forall x\geq0,\quad f'(x)\leq af(x),\qquad a\gt0. \]

Alors :

A) \(f\) est strictement croissante
B) \(f\) est strictement décroissante
C) \(f\) est une constante nulle
D) \(f\) est une constante non nulle

Question 9

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} e^{-\frac1{x^2}}, & x\gt0,\\ 0, & x\leq0. \end{cases} \]

Soit \(f'\) sa dérivée. Calculer :

\[ \lim_{x\to0}f'(x). \]

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(e\)
D) \(+\infty\)

Question 10

Calculer :

\[ \int_1^2\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x^2}\,dx. \]

A) \(\frac52\ln2+\frac12\ln3\)
B) \(\frac72\ln2+\frac32\ln3\)
C) \(\frac72\ln2-\frac32\ln3-\frac12\)
D) \(\frac72\ln2\)

Question 11

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx. \]

A) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
B) \(\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
C) \(5-e^{\frac{\pi}{2}}\)
D) \(\frac{5-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)

Question 12

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :

\[ I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^n)^2}. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}I_n= \]

A) \(2\)
B) \(+\infty\)
C) \(\frac14\)
D) \(1\)

Question 13

Le nombre de diviseurs du nombre \(10!\) est égal à :

A) \(20\)
B) \(207\)
C) \(270\)
D) \(10\)

Question 14

Le reste de la division euclidienne du nombre :

\[ 2^{123}+3^{121} \]

par \(11\) est égal à :

A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)

Question 15

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation à variable complexe suivante :

\[ iz^2+(2-3i)z+5i-5=0. \]

Calculer :

\[ |z_1|^2+|z_2|^2. \]

A) \(10\)
B) \(15\)
C) \(20\)
D) \(30\)

Question 16

Soit le nombre complexe :

\[ Z=\frac12\left[(1+i)^4+(i-1)^4\right]. \]

Alors :

\[ \arg(Z)\equiv \]

A) \(0\ [2\pi]\)
B) \(\frac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
C) \(\frac{\pi}{2}\ [2\pi]\)
D) \(\pi\ [2\pi]\)

Question 17

Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), on considère les points :

\[ A(2,6),\quad B(3,1),\quad C(4,7). \]

La distance du point \(A\) à la droite \((BC)\) est égale à :

A) \(\frac{35}{\sqrt{37}}\)
B) \(\frac{6}{\sqrt{37}}\)
C) \(\frac{11}{\sqrt{37}}\)
D) \(\frac{1}{\sqrt{37}}\)

Question 18

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points :

\[ A(1,-1,2),\quad B(3,5,4). \]

Soit \((S)\) la sphère telle que \(A,B\in(S)\) et le segment \([AB]\) passe par le centre de \((S)\). L’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(C(1,5,4)\) est :

A) \(2x-3y+3z+1=0\)
B) \(x-3y+2z+6=0\)
C) \(-x+3y+z-18=0\)
D) \(-3x+2y+2z-15=0\)

Question 19

Une start-up de jeunes ingénieurs fabrique des capteurs de température dans deux sites différents. En une journée, le site \(1\) fabrique deux fois plus de capteurs que le site \(2\). Le pourcentage de capteurs défectueux est de \(3\%\) pour le site \(1\) et de \(4\%\) pour le site \(2\). On prélève un capteur au hasard dans l’ensemble de la production d’une journée.

La probabilité que ce capteur provienne du site \(1\) et soit défectueux est :

A) \(0,01\)
B) \(0,02\)
C) \(0,03\)
D) \(0,04\)

Question 20

Dans les conditions de la question précédente, la probabilité que ce capteur provienne du site \(1\) sachant qu’il est défectueux est :

A) \(0,2\)
B) \(0,4\)
C) \(0,6\)
D) \(0,8\)

Conseil de travail

Avant de lire la correction, il est conseillé de traiter les questions dans les conditions du concours : sans calculatrice, avec une bonne gestion du temps, et en vérifiant soigneusement les propositions.

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