Concours ENSA Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc
Session juillet 2024 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min
Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Maroc, session juillet 2024. Elle rassemble vingt questions à choix multiples couvrant plusieurs domaines : dénombrement, calcul algébrique, suites numériques, limites, équations, étude de fonctions, intégration, arithmétique, nombres complexes, géométrie et probabilités. Chaque question comporte quatre propositions, dont une seule est correcte.
Pour tirer profit de cette annale, il est conseillé de traiter les questions dans les conditions de l’épreuve, de rechercher les propriétés mathématiques adaptées et de justifier les réponses avant de consulter la correction. Certaines questions nécessitent un calcul, tandis que d’autres demandent de reconnaître une structure ou de raisonner à partir des hypothèses. L’objectif est aussi de développer la rapidité, la précision et la capacité à sélectionner une méthode efficace.
Présentation de l’épreuve
L’épreuve comporte vingt questions indépendantes, présentées sous forme de QCM. Pour chacune, quatre propositions sont données : A, B, C et D. Une seule réponse est juste.
Les questions mobilisent des connaissances du lycée dans des situations variées. La réussite demande de reconnaître rapidement les notions utilisées, de vérifier les conditions d’application des propriétés et de contrôler la cohérence des résultats.
Remarque sur l’archive
Cet énoncé est une archive du concours ENSA Maroc 2024. La transcription a été établie à partir d’un document scanné et d’une version pédagogique. Les expressions mathématiques, les données et les propositions du document transcrit sont conservées.
Consignes
- Calculatrices non autorisées.
- Téléphones, smartwatches et tous types de documents non autorisés.
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
- Une seule réponse est juste.
Conseils pour traiter les QCM
Commencez par identifier les notions mathématiques intervenant dans la question. Il est préférable de comprendre la structure d’une expression avant d’effectuer de longs calculs.
Dans les questions de limites ou de suites, examinez le comportement des expressions et les hypothèses données. En algèbre, recherchez une transformation qui simplifie le problème. En géométrie et en probabilités, distinguez soigneusement les objets ou les événements concernés.
Une proposition apparemment plausible ne constitue pas une justification. Vérifiez le résultat obtenu avant de retenir votre réponse.
Correction détaillée
Après avoir résolu l’épreuve, vous pouvez consulter les réponses expliquées question par question.
Questions 1 et 2 — Dénombrement et calcul algébrique
Ces deux premières questions portent sur l’organisation d’une situation de dénombrement et sur le calcul d’une expression algébrique. Il faut notamment distinguer les données utiles et reconnaître les propriétés permettant de simplifier le raisonnement.
Question 1
Dans une salle d’examen où les places sont numérotées, \(100\) candidats passent un concours d’accès aux ENSA. On dispose des feuilles de brouillon de trois couleurs différentes ordonnées ainsi : bleu, vert, jaune. Une feuille sur quatre, en commençant par la quatrième, contient le logo des ENSA. Les feuilles sont distribuées en respectant l’ordre des numéros des places ainsi que celui des couleurs mentionnées ci-dessus.
Le nombre de candidats ayant reçu une feuille de brouillon jaune contenant le logo est :
A) \(8\)
B) \(10\)
C) \(12\)
D) \(15\)
Question 2
Calculer :
\[ \frac{1}{5}\sqrt{(101\times102\times103\times104)+1}. \]A) \(2101\)
B) \(2102\)
C) \(2103\)
D) \(2104\)
Questions 3 à 5 — Suites numériques et limites
Une question de limite ne se réduit pas toujours au calcul d’une expression. Selon les cas, on doit étudier le comportement d’une suite, tenir compte des termes qui changent de signe ou exploiter les relations imposées aux termes successifs.
Pour chacune des questions suivantes, commencez par reconnaître la nature de l’expression étudiée et les propriétés qui peuvent être utilisées.
Question 3
Calculer la limite :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n n+1}{n+\sqrt n}. \]A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(-1\)
D) n’a pas de limite
Question 4
Calculer :
\[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \frac{ \cos\left(\frac{2x}{3}\right) -\sqrt3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) }{\cos(2x)}. \]A) \(\frac{11}{3}\)
B) \(\frac{10}{6}\)
C) \(\frac{10}{3}\)
D) \(\frac{11}{6}\)
Question 5
Soit \((u_n)\) une suite de réels éléments de \(]0,1[\) telle que :
\[ \forall n\in\mathbb N,\quad (1-u_n)u_{n+1}\gt\frac14. \]Alors :
A) \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\frac14\)
B) \((u_n)\) est décroissante et converge vers \(\frac14\)
C) \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\frac12\)
D) \((u_n)\) est divergente
Questions 6 à 9 — Équations et fonctions
Les quatre questions suivantes mobilisent différentes techniques d’analyse. Une équation doit être étudiée sur son domaine de définition, tandis que l’étude d’une fonction demande de tenir compte de ses hypothèses et de ses propriétés de dérivabilité.
Lorsque des paramètres interviennent, leur rôle doit être examiné attentivement avant de conclure sur les solutions.
Question 6
Dans \(\mathbb R\), l’équation :
\[ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1 \]:
A) admet une solution
B) admet deux solutions
C) admet trois solutions
D) n’admet pas de solution
Question 7
Soit \(m\in\mathbb R\) et \((E_m)\) l’équation d’inconnue réelle \(x\) :
\[ (E_m):\quad e^{2x}-2me^x+1=0. \]Alors :
A) si \(m\in]1,+\infty[\), \((E_m)\) admet deux solutions de signe contraire
B) si \(m\in]-1,1[\), \((E_m)\) admet au moins une solution
C) si \(m\in]-\infty,-1]\), \((E_m)\) admet deux solutions négatives
D) si \(m\in[1,+\infty[\), \((E_m)\) admet deux solutions positives
Question 8
Soit une fonction \(f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) dérivable telle que :
\[ f(0)=0. \]On suppose que :
\[ \forall x\geq0,\quad f'(x)\leq af(x), \qquad a\gt0. \]Alors :
A) \(f\) est strictement croissante
B) \(f\) est strictement décroissante
C) \(f\) est une constante nulle
D) \(f\) est une constante non nulle
Question 9
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} e^{-\frac1{x^2}}, & x\gt0,\\ 0, & x\leq0. \end{cases} \]Soit \(f'\) sa dérivée. Calculer :
\[ \lim_{x\to0}f'(x). \]A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(e\)
D) \(+\infty\)
Questions 10 à 12 — Intégration
Les intégrales peuvent nécessiter différentes démarches selon la forme de la fonction intégrée. Il convient d’identifier les propriétés des fonctions intervenant dans l’expression, de respecter les bornes d’intégration et de vérifier les conditions permettant d’utiliser la méthode retenue.
Question 10
Calculer :
\[ \int_1^2\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x^2}\,dx. \]A) \(\frac52\ln2+\frac12\ln3\)
B) \(\frac72\ln2+\frac32\ln3\)
C) \(\frac72\ln2-\frac32\ln3-\frac12\)
D) \(\frac72\ln2\)
Question 11
Calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx. \]A) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
B) \(\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
C) \(5-e^{\frac{\pi}{2}}\)
D) \(\frac{5-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
Question 12
Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^n)^2}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n= \]A) \(2\)
B) \(+\infty\)
C) \(\frac14\)
D) \(1\)
Questions 13 et 14 — Arithmétique
Ces deux questions portent sur les entiers naturels. Elles demandent de mobiliser les propriétés de divisibilité et de travailler avec des nombres dont l’écriture directe peut être volumineuse.
La recherche d’une représentation adaptée constitue souvent une étape importante dans la résolution d’une question d’arithmétique.
Question 13
Le nombre de diviseurs du nombre \(10!\) est égal à :
A) \(20\)
B) \(207\)
C) \(270\)
D) \(10\)
Question 14
Le reste de la division euclidienne du nombre :
\[ 2^{123}+3^{121} \]par \(11\) est égal à :
A) \(0\)
B) \(1\)
C) \(2\)
D) \(3\)
Questions 15 et 16 — Nombres complexes
Les questions sur les nombres complexes utilisent les différentes écritures d’un nombre complexe et les propriétés associées à son module et à son argument. Il faut distinguer soigneusement la recherche d’un nombre complexe, celle de son module et celle de son argument.
Question 15
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation à variable complexe suivante :
\[ iz^2+(2-3i)z+5i-5=0. \]Calculer :
\[ |z_1|^2+|z_2|^2. \]A) \(10\)
B) \(15\)
C) \(20\)
D) \(30\)
Question 16
Soit le nombre complexe :
\[ Z=\frac12\left[(1+i)^4+(i-1)^4\right]. \]Alors :
\[ \arg(Z)\equiv \]A) \(0\ [2\pi]\)
B) \(\frac{\pi}{4}\ [2\pi]\)
C) \(\frac{\pi}{2}\ [2\pi]\)
D) \(\pi\ [2\pi]\)
Questions 17 et 18 — Géométrie analytique
Dans un repère orthonormé, les coordonnées permettent de traduire les propriétés géométriques par des relations numériques. Pour ces questions, il est important d’identifier les objets géométriques concernés et les informations qui les caractérisent.
Question 17
Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j)\), on considère les points :
\[ A(2,6),\quad B(3,1),\quad C(4,7). \]La distance du point \(A\) à la droite \((BC)\) est égale à :
A) \(\frac{35}{\sqrt{37}}\)
B) \(\frac{6}{\sqrt{37}}\)
C) \(\frac{11}{\sqrt{37}}\)
D) \(\frac{1}{\sqrt{37}}\)
Question 18
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points :
\[ A(1,-1,2),\quad B(3,5,4). \]Soit \((S)\) la sphère telle que \(A,B\in(S)\) et le segment \([AB]\) passe par le centre de \((S)\). L’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(C(1,5,4)\) est :
A) \(2x-3y+3z+1=0\)
B) \(x-3y+2z+6=0\)
C) \(-x+3y+z-18=0\)
D) \(-3x+2y+2z-15=0\)
Questions 19 et 20 — Probabilités
Les deux dernières questions s’appuient sur une même situation de production. Elles demandent de distinguer la provenance d’un capteur, son état et les probabilités associées aux événements considérés.
La question 20 utilise les données de la question 19. Il faut donc conserver ces informations pour traiter les deux questions successivement.
Question 19
Une start-up de jeunes ingénieurs fabrique des capteurs de température dans deux sites différents. En une journée, le site \(1\) fabrique deux fois plus de capteurs que le site \(2\). Le pourcentage de capteurs défectueux est de \(3\%\) pour le site \(1\) et de \(4\%\) pour le site \(2\). On prélève un capteur au hasard dans l’ensemble de la production d’une journée.
La probabilité que ce capteur provienne du site \(1\) et soit défectueux est :
A) \(0,01\)
B) \(0,02\)
C) \(0,03\)
D) \(0,04\)
Question 20
Dans les conditions de la question précédente, la probabilité que ce capteur provienne du site \(1\) sachant qu’il est défectueux est :
A) \(0,2\)
B) \(0,4\)
C) \(0,6\)
D) \(0,8\)
Après avoir terminé l’épreuve
Une première résolution en temps limité permet d’évaluer votre capacité à mobiliser rapidement vos connaissances. Il est ensuite utile de reprendre les questions qui ont demandé plusieurs essais.
Pour chaque difficulté rencontrée, identifiez sa cause : une propriété oubliée, un calcul incorrect, une condition mal interprétée ou une méthode inadaptée. Cette analyse rend le travail sur les annales plus efficace.
Poursuivre la préparation au concours ENSA
L’épreuve ENSA Maroc 2024 réunit des questions de nature différente qui nécessitent de passer rapidement d’un domaine mathématique à un autre. Le travail sur cette annale constitue une occasion de consolider les méthodes étudiées au lycée, de repérer les difficultés récurrentes et de progresser dans la gestion du temps.
Une fois votre résolution terminée, consultez la correction pour comparer votre démarche avec une méthode justifiée et comprendre les erreurs éventuelles.
Correction détaillée — ENSA Maroc 2024
Parcours Maths Maroc — PMM
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