Concours ENSA Maroc 2025 — Énoncé de mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc
Session juillet 2025 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30
Présentation
Cette page propose l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2025. L’épreuve comporte 20 questions, avec quatre propositions A, B, C et D pour chaque question.
Remarque sur l’archive
Cet énoncé est transcrit à partir d’une version scannée du concours ENSA Maroc 2025. Les éventuelles notations peu lisibles ou anomalies visibles dans le scan sont indiquées dans les questions concernées, sous forme de remarques pédagogiques.
Correction détaillée
Après avoir traité l’énoncé, vous pouvez consulter la correction détaillée avec les réponses expliquées question par question.
Consignes
- Calculatrices non autorisées.
- Téléphones, smartwatches et tous types de documents non autorisés.
- L’épreuve comporte 20 questions.
- Chaque question propose quatre réponses : A, B, C et D.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Le nombre complexe :
\[ Z=(-1+i\sqrt3)^{2010}+(-1-i\sqrt3)^{2010} \]La valeur de \(Z\) est :
A) \(2^{2009}\)
B) \(2i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\exp\left(\frac{i4\pi}{3}\right)\)
C) \(2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\exp\left(\frac{i2\pi}{3}\right)\)
D) \(2^{2011}\)
Question 2
Dans \(\mathbb C\), on considère l’équation :
\[ z^6=(1-i)\overline z. \]On note \(z\) une solution non nulle quelconque de l’équation. Alors :
A) \(|z|=1\)
B) \(|z|=\sqrt3\)
C) \(|z|=2^{1/5}\)
D) \(|z|=2^{1/10}\)
Question 3
Dans \(\mathbb C\), on considère l’équation :
\[ z^2+z+1=\frac1{z+1}. \]On note \(z_1\) et \(z_2\) les solutions non réelles de l’équation. On a :
A) \(|z_1|=|z_2|\)
B) \(|z_1|\gt |z_2|\)
C) \(|z_1|\lt |z_2|\)
D) \(|z_1|=2|z_2|\)
Question 4
On note \(S\) l’ensemble des points du plan complexe \(M\) dont l’affixe \(z\) vérifie :
\[ |z-3|=\frac{\sqrt2}{2}|z-5|. \]Alors :
Remarque pédagogique : dans la version scannée, la proposition B est peu lisible et semble indiquer \(S=\mathbb C\). Le calcul détaillé dans la correction donne la proposition C.
A) \(S=\varnothing\)
B) \(S=\mathbb C\)
C) \(S\) est le cercle de centre \((1,0)\) et de rayon \(2\sqrt2\)
D) \(S\) est le cercle de centre \((0,1)\) et de rayon \(\frac12\)
Question 5
Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) d’affixes respectives \(1\), \(-1\), \(i\) et \(-i\). On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Si \(M\in U\), on note \(p(M)\) le produit des distances de \(M\) aux points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
\[ p(M)=MA\times MB\times MC\times MD. \]On pose :
\[ m=\sup_{M\in U}p(M). \]Alors la valeur de \(m\) est :
Remarque pédagogique : dans la version scannée, la dernière proposition apparaît sans lettre clairement visible. Elle est présentée ici comme proposition D afin de garder une numérotation complète A, B, C, D.
A) \(m=1\)
B) \(m=2\)
C) \(m=3\)
D) \(m=+\infty\)
Question 6
Soit \(a\) l’entier naturel défini par :
\[ (2025)^{2025}\equiv a \pmod 7. \]La valeur de \(a\) est :
A) \(a=3\)
B) \(a=2\)
C) \(a=5\)
D) \(a=1\)
Question 7
Le PGCD de \(3^{123}-5\) et \(125\) est :
A) \(1\)
B) \(5\)
C) \(25\)
D) \(125\)
Question 8
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^3)}. \]On note :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Alors :
A) \(L=1\)
B) \(L=\sqrt3\)
C) \(L=\frac16\)
D) \(L=\frac13\)
Question 9
Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par :
\[ u_0=1 \]et :
\[ u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2u_n},\qquad \forall n\geq0. \]En considérant la suite :
\[ v_n=\frac1{u_n}, \]on trouve :
A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=0\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=1\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=\frac12\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=\frac14\)
Question 10
Pour \(n\in\mathbb N^*\), on définit :
\[ u_n=\sqrt{\,n+\sqrt{\,n-1+\sqrt{\cdots+\sqrt1}\,}\,}. \]La limite \(L\) de la suite \((u_n)\) est :
A) \(L=1\)
B) \(L=\frac{\pi}{2}\)
C) \(L=+\infty\)
D) \(L=0\)
Question 11
On pose pour \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n+1}\frac1{\sqrt{n^2+k}}. \]La limite de \(S_n\) est :
A) \(0\)
B) \(\frac12\)
C) \(1\)
D) \(2\)
Question 12
En admettant que pour tout \(n\in\mathbb N\), le nombre réel :
\[ (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n \]est un entier pair, la limite :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}\cos\left((3+\sqrt5)^n\pi\right) \]vaut :
A) \(L=0\)
B) \(L=-1\)
C) \(L=1\)
D) \(L=\frac{\pi}{4}\)
Question 13
Soit \(a\gt0\). Alors :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt x-\sqrt a-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \]est :
A) \(-\frac1{\sqrt{2a}}\)
B) \(-\frac1{\sqrt a}\)
C) \(\frac1{\sqrt a}\)
D) \(\frac2{\sqrt a}\)
Question 14
On note \(I_n\) la suite définie par :
\[ I_n=\int_0^1\frac{x}{1+x^{2n}}\,dx. \]La limite \(L\) de \(I_n\) est :
A) \(L=\frac12\)
B) \(L=\frac32\)
C) \(L=0\)
D) \(L=\frac{\sqrt2}{2}\)
Question 15
La valeur de l’intégrale :
\[ I=\int_0^{\sqrt3}x^2\ln(x^2+1)\,dx \]est :
A) \(I=\sqrt3\ln(2)-\frac{\pi}{9}\)
B) \(I=\sqrt3\ln(2)+\frac{\pi}{9}\)
C) \(I=2\left(\sqrt3\ln(2)-\frac{\pi}{9}\right)\)
D) \(I=\sqrt3\ln(2)\)
Question 16
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=\frac{2\ln(x)}{x\left(1+(\ln(x))^2\right)}. \]La primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) qui s’annule en \(1\) est :
A) \(\ln\left(1+(\ln(x))^2\right)\)
B) \((\ln(x))^2\)
C) \(2\ln\left(1+(\ln(x))^2\right)\)
D) \(\frac{x\ln(x)}{\ln(x)+1}\)
Question 17
Dans l’espace \(\mathbb R^3\) rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère le plan \((P)\) d’équation :
\[ 2x-5y-6z+4=0 \]et \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(2;-2;3)\) et de rayon \(3\). Alors :
A) \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(3\) et de centre \(\Omega\)
B) \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(3\) et de centre le point de coordonnées \((2;2;3)\)
C) \((P)\) est tangent à \((S)\) au point de coordonnées \((2;2;3)\)
D) \((P)\) est tangent à \((S)\) au point de coordonnées \((2;0;-3)\)
Question 18
On jette deux fois de suite une pièce de monnaie non truquée et on note les arrivées de pile et de face. Soit \(p\) la probabilité d’avoir deux fois face sachant que le premier jet a donné face.
A) \(p=\frac12\)
B) \(p=\frac13\)
C) \(p=\frac14\)
D) \(p=\frac34\)
Question 19
Une usine fabrique des composants électroniques et dispose d’une machine pour tester s’ils sont défectueux ou non. Les résultats sont comme suit :
- Si le composant est défectueux : la machine le détecte dans \(90\%\) des cas et échoue dans \(10\%\) des cas.
- Si le composant n’est pas défectueux : la machine l’indique correctement dans \(99\%\) des cas et échoue dans \(1\%\) des cas.
On tire au hasard un composant dans une large population où l’on sait que \(0.1\%\) des composants sont défectueux. On note \(p\) la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit détecté défectueux par la machine. Alors :
A) \(p=1.041\%\)
B) \(p=1.089\%\)
C) \(p=1.025\%\)
D) \(p=1\%\)
Question 20
On jette \(n\) fois de suite un dé non truqué numéroté de \(1\) à \(6\), \(n\geq2\), et on note les numéros des faces obtenues. Soit \(p_n\) la probabilité d’avoir un nombre inférieur ou égal à \(3\) dans le second jet sachant que le premier jet a donné la face numéro \(2\). Soit :
\[ p=\lim_{n\to+\infty}p_n. \]La valeur de \(p\) est :
A) \(p=\frac12\)
B) \(p=\frac13\)
C) \(p=\frac16\)
D) \(p=0\)
Conseil de travail
Avant de lire la correction, il est conseillé de traiter les questions dans les conditions du concours : sans calculatrice, avec une gestion du temps, et en vérifiant soigneusement les propositions.
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