Concours Médecine Maroc 2020 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès aux Facultés de Médecine, de Pharmacie et de Médecine Dentaire.

Année universitaire 2020-2021 — Composante 4 : Mathématiques.

Questions Q61 à Q80 — 20 QCM.

Compétences et points clés

Le concours commun Médecine 2020 commence par les puissances complexes et la trigonométrie, puis aborde des primitives et des limites avec paramètres. Une même expression peut être plus simple dans une autre forme, mais ses hypothèses doivent rester visibles.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; dérivation des fonctions usuelles et composées; identités remarquables et factorisation.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.

Quantité conjuguée. Une différence de racines peut être transformée en multipliant par la somme correspondante. Cette transformation doit être effectuée là où son dénominateur est non nul ; elle permet souvent de faire apparaître un facteur commun avant le passage à la limite.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour une puissance complexe, passer à la forme trigonométrique et contrôler le module final. Une primitive proposée se vérifie par dérivation. Pour la limite avec radicaux et paramètres, chercher d’abord les termes à comparer puis une transformation par quantité conjuguée qui permette un calcul exact.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès aux facultés de médecine, pharmacie et médecine dentaire au Maroc, session 2020.

La partie mathématiques correspond à la composante 4 de l’épreuve, avec les questions numérotées de Q61 à Q80.

Guide Concours Médecine Page Concours

Consignes de l’épreuve

L’épreuve complète comporte 80 QCM réparties en quatre composantes.
Composante 4 : Mathématiques, de la question Q61 à la question Q80.
Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est juste.
L’utilisation de la calculatrice est interdite.
Toute réponse fausse vaut \(0\) à la question.

Conseil avant de commencer

Commence par les questions directes : puissances de nombres complexes, trigonométrie, domaines de définition, suites, primitives et intégrales simples. Pour les questions longues, cherche d’abord la transformation utile avant de calculer.

Énoncé — Composante 4 : Mathématiques

Question 61

Si \(z\) est le nombre complexe de module \(\sqrt2\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\), alors \(z^8\) est égal à :

A) \(8+i8\sqrt3\)
B) \(-8+i8\sqrt3\)
C) \(-8-i8\sqrt3\)
D) \(8-i8\sqrt3\)
E) \(4+i4\sqrt3\)

Question 62

Si \(\theta\) est un nombre réel, alors \(\cos^3\theta\) est égal à :

A) \(\frac18(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
B) \(\frac14(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
C) \(\frac14(\sin3\theta+3\sin\theta)\)
D) \(\frac18(3\cos\theta-\cos3\theta)\)
E) \(\frac18(\sin3\theta+3\sin\theta)\)

Question 63

Si \(x\in]0,1[\), alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}(1-x)^n(1+x)^n \]

est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(-\infty\)
C) \(0\)
D) \(-1\)
E) \(1\)

Question 64

Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac1x\right) \]

est :

A) \(]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\)
B) \(]-1,1[\cup]1,+\infty[\)
C) \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)
D) \(]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]1,+\infty[\)
E) \(]-1,1[\)

Question 65

Si :

\[ f(x)=(x^2-x)e^{\frac1x} \]

alors \(f'(x)\) est égale à :

A) \((2x-1)e^{\frac1x}\)
B) \(\left(1-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
C) \(\left(\frac1x-1\right)e^{\frac1x}\)
D) \(\left(2x-2+\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
E) \(\left(2x-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)

Question 66

Si \(z\) est un nombre complexe tel que :

\[ \arg(z-1)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi] \]

et :

\[ \arg(z+1)\equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi], \]

alors \(z\) est égal à :

A) \(\sqrt3 i\)
B) \(2\sqrt3 i\)
C) \(-\sqrt3 i\)
D) \(-2\sqrt3 i\)
E) \(1+\sqrt3 i\)

Question 67

Si :

\[ z=1+ie^{i\frac{\theta}{2}} \]

où \(\theta\in]-\pi,\pi[\), alors \(|z|\) est égal à :

A) \(2\)
B) \(2\cos\frac{\theta}{2}\)
C) \(2\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
D) \(\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
E) \(2\sin\frac{\theta}{4}\)

Question 68

On a :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n} \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(e^{-4}\)
C) \(e^4\)
D) \(e\)
E) \(1\)

Question 69

Si \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est une suite géométrique de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(q=\frac13\), alors le produit :

\[ u_1\times u_2\times u_3\times\cdots\times u_n \quad (n\geq1) \]

est égal à :

A) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}\)
B) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}2}}\)
C) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}2}}\)
D) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n+1)}2}\)
E) \(\dfrac{1}{2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}}\)

Question 70

Si :

\[ (\forall x\in\mathbb R),\quad f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1), \]

alors \(f'(1)\) est égale à :

A) \(24\)
B) \(1\)
C) \(0\)
D) \(5\)
E) \(-24\)

Question 71

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\frac{2\ln x}{x\left(1+(\ln x)^2\right)}. \]

La primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) qui s’annule en \(1\) est :

A) \(\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
B) \((\ln x)^2\)
C) \(2\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
D) \(\dfrac{x\ln x}{\ln x+1}\)
E) \(\dfrac{2\ln x}{(\ln x)^2+1}\)

Question 72

L’intégrale :

\[ \int_0^1\frac{2t+3}{t+2}\,dt \]

est égale à :

A) \(\ln\frac32\)
B) \(2+\ln\frac32\)
C) \(2-\ln\frac23\)
D) \(2+\ln\frac23\)
E) \(\ln\frac23\)

Question 73

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tel que :

\[ z+\frac1z\in\mathbb R \]

est :

A) L’axe des réels privé du point \(O\)
B) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
C) L’axe des réels privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
D) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
E) L’axe des réels privé du point \(O\) union le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)

Question 74

Soit \((w_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par :

\[ w_0=\frac12 \]

et :

\[ (\forall n\in\mathbb N),\quad w_{n+1}=(w_n-1)^2+1. \]

Si \((w_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente, alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}w_n \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(2\)
C) \(1\)
D) \(\frac12\)
E) \(-1\)

Question 75

Soit \(a\in]0,+\infty[\) et \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=1+x\ln\sqrt{1+\frac ax}. \]

Alors :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

est égale à :

A) \(1\)
B) \(1+\frac a2\)
C) \(1+a\)
D) \(+\infty\)
E) \(a\)

Question 76

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que :

\[ AB=AC=10. \]

L’aire maximale du triangle \(ABC\) est :

A) \(\frac{25\sqrt2}{2}\)
B) \(50\)
C) \(100\)
D) \(10\)
E) \(5\sqrt2\)

Question 77

Si :

\[ (\forall x\in\mathbb R_+^*),\quad f(x)=x^3+3\ln x+1, \]

alors le nombre dérivé \((f^{-1})'(2)\) est égal à :

A) \(\frac13\)
B) \(\frac16\)
C) \(\frac15\)
D) \(\frac14\)
E) \(\frac12\)

Question 78

L’intégrale :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx \]

est égale à :

A) \(\dfrac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
B) \(\dfrac{e+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
C) \(\dfrac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
D) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
E) \(1-e^{\frac{\pi}{2}}\)

Question 79

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ (\forall x\in\mathbb R),\quad f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

Un encadrement de \(f'(x)\) sur l’intervalle \([0,1]\) est :

A) \(0\leq f'(x)\leq \frac1{\sqrt e}\)
B) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq 0\)
C) \(-\frac12\leq f'(x)\leq 0\)
D) \(0\leq f'(x)\leq \sqrt e\)
E) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq -\frac12\)

Question 80

Soit :

\[ f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b} \]

avec \(a\) et \(b\) deux réels donnés.

\(f\) admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si :

A) \(a\gt0\) et \(b\gt0\)
B) \(a=1\) et \(b\gt0\)
C) \(a=1\) et \(b=2\)
D) \(a=1\) et \(b=0\)
E) \(a\gt0\) et \(b=0\)

MATHS PARCOURS MAROC

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