Concours Médecine Maroc 2020 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès aux Facultés de Médecine, de Pharmacie et de Médecine Dentaire.

Année universitaire 2020-2021 — Composante 4 : Mathématiques.

Questions Q61 à Q80 — 20 QCM.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès aux facultés de médecine, pharmacie et médecine dentaire au Maroc, session 2020.

La partie mathématiques correspond à la composante 4 de l’épreuve, avec les questions numérotées de Q61 à Q80.

Voir la correction détaillée Guide Concours Médecine Page Concours

Consignes de l’épreuve

L’épreuve complète comporte 80 QCM réparties en quatre composantes.
Composante 4 : Mathématiques, de la question Q61 à la question Q80.
Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est juste.
L’utilisation de la calculatrice est interdite.
Toute réponse fausse vaut \(0\) à la question.

Conseil avant de commencer

Commence par les questions directes : puissances de nombres complexes, trigonométrie, domaines de définition, suites, primitives et intégrales simples. Pour les questions longues, cherche d’abord la transformation utile avant de calculer.

Énoncé — Composante 4 : Mathématiques

Question 61

Si \(z\) est le nombre complexe de module \(\sqrt2\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\), alors \(z^8\) est égal à :

A) \(8+i8\sqrt3\)
B) \(-8+i8\sqrt3\)
C) \(-8-i8\sqrt3\)
D) \(8-i8\sqrt3\)
E) \(4+i4\sqrt3\)

Question 62

Si \(\theta\) est un nombre réel, alors \(\cos^3\theta\) est égal à :

A) \(\frac18(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
B) \(\frac14(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
C) \(\frac14(\sin3\theta+3\sin\theta)\)
D) \(\frac18(3\cos\theta-\cos3\theta)\)
E) \(\frac18(\sin3\theta+3\sin\theta)\)

Question 63

Si \(x\in]0,1[\), alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}(1-x)^n(1+x)^n \]

est égale à :

A) \(+\infty\)
B) \(-\infty\)
C) \(0\)
D) \(-1\)
E) \(1\)

Question 64

Le domaine de définition de la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac1x\right) \]

est :

A) \(]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\)
B) \(]-1,1[\cup]1,+\infty[\)
C) \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)
D) \(]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]1,+\infty[\)
E) \(]-1,1[\)

Question 65

Si :

\[ f(x)=(x^2-x)e^{\frac1x} \]

alors \(f'(x)\) est égale à :

A) \((2x-1)e^{\frac1x}\)
B) \(\left(1-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
C) \(\left(\frac1x-1\right)e^{\frac1x}\)
D) \(\left(2x-2+\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
E) \(\left(2x-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)

Question 66

Si \(z\) est un nombre complexe tel que :

\[ \arg(z-1)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi] \]

et :

\[ \arg(z+1)\equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi], \]

alors \(z\) est égal à :

A) \(\sqrt3 i\)
B) \(2\sqrt3 i\)
C) \(-\sqrt3 i\)
D) \(-2\sqrt3 i\)
E) \(1+\sqrt3 i\)

Question 67

Si :

\[ z=1+ie^{i\frac{\theta}{2}} \]

où \(\theta\in]-\pi,\pi[\), alors \(|z|\) est égal à :

A) \(2\)
B) \(2\cos\frac{\theta}{2}\)
C) \(2\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
D) \(\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
E) \(2\sin\frac{\theta}{4}\)

Question 68

On a :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n} \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(e^{-4}\)
C) \(e^4\)
D) \(e\)
E) \(1\)

Question 69

Si \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est une suite géométrique de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(q=\frac13\), alors le produit :

\[ u_1\times u_2\times u_3\times\cdots\times u_n \quad (n\geq1) \]

est égal à :

A) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}\)
B) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}2}}\)
C) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}2}}\)
D) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n+1)}2}\)
E) \(\dfrac{1}{2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}}\)

Question 70

Si :

\[ (\forall x\in\mathbb R),\quad f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1), \]

alors \(f'(1)\) est égale à :

A) \(24\)
B) \(1\)
C) \(0\)
D) \(5\)
E) \(-24\)

Question 71

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\frac{2\ln x}{x\left(1+(\ln x)^2\right)}. \]

La primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) qui s’annule en \(1\) est :

A) \(\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
B) \((\ln x)^2\)
C) \(2\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
D) \(\dfrac{x\ln x}{\ln x+1}\)
E) \(\dfrac{2\ln x}{(\ln x)^2+1}\)

Question 72

L’intégrale :

\[ \int_0^1\frac{2t+3}{t+2}\,dt \]

est égale à :

A) \(\ln\frac32\)
B) \(2+\ln\frac32\)
C) \(2-\ln\frac23\)
D) \(2+\ln\frac23\)
E) \(\ln\frac23\)

Question 73

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tel que :

\[ z+\frac1z\in\mathbb R \]

est :

A) L’axe des réels privé du point \(O\)
B) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
C) L’axe des réels privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
D) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
E) L’axe des réels privé du point \(O\) union le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)

Question 74

Soit \((w_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par :

\[ w_0=\frac12 \]

et :

\[ (\forall n\in\mathbb N),\quad w_{n+1}=(w_n-1)^2+1. \]

Si \((w_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente, alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}w_n \]

est égale à :

A) \(0\)
B) \(2\)
C) \(1\)
D) \(\frac12\)
E) \(-1\)

Question 75

Soit \(a\in]0,+\infty[\) et \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=1+x\ln\sqrt{1+\frac ax}. \]

Alors :

\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

est égale à :

A) \(1\)
B) \(1+\frac a2\)
C) \(1+a\)
D) \(+\infty\)
E) \(a\)

Question 76

Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que :

\[ AB=AC=10. \]

L’aire maximale du triangle \(ABC\) est :

A) \(\frac{25\sqrt2}{2}\)
B) \(50\)
C) \(100\)
D) \(10\)
E) \(5\sqrt2\)

Question 77

Si :

\[ (\forall x\in\mathbb R_+^*),\quad f(x)=x^3+3\ln x+1, \]

alors le nombre dérivé \((f^{-1})'(2)\) est égal à :

A) \(\frac13\)
B) \(\frac16\)
C) \(\frac15\)
D) \(\frac14\)
E) \(\frac12\)

Question 78

L’intégrale :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx \]

est égale à :

A) \(\dfrac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
B) \(\dfrac{e+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
C) \(\dfrac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
D) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
E) \(1-e^{\frac{\pi}{2}}\)

Question 79

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ (\forall x\in\mathbb R),\quad f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}. \]

Un encadrement de \(f'(x)\) sur l’intervalle \([0,1]\) est :

A) \(0\leq f'(x)\leq \frac1{\sqrt e}\)
B) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq 0\)
C) \(-\frac12\leq f'(x)\leq 0\)
D) \(0\leq f'(x)\leq \sqrt e\)
E) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq -\frac12\)

Question 80

Soit :

\[ f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b} \]

avec \(a\) et \(b\) deux réels donnés.

\(f\) admet une limite finie en \(+\infty\) si et seulement si :

A) \(a\gt0\) et \(b\gt0\)
B) \(a=1\) et \(b\gt0\)
C) \(a=1\) et \(b=2\)
D) \(a=1\) et \(b=0\)
E) \(a\gt0\) et \(b=0\)

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