Correction — Concours Médecine Maroc 2020 — Mathématiques
Correction pédagogique de la composante mathématiques.
Année universitaire 2020-2021 — Questions Q61 à Q80.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | B | B | C | D | D | A | C | B | B | A | A | D | E | C | B | B | B | A | B | C |
Correction détaillée des questions
Question 61
Si \(z\) est le nombre complexe de module \(\sqrt2\) et d’argument \(\frac{\pi}{3}\), alors \(z^8\) est égal à :
A) \(8+i8\sqrt3\)
B) \(-8+i8\sqrt3\)
C) \(-8-i8\sqrt3\)
D) \(8-i8\sqrt3\)
E) \(4+i4\sqrt3\)
Si \(z=re^{i\theta}\), alors : \[ z^n=r^n e^{in\theta}. \] On élève donc le module à la puissance \(n\), et on multiplie l’argument par \(n\).
Le nombre complexe \(z\) a pour module \(\sqrt2\) et pour argument \(\frac{\pi}{3}\). On peut donc écrire :
\[ z=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Alors :
\[ z^8=(\sqrt2)^8 e^{i8\frac{\pi}{3}}. \]Calculons le module :
\[ (\sqrt2)^8=(2^{1/2})^8=2^4=16. \]Calculons l’argument :
\[ 8\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{3}. \]On réduit modulo \(2\pi\) :
\[ \frac{8\pi}{3}=2\pi+\frac{2\pi}{3}. \] Donc : \[ e^{i\frac{8\pi}{3}}=e^{i\frac{2\pi}{3}}. \]Ainsi :
\[ z^8=16e^{i\frac{2\pi}{3}}. \]Or :
\[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12, \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. \] Donc : \[ e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]Finalement :
\[ z^8=16\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) = -8+i8\sqrt3. \]Réponse correcte : B
Question 62
Si \(\theta\) est un nombre réel, alors \(\cos^3\theta\) est égal à :
A) \(\frac18(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
B) \(\frac14(\cos3\theta+3\cos\theta)\)
C) \(\frac14(\sin3\theta+3\sin\theta)\)
D) \(\frac18(3\cos\theta-\cos3\theta)\)
E) \(\frac18(\sin3\theta+3\sin\theta)\)
La formule du triple angle est : \[ \cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta. \] Elle permet d’exprimer \(\cos^3\theta\) en fonction de \(\cos3\theta\) et \(\cos\theta\).
On part de la formule :
\[ \cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta. \]On veut isoler \(\cos^3\theta\). On ajoute \(3\cos\theta\) aux deux membres :
\[ \cos(3\theta)+3\cos\theta=4\cos^3\theta. \]On divise ensuite par \(4\) :
\[ \cos^3\theta=\frac14\left(\cos(3\theta)+3\cos\theta\right). \]Réponse correcte : B
Question 63
Si \(x\in]0,1[\), on demande :
\[ \lim_{n\to+\infty}(1-x)^n(1+x)^n. \]
A) \(+\infty\)
B) \(-\infty\)
C) \(0\)
D) \(-1\)
E) \(1\)
Si \(0\lt a\lt1\), alors : \[ a^n\to0. \] Il faut donc transformer l’expression pour faire apparaître une puissance de base comprise entre \(0\) et \(1\).
On regroupe les deux puissances :
\[ (1-x)^n(1+x)^n=\left((1-x)(1+x)\right)^n. \]Or :
\[ (1-x)(1+x)=1-x^2. \] Donc : \[ (1-x)^n(1+x)^n=(1-x^2)^n. \]Comme \(x\in]0,1[\), on a :
\[ 0\lt x^2\lt1. \] Donc : \[ 0\lt1-x^2\lt1. \]La base \(1-x^2\) est donc strictement comprise entre \(0\) et \(1\). Par conséquent :
\[ \lim_{n\to+\infty}(1-x^2)^n=0. \]Réponse correcte : C
Question 64
On considère :
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac1x\right). \]On demande le domaine de définition de \(f\).
A) \(]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\)
B) \(]-1,1[\cup]1,+\infty[\)
C) \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)
D) \(]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]1,+\infty[\)
E) \(]-1,1[\)
Pour déterminer le domaine d’une fonction contenant un logarithme et un quotient, on impose simultanément : \[ \text{dénominateur}\ne0 \quad\text{et}\quad \text{argument du logarithme}\gt0. \]
La fonction est :
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}\ln\left(1+\frac1x\right). \]Le quotient impose :
\[ x-1\ne0, \] donc : \[ x\ne1. \]L’expression \(\frac1x\) impose aussi :
\[ x\ne0. \]Pour le logarithme, il faut :
\[ 1+\frac1x\gt0. \]On écrit :
\[ 1+\frac1x=\frac{x+1}{x}. \]On résout donc :
\[ \frac{x+1}{x}\gt0. \]Les valeurs critiques sont \(-1\) et \(0\). Le quotient est positif sur :
\[ ]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[. \]Il faut enfin enlever \(x=1\). Ainsi :
\[ D_f=]-\infty,-1[\cup]0,1[\cup]1,+\infty[. \]Réponse correcte : D
Question 65
Si :
\[ f(x)=(x^2-x)e^{\frac1x}, \]alors \(f'(x)\) est égale à :
A) \((2x-1)e^{\frac1x}\)
B) \(\left(1-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
C) \(\left(\frac1x-1\right)e^{\frac1x}\)
D) \(\left(2x-2+\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
E) \(\left(2x-\frac1x\right)e^{\frac1x}\)
On utilise la dérivée d’un produit : \[ (uv)'=u'v+uv'. \] Et : \[ \left(e^{\frac1x}\right)'=-\frac1{x^2}e^{\frac1x}. \]
La fonction est :
\[ f(x)=(x^2-x)e^{\frac1x}. \]Posons :
\[ u(x)=x^2-x, \qquad v(x)=e^{\frac1x}. \]Alors :
\[ u'(x)=2x-1. \]Pour \(v\), on dérive la composée :
\[ \left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}. \] Donc : \[ v'(x)=-\frac1{x^2}e^{\frac1x}. \]Par la formule du produit :
\[ f'(x)=(2x-1)e^{\frac1x} +(x^2-x)\left(-\frac1{x^2}e^{\frac1x}\right). \]On factorise \(e^{\frac1x}\) :
\[ f'(x)= \left(2x-1-\frac{x^2-x}{x^2}\right)e^{\frac1x}. \]Or :
\[ \frac{x^2-x}{x^2}=1-\frac1x. \]Donc :
\[ f'(x)= \left(2x-1-\left(1-\frac1x\right)\right)e^{\frac1x}. \]Ainsi :
\[ f'(x)=\left(2x-2+\frac1x\right)e^{\frac1x}. \]Réponse correcte : D
Question 66
Si \(z\) vérifie :
\[ \arg(z-1)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi], \qquad \arg(z+1)\equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi], \]alors \(z\) est égal à :
A) \(\sqrt3 i\)
B) \(2\sqrt3 i\)
C) \(-\sqrt3 i\)
D) \(-2\sqrt3 i\)
E) \(1+\sqrt3 i\)
La condition \(\arg(z-a)=\alpha\) signifie que le point \(M(z)\) est sur la demi-droite issue du point d’affixe \(a\) et de direction \(\alpha\).
La première condition donne :
\[ z-1=r e^{i\frac{2\pi}{3}}, \qquad r\gt0. \]Donc :
\[ z=1+r\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right). \]Comme :
\[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12, \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \] on obtient : \[ z=1+r\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right). \]La deuxième condition donne :
\[ z+1=s e^{i\frac{\pi}{3}}, \qquad s\gt0. \] Donc : \[ z=-1+s\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right). \]On identifie les parties imaginaires :
\[ r\frac{\sqrt3}{2}=s\frac{\sqrt3}{2}. \] Donc : \[ r=s. \]On identifie les parties réelles :
\[ 1-\frac r2=-1+\frac r2. \] Donc : \[ 2=r. \]En remplaçant dans la première expression :
\[ z=1+2\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right). \] Donc : \[ z=1-1+i\sqrt3=i\sqrt3. \]Réponse correcte : A
Question 67
Si :
\[ z=1+ie^{i\frac{\theta}{2}}, \qquad \theta\in]-\pi,\pi[, \]alors \(|z|\) est égal à :
A) \(2\)
B) \(2\cos\frac{\theta}{2}\)
C) \(2\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
D) \(\cos\frac{\theta+\pi}{4}\)
E) \(2\sin\frac{\theta}{4}\)
On utilise : \[ i=e^{i\frac{\pi}{2}} \] et la formule : \[ |1+e^{i\alpha}|=2\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|. \]
On part de :
\[ z=1+ie^{i\frac{\theta}{2}}. \]Comme :
\[ i=e^{i\frac{\pi}{2}}, \] on a : \[ ie^{i\frac{\theta}{2}} = e^{i\frac{\pi}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}. \]Donc :
\[ ie^{i\frac{\theta}{2}} = e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\theta}{2}\right)} = e^{i\frac{\theta+\pi}{2}}. \]Ainsi :
\[ z=1+e^{i\frac{\theta+\pi}{2}}. \]On pose :
\[ \alpha=\frac{\theta+\pi}{2}. \]Alors :
\[ |z|=|1+e^{i\alpha}|. \]La formule donne :
\[ |1+e^{i\alpha}|=2\left|\cos\frac{\alpha}{2}\right|. \]Ici :
\[ \frac{\alpha}{2}=\frac{\theta+\pi}{4}. \]Comme \(\theta\in]-\pi,\pi[\), on a :
\[ \frac{\theta+\pi}{4}\in]0,\frac{\pi}{2}[. \]Donc le cosinus est positif, et :
\[ |z|=2\cos\frac{\theta+\pi}{4}. \]Réponse correcte : C
Question 68
On demande de calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n}. \]
A) \(0\)
B) \(e^{-4}\)
C) \(e^4\)
D) \(e\)
E) \(1\)
Pour une limite du type \(a_n^{b_n}\), on peut passer par le logarithme : \[ \ln(a_n^{b_n})=b_n\ln(a_n). \] On utilise aussi \(\ln(1+u)\sim u\) lorsque \(u\to0\).
On écrit :
\[ \frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}. \]Donc :
\[ \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2n} = \left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{2n}. \]Posons :
\[ A_n=\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{2n}. \]On calcule le logarithme :
\[ \ln A_n=2n\ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right). \]Comme \(-\frac{2}{n+1}\to0\), on utilise l’équivalent \(\ln(1+u)\sim u\) :
\[ \ln\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\sim -\frac{2}{n+1}. \]Donc :
\[ \ln A_n\sim 2n\left(-\frac{2}{n+1}\right) = -\frac{4n}{n+1}. \]Or :
\[ -\frac{4n}{n+1}\to -4. \]Donc :
\[ \ln A_n\to -4. \]Par continuité de l’exponentielle :
\[ A_n\to e^{-4}. \]Réponse correcte : B
Question 69
Si \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(q=\frac13\), alors :
\[ u_1\times u_2\times \cdots \times u_n \]est égal à :
A) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}\)
B) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}2}}\)
C) \(\dfrac{2^n}{3^{\frac{n(n+1)}2}}\)
D) \(2^n\cdot3^{\frac{n(n+1)}2}\)
E) \(\dfrac{1}{2^n\cdot3^{\frac{n(n-1)}2}}\)
Pour une suite géométrique de premier terme \(u_1\) et de raison \(q\), on a : \[ u_k=u_1q^{k-1}. \] Dans un produit, les puissances se regroupent en additionnant les exposants.
La suite est géométrique avec :
\[ u_1=2, \qquad q=\frac13. \]Donc, pour \(k\ge1\) :
\[ u_k=2\left(\frac13\right)^{k-1}. \]Le produit devient :
\[ u_1u_2\cdots u_n = \prod_{k=1}^{n}2\left(\frac13\right)^{k-1}. \]Il y a \(n\) facteurs égaux à \(2\), donc :
\[ \prod_{k=1}^{n}2=2^n. \]Pour la puissance de \(\frac13\), l’exposant total est :
\[ 0+1+2+\cdots+(n-1). \]Or :
\[ 0+1+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2. \]Donc :
\[ u_1u_2\cdots u_n = 2^n\left(\frac13\right)^{\frac{n(n-1)}2}. \]Ainsi :
\[ u_1u_2\cdots u_n= \frac{2^n}{3^{\frac{n(n-1)}2}}. \]Réponse correcte : B
Question 70
Si :
\[ f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1), \]alors \(f'(1)\) est égale à :
A) \(24\)
B) \(1\)
C) \(0\)
D) \(5\)
E) \(-24\)
Si \(f(x)=(x-a)g(x)\), alors : \[ f'(a)=g(a). \] Cette propriété évite de développer tout le produit.
On a :
\[ f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1). \]On veut \(f'(1)\). Comme \(x-1\) est un facteur, on écrit :
\[ f(x)=(x-1)g(x), \] avec : \[ g(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2). \]Alors :
\[ f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x). \]En \(x=1\) :
\[ f'(1)=g(1)+(1-1)g'(1). \] Donc : \[ f'(1)=g(1). \]On calcule :
\[ g(1)=(1-5)(1-4)(1-3)(1-2). \] Donc : \[ g(1)=(-4)(-3)(-2)(-1). \]Le produit vaut :
\[ 24. \]Ainsi :
\[ f'(1)=24. \]Réponse correcte : A
Question 71
Soit :
\[ f(x)=\frac{2\ln x}{x\left(1+(\ln x)^2\right)}. \]On demande la primitive de \(f\) sur \(]0,+\infty[\) qui s’annule en \(1\).
A) \(\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
B) \((\ln x)^2\)
C) \(2\ln\left((\ln x)^2+1\right)\)
D) \(\dfrac{x\ln x}{\ln x+1}\)
E) \(\dfrac{2\ln x}{(\ln x)^2+1}\)
Une primitive de la forme : \[ \frac{u'(x)}{u(x)} \] est : \[ \ln|u(x)|+C. \] Ici \(u(x)=1+(\ln x)^2\), qui est toujours positif.
On considère :
\[ f(x)=\frac{2\ln x}{x\left(1+(\ln x)^2\right)}. \]Posons :
\[ u(x)=1+(\ln x)^2. \]Alors :
\[ u'(x)=2\ln x\cdot\frac1x=\frac{2\ln x}{x}. \]Donc :
\[ f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]Une primitive est donc :
\[ F(x)=\ln(u(x)). \]Autrement dit :
\[ F(x)=\ln\left(1+(\ln x)^2\right). \]Vérifions la condition \(F(1)=0\) :
\[ F(1)=\ln\left(1+(\ln1)^2\right). \] Or : \[ \ln1=0. \] Donc : \[ F(1)=\ln1=0. \]C’est bien la primitive demandée.
Réponse correcte : A
Question 72
On demande de calculer :
\[ \int_0^1\frac{2t+3}{t+2}\,dt. \]
A) \(\ln\frac32\)
B) \(2+\ln\frac32\)
C) \(2-\ln\frac23\)
D) \(2+\ln\frac23\)
E) \(\ln\frac23\)
Quand le degré du numérateur est le même que celui du dénominateur, on peut écrire le numérateur en fonction du dénominateur.
On veut calculer :
\[ \int_0^1\frac{2t+3}{t+2}\,dt. \]On écrit le numérateur sous la forme :
\[ 2t+3=2(t+2)-1. \]Donc :
\[ \frac{2t+3}{t+2} = \frac{2(t+2)-1}{t+2}. \]On sépare :
\[ \frac{2t+3}{t+2}=2-\frac1{t+2}. \]Ainsi :
\[ \int_0^1\frac{2t+3}{t+2}\,dt = \int_0^1 2\,dt-\int_0^1\frac1{t+2}\,dt. \]On calcule :
\[ \int_0^1 2\,dt=2. \]Et :
\[ \int_0^1\frac1{t+2}\,dt = [\ln(t+2)]_0^1. \] Donc : \[ [\ln(t+2)]_0^1=\ln3-\ln2. \]Finalement :
\[ 2-(\ln3-\ln2) = 2+\ln2-\ln3 = 2+\ln\frac23. \]Réponse correcte : D
Question 73
On cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tel que :
\[ z+\frac1z\in\mathbb R. \]
A) L’axe des réels privé du point \(O\)
B) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
C) L’axe des réels privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
D) Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) privé des deux points \(A(-1)\) et \(B(1)\)
E) L’axe des réels privé du point \(O\) union le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\)
Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. La forme trigonométrique permet de lire facilement cette partie imaginaire.
La condition est :
\[ z+\frac1z\in\mathbb R. \]On doit d’abord avoir :
\[ z\ne0. \]Écrivons \(z\) sous forme trigonométrique :
\[ z=re^{i\theta}, \qquad r\gt0. \]Alors :
\[ \frac1z=\frac1r e^{-i\theta}. \]Donc :
\[ z+\frac1z = re^{i\theta}+\frac1r e^{-i\theta}. \]En utilisant :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, \qquad e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta, \] on obtient : \[ z+\frac1z = \left(r+\frac1r\right)\cos\theta + i\left(r-\frac1r\right)\sin\theta. \]Pour que ce nombre soit réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle :
\[ \left(r-\frac1r\right)\sin\theta=0. \]Donc deux cas sont possibles :
- \(\sin\theta=0\), ce qui donne l’axe réel, avec \(z\ne0\) ;
- \(r-\frac1r=0\), donc \(r=1\), ce qui donne le cercle unité.
L’ensemble cherché est donc :
\[ \mathbb R^\ast\cup\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}. \]Réponse correcte : E
Question 74
Soit \((w_n)\) la suite définie par :
\[ w_0=\frac12, \qquad w_{n+1}=(w_n-1)^2+1. \]Si \((w_n)\) est convergente, on demande :
\[ \lim_{n\to+\infty}w_n. \]
A) \(0\)
B) \(2\)
C) \(1\)
D) \(\frac12\)
E) \(-1\)
Lorsque la récurrence contient \((w_n-1)^2\), le changement : \[ y_n=w_n-1 \] simplifie la relation.
La relation est :
\[ w_{n+1}=(w_n-1)^2+1. \]Posons :
\[ y_n=w_n-1. \]Alors :
\[ y_{n+1}=w_{n+1}-1. \]Donc :
\[ y_{n+1}=(w_n-1)^2. \]Or \(w_n-1=y_n\), donc :
\[ y_{n+1}=y_n^2. \]Au départ :
\[ y_0=w_0-1=\frac12-1=-\frac12. \]Alors :
\[ y_1=\left(-\frac12\right)^2=\frac14, \] puis : \[ y_2=\left(\frac14\right)^2=\frac1{16}. \]Les termes \(y_n\) tendent donc vers \(0\), car on élève successivement au carré un nombre de valeur absolue strictement inférieure à \(1\).
Comme :
\[ w_n=y_n+1, \] on obtient : \[ w_n\to1. \]Réponse correcte : C
Question 75
Soit \(a\in]0,+\infty[\) et :
\[ f(x)=1+x\ln\sqrt{1+\frac ax}. \]On demande :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]
A) \(1\)
B) \(1+\frac a2\)
C) \(1+a\)
D) \(+\infty\)
E) \(a\)
On utilise : \[ \ln\sqrt{A}=\frac12\ln A. \] Puis : \[ \frac{\ln(1+t)}{t}\to1 \quad (t\to0). \]
La fonction est :
\[ f(x)=1+x\ln\sqrt{1+\frac ax}. \]On transforme le logarithme :
\[ \ln\sqrt{1+\frac ax} = \frac12\ln\left(1+\frac ax\right). \]Donc :
\[ f(x)=1+\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac ax\right). \]Posons :
\[ t=\frac ax. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ t\to0. \]Comme \(a\gt0\), on peut écrire :
\[ x=\frac at. \]Alors :
\[ x\ln\left(1+\frac ax\right) = \frac at\ln(1+t). \] Donc : \[ x\ln\left(1+\frac ax\right) = a\frac{\ln(1+t)}{t}. \]Or :
\[ \frac{\ln(1+t)}{t}\to1. \]Donc :
\[ x\ln\left(1+\frac ax\right)\to a. \]Finalement :
\[ f(x)\to1+\frac a2. \]Réponse correcte : B
Question 76
Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) tel que :
\[ AB=AC=10. \]On demande l’aire maximale du triangle \(ABC\).
A) \(\frac{25\sqrt2}{2}\)
B) \(50\)
C) \(100\)
D) \(10\)
E) \(5\sqrt2\)
L’aire d’un triangle dont deux côtés \(a\) et \(b\) forment un angle \(\theta\) est : \[ \mathcal A=\frac12ab\sin\theta. \] Cette aire est maximale lorsque \(\sin\theta=1\).
Dans le triangle \(ABC\), on a :
\[ AB=AC=10. \]Notons :
\[ \theta=\widehat{BAC}. \]L’aire du triangle est :
\[ \mathcal A=\frac12 AB\cdot AC\cdot\sin\theta. \]Donc :
\[ \mathcal A=\frac12\cdot10\cdot10\cdot\sin\theta. \]Ainsi :
\[ \mathcal A=50\sin\theta. \]Comme :
\[ \sin\theta\le1, \] l’aire maximale est atteinte lorsque : \[ \sin\theta=1. \]Cela correspond à :
\[ \theta=\frac{\pi}{2}. \]L’aire maximale vaut donc :
\[ \mathcal A_{\max}=50. \]Réponse correcte : B
Question 77
Si :
\[ f(x)=x^3+3\ln x+1,\qquad x\in\mathbb R_+^\ast, \]on demande le nombre dérivé \((f^{-1})'(2)\).
A) \(\frac13\)
B) \(\frac16\)
C) \(\frac15\)
D) \(\frac14\)
E) \(\frac12\)
Si \(f(a)=b\), alors : \[ (f^{-1})'(b)=\frac1{f'(a)} \] à condition que \(f'(a)\ne0\).
On veut calculer :
\[ (f^{-1})'(2). \]Il faut donc trouver \(a\) tel que :
\[ f(a)=2. \]La fonction est :
\[ f(x)=x^3+3\ln x+1. \]Testons \(a=1\) :
\[ f(1)=1^3+3\ln1+1. \]Comme \(\ln1=0\), on obtient :
\[ f(1)=2. \]Donc :
\[ f^{-1}(2)=1. \]Calculons la dérivée :
\[ f'(x)=3x^2+\frac3x. \]Alors :
\[ f'(1)=3+3=6. \]La formule de la dérivée de la réciproque donne :
\[ (f^{-1})'(2)=\frac1{f'(1)}. \] Donc : \[ (f^{-1})'(2)=\frac16. \]Réponse correcte : B
Question 78
On demande de calculer :
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx. \]
A) \(\dfrac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
B) \(\dfrac{e+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
C) \(\dfrac{1-e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\)
D) \(1+e^{\frac{\pi}{2}}\)
E) \(1-e^{\frac{\pi}{2}}\)
Une primitive de \(e^x\sin x\) se cherche sous la forme : \[ e^x(a\sin x+b\cos x). \] On peut aussi utiliser deux intégrations par parties.
On utilise la primitive connue :
\[ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}2. \]Vérifions rapidement : si
\[ F(x)=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}2, \] alors : \[ F'(x)=\frac12\left[e^x(\sin x-\cos x)+e^x(\cos x+\sin x)\right]. \]Donc :
\[ F'(x)=\frac12 e^x(2\sin x)=e^x\sin x. \]Ainsi :
\[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx = \left[\frac{e^x(\sin x-\cos x)}2\right]_0^{\frac{\pi}{2}}. \]À \(x=\frac{\pi}{2}\) :
\[ \sin\frac{\pi}{2}=1, \qquad \cos\frac{\pi}{2}=0. \] Donc : \[ \frac{e^{\frac{\pi}{2}}(1-0)}2=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}. \]À \(x=0\) :
\[ \sin0=0, \qquad \cos0=1. \] Donc : \[ \frac{e^0(0-1)}2=-\frac12. \]Finalement :
\[ I=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\left(-\frac12\right) = \frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}. \]Réponse correcte : A
Question 79
On considère :
\[ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}. \]On demande un encadrement de \(f'(x)\) sur \([0,1]\).
A) \(0\leq f'(x)\leq \frac1{\sqrt e}\)
B) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq 0\)
C) \(-\frac12\leq f'(x)\leq 0\)
D) \(0\leq f'(x)\leq \sqrt e\)
E) \(-\frac1{\sqrt e}\leq f'(x)\leq -\frac12\)
Pour encadrer \(f'(x)\), on calcule d’abord \(f'(x)\), puis on étudie le signe et les variations du facteur positif ou négatif obtenu.
La fonction est :
\[ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}. \]On dérive :
\[ f'(x)=\left(-\frac{x^2}{2}\right)'e^{-\frac{x^2}{2}}. \]Or :
\[ \left(-\frac{x^2}{2}\right)'=-x. \] Donc : \[ f'(x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}. \]Sur \([0,1]\), on a :
\[ x\ge0 \] et : \[ e^{-\frac{x^2}{2}}\gt0. \]Donc :
\[ f'(x)\le0. \]Posons :
\[ h(x)=xe^{-\frac{x^2}{2}}. \]Alors :
\[ f'(x)=-h(x). \]Étudions \(h\) sur \([0,1]\). On dérive :
\[ h'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}+x\left(-xe^{-\frac{x^2}{2}}\right). \] Donc : \[ h'(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2). \]Sur \([0,1]\), on a \(1-x^2\ge0\). Donc :
\[ h'(x)\ge0. \]Ainsi \(h\) est croissante sur \([0,1]\). Donc :
\[ h(0)\le h(x)\le h(1). \]Or :
\[ h(0)=0, \qquad h(1)=e^{-\frac12}=\frac1{\sqrt e}. \]Donc :
\[ 0\le h(x)\le\frac1{\sqrt e}. \]Comme \(f'(x)=-h(x)\), on obtient :
\[ -\frac1{\sqrt e}\le f'(x)\le0. \]Réponse correcte : B
Question 80
Soit :
\[ f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b}. \]On cherche la condition pour que \(f\) admette une limite finie en \(+\infty\).
A) \(a\gt0\) et \(b\gt0\)
B) \(a=1\) et \(b\gt0\)
C) \(a=1\) et \(b=2\)
D) \(a=1\) et \(b=0\)
E) \(a\gt0\) et \(b=0\)
Pour qu’une différence de deux expressions équivalentes à \(x^{3/2}\) admette une limite finie, il faut d’abord annuler le terme dominant, puis rationaliser pour étudier le terme suivant.
On considère :
\[ f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-ax\sqrt{x+b}. \]Au voisinage de \(+\infty\), on compare les termes dominants.
Pour le premier terme :
\[ \sqrt{x^3+2x^2+3} = x^{3/2}\sqrt{1+\frac2x+\frac3{x^3}}. \]Pour le second terme :
\[ ax\sqrt{x+b} = ax\sqrt{x\left(1+\frac bx\right)} = ax^{3/2}\sqrt{1+\frac bx}. \]Donc :
\[ \frac{f(x)}{x^{3/2}} = \sqrt{1+\frac2x+\frac3{x^3}} - a\sqrt{1+\frac bx}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on obtient :
\[ \frac{f(x)}{x^{3/2}}\to1-a. \]Pour que \(f(x)\) puisse avoir une limite finie, le terme dominant \(x^{3/2}\) doit disparaître. Il faut donc :
\[ 1-a=0. \] Ainsi : \[ a=1. \]On remplace alors \(a\) par \(1\) :
\[ f(x)=\sqrt{x^3+2x^2+3}-x\sqrt{x+b}. \]On écrit :
\[ \sqrt{x^3+2x^2+3}=x\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}. \]Donc :
\[ f(x)=x\left(\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}-\sqrt{x+b}\right). \]On rationalise :
\[ f(x)= x\cdot \frac{\left(x+2+\frac3{x^2}\right)-(x+b)} {\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}+\sqrt{x+b}}. \]Donc :
\[ f(x)= \frac{x\left(2-b+\frac3{x^2}\right)} {\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}+\sqrt{x+b}}. \]Si \(b\ne2\), alors le numérateur est équivalent à \(x(2-b)\), tandis que le dénominateur est de l’ordre de \(\sqrt{x}\). La limite ne peut donc pas être finie.
Il faut donc :
\[ b=2. \]Lorsque \(a=1\) et \(b=2\), on obtient :
\[ f(x)= \frac{x\cdot\frac3{x^2}} {\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}+\sqrt{x+2}}. \] Donc : \[ f(x)= \frac{\frac3x} {\sqrt{x+2+\frac3{x^2}}+\sqrt{x+2}}. \]Cette expression tend vers \(0\), donc elle admet bien une limite finie.
La condition cherchée est donc :
\[ a=1 \quad\text{et}\quad b=2. \]Réponse correcte : C
Conseil aux élèves
Les questions de concours demandent surtout de reconnaître les formes classiques : puissances de nombres complexes, formules trigonométriques, domaines de définition, limites usuelles, suites géométriques, primitives, nombres complexes, fonctions réciproques, intégrales et comparaison des termes dominants au voisinage de l’infini.
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