Concours Médecine Maroc 2021 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès à la Faculté de Médecine.

Session de juillet 2021 — Épreuve de mathématiques.

Questions Q61 à Q80 — 20 QCM.

Compétences et points clés

Le concours commun Médecine 2021 commence par les suites puis rejoint l’analyse et les rotations complexes. L’élève doit relier la simplicité apparente d’une question à une propriété précise, sans présumer qu’un même choix de réponse vaut pour tout le bloc.

Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; image d’un intervalle, monotonie et dérivée; affixes de vecteurs, modules et angles orientés.

Rappels de cours utiles

Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.

Fonction réciproque. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle vers son image. Au point correspondant à un nombre dérivé non nul, la dérivée de la réciproque est son inverse multiplicatif, évalué au bon antécédent. L’image doit être déterminée avant de composer les fonctions.

Transformations du plan complexe. Pour une rotation, on travaille avec les affixes relatives au centre : la différence entre l’affixe du point et celle du centre est multipliée par un complexe de module un. Un quotient d’affixes utilisé pour un angle doit avoir un dénominateur non nul. Le calcul doit être relié aux distances et aux directions de la figure.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans les suites, repérer le rang initial et distinguer somme et produit. Pour la dérivée de la réciproque, trouver l’antécédent du point demandé et vérifier le nombre dérivé correspondant. Pour la rotation finale, écrire la relation des affixes par rapport au centre inconnu.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès aux facultés de médecine, pharmacie et médecine dentaire au Maroc, session 2021.

L’épreuve est organisée sous forme de questions à choix multiples. Les questions sont numérotées de Q61 à Q80.

Guide Concours Médecine Page Concours

Consignes de l’épreuve

Durée : 45 minutes.
L’épreuve est formée de 20 questions indépendantes.
Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est correcte.
L’utilisation de la calculatrice n’est pas autorisée.

Conseil avant de commencer

Lis chaque question rapidement une première fois, puis commence par les questions directes : suites, limites usuelles, équations, complexes et intégrales simples. Pour les questions qui demandent une idée courte, cherche d’abord la transformation utile avant de calculer.

Énoncé

Question 61

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) une suite arithmétique telle que :

\[ u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=40. \]

La valeur du terme \(u_2\) est égale à :

A) \(4\)
B) \(6\)
C) \(8\)
D) \(10\)
E) \(14\)

Question 62

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite géométrique de premier terme :

\[ u_0=\frac13 \]

et de raison \(3\). La valeur de l’entier naturel \(n\) tel que :

\[ u_0\times u_1\times u_2\times \cdots \times u_n=9^{10} \]

est :

A) \(6\)
B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)

Question 63

\(f\) est la fonction définie sur \([-2,2]\) par :

\[ f(x)=\ln\left(1+\frac{e^x}{2}\right). \]

On considère la suite récurrente \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) telle que :

\[ u_0=-2 \]

et :

\[ u_{n+1}=f(u_n),\quad n\in\mathbb N. \]

La limite de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est :

A) \(-2\ln2\)
B) \(0\)
C) \(3\ln2\)
D) \(2\ln2\)
E) \(\ln2\)

Question 64

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite telle que :

\[ 2n^2u_n=\ln\left((5u_n^2+e^4)^n\right),\quad n\in\mathbb N^*. \]

On admet que :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

et on pose :

\[ v_n=nu_n. \]

La limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est égale à :

A) \(0\)
B) \(+\infty\)
C) \(2\)
D) \(4\)
E) \(5\)

Question 65

\(\log a\) désigne le logarithme décimal d’un nombre réel \(a\) strictement positif.

Dans \(\mathbb R\), l’ensemble des solutions de l’équation :

\[ 6\times10^x-8=100^x \]

est :

A) \(\{\log2,\log4\}\)
B) \(\{\log2,\log3\}\)
C) \(\{\log3,\log4\}\)
D) \(\{\log4,\log6\}\)
E) \(\{\log6,\log8\}\)

Question 66

\(f\) est la fonction définie par :

\[ f(x)=\ln(10+3x-x^2). \]

L’ensemble de définition de \(f\) est :

A) \(]-5,2[\)
B) \(]-2,5[\)
C) \(]-\infty,5[\)
D) \(]-2,+\infty[\)
E) \(]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[\)

Question 67

La valeur de la limite :

\[ \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}} \]

est :

A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-4\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-1\)

Question 68

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\frac12,\frac12[\) par :

\[ f(0)=0 \]

et, pour \(x\ne0\),

\[ f(x)=\frac1x\ln(1-4x^2). \]

La fonction \(f\) est dérivable en \(0\), et \(f'(0)\) est égal à :

A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-1\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-4\)

Question 69

Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction :

\[ f:x\mapsto \ln|x|. \]

L’équation de la tangente à la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(-e\) est :

A) \(y=-\frac{x}{e}\)
B) \(y=\frac{x}{e}\)
C) \(y=e x\)
D) \(y=-e x\)
E) \(y=x-e\)

Question 70

Dans \(\mathbb R\), la solution de l’équation :

\[ e^x=2\left(\sqrt{2e^x}-1\right) \]

est :

A) \(2\)
B) \(\ln2\)
C) \(0\)
D) \(-2\)
E) \(-\ln2\)

Question 71

La fonction \(f\) définie de \([0,+\infty[\) vers \([-1,+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x-1)e^x \]

admet une fonction réciproque \(f^{-1}\). La valeur du nombre dérivé \((f^{-1})'(0)\) est :

A) \(0\)
B) \(e\)
C) \(-e\)
D) \(\frac1e\)
E) \(-\frac1e\)

Question 72

On considère la fonction :

\[ f:x\mapsto (x-3)^2e^{x-1}. \]

L’équation \(f(x)=\lambda\) admet exactement deux solutions lorsque :

A) \(\lambda=0\)
B) \(\lambda=4\)
C) \(\lambda=3\)
D) \(\lambda=2\)
E) \(\lambda=1\)

Question 73

\((C)\) est la courbe représentative de la fonction :

\[ f:x\mapsto x\left(2-e^{\frac3x}\right). \]

Au voisinage de \(-\infty\), la courbe \((C)\) admet une asymptote d’équation :

A) \(y=-2x\)
B) \(y=-3x\)
C) \(y=x-3\)
D) \(y=3-x\)
E) \(y=2x-3\)

Question 74

En écrivant :

\[ x^3=x(1+x^2)-x, \]

on montre que la valeur de l’intégrale :

\[ \int_0^{\sqrt2}\frac{2x^3}{1+x^2}\,dx \]

est égale à :

A) \(2-\ln3\)
B) \(3-\ln2\)
C) \(\ln2-3\)
D) \(\sqrt2-\ln3\)
E) \(\sqrt2-\ln2\)

Question 75

Par une intégration par parties, on montre que l’intégrale :

\[ \int_1^e 9x^2\ln x\,dx \]

est égale à :

A) \(3-2e^3\)
B) \(2e^3+3\)
C) \(2e^3-3\)
D) \(2e^3+1\)
E) \(2e^3-1\)

Question 76

Le nombre complexe \(-\sqrt3+i\sqrt3\) est égal à :

A) \(\sqrt6\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
B) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
C) \(\sqrt6\,e^{i\frac{\pi}{4}}\)
D) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
E) \(\sqrt3\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

Question 77

On considère le nombre complexe :

\[ Z=\frac1{\sqrt[3]{2}}(1+i\sqrt3). \]

Le nombre complexe \(Z^9\) est égal à :

A) \(-64i\)
B) \(64i\)
C) \(-64\)
D) \(64\)
E) \(-32\)

Question 78

Soit \(\theta\) un nombre réel donné.

Dans \(\mathbb C\), on considère l’équation \((E)\) :

\[ z^2-(2\sin\theta)z+2(1-\cos\theta)=0, \]

où \(z\) désigne l’inconnue. Les solutions de l’équation \((E)\) sont :

A) \(-\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
B) \(\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
C) \(-\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
D) \(\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
E) \(i\sin\theta+(1-\cos\theta)\) et \(-i\sin\theta+(1-\cos\theta)\)

Dans les questions 79 et 80, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. La notation \(M(z)\) signifie que l’affixe du point \(M\) est le nombre complexe \(z\).

Question 79

Soit \(P(3-i)\) le centre de l’homothétie \(h\) qui transforme le point \(A(5-2i)\) en \(B(-5+3i)\).

Le rapport de l’homothétie \(h\) est :

A) \(-4\)
B) \(4\)
C) \(-5\)
D) \(5\)
E) \(3\)

Question 80

Soient \(q\in\mathbb C\) et \(R\) la rotation de centre \(\Omega(q)\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).

Si l’image par la rotation \(R\) du point \(A(-1+6i)\) est \(B(1+2i)\), alors \(q\) est égal à :

A) \(-1+2i\)
B) \(4i\)
C) \(2+5i\)
D) \(-2+5i\)
E) \(-2+3i\)

MATHS PARCOURS MAROC

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