Concours Médecine Maroc 2021 — Énoncé de mathématiques

Concours d’accès à la Faculté de Médecine.

Session de juillet 2021 — Épreuve de mathématiques.

Questions Q61 à Q80 — 20 QCM.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès aux facultés de médecine, pharmacie et médecine dentaire au Maroc, session 2021.

L’épreuve est organisée sous forme de questions à choix multiples. Les questions sont numérotées de Q61 à Q80.

Voir la correction détaillée Guide Concours Médecine Page Concours

Consignes de l’épreuve

Durée : 45 minutes.
L’épreuve est formée de 20 questions indépendantes.
Chaque question comporte cinq propositions : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est correcte.
L’utilisation de la calculatrice n’est pas autorisée.

Conseil avant de commencer

Lis chaque question rapidement une première fois, puis commence par les questions directes : suites, limites usuelles, équations, complexes et intégrales simples. Pour les questions qui demandent une idée courte, cherche d’abord la transformation utile avant de calculer.

Énoncé

Question 61

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) une suite arithmétique telle que :

\[ u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=40. \]

La valeur du terme \(u_2\) est égale à :

A) \(4\)
B) \(6\)
C) \(8\)
D) \(10\)
E) \(14\)

Question 62

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite géométrique de premier terme :

\[ u_0=\frac13 \]

et de raison \(3\). La valeur de l’entier naturel \(n\) tel que :

\[ u_0\times u_1\times u_2\times \cdots \times u_n=9^{10} \]

est :

A) \(6\)
B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)

Question 63

\(f\) est la fonction définie sur \([-2,2]\) par :

\[ f(x)=\ln\left(1+\frac{e^x}{2}\right). \]

On considère la suite récurrente \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) telle que :

\[ u_0=-2 \]

et :

\[ u_{n+1}=f(u_n),\quad n\in\mathbb N. \]

La limite de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est :

A) \(-2\ln2\)
B) \(0\)
C) \(3\ln2\)
D) \(2\ln2\)
E) \(\ln2\)

Question 64

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite telle que :

\[ 2n^2u_n=\ln\left((5u_n^2+e^4)^n\right),\quad n\in\mathbb N^*. \]

On admet que :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \]

et on pose :

\[ v_n=nu_n. \]

La limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est égale à :

A) \(0\)
B) \(+\infty\)
C) \(2\)
D) \(4\)
E) \(5\)

Question 65

\(\log a\) désigne le logarithme décimal d’un nombre réel \(a\) strictement positif.

Dans \(\mathbb R\), l’ensemble des solutions de l’équation :

\[ 6\times10^x-8=100^x \]

est :

A) \(\{\log2,\log4\}\)
B) \(\{\log2,\log3\}\)
C) \(\{\log3,\log4\}\)
D) \(\{\log4,\log6\}\)
E) \(\{\log6,\log8\}\)

Question 66

\(f\) est la fonction définie par :

\[ f(x)=\ln(10+3x-x^2). \]

L’ensemble de définition de \(f\) est :

A) \(]-5,2[\)
B) \(]-2,5[\)
C) \(]-\infty,5[\)
D) \(]-2,+\infty[\)
E) \(]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[\)

Question 67

La valeur de la limite :

\[ \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}} \]

est :

A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-4\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-1\)

Question 68

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]-\frac12,\frac12[\) par :

\[ f(0)=0 \]

et, pour \(x\ne0\),

\[ f(x)=\frac1x\ln(1-4x^2). \]

La fonction \(f\) est dérivable en \(0\), et \(f'(0)\) est égal à :

A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-1\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-4\)

Question 69

Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction :

\[ f:x\mapsto \ln|x|. \]

L’équation de la tangente à la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(-e\) est :

A) \(y=-\frac{x}{e}\)
B) \(y=\frac{x}{e}\)
C) \(y=e x\)
D) \(y=-e x\)
E) \(y=x-e\)

Question 70

Dans \(\mathbb R\), la solution de l’équation :

\[ e^x=2\left(\sqrt{2e^x}-1\right) \]

est :

A) \(2\)
B) \(\ln2\)
C) \(0\)
D) \(-2\)
E) \(-\ln2\)

Question 71

La fonction \(f\) définie de \([0,+\infty[\) vers \([-1,+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x-1)e^x \]

admet une fonction réciproque \(f^{-1}\). La valeur du nombre dérivé \((f^{-1})'(0)\) est :

A) \(0\)
B) \(e\)
C) \(-e\)
D) \(\frac1e\)
E) \(-\frac1e\)

Question 72

On considère la fonction :

\[ f:x\mapsto (x-3)^2e^{x-1}. \]

L’équation \(f(x)=\lambda\) admet exactement deux solutions lorsque :

A) \(\lambda=0\)
B) \(\lambda=4\)
C) \(\lambda=3\)
D) \(\lambda=2\)
E) \(\lambda=1\)

Question 73

\((C)\) est la courbe représentative de la fonction :

\[ f:x\mapsto x\left(2-e^{\frac3x}\right). \]

Au voisinage de \(-\infty\), la courbe \((C)\) admet une asymptote d’équation :

A) \(y=-2x\)
B) \(y=-3x\)
C) \(y=x-3\)
D) \(y=3-x\)
E) \(y=2x-3\)

Question 74

En écrivant :

\[ x^3=x(1+x^2)-x, \]

on montre que la valeur de l’intégrale :

\[ \int_0^{\sqrt2}\frac{2x^3}{1+x^2}\,dx \]

est égale à :

A) \(2-\ln3\)
B) \(3-\ln2\)
C) \(\ln2-3\)
D) \(\sqrt2-\ln3\)
E) \(\sqrt2-\ln2\)

Question 75

Par une intégration par parties, on montre que l’intégrale :

\[ \int_1^e 9x^2\ln x\,dx \]

est égale à :

A) \(3-2e^3\)
B) \(2e^3+3\)
C) \(2e^3-3\)
D) \(2e^3+1\)
E) \(2e^3-1\)

Question 76

Le nombre complexe \(-\sqrt3+i\sqrt3\) est égal à :

A) \(\sqrt6\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
B) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
C) \(\sqrt6\,e^{i\frac{\pi}{4}}\)
D) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
E) \(\sqrt3\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)

Question 77

On considère le nombre complexe :

\[ Z=\frac1{\sqrt[3]{2}}(1+i\sqrt3). \]

Le nombre complexe \(Z^9\) est égal à :

A) \(-64i\)
B) \(64i\)
C) \(-64\)
D) \(64\)
E) \(-32\)

Question 78

Soit \(\theta\) un nombre réel donné.

Dans \(\mathbb C\), on considère l’équation \((E)\) :

\[ z^2-(2\sin\theta)z+2(1-\cos\theta)=0, \]

où \(z\) désigne l’inconnue. Les solutions de l’équation \((E)\) sont :

A) \(-\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
B) \(\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
C) \(-\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
D) \(\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
E) \(i\sin\theta+(1-\cos\theta)\) et \(-i\sin\theta+(1-\cos\theta)\)

Dans les questions 79 et 80, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. La notation \(M(z)\) signifie que l’affixe du point \(M\) est le nombre complexe \(z\).

Question 79

Soit \(P(3-i)\) le centre de l’homothétie \(h\) qui transforme le point \(A(5-2i)\) en \(B(-5+3i)\).

Le rapport de l’homothétie \(h\) est :

A) \(-4\)
B) \(4\)
C) \(-5\)
D) \(5\)
E) \(3\)

Question 80

Soient \(q\in\mathbb C\) et \(R\) la rotation de centre \(\Omega(q)\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).

Si l’image par la rotation \(R\) du point \(A(-1+6i)\) est \(B(1+2i)\), alors \(q\) est égal à :

A) \(-1+2i\)
B) \(4i\)
C) \(2+5i\)
D) \(-2+5i\)
E) \(-2+3i\)

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