Correction — Concours Médecine Maroc 2021 — Mathématiques
Correction pédagogique de la partie mathématiques.
Session juillet 2021 — Questions Q61 à Q80 — Durée indiquée : 45 minutes.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | C | B | E | C | A | B | D | E | A | B | D | B | C | A | D | A | C | B | A | E |
Correction détaillée des questions
Question 61
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) une suite arithmétique telle que :
\[ u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=40. \]On demande la valeur du terme \(u_2\).
A) \(4\)
B) \(6\)
C) \(8\)
D) \(10\)
E) \(14\)
Dans une suite arithmétique, les termes placés à égale distance d’un terme central ont une moyenne égale à ce terme central. Donc, pour cinq termes consécutifs : \[ u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=5u_2. \]
Comme \((u_n)\) est arithmétique, il existe une raison \(r\) telle que :
\[ u_1=u_0+r,\quad u_2=u_0+2r,\quad u_3=u_0+3r,\quad u_4=u_0+4r. \]Le terme du milieu est \(u_2=u_0+2r\).
On remarque que :
\[ u_0+u_4=(u_0)+(u_0+4r)=2u_0+4r=2u_2, \] et : \[ u_1+u_3=(u_0+r)+(u_0+3r)=2u_0+4r=2u_2. \]Donc :
\[ u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=2u_2+2u_2+u_2=5u_2. \]Or cette somme vaut \(40\). Donc :
\[ 5u_2=40. \] Ainsi : \[ u_2=8. \]Réponse correcte : C
Question 62
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite géométrique de premier terme :
\[ u_0=\frac13 \]et de raison \(3\). On cherche l’entier naturel \(n\) tel que :
\[ u_0u_1u_2\cdots u_n=9^{10}. \]
A) \(6\)
B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
Dans une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a : \[ u_k=u_0q^k. \] Ici, il est utile de tout écrire sous forme de puissances de \(3\).
La suite est géométrique de premier terme :
\[ u_0=\frac13=3^{-1} \] et de raison \(3\).Donc, pour tout \(k\ge0\) :
\[ u_k=u_0\cdot3^k=3^{-1}\cdot3^k=3^{k-1}. \]Le produit demandé est alors :
\[ u_0u_1\cdots u_n = 3^{-1}3^0 3^1\cdots3^{n-1}. \]On additionne les exposants :
\[ -1+0+1+\cdots+(n-1). \]Or :
\[ 0+1+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}2. \]Donc :
\[ u_0u_1\cdots u_n = 3^{\frac{n(n-1)}2-1}. \]D’autre part :
\[ 9^{10}=(3^2)^{10}=3^{20}. \]On compare les exposants :
\[ \frac{n(n-1)}2-1=20. \] Donc : \[ n(n-1)=42. \]La valeur naturelle qui convient est :
\[ n=7, \] car : \[ 7\times6=42. \]Réponse correcte : B
Question 63
La fonction \(f\) est définie sur \([-2,2]\) par :
\[ f(x)=\ln\left(1+\frac{e^x}{2}\right). \]On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=-2\) et :
\[ u_{n+1}=f(u_n). \]On demande la limite de \((u_n)\).
A) \(-2\ln2\)
B) \(0\)
C) \(3\ln2\)
D) \(2\ln2\)
E) \(\ln2\)
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), si elle converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue, alors : \[ \ell=f(\ell). \]
Si la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\), alors, par continuité de \(f\) :
\[ \ell=\ln\left(1+\frac{e^\ell}{2}\right). \]On applique la fonction exponentielle aux deux membres :
\[ e^\ell=1+\frac{e^\ell}{2}. \]On regroupe :
\[ e^\ell-\frac{e^\ell}{2}=1. \] Donc : \[ \frac{e^\ell}{2}=1. \]Ainsi :
\[ e^\ell=2. \]En prenant le logarithme :
\[ \ell=\ln2. \]Réponse correcte : E
Question 64
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^\ast}\) telle que :
\[ 2n^2u_n=\ln\left((5u_n^2+e^4)^n\right). \]On admet que \(u_n\to0\) et on pose \(v_n=nu_n\). On demande :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n. \]
A) \(0\)
B) \(+\infty\)
C) \(2\)
D) \(4\)
E) \(5\)
Pour faire apparaître \(v_n=nu_n\), il faut transformer l’égalité et isoler le produit \(nu_n\).
L’égalité donnée est :
\[ 2n^2u_n=\ln\left((5u_n^2+e^4)^n\right). \]On utilise :
\[ \ln(A^n)=n\ln A. \]Donc :
\[ 2n^2u_n=n\ln(5u_n^2+e^4). \]Comme \(n\ge1\), on divise par \(n\) :
\[ 2nu_n=\ln(5u_n^2+e^4). \]Or :
\[ v_n=nu_n. \] Donc : \[ 2v_n=\ln(5u_n^2+e^4). \]On sait que \(u_n\to0\). Alors :
\[ 5u_n^2+e^4\to e^4. \]Par continuité de \(\ln\) :
\[ \ln(5u_n^2+e^4)\to\ln(e^4)=4. \]Donc :
\[ 2v_n\to4. \] Ainsi : \[ v_n\to2. \]Réponse correcte : C
Question 65
\(\log a\) désigne le logarithme décimal de \(a\gt0\). On demande l’ensemble des solutions de :
\[ 6\times10^x-8=100^x. \]
A) \(\{\log2,\log4\}\)
B) \(\{\log2,\log3\}\)
C) \(\{\log3,\log4\}\)
D) \(\{\log4,\log6\}\)
E) \(\{\log6,\log8\}\)
Lorsqu’une équation contient \(10^x\) et \(100^x\), on pose : \[ X=10^x. \] Alors : \[ 100^x=(10^2)^x=(10^x)^2=X^2. \]
Posons :
\[ X=10^x. \]Comme \(10^x\gt0\), on aura \(X\gt0\).
On transforme :
\[ 100^x=(10^2)^x=10^{2x}=(10^x)^2=X^2. \]L’équation devient :
\[ 6X-8=X^2. \]Donc :
\[ X^2-6X+8=0. \]On factorise :
\[ X^2-6X+8=(X-2)(X-4). \]Ainsi :
\[ X=2 \quad\text{ou}\quad X=4. \]Donc :
\[ 10^x=2 \quad\text{ou}\quad 10^x=4. \]Comme \(\log\) désigne le logarithme décimal :
\[ x=\log2 \quad\text{ou}\quad x=\log4. \]Réponse correcte : A
Question 66
On considère :
\[ f(x)=\ln(10+3x-x^2). \]On demande l’ensemble de définition de \(f\).
A) \(]-5,2[\)
B) \(]-2,5[\)
C) \(]-\infty,5[\)
D) \(]-2,+\infty[\)
E) \(]-\infty,-2[\cup]5,+\infty[\)
Pour que \(\ln(u(x))\) soit défini, il faut : \[ u(x)\gt0. \]
On doit imposer :
\[ 10+3x-x^2\gt0. \]Factorisons l’expression :
\[ 10+3x-x^2=-(x^2-3x-10). \]Or :
\[ x^2-3x-10=(x-5)(x+2). \] Donc : \[ 10+3x-x^2=-(x-5)(x+2). \]La condition devient :
\[ -(x-5)(x+2)\gt0. \] Donc : \[ (x-5)(x+2)\lt0. \]Le produit est strictement négatif entre ses deux racines \(-2\) et \(5\). Ainsi :
\[ -2\lt x\lt5. \]Donc :
\[ D_f=]-2,5[. \]Réponse correcte : B
Question 67
On demande de calculer :
\[ \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}}. \]
A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-4\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-1\)
Au voisinage de \(0\), on utilise : \[ \frac{e^h-1}{h}\to1. \] Donc : \[ \frac{1-e^h}{h}\to-1. \]
Posons :
\[ h=x+1. \]Lorsque \(x\to-1\), on a :
\[ h\to0. \]De plus :
\[ x+5=(x+1)+4=h+4. \]Le numérateur devient :
\[ \sqrt{4+h}-2. \]On rationalise :
\[ \sqrt{4+h}-2 = \frac{(\sqrt{4+h}-2)(\sqrt{4+h}+2)}{\sqrt{4+h}+2}. \] Donc : \[ \sqrt{4+h}-2 = \frac{4+h-4}{\sqrt{4+h}+2} = \frac{h}{\sqrt{4+h}+2}. \]Ainsi :
\[ \frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{4+h}+2}}{1-e^h}. \] Donc : \[ \frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}} = \frac{h}{1-e^h}\cdot\frac1{\sqrt{4+h}+2}. \]Or :
\[ \frac{1-e^h}{h}\to -1, \] donc : \[ \frac{h}{1-e^h}\to -1. \]Et :
\[ \sqrt{4+h}+2\to4. \]Finalement :
\[ \lim_{x\to-1}\frac{\sqrt{x+5}-2}{1-e^{x+1}} = -1\cdot\frac14 = -\frac14. \]Réponse correcte : D
Question 68
Soit \(f\) définie sur \(]-\frac12,\frac12[\) par \(f(0)=0\), et pour \(x\neq0\) :
\[ f(x)=\frac1x\ln(1-4x^2). \]On demande \(f'(0)\).
A) \(-2\)
B) \(-\frac12\)
C) \(-1\)
D) \(-\frac14\)
E) \(-4\)
Pour calculer une dérivée en \(0\), on revient à la définition : \[ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}. \] On utilise aussi : \[ \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. \]
Comme \(f(0)=0\), on a :
\[ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}. \]Pour \(x\ne0\) :
\[ f(x)=\frac1x\ln(1-4x^2). \]Donc :
\[ \frac{f(x)}x = \frac{\ln(1-4x^2)}{x^2}. \]On pose :
\[ u=-4x^2. \]Lorsque \(x\to0\), on a \(u\to0\), et :
\[ \frac{\ln(1-4x^2)}{x^2} = \frac{\ln(1-4x^2)}{-4x^2}\cdot(-4). \]Or :
\[ \frac{\ln(1-4x^2)}{-4x^2}\to1. \]Donc :
\[ f'(0)=-4. \]Réponse correcte : E
Question 69
Soit \((C)\) la courbe représentative de :
\[ f(x)=\ln|x|. \]On demande l’équation de la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(-e\).
A) \(y=-\frac{x}{e}\)
B) \(y=\frac{x}{e}\)
C) \(y=e x\)
D) \(y=-e x\)
E) \(y=x-e\)
Pour \(x\ne0\), on a : \[ (\ln|x|)'=\frac1x. \] L’équation de la tangente en \(a\) est : \[ y=f'(a)(x-a)+f(a). \]
La fonction est :
\[ f(x)=\ln|x|. \]Pour \(x\ne0\), on a :
\[ f'(x)=\frac1x. \]Au point d’abscisse \(-e\), on calcule :
\[ f(-e)=\ln|-e|=\ln e=1. \]Et :
\[ f'(-e)=-\frac1e. \]La tangente est donc :
\[ y=f'(-e)(x-(-e))+f(-e). \] Donc : \[ y=-\frac1e(x+e)+1. \]On développe :
\[ y=-\frac{x}{e}-1+1. \] Ainsi : \[ y=-\frac{x}{e}. \]Réponse correcte : A
Question 70
On demande de résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ e^x=2\left(\sqrt{2e^x}-1\right). \]
A) \(2\)
B) \(\ln2\)
C) \(0\)
D) \(-2\)
E) \(-\ln2\)
Une équation contenant \(e^x\) et \(\sqrt{e^x}\) se simplifie avec : \[ t=\sqrt{e^x}. \] Alors : \[ e^x=t^2. \]
Posons :
\[ t=\sqrt{e^x}. \]Comme \(e^x\gt0\), on a :
\[ t\gt0. \]Alors :
\[ e^x=t^2. \]Et :
\[ \sqrt{2e^x}=\sqrt2\sqrt{e^x}=\sqrt2\,t. \]L’équation devient :
\[ t^2=2(\sqrt2\,t-1). \]On développe :
\[ t^2=2\sqrt2\,t-2. \] Donc : \[ t^2-2\sqrt2\,t+2=0. \]On reconnaît un carré :
\[ t^2-2\sqrt2\,t+2=(t-\sqrt2)^2. \] Donc : \[ (t-\sqrt2)^2=0. \]Ainsi :
\[ t=\sqrt2. \]Donc :
\[ e^x=t^2=2. \]Finalement :
\[ x=\ln2. \]Réponse correcte : B
Question 71
La fonction \(f\) définie de \([0,+\infty[\) vers \([-1,+\infty[\) par :
\[ f(x)=(x-1)e^x \]admet une fonction réciproque \(f^{-1}\). On demande \((f^{-1})'(0)\).
A) \(0\)
B) \(e\)
C) \(-e\)
D) \(\frac1e\)
E) \(-\frac1e\)
Si \(f(a)=b\) et \(f'(a)\ne0\), alors : \[ (f^{-1})'(b)=\frac1{f'(a)}. \] Il faut donc trouver l’antécédent \(a\) de \(b\).
On veut :
\[ (f^{-1})'(0). \]Il faut donc chercher \(a\) tel que :
\[ f(a)=0. \]Or :
\[ f(x)=(x-1)e^x. \] Donc : \[ (a-1)e^a=0. \]Comme :
\[ e^a\ne0, \] on obtient : \[ a=1. \]On calcule ensuite \(f'(x)\). Par dérivation d’un produit :
\[ f'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x. \] Donc : \[ f'(x)=xe^x. \]Ainsi :
\[ f'(1)=e. \]La formule de la dérivée de la réciproque donne :
\[ (f^{-1})'(0)=\frac1{f'(1)}=\frac1e. \]Réponse correcte : D
Question 72
On considère :
\[ f(x)=(x-3)^2e^{x-1}. \]On demande pour quelle valeur de \(\lambda\) l’équation \(f(x)=\lambda\) admet exactement deux solutions.
A) \(\lambda=0\)
B) \(\lambda=4\)
C) \(\lambda=3\)
D) \(\lambda=2\)
E) \(\lambda=1\)
Le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\) se lit à partir du tableau de variations de \(f\). Il faut donc déterminer les extrema.
La fonction est :
\[ f(x)=(x-3)^2e^{x-1}. \]On dérive avec la règle du produit :
\[ f'(x)=2(x-3)e^{x-1}+(x-3)^2e^{x-1}. \]On factorise :
\[ f'(x)=e^{x-1}(x-3)\left[2+(x-3)\right]. \] Donc : \[ f'(x)=e^{x-1}(x-3)(x-1). \]Comme \(e^{x-1}\gt0\), le signe de \(f'(x)\) dépend de :
\[ (x-3)(x-1). \]On obtient les variations suivantes :
- \(f\) est croissante sur \(]-\infty,1]\) ;
- \(f\) est décroissante sur \([1,3]\) ;
- \(f\) est croissante sur \([3,+\infty[\).
On calcule les valeurs aux points critiques :
\[ f(1)=(1-3)^2e^0=4, \] et : \[ f(3)=0. \]La droite horizontale \(y=4\) coupe la courbe exactement deux fois : une fois au sommet \(x=1\), et une autre fois sur la branche croissante après \(3\).
Donc la valeur cherchée est :
\[ \lambda=4. \]Réponse correcte : B
Question 73
Soit \((C)\) la courbe représentative de :
\[ f(x)=x\left(2-e^{\frac3x}\right). \]Au voisinage de \(-\infty\), on demande l’asymptote de \((C)\).
A) \(y=-2x\)
B) \(y=-3x\)
C) \(y=x-3\)
D) \(y=3-x\)
E) \(y=2x-3\)
Pour vérifier qu’une droite \(y=ax+b\) est asymptote à une courbe au voisinage de l’infini, on calcule : \[ f(x)-(ax+b). \] Si cette différence tend vers \(0\), la droite est bien une asymptote.
La fonction est :
\[ f(x)=x\left(2-e^{\frac3x}\right). \]On teste la droite proposée :
\[ y=x-3. \]Calculons :
\[ f(x)-(x-3) = x\left(2-e^{\frac3x}\right)-x+3. \]On simplifie :
\[ f(x)-(x-3)=x\left(1-e^{\frac3x}\right)+3. \]Posons :
\[ t=\frac3x. \]Quand \(x\to-\infty\), on a \(t\to0\) et :
\[ x=\frac3t. \]Donc :
\[ x\left(1-e^{\frac3x}\right)+3 = \frac3t(1-e^t)+3. \]On réécrit :
\[ \frac3t(1-e^t)+3 = -3\frac{e^t-1}{t}+3. \]Or :
\[ \frac{e^t-1}{t}\to1. \]Donc :
\[ f(x)-(x-3)\to -3+3=0. \]La courbe admet donc au voisinage de \(-\infty\) l’asymptote :
\[ y=x-3. \]Réponse correcte : C
Question 74
En écrivant \(x^3=x(1+x^2)-x\), on demande la valeur de :
\[ \int_0^{\sqrt2}\frac{2x^3}{1+x^2}\,dx. \]
A) \(2-\ln3\)
B) \(3-\ln2\)
C) \(\ln2-3\)
D) \(\sqrt2-\ln3\)
E) \(\sqrt2-\ln2\)
L’indication : \[ x^3=x(1+x^2)-x \] permet de séparer la fraction en une partie simple et une partie logarithmique.
On utilise l’écriture donnée :
\[ x^3=x(1+x^2)-x. \]Donc :
\[ 2x^3=2x(1+x^2)-2x. \]Ainsi :
\[ \frac{2x^3}{1+x^2} = \frac{2x(1+x^2)-2x}{1+x^2}. \]On sépare :
\[ \frac{2x^3}{1+x^2} = 2x-\frac{2x}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \int_0^{\sqrt2}\frac{2x^3}{1+x^2}\,dx = \int_0^{\sqrt2}2x\,dx - \int_0^{\sqrt2}\frac{2x}{1+x^2}\,dx. \]On calcule :
\[ \int 2x\,dx=x^2, \] et : \[ \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx=\ln(1+x^2). \]Donc :
\[ \int_0^{\sqrt2}\frac{2x^3}{1+x^2}\,dx = \left[x^2-\ln(1+x^2)\right]_0^{\sqrt2}. \]Aux bornes :
\[ (\sqrt2)^2-\ln(1+(\sqrt2)^2)-\left(0-\ln1\right). \]Donc :
\[ 2-\ln3. \]Réponse correcte : A
Question 75
Par une intégration par parties, on demande la valeur de :
\[ \int_1^e 9x^2\ln x\,dx. \]
A) \(3-2e^3\)
B) \(2e^3+3\)
C) \(2e^3-3\)
D) \(2e^3+1\)
E) \(2e^3-1\)
Dans une intégrale contenant \(\ln x\), on choisit souvent : \[ u=\ln x. \] La formule d’intégration par parties est : \[ \int u v'=uv-\int u'v. \]
On pose :
\[ u=\ln x, \qquad v'=9x^2. \]Alors :
\[ u'=\frac1x, \qquad v=3x^3. \]Par intégration par parties :
\[ \int_1^e 9x^2\ln x\,dx = \left[3x^3\ln x\right]_1^e - \int_1^e 3x^3\cdot\frac1x\,dx. \]Le premier terme vaut :
\[ \left[3x^3\ln x\right]_1^e = 3e^3\ln e-3\cdot1^3\ln1. \]Comme \(\ln e=1\) et \(\ln1=0\), on obtient :
\[ \left[3x^3\ln x\right]_1^e=3e^3. \]Le deuxième terme est :
\[ \int_1^e 3x^2\,dx=[x^3]_1^e=e^3-1. \]Donc :
\[ \int_1^e 9x^2\ln x\,dx = 3e^3-(e^3-1). \]Finalement :
\[ 2e^3+1. \]Réponse correcte : D
Question 76
On demande l’écriture exponentielle du nombre complexe :
\[ -\sqrt3+i\sqrt3. \]
A) \(\sqrt6\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
B) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{3\pi}{4}}\)
C) \(\sqrt6\,e^{i\frac{\pi}{4}}\)
D) \(\sqrt6\,e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
E) \(\sqrt3\,e^{i\frac{3\pi}{4}}\)
Pour écrire un complexe \(z=x+iy\) sous forme exponentielle, on calcule son module puis on choisit l’argument en tenant compte du quadrant.
On considère :
\[ z=-\sqrt3+i\sqrt3. \]Son module est :
\[ |z|=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(\sqrt3)^2}. \] Donc : \[ |z|=\sqrt{3+3}=\sqrt6. \]La partie réelle est négative et la partie imaginaire est positive. Le point est donc dans le deuxième quadrant.
De plus :
\[ \tan\theta=\frac{\sqrt3}{-\sqrt3}=-1. \]L’angle du deuxième quadrant dont la tangente vaut \(-1\) est :
\[ \theta=\frac{3\pi}{4}. \]Donc :
\[ z=\sqrt6\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \]Réponse correcte : A
Question 77
On considère :
\[ Z=\frac1{\sqrt[3]{2}}(1+i\sqrt3). \]On demande la valeur de \(Z^9\).
A) \(-64i\)
B) \(64i\)
C) \(-64\)
D) \(64\)
E) \(-32\)
Pour calculer une grande puissance d’un complexe, on utilise la forme exponentielle : \[ (re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}. \]
On commence par écrire :
\[ 1+i\sqrt3=2e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Donc :
\[ Z=\frac1{\sqrt[3]{2}}(1+i\sqrt3) = \frac{2}{\sqrt[3]{2}}e^{i\frac{\pi}{3}}. \]Or :
\[ \frac{2}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2^1}{2^{1/3}} = 2^{2/3}. \] Donc : \[ Z=2^{2/3}e^{i\frac{\pi}{3}}. \]On élève à la puissance \(9\) :
\[ Z^9=\left(2^{2/3}\right)^9 e^{i9\frac{\pi}{3}}. \]On simplifie :
\[ \left(2^{2/3}\right)^9=2^6=64, \] et : \[ 9\cdot\frac{\pi}{3}=3\pi. \]Donc :
\[ Z^9=64e^{i3\pi}. \]Or :
\[ e^{i3\pi}=-1. \]Finalement :
\[ Z^9=-64. \]Réponse correcte : C
Question 78
Dans \(\mathbb C\), on considère :
\[ z^2-(2\sin\theta)z+2(1-\cos\theta)=0. \]On demande les solutions de cette équation.
A) \(-\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
B) \(\sin\theta+i(1-\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1-\cos\theta)\)
C) \(-\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(-\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
D) \(\sin\theta+i(1+\cos\theta)\) et \(\sin\theta-i(1+\cos\theta)\)
E) \(i\sin\theta+(1-\cos\theta)\) et \(-i\sin\theta+(1-\cos\theta)\)
Pour résoudre une équation du second degré dans \(\mathbb C\), on calcule le discriminant. Si le discriminant est négatif réel, ses racines carrées sont imaginaires pures.
L’équation est :
\[ z^2-(2\sin\theta)z+2(1-\cos\theta)=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-2\sin\theta)^2-4\cdot1\cdot2(1-\cos\theta). \] Donc : \[ \Delta=4\sin^2\theta-8(1-\cos\theta). \]On utilise :
\[ \sin^2\theta=(1-\cos\theta)(1+\cos\theta). \]Alors :
\[ \Delta = 4(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)-8(1-\cos\theta). \]On factorise :
\[ \Delta=4(1-\cos\theta)\left[(1+\cos\theta)-2\right]. \] Donc : \[ \Delta=4(1-\cos\theta)(\cos\theta-1). \]Comme \(\cos\theta-1=-(1-\cos\theta)\), on obtient :
\[ \Delta=-4(1-\cos\theta)^2. \]Une racine carrée de \(\Delta\) est :
\[ 2i(1-\cos\theta). \]Les solutions sont donc :
\[ z=\frac{2\sin\theta\pm2i(1-\cos\theta)}2. \]Finalement :
\[ z=\sin\theta\pm i(1-\cos\theta). \]Réponse correcte : B
Question 79
Soit \(P(3-i)\) le centre de l’homothétie \(h\) qui transforme \(A(5-2i)\) en \(B(-5+3i)\).
On demande le rapport de l’homothétie \(h\).
A) \(-4\)
B) \(4\)
C) \(-5\)
D) \(5\)
E) \(3\)
Pour une homothétie de centre \(P\) et de rapport \(k\), si \(A\) a pour image \(B\), alors : \[ b-p=k(a-p). \]
Le centre \(P\) a pour affixe :
\[ p=3-i. \]Les affixes de \(A\) et \(B\) sont :
\[ a=5-2i, \qquad b=-5+3i. \]Pour une homothétie de centre \(P\), on a :
\[ b-p=k(a-p). \]Calculons :
\[ a-p=(5-2i)-(3-i)=2-i. \]Et :
\[ b-p=(-5+3i)-(3-i)=-8+4i. \]On remarque que :
\[ -8+4i=-4(2-i). \] Donc : \[ b-p=-4(a-p). \]Ainsi, le rapport de l’homothétie est :
\[ k=-4. \]Réponse correcte : A
Question 80
Soit \(R\) la rotation de centre \(\Omega(q)\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).
Si l’image par \(R\) du point \(A(-1+6i)\) est \(B(1+2i)\), on demande \(q\).
A) \(-1+2i\)
B) \(4i\)
C) \(2+5i\)
D) \(-2+5i\)
E) \(-2+3i\)
Pour une rotation de centre \(\Omega(q)\) et d’angle \(\theta\), si \(A(a)\) a pour image \(B(b)\), alors : \[ b-q=e^{i\theta}(a-q). \]
Ici, l’angle est :
\[ \theta=-\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ e^{i\theta}=e^{-i\frac{\pi}{2}}=-i. \]La relation de rotation est alors :
\[ b-q=-i(a-q). \]On développe :
\[ b-q=-ia+iq. \]On regroupe les termes en \(q\) :
\[ b+ia=q+iq. \] Donc : \[ b+ia=(1+i)q. \]Les affixes sont :
\[ a=-1+6i, \qquad b=1+2i. \]On calcule :
\[ ia=i(-1+6i)=-i+6i^2=-i-6. \]Donc :
\[ b+ia=(1+2i)+(-6-i)=-5+i. \]Ainsi :
\[ (1+i)q=-5+i. \] Donc : \[ q=\frac{-5+i}{1+i}. \]On multiplie par le conjugué \(1-i\) :
\[ q=\frac{(-5+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}. \]Le dénominateur vaut :
\[ (1+i)(1-i)=2. \]Le numérateur vaut :
\[ (-5+i)(1-i)=-5+5i+i-i^2=-4+6i. \]Donc :
\[ q=\frac{-4+6i}{2}=-2+3i. \]Réponse correcte : E
Conseil aux élèves
Les questions de concours demandent surtout de reconnaître les formes classiques : suites arithmétiques et géométriques, équations exponentielles, logarithmes, limites usuelles, tangentes, primitives, intégration par parties, nombres complexes sous forme exponentielle, rotations et homothéties. L’objectif n’est pas d’écrire une longue rédaction, mais de trouver rapidement la bonne idée et de contrôler le calcul.
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