Concours Médecine Rabat 2019 — Énoncé de mathématiques

Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie.

Jeudi 18 juillet 2019 — Durée : 30 minutes — Matière : Mathématiques.

Archive Rabat / FMP Rabat 2019 — questions de type QSM.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine, organisé par l’Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie, le jeudi 18 juillet 2019.

Le sujet contient des questions de type QSM : selon la question, une ou plusieurs réponses peuvent être exactes.

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Remarque importante : ce sujet est classé comme 2019 — Rabat / FMP Rabat. Il ne doit pas être présenté comme un concours commun national, sauf preuve officielle contraire. Les concours communs nationaux concernent les années suivantes.

Consignes

Durée indiquée dans l’archive : 30 minutes.
Matière : Mathématiques.
Questions de type QSM.
Selon la question, une ou plusieurs réponses peuvent être exactes.

Énoncé

Exercice 1 — Suites numériques

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=2 \]

et :

\[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2u_n-1} \]

pour tout \(n\in\mathbb N\).

On pose :

\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \]

et :

\[ w_n=\ln(v_n). \]

Question 1

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\gt1\)
B) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\lt2\)
C) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=w_n+2\)
D) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=2w_n\)

Question 2

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(w_n=\ln(2)\times 2^n\)
B) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^{n+1}\)
C) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^n\)
D) \(w_n=-\ln(2)\times 2^n\)

Question 3

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(v_n=2\left(\frac12\right)^{2^n}\)
B) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2n}\)
C) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2^n}\)
D) \(v_n=\left(\frac12\right)^n\)

Question 4

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln\left(\frac12\right)\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln2\)

Exercice 2 — Nombres complexes

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation :

\[ z^2+4z+16=0 \]

dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\), telles que :

\[ \operatorname{Im}(z_1)\gt0. \]

Question 5

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(z_1=4e^{\frac{2i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}\)
B) \(z_1=4e^{\frac{i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{i\pi}{3}}\)
C) \(z_1=2+2i\sqrt3\) et \(z_2=2-2i\sqrt3\)
D) \(z_1=-2+2i\sqrt3\) et \(z_2=-2-2i\sqrt3\)

Question 6

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \pi\ [2\pi]\)
B) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
C) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=1\)
D) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=4\)

Exercice 3 — Probabilités

On considère une expérience aléatoire ayant \(4\) issues possibles notées :

\[ \omega_1,\ \omega_2,\ \omega_3,\ \omega_4 \]

de probabilités respectives :

\[ p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4. \]

On suppose que \(p_1,\ p_2,\ p_3\) et \(p_4\) constituent dans cet ordre les termes d’une suite arithmétique de raison :

\[ \frac19. \]

Question 7

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(p_4=\frac{5}{12}\)
B) \(p_3=\frac16\)
C) \(p_2=\frac13\)
D) \(p_1=\frac{1}{12}\)

Exercice 4 — Étude de fonction

Soit \(g\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=x-\frac{\ln x}{x^2}. \]

Soit \((C_g)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\), et soit \((\Delta)\) la droite d’équation :

\[ y=x. \]

Question 8

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g'(x)\geq0\)
B) \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ g'(x)\leq0\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\leq0\)
D) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\geq0\)

Question 9

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \((\Delta)\) coupe \((C_g)\) au point d’abscisse \(1\)
B) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g(x)\geq x\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g(x)\leq x\)
D) \((\Delta)\) est une asymptote oblique de \((C_g)\)

Question 10

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-3}{2}\)
B) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{3-\ln2}{2}\)
C) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-1}{2}\)
D) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{1-\ln2}{2}\)

Conseil de travail

Ce sujet est structuré en exercices : suites numériques, nombres complexes, probabilités et étude de fonction. Pour un QSM, il faut vérifier chaque proposition séparément, car plusieurs réponses peuvent être exactes.

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