Concours Médecine Rabat 2019 — Énoncé de mathématiques

Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie.

Jeudi 18 juillet 2019 — Durée : 30 minutes — Matière : Mathématiques.

Archive Rabat / FMP Rabat 2019 — questions de type QSM.

Compétences et points clés

Rabat Médecine 2019 contient des QSM liés à des suites, des nombres complexes et des intégrales logarithmiques. La présence de plusieurs propositions exactes impose de justifier chacune : la validation d’une première affirmation n’arrête pas la recherche.

Prérequis à revoir : raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; primitives, produit de fonctions et valeurs aux bornes.

Rappels de cours utiles

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Intégration par parties. L’intégration par parties s’emploie pour deux fonctions de classe C1 sur le segment considéré. Choisir le facteur que l’on dérive pour simplifier l’intégrale restante, puis conserver le terme évalué aux deux bornes. Une vérification par dérivation permet de contrôler les primitives proposées.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour les suites, recopier les définitions communes puis étudier la transformation auxiliaire avant les expressions en fonction du rang. Pour le quotient complexe, distinguer argument et argument de sa puissance. Dans l’intégrale finale, une intégration par parties doit être contrôlée sur les deux bornes, sans s’appuyer uniquement sur la forme des choix.

Cette page propose l’énoncé de mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine, organisé par l’Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie, le jeudi 18 juillet 2019.

Le sujet contient des questions de type QSM : selon la question, une ou plusieurs réponses peuvent être exactes.

Guide Concours Médecine Page Concours

Remarque importante : ce sujet est classé comme 2019 — Rabat / FMP Rabat. Il ne doit pas être présenté comme un concours commun national, sauf preuve officielle contraire. Les concours communs nationaux concernent les années suivantes.

Consignes

Durée indiquée dans l’archive : 30 minutes.
Matière : Mathématiques.
Questions de type QSM.
Selon la question, une ou plusieurs réponses peuvent être exactes.

Énoncé

Exercice 1 — Suites numériques

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=2 \]

et :

\[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2u_n-1} \]

pour tout \(n\in\mathbb N\).

On pose :

\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \]

et :

\[ w_n=\ln(v_n). \]

Question 1

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\gt1\)
B) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\lt2\)
C) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=w_n+2\)
D) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=2w_n\)

Question 2

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(w_n=\ln(2)\times 2^n\)
B) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^{n+1}\)
C) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^n\)
D) \(w_n=-\ln(2)\times 2^n\)

Question 3

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(v_n=2\left(\frac12\right)^{2^n}\)
B) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2n}\)
C) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2^n}\)
D) \(v_n=\left(\frac12\right)^n\)

Question 4

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln\left(\frac12\right)\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln2\)

Exercice 2 — Nombres complexes

Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de l’équation :

\[ z^2+4z+16=0 \]

dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\), telles que :

\[ \operatorname{Im}(z_1)\gt0. \]

Question 5

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(z_1=4e^{\frac{2i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}\)
B) \(z_1=4e^{\frac{i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{i\pi}{3}}\)
C) \(z_1=2+2i\sqrt3\) et \(z_2=2-2i\sqrt3\)
D) \(z_1=-2+2i\sqrt3\) et \(z_2=-2-2i\sqrt3\)

Question 6

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \pi\ [2\pi]\)
B) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
C) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=1\)
D) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=4\)

Exercice 3 — Probabilités

On considère une expérience aléatoire ayant \(4\) issues possibles notées :

\[ \omega_1,\ \omega_2,\ \omega_3,\ \omega_4 \]

de probabilités respectives :

\[ p_1,\ p_2,\ p_3,\ p_4. \]

On suppose que \(p_1,\ p_2,\ p_3\) et \(p_4\) constituent dans cet ordre les termes d’une suite arithmétique de raison :

\[ \frac19. \]

Question 7

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(p_4=\frac{5}{12}\)
B) \(p_3=\frac16\)
C) \(p_2=\frac13\)
D) \(p_1=\frac{1}{12}\)

Exercice 4 — Étude de fonction

Soit \(g\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=x-\frac{\ln x}{x^2}. \]

Soit \((C_g)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\), et soit \((\Delta)\) la droite d’équation :

\[ y=x. \]

Question 8

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g'(x)\geq0\)
B) \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ g'(x)\leq0\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\leq0\)
D) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\geq0\)

Question 9

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \((\Delta)\) coupe \((C_g)\) au point d’abscisse \(1\)
B) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g(x)\geq x\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g(x)\leq x\)
D) \((\Delta)\) est une asymptote oblique de \((C_g)\)

Question 10

Cocher la ou les réponses exactes.

A) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-3}{2}\)
B) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{3-\ln2}{2}\)
C) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-1}{2}\)
D) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{1-\ln2}{2}\)

Conseil de travail

Ce sujet est structuré en exercices : suites numériques, nombres complexes, probabilités et étude de fonction. Pour un QSM, il faut vérifier chaque proposition séparément, car plusieurs réponses peuvent être exactes.

MATHS PARCOURS MAROC

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