Correction — Concours Médecine Rabat 2019 — Mathématiques
Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie.
Jeudi 18 juillet 2019 — Durée : 30 minutes — Questions à réponses multiples.
Concours Médecine Rabat 2019 — correction détaillée.
Chaque question est rappelée puis corrigée avec une justification claire et directement utile à l’élève.
Cette correction met en avant l’idée mathématique principale, les calculs nécessaires et les justifications à retenir.
Tableau final des réponses
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponses exactes | A, D | C, D | C | A | A, D | B, C | A, D | A, C | A, D | D |
Correction détaillée des questions
Question 1
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_0=2,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2u_n-1}. \]On pose :
\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n},\qquad w_n=\ln(v_n). \]On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\gt1\)
B) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ u_n\lt2\)
C) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=w_n+2\)
D) \((\forall n\in\mathbb N)\ ;\ w_{n+1}=2w_n\)
Le changement de variable \[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n} \] sert à simplifier la relation de récurrence. Le but est de transformer une relation compliquée sur \(u_n\) en relation simple sur \(v_n\).
On commence par calculer \(v_{n+1}\) :
\[ v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}. \]Or :
\[ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2u_n-1}. \]Donc :
\[ u_{n+1}-1 = \frac{u_n^2}{2u_n-1}-1 = \frac{u_n^2-(2u_n-1)}{2u_n-1}. \]Le numérateur se factorise :
\[ u_n^2-2u_n+1=(u_n-1)^2. \] Donc : \[ u_{n+1}-1=\frac{(u_n-1)^2}{2u_n-1}. \]Alors :
\[ v_{n+1} = \frac{\frac{(u_n-1)^2}{2u_n-1}}{\frac{u_n^2}{2u_n-1}} = \frac{(u_n-1)^2}{u_n^2} = \left(\frac{u_n-1}{u_n}\right)^2. \] Donc : \[ v_{n+1}=v_n^2. \]Au départ :
\[ v_0=\frac{u_0-1}{u_0}=\frac12. \]Comme \(0\lt v_0\lt1\), et comme \(v_{n+1}=v_n^2\), on obtient par récurrence :
\[ 0\lt v_n\lt1. \]Or :
\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n}=1-\frac1{u_n}. \] Donc : \[ u_n=\frac1{1-v_n}. \]Comme \(0\lt v_n\lt1\), on a \(0\lt1-v_n\lt1\), donc :
\[ u_n\gt1. \]La proposition A est donc vraie.
La proposition B est fausse, car :
\[ u_0=2. \]Enfin :
\[ w_{n+1}=\ln(v_{n+1})=\ln(v_n^2)=2\ln(v_n)=2w_n. \]La proposition D est vraie, et la proposition C est fausse.
Réponses exactes : A et D
Question 2
Avec les notations précédentes, on demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(w_n=\ln(2)\times 2^n\)
B) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^{n+1}\)
C) \(w_n=\ln\left(\frac12\right)\times 2^n\)
D) \(w_n=-\ln(2)\times 2^n\)
Une suite vérifiant \[ w_{n+1}=qw_n \] est géométrique de raison \(q\). On a alors : \[ w_n=w_0q^n. \]
D’après la question précédente :
\[ w_{n+1}=2w_n. \]Donc \((w_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).
Son premier terme est :
\[ w_0=\ln(v_0)=\ln\left(\frac12\right). \]La formule générale donne :
\[ w_n=w_0\cdot2^n=\ln\left(\frac12\right)2^n. \]Or :
\[ \ln\left(\frac12\right)=\ln1-\ln2=-\ln2. \]Ainsi :
\[ w_n=-\ln(2)\,2^n. \]Les propositions C et D sont donc deux écritures correctes du même résultat.
Réponses exactes : C et D
Question 3
Avec les notations précédentes, on demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(v_n=2\left(\frac12\right)^{2^n}\)
B) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2n}\)
C) \(v_n=\left(\frac12\right)^{2^n}\)
D) \(v_n=\left(\frac12\right)^n\)
Pour passer de \(\ln(v_n)\) à \(v_n\), on utilise l’exponentielle : \[ \ln(v_n)=A \quad\Longleftrightarrow\quad v_n=e^A. \]
On sait que :
\[ w_n=\ln(v_n). \]D’après la question précédente :
\[ w_n=\ln\left(\frac12\right)2^n. \] Donc : \[ \ln(v_n)=2^n\ln\left(\frac12\right). \]On utilise :
\[ a\ln b=\ln(b^a). \]Ainsi :
\[ \ln(v_n)=\ln\left(\left(\frac12\right)^{2^n}\right). \]Comme la fonction logarithme est injective :
\[ v_n=\left(\frac12\right)^{2^n}. \]Réponse exacte : C
Question 4
Avec les notations précédentes, on demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln\left(\frac12\right)\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ln2\)
Une fois \(v_n\) connu, on revient à \(u_n\) avec : \[ v_n=1-\frac1{u_n} \quad\Longrightarrow\quad u_n=\frac1{1-v_n}. \]
D’après la question précédente :
\[ v_n=\left(\frac12\right)^{2^n}. \]Comme \(2^n\to+\infty\), on a :
\[ v_n\to0. \]Or :
\[ v_n=\frac{u_n-1}{u_n}=1-\frac1{u_n}. \]Donc :
\[ u_n=\frac1{1-v_n}. \]En passant à la limite :
\[ 1-v_n\to1. \] Donc : \[ u_n\to1. \]Réponse exacte : A
Question 5
Soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de :
\[ z^2+4z+16=0, \]avec \(\operatorname{Im}(z_1)\gt0\). On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(z_1=4e^{\frac{2i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}\)
B) \(z_1=4e^{\frac{i\pi}{3}}\) et \(z_2=4e^{-\frac{i\pi}{3}}\)
C) \(z_1=2+2i\sqrt3\) et \(z_2=2-2i\sqrt3\)
D) \(z_1=-2+2i\sqrt3\) et \(z_2=-2-2i\sqrt3\)
Pour résoudre une équation du second degré dans \(\mathbb C\), on calcule le discriminant. Ensuite, on peut écrire les solutions sous forme algébrique puis exponentielle.
L’équation est :
\[ z^2+4z+16=0. \]Le discriminant est :
\[ \Delta=4^2-4\cdot1\cdot16=16-64=-48. \]Donc :
\[ \sqrt{\Delta}=4i\sqrt3. \]Les solutions sont :
\[ z=\frac{-4\pm4i\sqrt3}{2}=-2\pm2i\sqrt3. \]Comme \(\operatorname{Im}(z_1)\gt0\), on prend :
\[ z_1=-2+2i\sqrt3,\qquad z_2=-2-2i\sqrt3. \]La proposition D est donc vraie.
Le module de \(z_1\) est :
\[ |z_1|=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4. \]Comme \(z_1\) est dans le deuxième quadrant et que :
\[ \cos\theta=-\frac12,\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}, \] on a : \[ \theta=\frac{2\pi}{3}. \]Donc :
\[ z_1=4e^{\frac{2i\pi}{3}},\qquad z_2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}. \]La proposition A est donc vraie aussi.
Réponses exactes : A et D
Question 6
Avec les solutions \(z_1\) et \(z_2\) de la question précédente, on demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \pi\ [2\pi]\)
B) \(\arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right)\equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
C) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=1\)
D) \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=4\)
Pour un quotient de nombres complexes sous forme exponentielle, on divise les modules et on soustrait les arguments.
D’après la question précédente :
\[ z_1=4e^{\frac{2i\pi}{3}}, \qquad z_2=4e^{-\frac{2i\pi}{3}}. \]Donc :
\[ \frac{z_1}{z_2} = e^{i\left(\frac{2\pi}{3}-\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)} = e^{\frac{4i\pi}{3}}. \]Ainsi :
\[ \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2 = e^{\frac{8i\pi}{3}}. \]Or :
\[ \frac{8\pi}{3}=2\pi+\frac{2\pi}{3}. \] Donc : \[ \arg\left(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^2\right) \equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]. \]La proposition B est vraie.
Pour le module :
\[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac44=1. \] Donc : \[ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|^2=1. \]La proposition C est vraie.
Réponses exactes : B et C
Question 7
Les probabilités \(p_1,p_2,p_3,p_4\) forment, dans cet ordre, une suite arithmétique de raison \(\frac19\). On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(p_4=\frac{5}{12}\)
B) \(p_3=\frac16\)
C) \(p_2=\frac13\)
D) \(p_1=\frac{1}{12}\)
La somme de toutes les probabilités d’un univers fini vaut \(1\). Ici, les probabilités forment une suite arithmétique : \[ p_1,\quad p_1+r,\quad p_1+2r,\quad p_1+3r. \]
La raison est :
\[ r=\frac19. \]Donc :
\[ p_2=p_1+\frac19,\quad p_3=p_1+\frac29,\quad p_4=p_1+\frac39. \]Comme ce sont les probabilités des quatre issues :
\[ p_1+p_2+p_3+p_4=1. \]En remplaçant :
\[ p_1+\left(p_1+\frac19\right) +\left(p_1+\frac29\right) +\left(p_1+\frac39\right)=1. \]Donc :
\[ 4p_1+\frac{1+2+3}{9}=1. \] Ainsi : \[ 4p_1+\frac23=1. \]On obtient :
\[ 4p_1=\frac13,\qquad p_1=\frac1{12}. \]La proposition D est vraie.
Ensuite :
\[ p_4=p_1+\frac13=\frac1{12}+\frac4{12}=\frac5{12}. \]La proposition A est vraie.
Réponses exactes : A et D
Question 8
On considère la fonction :
\[ g(x)=x-\frac{\ln x}{x^2},\qquad x\in]0,+\infty[. \]On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g'(x)\geq0\)
B) \(\forall x\in]0,+\infty[\ ;\ g'(x)\leq0\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\leq0\)
D) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g'(x)\geq0\)
Pour étudier le signe d’une dérivée compliquée, on la met sous la forme : \[ g'(x)=\frac{h(x)}{x^3}. \] Comme \(x^3\gt0\) sur \(]0,+\infty[\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(h(x)\).
La fonction est :
\[ g(x)=x-\frac{\ln x}{x^2}. \]On dérive :
\[ \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' = \left(\ln x\cdot x^{-2}\right)' = \frac1x x^{-2}+\ln x(-2x^{-3}). \] Donc : \[ \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)'=\frac{1-2\ln x}{x^3}. \]Ainsi :
\[ g'(x)=1-\frac{1-2\ln x}{x^3} = \frac{x^3-1+2\ln x}{x^3}. \]Posons :
\[ h(x)=x^3-1+2\ln x. \]Alors :
\[ h'(x)=3x^2+\frac2x. \]Sur \(]0,+\infty[\), on a :
\[ h'(x)\gt0. \] Donc \(h\) est strictement croissante.De plus :
\[ h(1)=1-1+2\ln1=0. \]Donc :
\[ h(x)\le0\quad\text{sur } ]0,1], \qquad h(x)\ge0\quad\text{sur } [1,+\infty[. \]Comme \(x^3\gt0\), on obtient :
\[ g'(x)\le0\quad\text{sur } ]0,1], \qquad g'(x)\ge0\quad\text{sur } [1,+\infty[. \]Les propositions A et C sont vraies.
Réponses exactes : A et C
Question 9
On considère la courbe \((C_g)\) de la fonction :
\[ g(x)=x-\frac{\ln x}{x^2}, \]et la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\). On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \((\Delta)\) coupe \((C_g)\) au point d’abscisse \(1\)
B) \(\forall x\in[1,+\infty[\ ;\ g(x)\geq x\)
C) \(\forall x\in]0,1]\ ;\ g(x)\leq x\)
D) \((\Delta)\) est une asymptote oblique de \((C_g)\)
Pour comparer une courbe à la droite \(y=x\), on étudie : \[ g(x)-x. \] Pour vérifier une asymptote \(y=x\), on étudie : \[ \lim_{x\to+\infty}\bigl(g(x)-x\bigr). \]
On compare \(g(x)\) avec \(x\) :
\[ g(x)-x=-\frac{\ln x}{x^2}. \]Pour \(x=1\), on a :
\[ g(1)-1=0. \] Donc : \[ g(1)=1. \]La droite \((\Delta)\) coupe donc \((C_g)\) au point d’abscisse \(1\). La proposition A est vraie.
Pour \(x\ge1\), \(\ln x\ge0\), donc :
\[ g(x)-x\le0. \] Ainsi \(g(x)\le x\), donc la proposition B est fausse.Pour \(0\lt x\le1\), \(\ln x\le0\), donc :
\[ g(x)-x\ge0. \] Ainsi \(g(x)\ge x\), donc la proposition C est fausse.Enfin :
\[ g(x)-x=-\frac{\ln x}{x^2}\to0 \quad (x\to+\infty). \]Donc la droite \(y=x\) est une asymptote oblique de \((C_g)\) au voisinage de \(+\infty\). La proposition D est vraie.
Réponses exactes : A et D
Question 10
On demande de calculer :
\[ \int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx. \]On demande de cocher la ou les réponses exactes :
A) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-3}{2}\)
B) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{3-\ln2}{2}\)
C) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{\ln2-1}{2}\)
D) \(\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx=\frac{1-\ln2}{2}\)
Dans une intégrale contenant \(\ln x\), on choisit souvent : \[ u=\ln x \] dans l’intégration par parties.
On pose :
\[ I=\int_1^2\frac{\ln x}{x^2}\,dx. \]On fait une intégration par parties avec :
\[ u=\ln x,\qquad v'=\frac1{x^2}. \]Alors :
\[ u'=\frac1x,\qquad v=-\frac1x. \]La formule :
\[ \int u v'=uv-\int u'v \] donne : \[ I= \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^2 - \int_1^2 \frac1x\left(-\frac1x\right)\,dx. \]Donc :
\[ I= \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^2 + \int_1^2\frac1{x^2}\,dx. \]Le premier terme vaut :
\[ \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^2 = -\frac{\ln2}{2}. \]Le deuxième terme vaut :
\[ \int_1^2\frac1{x^2}\,dx = \left[-\frac1x\right]_1^2 = -\frac12+1=\frac12. \]Finalement :
\[ I=-\frac{\ln2}{2}+\frac12 = \frac{1-\ln2}{2}. \]Réponse exacte : D
Conseil aux élèves
Dans ce sujet, plusieurs questions demandent de cocher plusieurs réponses exactes. Il faut donc vérifier chaque proposition séparément, surtout lorsque deux écritures différentes donnent le même résultat.
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