Correction examen blanc 1 — Exercice 2 — Nombres complexes — 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction examen blanc 1 — Exercice 2

Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Type : Examen blanc
Exercice : 2
Thème : Nombres complexes, cercle trigonométrique et rotations

Remarque importante :
Cette page contient une correction pédagogique personnelle. L’objectif est de présenter les méthodes de résolution dans un style clair et conforme au niveau 2e Bac Sciences Mathématiques.

Accès rapide :
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On définit, pour tout \(t\in\mathbb R\),

\[ z_t=\frac{1+it}{1-it} \]

1)

Pour tout \(t\in\mathbb R\), on a :

\[ 1-it\neq0 \]

En effet, si \(1-it=0\), alors la partie réelle serait nulle, ce qui donne \(1=0\), impossible.

On a :

\[ z_t = \frac{1+it}{1-it} = \frac{(1+it)(1+it)}{(1-it)(1+it)} = \frac{(1+it)^2}{1+t^2} \]

Donc :

\[ z_t = \frac{1-t^2+2it}{1+t^2} \]

\[ \boxed{ z_t=\frac{1-t^2}{1+t^2}+i\frac{2t}{1+t^2} } \]

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2)

\[ |z_t| = \left|\frac{1+it}{1-it}\right| = \frac{|1+it|}{|1-it|} \]

Or :

\[ |1+it|=\sqrt{1+t^2} \quad\text{et}\quad |1-it|=\sqrt{1+t^2} \]

Donc :

\[ \boxed{|z_t|=1} \]

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3)

Supposons que \(z_t=-1\). Alors :

\[ \frac{1+it}{1-it}=-1 \]

Donc :

\[ 1+it=-(1-it) \]

C’est-à-dire :

\[ 1+it=-1+it \]

D’où :

\[ 1=-1 \]

ce qui est impossible.

\[ \boxed{z_t\neq -1} \]

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4)

D’après les questions précédentes :

\[ |z_t|=1 \quad\text{et}\quad z_t\neq -1 \]

\[ \boxed{ M_t \text{ appartient au cercle trigonométrique privé du point d’affixe } -1 } \]

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5)

D’après la forme algébrique de \(z_t\), on obtient directement :

\[ \boxed{ \Re(z_t)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad\text{et}\quad \Im(z_t)=\frac{2t}{1+t^2} } \]

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6)

Soit \(z\in\mathbb C\) tel que :

\[ |z|=1 \quad\text{et}\quad z\neq -1 \]

On écrit :

\[ z=a+ib \]

avec \(a,b\in\mathbb R\). Comme \(z\neq -1\), on a :

\[ 1+a\neq0 \]

On pose :

\[ t=\frac{b}{1+a} \]

Comme \(|z|=1\), alors :

\[ a^2+b^2=1 \]

On calcule :

\[ 1+t^2 = 1+\frac{b^2}{(1+a)^2} = \frac{(1+a)^2+b^2}{(1+a)^2} \]

Or :

\[ (1+a)^2+b^2 = 1+2a+a^2+b^2 = 2+2a = 2(1+a) \]

Donc :

\[ 1+t^2=\frac{2}{1+a} \]

On vérifie alors que :

\[ \frac{1-t^2}{1+t^2}=a \quad\text{et}\quad \frac{2t}{1+t^2}=b \]

Ainsi :

\[ z=z_t \]

Pour l’unicité, si \(z=z_t\), alors :

\[ t=\frac{\Im(z)}{1+\Re(z)} \]

\[ \boxed{ \forall z\in\mathbb C,\ |z|=1,\ z\neq -1, \quad \exists !\, t\in\mathbb R \text{ tel que } z=z_t } \]

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7)

D’après la question précédente, si \(z=z_t\), alors :

\[ \boxed{ t=\frac{\Im(z)}{1+\Re(z)} } \]

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8)

On calcule :

\[ z_0=\frac{1}{1}=1 \] \[ z_1=\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{2i}{2} =i \] \[ z_{-1} = \frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)^2}{2} = \frac{-2i}{2} =-i \]

\[ \boxed{ z_0=1,\quad z_1=i,\quad z_{-1}=-i } \]

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9)

Soient \(a,b\in\mathbb R\) tels que \(ab\neq1\). On a :

\[ z_a z_b = \frac{1+ia}{1-ia}\cdot \frac{1+ib}{1-ib} \] \[ = \frac{(1+ia)(1+ib)}{(1-ia)(1-ib)} \]

Donc :

\[ z_a z_b = \frac{1+i(a+b)-ab}{1-i(a+b)-ab} \]

Comme \(ab\neq1\), on a \(1-ab\neq0\). Alors :

\[ z_a z_b = \frac{1-ab+i(a+b)}{1-ab-i(a+b)} \] \[ = \frac{1+i\dfrac{a+b}{1-ab}} {1-i\dfrac{a+b}{1-ab}} \]

\[ \boxed{ z_a z_b = z_{\frac{a+b}{1-ab}} } \]

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10)

On pose :

\[ aTb=\frac{a+b}{1-ab} \]

D’après la question précédente :

\[ \boxed{ z_{aTb}=z_a z_b } \]

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11)

Comme :

\[ |z_a|=1 \]

la multiplication par \(z_a\) conserve les distances à l’origine et correspond à une rotation de centre \(O\).

\[ \boxed{ \text{La multiplication par } z_a \text{ est une rotation de centre } O } \]

Un angle de cette rotation est un argument de \(z_a\).

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12)

On résout :

\[ z^3=i \]

Or :

\[ i=e^{i\left(\frac\pi2+2k\pi\right)} \]

Donc :

\[ z=e^{i\left(\frac\pi6+\frac{2k\pi}{3}\right)} \]

avec \(k\in\{0,1,2\}\). Ainsi :

\[ \boxed{ z\in \left\{ e^{i\frac\pi6}, e^{i\frac{5\pi}6}, e^{i\frac{3\pi}2} \right\} } \]

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13)

On cherche les réels \(t\) tels que :

\[ z_t^3=i \]

D’après la question précédente, les arguments possibles de \(z_t\) sont :

\[ \frac\pi6,\qquad \frac{5\pi}6,\qquad \frac{3\pi}2 \]

Or, si \(z=e^{i\theta}\neq -1\), alors d’après la question 7 :

\[ t=\frac{\Im(z)}{1+\Re(z)} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \tan\left(\frac\theta2\right) \]

Donc :

\[ t\in \left\{ \tan\frac\pi{12}, \tan\frac{5\pi}{12}, \tan\frac{3\pi}{4} \right\} \]

Or :

\[ \tan\frac\pi{12}=2-\sqrt3 \] \[ \tan\frac{5\pi}{12}=2+\sqrt3 \] \[ \tan\frac{3\pi}{4}=-1 \]

\[ \boxed{ t\in \left\{ 2-\sqrt3,\; 2+\sqrt3,\; -1 \right\} } \]

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14)

Pour \(a,b\in\mathbb R\) tels que \(ab\neq1\), on a :

\[ z_a z_b=z_{aTb} \]

Donc la composée des rotations de centre \(O\) associées à \(z_a\) et \(z_b\) est la rotation de centre \(O\) associée à \(z_{aTb}\).

\[ \boxed{ R_a\circ R_b=R_{aTb} } \]

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15)

Pour que \(R_t\) soit la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi2\), il faut que :

\[ z_t=i \]

Or :

\[ z_1=i \]

\[ \boxed{t=1} \]

Remarque pédagogique.
Le point essentiel de cet exercice est la paramétrisation du cercle trigonométrique privé du point \(-1\) par \[ z_t=\frac{1+it}{1-it} \] Cette écriture permet de transformer la multiplication des complexes de module \(1\) en une loi sur les paramètres réels : \[ aTb=\frac{a+b}{1-ab} \] Elle relie donc calcul algébrique, géométrie du cercle et rotations.