Correction détaillée — Examen national 2024
Session ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques A/B — Option française
Cette page propose une correction détaillée de l’examen national 2024, session ordinaire, destiné aux élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques A/B. La correction est organisée exercice par exercice, avec une rédaction progressive et adaptée à la préparation de l’examen national.
L’objectif est d’aider l’élève à comprendre les méthodes utilisées, à repérer les résultats du cours qui interviennent dans chaque question, et à améliorer sa rédaction mathématique. Les calculs, les limites, les raisonnements de congruence, les transformations complexes et les structures algébriques sont présentés de manière détaillée afin de faciliter le travail autonome.
Avant de lire la correction, il est recommandé de traiter le sujet dans les conditions de l’examen, puis de comparer la rédaction obtenue avec la correction détaillée. Les questions difficiles peuvent être reprises séparément après une première lecture.
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- Exercice 1 : étude d’une fonction, limites, dérivabilité, intégrales et suite.
- Exercice 2 : fonction définie par une intégrale, bijection et sommes de Riemann.
- Exercice 3 : nombres complexes, équations, géométrie complexe et lieu géométrique.
- Exercice 4 : loi de composition interne, groupe et sous-groupe.
- Exercice 5 : arithmétique, théorème de Fermat, divisibilité et congruence.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 — Analyse — 7,5 points
Question. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(1\).
Données. \(f(1)=\dfrac12\) et, pour \(x\gt 1\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2-1}\).
Correction.
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac1{x+1} = 1\cdot\frac12=\frac12 \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1) \]Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\), puis interpréter graphiquement.
Données. \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2-1}\), pour \(x\gt 1\).
Correction.
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2-1}=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]Question. Vérifier l’égalité avec \(t=(x-1)^2\).
Données. \(x\gt 1\), donc \(\sqrt t=x-1\).
Correction.
\[ x=1+\sqrt t,\qquad (x-1)^2=t \] et : \[ 1-x+\ln x=-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t) \] Donc : \[ \frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2} = \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \]Question. Montrer l’encadrement demandé.
Données. \(t\gt 0\). Posons \(s=\sqrt t\), donc \(s\gt 0\) et \(t=s^2\).
Correction.
Pour \(0\leq u\leq s\) : \[ \frac{u}{1+s}\leq\frac{u}{1+u}\leq u \] Donc : \[ \frac{s^2}{2(1+s)} \leq \int_0^s\frac{u}{1+u}\,du \leq \frac{s^2}{2} \] Or : \[ \int_0^s\frac{u}{1+u}\,du = \int_0^s\left(1-\frac1{1+u}\right)\,du = s-\ln(1+s) \] Ainsi : \[ \frac{s^2}{2(1+s)}\lt s-\ln(1+s)\lt \frac{s^2}{2} \] Donc : \[ -\frac{s^2}{2}\lt -s+\ln(1+s)\lt -\frac{s^2}{2(1+s)} \] Comme \(s^2=t\), on obtient : \[ -\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)} \]Question. Déduire la limite.
Données. L’encadrement de 3-b.
Correction.
Quand \(x\to1^+\), \(t=(x-1)^2\to0^+\). D’après 3-b : \[ -\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)} \] et : \[ \lim_{t\to0^+}-\frac{1}{2(1+\sqrt t)}=-\frac12 \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\frac12 \]Question. Montrer l’égalité donnée.
Données. \(x\gt 1\).
Correction.
\[ \frac{f(x)-\frac12}{x-1} = \frac{\frac{\ln x}{x^2-1}-\frac12}{x-1} = \frac{2\ln x-x^2+1}{2(x-1)^2(x+1)} \] D’autre part : \[ -\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac{1}{2(x+1)} +\frac{\ln x-x+1}{2(x-1)^2} \] \[ = \frac{-\ln x(x-1)+(\ln x-x+1)(x+1)} {2(x-1)^2(x+1)} \] \[ = \frac{2\ln x-x^2+1}{2(x-1)^2(x+1)} \] D’où l’égalité demandée.Question. Déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(1\), puis interpréter graphiquement.
Données. Résultats de 3-c et 4-a.
Correction.
\[ \lim_{x\to1^+} \left( -\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac{1}{2(x+1)} \right) =-\frac14 \] et : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x-x+1}{2(x-1)^2} = \frac12\left(-\frac12\right) = -\frac14 \] Donc : \[ f_d^{\prime}(1) = \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\frac12 \]Question. Montrer que \(0\leq I(x)\leq J(x)\).
Données. \(x\geq1\).
Correction.
Pour \(t\geq1\) : \[ t^2-1\geq0,\qquad t^3\geq t^2\gt 0 \] Donc : \[ 0\leq \frac{t^2-1}{t^3}\leq \frac{t^2-1}{t^2} \] Par intégration sur \([1,x]\) : \[ 0\leq I(x)\leq J(x) \]Question. Calculer \(I(x)\) et \(J(x)\).
Données. \(x\geq1\).
Correction.
\[ I(x)=\int_1^x\left(\frac1t-\frac1{t^3}\right)\,dt = \left[\ln t+\frac1{2t^2}\right]_1^x = \ln x-\frac{x^2-1}{2x^2} \] \[ J(x)=\int_1^x\left(1-\frac1{t^2}\right)\,dt = \left[t+\frac1t\right]_1^x = x+\frac1x-2 = \frac{(x-1)^2}{x} \]Question. Montrer la formule de \(f'(x)\).
Données. \(x\gt 1\).
Correction.
\[ f'(x) = \frac{\frac1x(x^2-1)-2x\ln x}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1-2x^2\ln x}{x(x^2-1)^2} \] D’après 5-b : \[ \frac{I(x)}{J(x)} = \frac{\ln x-\frac{x^2-1}{2x^2}}{\frac{(x-1)^2}{x}} = \frac{2x^2\ln x-x^2+1}{2x(x-1)^2} \] Donc : \[ -\frac2{(x+1)^2}\cdot\frac{I(x)}{J(x)} = \frac{x^2-1-2x^2\ln x}{x(x^2-1)^2} = f'(x) \]Question. Déduire que \(-\dfrac12\leq f'(x)\leq0\).
Données. \(0\leq I(x)\leq J(x)\), \(J(x)\gt 0\) pour \(x\gt 1\).
Correction.
\[ 0\leq\frac{I(x)}{J(x)}\leq1 \] et : \[ 0\lt \frac2{(x+1)^2}\leq\frac12 \] Donc : \[ -\frac12\leq -\frac2{(x+1)^2}\cdot\frac{I(x)}{J(x)}\leq0 \] Ainsi : \[ -\frac12\leq f'(x)\leq0 \]Question. Dresser le tableau de variations de \(f\).
Données. \(f'(x)\leq0\), \(f(1)=\dfrac12\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).
Correction.
\[ \begin{array}{c|ccc} x&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&-&\\ \hline f(x)&\frac12&\searrow&0 \end{array} \]Question. Tracer \((C)\).
Données. \(A\left(1,\dfrac12\right)\), \(f'_d(1)=-\dfrac12\), \(f\) décroissante, asymptote \(y=0\).
Correction.
La courbe \((C)\) passe par \(A\left(1,\dfrac12\right)\), admet en \(A\) une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(-\dfrac12\), est décroissante sur \([1,+\infty[\), reste au-dessus de l’axe des abscisses et admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).Question. Montrer que \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\).
Données. \(f\) continue et décroissante.
Correction.
Posons : \[ g(x)=f(x)-x+1 \] \[ g(1)=\frac12\gt 0 \qquad\text{et}\qquad g(2)=\frac{\ln2}{3}-1\lt 0 \] La fonction \(g\) est continue sur \([1,2]\). Donc l’équation \(g(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]1,2[\). Pour \(x\gt 1\) : \[ g'(x)=f'(x)-1\lt 0 \] Ainsi, \(g\) est strictement décroissante.Question. Montrer que \(|a_{n+1}-a|\leq\dfrac12|a_n-a|\).
Données. \(a_{n+1}=1+f(a_n)\) et \(a=1+f(a)\).
Correction.
\[ a_{n+1}-a=f(a_n)-f(a) \] Comme \(|f'(x)|\leq\dfrac12\) sur \(]1,+\infty[\), l’inégalité des accroissements finis donne : \[ |f(a_n)-f(a)|\leq\frac12|a_n-a| \] Donc : \[ |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a| \]Question. Montrer par récurrence que \(|a_n-a|\leq\left(\dfrac12\right)^n|a_0-a|\).
Données. Résultat de 8-a.
Correction.
Pour \(n=0\), la propriété est vraie. Supposons : \[ |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \] D’après 8-a : \[ |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a| \leq \left(\frac12\right)^{n+1}|a_0-a| \] Donc, par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \]Question. Déduire que \((a_n)\) est convergente.
Données. Résultat de 8-b.
Correction.
\[ 0\leq |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n|a_0-a|=0 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}a_n=a \]Exercice 2 — Analyse — 2,5 points
Question. Montrer que \(F\) est continue, strictement croissante sur \([0,1]\).
Données. \(F(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt\).
Correction.
La fonction \(t\mapsto e^{t^2}\) est continue sur \([0,1]\). Donc \(F\) est dérivable sur \([0,1]\) et : \[ F'(x)=e^{x^2}\gt 0 \] Ainsi, \(F\) est continue et strictement croissante sur \([0,1]\).Question. Déduire que \(F\) est une bijection de \([0,1]\) vers \([0,\beta]\).
Données. \(F(0)=0\) et \(F(1)=\beta\).
Correction.
Comme \(F\) est continue et strictement croissante sur \([0,1]\), elle réalise une bijection de \([0,1]\) vers : \[ [F(0),F(1)]=[0,\beta] \]Question. Montrer que \((S_n)\) est convergente et calculer sa limite.
Données. \(S_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\dfrac{k}{n}\beta\right)\).
Correction.
La fonction \(F^{-1}\) est continue sur \([0,\beta]\). Ainsi : \[ S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\beta\frac{k}{n}\right) \] est une somme de Riemann de la fonction \(x\mapsto F^{-1}(\beta x)\) sur \([0,1]\). Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1F^{-1}(\beta x)\,dx \] Avec \(t=\beta x\) : \[ \int_0^1F^{-1}(\beta x)\,dx = \frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt \] Donc : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt \]Question. Montrer que \(\ell=\dfrac1\beta\displaystyle\int_0^1ue^{u^2}\,du\).
Données. \(u=F^{-1}(t)\).
Correction.
\[ u=F^{-1}(t)\Longleftrightarrow t=F(u) \] Donc : \[ dt=F'(u)\,du=e^{u^2}\,du \] Les bornes deviennent : \[ t=0\Rightarrow u=0,\qquad t=\beta\Rightarrow u=1 \] Ainsi : \[ \int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt = \int_0^1ue^{u^2}\,du \] Donc : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^1ue^{u^2}\,du \]Question. Déduire que \(\ell=\dfrac{e-1}{2\beta}\).
Données. Résultat de 2-b.
Correction.
\[ \int_0^1ue^{u^2}\,du = \left[\frac12e^{u^2}\right]_0^1 = \frac{e-1}{2} \] Donc : \[ \ell=\frac{e-1}{2\beta} \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Question. Montrer que \(\Delta=-4(1+\alpha)\).
Données. \(z^2-2iz+\alpha=0\).
Correction.
\[ \Delta=(-2i)^2-4\alpha=-4-4\alpha=-4(1+\alpha) \]Question. Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles l’équation admet deux solutions distinctes.
Données. \(\Delta=-4(1+\alpha)\).
Correction.
\[ \Delta\ne0 \Longleftrightarrow -4(1+\alpha)\ne0 \Longleftrightarrow \alpha\ne-1 \] Donc : \[ \alpha\in\mathbb C-\{-1\} \]Question. Déterminer \(z_1+z_2\) et \(z_1z_2\).
Données. \(z_1,z_2\) sont les solutions.
Correction.
\[ z_1+z_2=2i,\qquad z_1z_2=\alpha \]Partie II
Question. Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) lorsque \(\alpha=m^2-2m\).
Données. \(m\in\mathbb R\).
Correction.
\[ 1+\alpha=1+m^2-2m=(m-1)^2 \] \[ \Delta=-4(m-1)^2=\big(2i(m-1)\big)^2 \] Donc : \[ z=\frac{2i\pm2i(m-1)}2 \] Ainsi : \[ z_1=im,\qquad z_2=i(2-m) \] à l’ordre près.Question. Déduire que \(O,M_1,M_2\) sont alignés.
Données. \(z_1=im\), \(z_2=i(2-m)\).
Correction.
Les affixes \(z_1\) et \(z_2\) sont imaginaires pures. Les points \(M_1\) et \(M_2\) appartiennent donc à l’axe des ordonnées, qui passe par \(O\).Question. Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est imaginaire pur si et seulement si \(\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0\).
Données. \(z_2\ne0\).
Correction.
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} \] Comme \(|z_2|^2\) est un réel strictement positif : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow z_1\overline{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 \]Question. Montrer l’égalité demandée.
Données. \(z_1,z_2\in\mathbb C\).
Correction.
\[ |z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) \] \[ = |z_1|^2+|z_2|^2-2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] et : \[ |z_1+z_2|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2+2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] Donc : \[ |z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \]Question. Déduire que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est imaginaire pur si et seulement si \(|z_1-z_2|=2\).
Données. \(z_1+z_2=2i\).
Correction.
\[ |z_1+z_2|=|2i|=2 \] D’après 2-b : \[ |z_1-z_2|^2=4-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] Donc : \[ \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 \Longleftrightarrow |z_1-z_2|^2=4 \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \] D’après 2-a : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \]Question. Montrer que \((z_1-z_2)^2=\Delta\).
Données. \(z_1+z_2=2i\), \(z_1z_2=\alpha\).
Correction.
\[ (z_1-z_2)^2=(z_1+z_2)^2-4z_1z_2 =(2i)^2-4\alpha =-4(1+\alpha)=\Delta \]Question. Déterminer \(\Gamma\) pour que le triangle \(OM_1M_2\) soit rectangle en \(O\).
Données. \(\Omega\) a pour affixe \(\alpha\).
Correction.
Le triangle \(OM_1M_2\) est rectangle en \(O\) si et seulement si : \[ (OM_1)\perp(OM_2) \Longleftrightarrow \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \] D’après 2-c : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \] Donc : \[ |(z_1-z_2)^2|=4 \] D’après 3-a : \[ |\Delta|=4 \] Or : \[ \Delta=-4(1+\alpha) \] Donc : \[ |1+\alpha|=1 \] De plus, \(\alpha\ne0\) pour éviter un triangle dégénéré puisque \(z_1z_2=\alpha\).Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points
Question. Vérifier puis calculer.
Données. \((a,b)T(c,d)=(a\overline d+c,bd)\).
Correction.
\[ (i,2)T(1,i)=(i\overline i+1,2i)=(i(-i)+1,2i)=(2,2i) \] \[ (1,i)T(i,2)=(1\overline2+i,2i)=(2+i,2i) \]Question. Déduire que \(T\) n’est pas commutative.
Données. Résultat de 1-a.
Correction.
\[ (i,2)T(1,i)=(2,2i) \qquad\text{et}\qquad (1,i)T(i,2)=(2+i,2i) \] Ces deux résultats sont différents. Donc \(T\) n’est pas commutative.Question. Montrer que \(T\) est associative.
Données. \((a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).
Correction.
\[ \big((a,b)T(c,d)\big)T(e,f) = (a\overline d+c,bd)T(e,f) \] \[ = ((a\overline d+c)\overline f+e,bdf) = (a\overline d\,\overline f+c\overline f+e,bdf) \] D’autre part : \[ (a,b)T\big((c,d)T(e,f)\big) = (a,b)T(c\overline f+e,df) \] \[ = (a\overline{df}+c\overline f+e,bdf) = (a\overline d\,\overline f+c\overline f+e,bdf) \] Donc : \[ \big((a,b)T(c,d)\big)T(e,f) = (a,b)T\big((c,d)T(e,f)\big) \] Ainsi, \(T\) est associative.Question. Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre.
Données. \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).
Correction.
\[ (a,b)T(0,1)=(a\overline1+0,b)=(a,b) \] et : \[ (0,1)T(a,b)=(0\overline b+a,b)=(a,b) \] Donc \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\).Question. Vérifier l’égalité donnée.
Données. \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).
Correction.
\[ \overline{\frac1b}=\frac1{\overline b} \] Donc : \[ (a,b)T\left(-\frac{a}{\overline b},\frac1b\right) = \left(a\overline{\frac1b}-\frac{a}{\overline b},1\right) = \left(\frac a{\overline b}-\frac a{\overline b},1\right) = (0,1) \]Question. Montrer que \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe non commutatif.
Données. Questions 1 à 4-a.
Correction.
La loi \(T\) est interne dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\), associative d’après 2, et admet \((0,1)\) comme élément neutre d’après 3. Pour tout \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\), le symétrique est : \[ \left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right) \] car : \[ (a,b)T\left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right)=(0,1) \] et : \[ \left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right)T(a,b) = \left(-\frac a{\overline b}\,\overline b+a,1\right) = (0,1) \] Donc \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe. D’après 1-b, \(T\) n’est pas commutative.Question. Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par \(T\).
Données. \((a,b),(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^*\).
Correction.
Comme \(d\in\mathbb R\), \(\overline d=d\). Donc : \[ (a,b)T(c,d)=(ad+c,bd) \] Or : \[ ad+c\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad bd\in\mathbb R^* \] Donc : \[ (a,b)T(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Ainsi, \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par \(T\).Question. Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe de \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\).
Données. La propriété caractéristique des sous-groupes.
Correction.
\[ (0,1)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Donc \(\mathbb R\times\mathbb R^*\ne\varnothing\). Soient : \[ (a,b),(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Dans le groupe \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) : \[ (c,d)^{-1}=\left(-\frac c{\overline d},\frac1d\right) \] Comme \(d\in\mathbb R^*\), alors \(\overline d=d\). Donc : \[ (c,d)^{-1}=\left(-\frac cd,\frac1d\right) \] Ainsi : \[ (a,b)T(c,d)^{-1} = (a,b)T\left(-\frac cd,\frac1d\right) = \left(\frac{a-c}{d},\frac bd\right) \] Or : \[ \frac{a-c}{d}\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \frac bd\in\mathbb R^* \] Donc : \[ (a,b)T(c,d)^{-1}\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] D’après la propriété caractéristique des sous-groupes, \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe de \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\).Exercice 5 — Arithmétique — 3 points
Question. Montrer que \(p\mid r^{p-1}-1\) et \(q\mid r^{q-1}-1\).
Données. \(p,q\) premiers distincts, \(r\wedge p=1\), \(r\wedge q=1\).
Correction.
D’après le petit théorème de Fermat : \[ r^{p-1}\equiv1\ [p] \qquad\text{et}\qquad r^{q-1}\equiv1\ [q] \] Donc : \[ p\mid r^{p-1}-1 \qquad\text{et}\qquad q\mid r^{q-1}-1 \]Question. Déduire que \(p\) et \(q\) divisent \(r^{(p-1)(q-1)}-1\).
Données. Résultat de 1-a.
Correction.
\[ r^{p-1}\equiv1\ [p] \Longrightarrow \left(r^{p-1}\right)^{q-1}\equiv1\ [p] \] Donc : \[ r^{(p-1)(q-1)}\equiv1\ [p] \] Ainsi : \[ p\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \] De même : \[ r^{q-1}\equiv1\ [q] \Longrightarrow \left(r^{q-1}\right)^{p-1}\equiv1\ [q] \] Donc : \[ q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \]Question. Montrer que \(pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1\).
Données. \(p\) et \(q\) premiers distincts.
Correction.
D’après 1-b : \[ p\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \qquad\text{et}\qquad q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \] Comme : \[ p\wedge q=1 \] le théorème de Gauss donne : \[ pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \]Question. Résoudre dans \(\mathbb Z\) :
\[ 2024^{192}x\equiv3\ [221] \]Données. \(221=13\times17\).
Correction.
\[ 2024\equiv9\ [13] \qquad\text{et}\qquad 2024\equiv1\ [17] \] Donc \(2024\) est premier avec \(13\) et avec \(17\). D’après 1-c, avec : \[ p=13,\qquad q=17,\qquad r=2024 \] on a : \[ 13\times17\mid2024^{(13-1)(17-1)}-1 \] Or : \[ (13-1)(17-1)=12\times16=192 \] Donc : \[ 221\mid2024^{192}-1 \] Ainsi : \[ 2024^{192}\equiv1\ [221] \] L’équation devient : \[ x\equiv3\ [221] \]FIN DU CORRIGÉ — EXAMEN NATIONAL 2024 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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