Correction Examen National 2024 — Session Ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction — Examen national 2024 · Sciences Mathématiques A/B

Session ordinaire · Option française · Mathématiques · 20 points

Cette correction accompagne l’épreuve de mathématiques de l’examen national 2024, session ordinaire, pour les Sciences Mathématiques A et B. Les cinq exercices mobilisent successivement l’analyse, les intégrales, les nombres complexes, les structures algébriques et l’arithmétique. Pour réussir l’épreuve, il ne suffit pas d’obtenir un résultat : chaque propriété doit être reconnue, ses conditions vérifiées et son application justifiée. Les raisonnements sont accompagnés de transitions explicites pour aider à maîtriser les méthodes du baccalauréat. Les questions peuvent être étudiées dans leur ordre, car plusieurs résultats sont utilisés dans les parties suivantes. Il est recommandé de tenter chaque question avant d’ouvrir sa correction, puis de revenir sur les rappels et les étapes qui ont posé difficulté.

Comment travailler ce corrigé ?

Identifiez la demande, choisissez le théorème du cours, vérifiez ses hypothèses, puis suivez le calcul. Les corrections sont volontairement repliées afin de permettre un entraînement question par question. Les résultats du chapitre « Calcul intégral » et les propriétés du logarithme sont utilisés conformément aux méthodes du programme.

Énoncé et navigation.

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Le menu permet d’accéder directement à chaque exercice. Les corrections repliables favorisent une recherche autonome avant la lecture de la solution.

Exercice 1 · Analyse — 7,5 pointsExercice 2 · Fonction définie par une intégrale — 2,5 pointsExercice 3 · Nombres complexes — 3,5 pointsExercice 4 · Structures algébriques — 3,5 pointsExercice 5 · Arithmétique — 3 points

Exercice 1 — Analyse — 7,5 points

Cadre de l’exercice.

Soit \(f\) définie sur \([1,+\\infty[\) par \(f(1)=\\frac12\) et, pour \(x>1\), \(f(x)=\\frac{\\ln x}{x^2-1}\). On note \((C)\) sa courbe représentative.

Pour \(x\\ge1\), on utilise aussi les intégrales \(I(x)=\\int_1^x\\frac{t^2-1}{t^3}\\,dt\) et \(J(x)=\\int_1^x\\frac{t^2-1}{t^2}\\,dt\). La suite est définie par \(a_0\\in[1,+\\infty[\) et \(a_{n+1}=1+f(a_n)\).

Fil conducteur : analyse.

La continuité à une extrémité, les limites fondamentales et les dérivées permettent de décrire f. Les intégrales I et J donnent ensuite un encadrement de f′, réutilisé pour prouver la convergence de la suite récurrente.

Question 1 — 0,5 pt

Montrer que \(f\) est continue à droite en \(1\).

Données de la correction. \(f(1)=\dfrac12\) et, pour \(x\gt 1\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2-1}\).

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Repère de cours.

Une fonction définie sur un intervalle fermé à gauche est continue à droite en 1 lorsque sa limite à droite coïncide avec sa valeur en 1.

Méthode.

Factoriser le dénominateur fait apparaître le taux d’accroissement de la fonction logarithme en 1. Vérifier que x reste strictement supérieur à 1 avant la simplification.

\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac1{x+1} = 1\cdot\frac12=\frac12 \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}f(x)=f(1) \]

Ainsi, \(f\) est continue à droite en \(1\).

Interprétation.

La valeur attribuée en 1 est précisément la limite de l’expression sur ]1,+∞[ ; il n’y a donc aucune rupture à l’extrémité du domaine.

Question 2 — 0,5 pt

Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\), puis interpréter graphiquement.

Données de la correction. \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2-1}\), pour \(x\gt 1\).

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Repère de cours.

La limite usuelle de \(\ln x/x^2\) en \(+\infty\) est nulle : c’est un résultat de croissance comparée au programme.

Méthode.

Comparer la croissance du logarithme à celle de la puissance 2, puis interpréter la limite de la fonction en termes d’asymptote.

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^2-1}=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]

La droite d’équation \(y=0\) est une asymptote horizontale à \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).

Interprétation.

La courbe se rapproche de l’axe des abscisses lorsque l’abscisse devient grande ; la limite ne signifie pas qu’elle coupe cet axe.

Question 3-a — 0,25 pt

Vérifier l’égalité avec \(t=(x-1)^2\).

Données de la correction. \(x\gt 1\), donc \(\sqrt t=x-1\).

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Repère de cours.

Le changement de variable \(t=(x-1)^2\) exige de prendre la bonne racine : comme \(x>1\), on obtient \(\sqrt t=x-1\).

Méthode.

Exprimer successivement x, 1−x et le dénominateur à l’aide de t, sans modifier le quotient autrement.

\[ x=1+\sqrt t,\qquad (x-1)^2=t \] et : \[ 1-x+\ln x=-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t) \] Donc : \[ \frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2} = \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \]

Interprétation.

Cette réécriture prépare un encadrement en une variable t qui tendra vers 0 dans la question 3-c.

Question 3-b — 0,5 pt

Montrer l’encadrement demandé.

Données de la correction. \(t\gt 0\). Posons \(s=\sqrt t\), donc \(s\gt 0\) et \(t=s^2\).

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Repère de cours.

L’intégration conserve l’ordre de fonctions continues sur un segment lorsque les bornes sont croissantes. Les fractions utilisées sont positives pour \(s>0\).

Méthode.

Poser \(s=\sqrt t\), encadrer \(u/(1+u)\) pour \(0\le u\le s\), intégrer puis réorganiser les signes avec soin.

Pour \(0\leq u\leq s\) : \[ \frac{u}{1+s}\leq\frac{u}{1+u}\leq u \] Donc : \[ \frac{s^2}{2(1+s)} \leq \int_0^s\frac{u}{1+u}\,du \leq \frac{s^2}{2} \] Or : \[ \int_0^s\frac{u}{1+u}\,du = \int_0^s\left(1-\frac1{1+u}\right)\,du = s-\ln(1+s) \] Ainsi : \[ \frac{s^2}{2(1+s)}\lt s-\ln(1+s)\lt \frac{s^2}{2} \] Donc : \[ -\frac{s^2}{2}\lt -s+\ln(1+s)\lt -\frac{s^2}{2(1+s)} \] Comme \(s^2=t\), on obtient : \[ -\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)} \]

Interprétation.

Les deux bornes fournissent un encadrement strict de la quantité étudiée pour tout t strictement positif.

Question 3-c — 0,25 pt

Déduire la limite.

Données de la correction. L’encadrement de 3-b.

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Repère de cours.

Le théorème des gendarmes permet d’obtenir une limite quand les deux fonctions qui encadrent ont la même limite.

Méthode.

Utiliser la substitution de 3-a et les deux bornes de 3-b. Ne pas traiter l’expression indéterminée directement.

Quand \(x\to1^+\), \(t=(x-1)^2\to0^+\). D’après 3-b : \[ -\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)} \] et : \[ \lim_{t\to0^+}-\frac{1}{2(1+\sqrt t)}=-\frac12 \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\frac12 \]

Interprétation.

La limite vaut −1/2 et sera réutilisée immédiatement pour le nombre dérivé à droite de f.

Question 4-a — 0,5 pt

Montrer l’égalité donnée.

Données de la correction. \(x\gt 1\).

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Repère de cours.

Un taux d’accroissement est \((f(x)-f(1))/(x-1)\) ; ici \(f(1)=1/2\).

Méthode.

Ramener les deux expressions au dénominateur commun \(2(x-1)^2(x+1)\) afin de vérifier leur identité, avant de passer à la limite.

\[ \frac{f(x)-\frac12}{x-1} = \frac{\frac{\ln x}{x^2-1}-\frac12}{x-1} = \frac{2\ln x-x^2+1}{2(x-1)^2(x+1)} \] D’autre part : \[ -\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac{1}{2(x+1)} +\frac{\ln x-x+1}{2(x-1)^2} \] \[ = \frac{-\ln x(x-1)+(\ln x-x+1)(x+1)} {2(x-1)^2(x+1)} \] \[ = \frac{2\ln x-x^2+1}{2(x-1)^2(x+1)} \] D’où l’égalité demandée.

Interprétation.

La décomposition obtenue sépare le taux d’accroissement en deux termes dont les limites sont déjà connues.

Question 4-b — 0,5 pt

Déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(1\), puis interpréter graphiquement.

Données de la correction. Résultats de 3-c et 4-a.

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Repère de cours.

La dérivabilité à droite nécessite l’existence d’une limite réelle finie du taux d’accroissement à droite.

Méthode.

Utiliser l’identité de 4-a, la limite fondamentale de \(\ln x/(x-1)\) et la limite de 3-c ; additionner seulement après justification.

\[ \lim_{x\to1^+} \left( -\frac{\ln x}{x-1}\cdot\frac{1}{2(x+1)} \right) =-\frac14 \] et : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x-x+1}{2(x-1)^2} = \frac12\left(-\frac12\right) = -\frac14 \] Donc : \[ f_d^{\prime}(1) = \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\frac12 \]

La courbe \((C)\) admet au point \(A\left(1,\dfrac12\right)\) une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(-\dfrac12\).

Interprétation.

Le nombre dérivé détermine la pente de la demi-tangente issue du point d’abscisse 1, et non celle d’une tangente bilatérale.

Question 5-a — 0,5 pt

Montrer que \(0\leq I(x)\leq J(x)\).

Données de la correction. \(x\geq1\).

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Repère de cours.

La positivité de l’intégrale d’une fonction continue positive et la conservation de l’ordre à l’intégration sont garanties sur un segment orienté de 1 vers x, lorsque \(x\ge1\).

Méthode.

Comparer d’abord les intégrandes, puis intégrer l’encadrement sur [1,x]. La restriction x≥1 est nécessaire pour maintenir l’ordre des bornes.

Pour \(t\geq1\) : \[ t^2-1\geq0,\qquad t^3\geq t^2\gt 0 \] Donc : \[ 0\leq \frac{t^2-1}{t^3}\leq \frac{t^2-1}{t^2} \] Par intégration sur \([1,x]\) : \[ 0\leq I(x)\leq J(x) \]

Interprétation.

Cette comparaison permettra ensuite de borner le quotient I(x)/J(x) et donc la dérivée de f.

Question 5-b — 0,5 pt

Calculer \(I(x)\) et \(J(x)\).

Données de la correction. \(x\geq1\).

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Repère de cours.

Pour évaluer une intégrale sur [1,x], choisir une primitive et appliquer la relation de Newton–Leibniz.

Méthode.

Pour I, écrire \((t^2-1)/t^3=1/t-1/t^3\). Pour J, écrire \((t^2-1)/t^2=1-1/t^2\). Vérifier que t≥1.

\[ I(x)=\int_1^x\left(\frac1t-\frac1{t^3}\right)\,dt = \left[\ln t+\frac1{2t^2}\right]_1^x = \ln x-\frac{x^2-1}{2x^2} \] \[ J(x)=\int_1^x\left(1-\frac1{t^2}\right)\,dt = \left[t+\frac1t\right]_1^x = x+\frac1x-2 = \frac{(x-1)^2}{x} \]

Interprétation.

Les expressions explicites de I et J feront apparaître la structure de f′ sans étudier directement le signe d’un logarithme compliqué.

Question 5-c — 0,5 pt

Montrer la formule de \(f'(x)\).

Données de la correction. \(x\gt 1\).

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Repère de cours.

La fonction f est dérivable sur ]1,+∞[, car elle est le quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur n’y est pas nul.

Méthode.

Calculer la dérivée par la règle du quotient, puis remplacer I et J par les expressions trouvées en 5-b pour identifier la formule demandée.

\[ f'(x) = \frac{\frac1x(x^2-1)-2x\ln x}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2-1-2x^2\ln x}{x(x^2-1)^2} \] D’après 5-b : \[ \frac{I(x)}{J(x)} = \frac{\ln x-\frac{x^2-1}{2x^2}}{\frac{(x-1)^2}{x}} = \frac{2x^2\ln x-x^2+1}{2x(x-1)^2} \] Donc : \[ -\frac2{(x+1)^2}\cdot\frac{I(x)}{J(x)} = \frac{x^2-1-2x^2\ln x}{x(x^2-1)^2} = f'(x) \]

Interprétation.

La nouvelle formule transforme une étude de signe de f′ en une application de l’encadrement positif \(0\le I\le J\).

Question 5-d — 0,5 pt

Déduire que \(-\dfrac12\leq f'(x)\leq0\).

Données de la correction. \(0\leq I(x)\leq J(x)\), \(J(x)\gt 0\) pour \(x\gt 1\).

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Repère de cours.

Pour x>1, on a \(J(x)=(x-1)^2/x>0\), ce qui permet de diviser \(0\le I(x)\le J(x)\) par J(x).

Méthode.

Encadrer I/J dans [0,1], puis multiplier par le facteur négatif \(-2/(x+1)^2\) en inversant correctement le sens des inégalités.

\[ 0\leq\frac{I(x)}{J(x)}\leq1 \] et : \[ 0\lt \frac2{(x+1)^2}\leq\frac12 \] Donc : \[ -\frac12\leq -\frac2{(x+1)^2}\cdot\frac{I(x)}{J(x)}\leq0 \] Ainsi : \[ -\frac12\leq f'(x)\leq0 \]

Interprétation.

On obtient simultanément la décroissance de f et une borne uniforme sur la valeur absolue de sa dérivée, utile pour la suite récurrente.

Question 6-a — 0,25 pt

Dresser le tableau de variations de \(f\).

Données de la correction. \(f'(x)\leq0\), \(f(1)=\dfrac12\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

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Repère de cours.

Le signe de la dérivée donne le sens de variation d’une fonction dérivable, en tenant compte des limites et de sa valeur initiale.

Méthode.

Associer l’encadrement de f′, obtenu en 5-d, à f(1) et à la limite trouvée en 2. La continuité à droite en 1 a déjà été établie.

\[ \begin{array}{c|ccc} x&1&&+\infty\\ \hline f'(x)&&-&\\ \hline f(x)&\frac12&\searrow&0 \end{array} \]

Interprétation.

Le tableau résume une courbe partant de 1/2, décroissante, positive et tendant vers 0.

Question 6-b — 0,5 pt

Tracer \((C)\).

Données de la correction. \(A\left(1,\dfrac12\right)\), \(f'_d(1)=-\dfrac12\), \(f\) décroissante, asymptote \(y=0\).

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Repère de cours.

Un tracé cohérent doit respecter à la fois les coordonnées d’un point, la pente de la demi-tangente, les variations et une asymptote.

Méthode.

Placer le point A, tracer la demi-tangente de pente −1/2 à droite, puis dessiner une courbe décroissante au-dessus de l’axe des abscisses.

La courbe \((C)\) passe par \(A\left(1,\dfrac12\right)\), admet en \(A\) une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(-\dfrac12\), est décroissante sur \([1,+\infty[\), reste au-dessus de l’axe des abscisses et admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\).

Courbe de f sur le segment de 1 à 8 : le point initial, la demi-tangente et l’asymptote horizontale sont représentés. Tracé obtenu avec l’expression exacte de f.

Interprétation.

Le dessin ci-dessous est construit à partir de la fonction exacte ; il sert à contrôler les caractéristiques obtenues, sans les remplacer par une simple lecture graphique.

Question 7 — 0,5 pt

Montrer que \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\).

Données de la correction. \(f\) continue et décroissante.

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Repère de cours.

Une fonction continue et strictement monotone qui prend des valeurs de signes opposés aux bornes d’un segment s’annule une seule fois à l’intérieur.

Méthode.

Poser g(x)=f(x)−x+1 : la continuité garantit l’existence, la stricte décroissance garantit l’unicité. Vérifier g(1)>0 et g(2)<0.

Posons : \[ g(x)=f(x)-x+1 \] \[ g(1)=\frac12\gt 0 \qquad\text{et}\qquad g(2)=\frac{\ln2}{3}-1\lt 0 \] La fonction \(g\) est continue sur \([1,2]\). Donc l’équation \(g(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]1,2[\). Pour \(x\gt 1\) : \[ g'(x)=f'(x)-1\lt 0 \] Ainsi, \(g\) est strictement décroissante.

L’équation \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\).

Interprétation.

Le réel a est l’unique point fixe de l’application \(x\mapsto1+f(x)\) dans l’intervalle considéré.

Question 8-a — 0,5 pt

Montrer que \(|a_{n+1}-a|\leq\dfrac12|a_n-a|\).

Données de la correction. \(a_{n+1}=1+f(a_n)\) et \(a=1+f(a)\).

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Repère de cours.

L’inégalité des accroissements finis s’applique lorsque la fonction est continue sur le segment considéré, dérivable à l’intérieur et sa dérivée uniformément bornée en valeur absolue.

Méthode.

D’abord justifier par récurrence que \(a_n\ge1\) : \(a_0\ge1\) et \(f(x)\ge0\) pour x≥1, donc \(a_{n+1}=1+f(a_n)\ge1\). Comme a>1, les deux points sont dans le domaine de f. Utiliser ensuite l’inégalité des accroissements finis.

\[ a_{n+1}-a=f(a_n)-f(a) \] Comme \(|f'(x)|\leq\dfrac12\) sur \(]1,+\infty[\), l’inégalité des accroissements finis donne : \[ |f(a_n)-f(a)|\leq\frac12|a_n-a| \] Donc : \[ |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a| \]

Interprétation.

Chaque itération réduit d’au moins un facteur 2 la distance à l’unique point fixe a.

Question 8-b — 0,5 pt

Montrer par récurrence que \(|a_n-a|\leq\left(\dfrac12\right)^n|a_0-a|\).

Données de la correction. Résultat de 8-a.

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Repère de cours.

Une inégalité valable au rang n peut être propagée au rang n+1 grâce à la relation établie à la question précédente.

Méthode.

Vérifier d’abord le rang 0, puis multiplier la majoration de l’hypothèse de récurrence par 1/2 en utilisant 8-a.

Pour \(n=0\), la propriété est vraie. Supposons : \[ |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \] D’après 8-a : \[ |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a| \leq \left(\frac12\right)^{n+1}|a_0-a| \] Donc, par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \]

Interprétation.

L’estimation explicite rend quantitative la convergence : après n étapes, l’erreur ne dépasse pas \(2^{-n}|a_0-a|\).

Question 8-c — 0,25 pt

Déduire que \((a_n)\) est convergente.

Données de la correction. Résultat de 8-b.

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Repère de cours.

Une suite dont la valeur absolue de l’écart à un réel a est majorée par une suite de limite 0 converge vers a.

Méthode.

Encadrer \(|a_n-a|\) entre 0 et la majoration géométrique obtenue en 8-b ; conclure par encadrement.

\[ 0\leq |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \] et : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n|a_0-a|=0 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}a_n=a \]

La suite \((a_n)\) est convergente.

Interprétation.

La limite n’est pas seulement une valeur abstraite : c’est la solution unique de f(x)=x−1 trouvée en 7.

Exercice 2 — Fonction définie par une intégrale — 2,5 points

Cadre de l’exercice.

On considère la fonction \(F(x)=\\int_0^x e^{t^2}\\,dt\) pour \(x\\in[0,1]\), et l’on pose \(\\beta=F(1)=\\int_0^1e^{t^2}\\,dt\). La fonction réciproque \(F^{-1}\) intervient dans une somme de Riemann.

Fil conducteur : intégrales.

La continuité de l’intégrande garantit l’existence d’une primitive à borne variable. Une fonction continue strictement monotone possède une bijection réciproque continue sur son image ; les sommes de Riemann s’appliquent alors.

Question 1-a — 0,5 pt

Montrer que \(F\) est continue, strictement croissante sur \([0,1]\).

Données de la correction. \(F(x)=\displaystyle\int_0^x e^{t^2}\,dt\).

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Repère de cours.

La fonction \(t\mapsto e^{t^2}\) est continue sur [0,1], donc l’intégrale à borne variable F est une primitive qui s’annule en 0.

Méthode.

Dériver F avant d’étudier sa monotonie. Puisque l’exponentielle est strictement positive, le signe de F′ est immédiat.

La fonction \(t\mapsto e^{t^2}\) est continue sur \([0,1]\). Donc \(F\) est dérivable sur \([0,1]\) et : \[ F'(x)=e^{x^2}\gt 0 \] Ainsi, \(F\) est continue et strictement croissante sur \([0,1]\).

Interprétation.

La croissance stricte de F prépare l’existence de sa fonction réciproque sur l’intervalle image.

Question 1-b — 0,5 pt

Déduire que \(F\) est une bijection de \([0,1]\) vers \([0,\beta]\).

Données de la correction. \(F(0)=0\) et \(F(1)=\beta\).

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Repère de cours.

Une fonction continue et strictement croissante sur un segment y réalise une bijection sur l’intervalle compris entre ses valeurs aux extrémités.

Méthode.

Appliquer ce théorème à F sur [0,1], puis calculer F(0) et identifier F(1) à β.

Comme \(F\) est continue et strictement croissante sur \([0,1]\), elle réalise une bijection de \([0,1]\) vers : \[ [F(0),F(1)]=[0,\beta] \]

Interprétation.

L’existence et la continuité de la fonction réciproque \(F^{-1}\) sont désormais justifiées pour l’exercice.

Question 2-a — 0,5 pt

Montrer que \((S_n)\) est convergente et calculer sa limite.

Données de la correction. \(S_n=\dfrac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\dfrac{k}{n}\beta\right)\).

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Repère de cours.

Pour une fonction continue sur un segment, les sommes de Riemann associées à une subdivision régulière convergent vers son intégrale.

Méthode.

Considérer la fonction continue \(u\mapsto F^{-1}(\beta u)\) sur [0,1]. Identifier l’expression S_n à sa somme de Riemann à droite, puis effectuer le changement de variable t=βu.

La fonction \(F^{-1}\) est continue sur \([0,\beta]\). Ainsi : \[ S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\beta\frac{k}{n}\right) \] est une somme de Riemann de la fonction \(x\mapsto F^{-1}(\beta x)\) sur \([0,1]\). Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1F^{-1}(\beta x)\,dx \] Avec \(t=\beta x\) : \[ \int_0^1F^{-1}(\beta x)\,dx = \frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt \] Donc : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt \]

Interprétation.

L’existence de la limite provient de la continuité de la fonction intégrée, et non d’une simple intuition sur la suite.

Question 2-b — 0,5 pt

Montrer que \(\ell=\dfrac1\beta\displaystyle\int_0^1ue^{u^2}\,du\).

Données de la correction. \(u=F^{-1}(t)\).

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Repère de cours.

Le changement de variable dans une intégrale exige une fonction de substitution dérivable et le recalcul des bornes.

Méthode.

Prendre t=F(u), avec u=F^{-1}(t), puis utiliser \(dt=F′(u)\,du\). Vérifier que t=0 et t=β correspondent respectivement à u=0 et u=1.

\[ u=F^{-1}(t)\Longleftrightarrow t=F(u) \] Donc : \[ dt=F'(u)\,du=e^{u^2}\,du \] Les bornes deviennent : \[ t=0\Rightarrow u=0,\qquad t=\beta\Rightarrow u=1 \] Ainsi : \[ \int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt = \int_0^1ue^{u^2}\,du \] Donc : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^1ue^{u^2}\,du \]

Interprétation.

L’intégrale impliquant la réciproque a été ramenée à une intégrale usuelle sur [0,1].

Question 2-c — 0,5 pt

Déduire que \(\ell=\dfrac{e-1}{2\beta}\).

Données de la correction. Résultat de 2-b.

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Repère de cours.

La dérivée de \(e^{u^2}\) est \(2ue^{u^2}\), d’où une primitive simple de \(ue^{u^2}\).

Méthode.

Évaluer cette primitive en 1 et en 0, puis multiplier par le facteur 1/β déjà justifié.

\[ \int_0^1ue^{u^2}\,du = \left[\frac12e^{u^2}\right]_0^1 = \frac{e-1}{2} \] Donc : \[ \ell=\frac{e-1}{2\beta} \]

Interprétation.

Le résultat final dépend de β, défini par une intégrale positive : le dénominateur n’est donc pas nul.

Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points

Cadre de l’exercice.

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère \(z^2-2iz+\\alpha=0\), avec \(\\alpha\\in\\mathbb C\). Ses racines sont notées \(z_1,z_2\), d’affixes respectives des points \(M_1,M_2\), et \(\\Omega\) désigne le point d’affixe \(\\alpha\).

Fil conducteur : complexes.

Les relations entre racines et coefficients servent à passer de l’algèbre à la géométrie. Le quotient de deux affixes non nulles caractérise l’orthogonalité ; une condition sur un module décrit un cercle.

Question 1-a — 0,25 pt

Montrer que \(\Delta=-4(1+\alpha)\).

Données de la correction. \(z^2-2iz+\alpha=0\).

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Repère de cours.

Pour une équation quadratique \(Az^2+Bz+C=0\) avec A≠0, le discriminant est \(\Delta=B^2-4AC\), même lorsque les coefficients sont complexes.

Méthode.

Identifier les coefficients \(1,-2i,\alpha\), puis utiliser \(i^2=-1\).

\[ \Delta=(-2i)^2-4\alpha=-4-4\alpha=-4(1+\alpha) \]

Interprétation.

Le discriminant prépare la discussion du nombre de racines distinctes.

Question 1-b — 0,25 pt

Déterminer les valeurs de \(\alpha\) pour lesquelles l’équation admet deux solutions distinctes.

Données de la correction. \(\Delta=-4(1+\alpha)\).

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Repère de cours.

Une équation du second degré complexe possède deux racines distinctes exactement lorsque son discriminant est non nul.

Méthode.

Partir de la valeur de Δ obtenue en 1-a et résoudre \(\Delta\ne0\) dans \(\mathbb C\).

\[ \Delta\ne0 \Longleftrightarrow -4(1+\alpha)\ne0 \Longleftrightarrow \alpha\ne-1 \] Donc : \[ \alpha\in\mathbb C-\{-1\} \]

Interprétation.

La valeur α=−1 est le seul paramètre exceptionnel, qui donne une racine double.

Question 2 — 0,5 pt

Déterminer \(z_1+z_2\) et \(z_1z_2\).

Données de la correction. \(z_1,z_2\) sont les solutions.

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Repère de cours.

Pour un polynôme monique de degré 2, les formules de Viète donnent la somme des racines et leur produit.

Méthode.

Lire directement les coefficients, ce qui évite le calcul individuel des deux racines.

\[ z_1+z_2=2i,\qquad z_1z_2=\alpha \]

Interprétation.

Ces relations seront exploitées pour les identités de modules et pour l’étude du lieu géométrique.

Question 1-a — 0,5 pt

Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) lorsque \(\alpha=m^2-2m\).

Données de la correction. \(m\in\mathbb R\).

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Repère de cours.

Le carré d’un imaginaire pur s’écrit \((it)^2=-t^2\) pour t réel.

Méthode.

Remplacer α par \(m^2-2m\), factoriser \(1+\alpha\) puis calculer les deux racines en gardant m réel.

\[ 1+\alpha=1+m^2-2m=(m-1)^2 \] \[ \Delta=-4(m-1)^2=\big(2i(m-1)\big)^2 \] Donc : \[ z=\frac{2i\pm2i(m-1)}2 \] Ainsi : \[ z_1=im,\qquad z_2=i(2-m) \] à l’ordre près.

Interprétation.

Les deux racines sont des imaginaires purs, ce qui permet immédiatement une lecture géométrique.

Question 1-b — 0,25 pt

Déduire que \(O,M_1,M_2\) sont alignés.

Données de la correction. \(z_1=im\), \(z_2=i(2-m)\).

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Repère de cours.

Un point d’affixe imaginaire pure appartient à l’axe des ordonnées du repère complexe.

Méthode.

Utiliser la nature des racines obtenues en 1-a, sans chercher à calculer un déterminant inutile.

Les affixes \(z_1\) et \(z_2\) sont imaginaires pures. Les points \(M_1\) et \(M_2\) appartiennent donc à l’axe des ordonnées, qui passe par \(O\).

Ainsi, \(O,M_1,M_2\) sont alignés.

Interprétation.

Les trois points appartiennent à une même droite ; selon m, ils peuvent même se confondre.

Question 2-a — 0,25 pt

Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est imaginaire pur si et seulement si \(\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0\).

Données de la correction. \(z_2\ne0\).

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Repère de cours.

Le quotient \(z_1/z_2\) n’est défini que si \(z_2\ne0\). Dans le contexte non aligné de la partie II, les affixes concernées sont non nulles.

Méthode.

Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué de \(z_2\), puis caractériser un imaginaire pur par l’annulation de sa partie réelle.

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} \] Comme \(|z_2|^2\) est un réel strictement positif : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow z_1\overline{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 \]

Interprétation.

La condition d’orthogonalité des vecteurs peut ainsi être traduite en une relation algébrique sur les affixes.

Question 2-b — 0,5 pt

Montrer l’égalité demandée.

Données de la correction. \(z_1,z_2\in\mathbb C\).

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Repère de cours.

Le carré du module d’un complexe est le produit de ce complexe par son conjugué ; la conjugaison transforme une somme en somme des conjugués.

Méthode.

Développer séparément \(|z_1-z_2|^2\) et \(|z_1+z_2|^2\) pour comparer leurs termes croisés.

\[ |z_1-z_2|^2 = (z_1-z_2)(\overline{z_1}-\overline{z_2}) \] \[ = |z_1|^2+|z_2|^2-2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] et : \[ |z_1+z_2|^2 = |z_1|^2+|z_2|^2+2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] Donc : \[ |z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \]

Interprétation.

Cette identité relie un produit complexe à une distance géométrique entre deux points du plan.

Question 2-c — 0,25 pt

Déduire que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est imaginaire pur si et seulement si \(|z_1-z_2|=2\).

Données de la correction. \(z_1+z_2=2i\).

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Repère de cours.

Les relations de Viète donnent ici \(z_1+z_2=2i\), donc le module de cette somme vaut 2.

Méthode.

Remplacer le module de la somme dans l’identité de 2-b ; exploiter ensuite l’équivalence établie en 2-a.

\[ |z_1+z_2|=|2i|=2 \] D’après 2-b : \[ |z_1-z_2|^2=4-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \] Donc : \[ \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 \Longleftrightarrow |z_1-z_2|^2=4 \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \] D’après 2-a : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \]

Interprétation.

La condition « quotient imaginaire pur » devient une condition sur la longueur du segment M₁M₂.

Question 3-a — 0,25 pt

Montrer que \((z_1-z_2)^2=\Delta\).

Données de la correction. \(z_1+z_2=2i\), \(z_1z_2=\alpha\).

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Repère de cours.

L’identité \((u-v)^2=(u+v)^2-4uv\) est valable pour tous complexes u et v.

Méthode.

L’appliquer aux racines z₁ et z₂, puis remplacer leur somme et leur produit par les relations de Viète.

\[ (z_1-z_2)^2=(z_1+z_2)^2-4z_1z_2 =(2i)^2-4\alpha =-4(1+\alpha)=\Delta \]

Interprétation.

La distance entre les racines peut être exprimée directement à partir du discriminant.

Question 3-b — 0,5 pt

Déterminer \(\Gamma\) pour que le triangle \(OM_1M_2\) soit rectangle en \(O\).

Données de la correction. \(\Omega\) a pour affixe \(\alpha\).

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Repère de cours.

Un triangle rectangle en O exige deux vecteurs \(\overrightarrow{OM_1}\) et \(\overrightarrow{OM_2}\) non nuls et orthogonaux.

Méthode.

Employer le critère du quotient imaginaire pur, les équivalences de 2-c et 3-a, puis traduire \(|1+\alpha|=1\) en lieu géométrique. Exclure α=0, qui rend un sommet égal à O et le triangle dégénéré.

Le triangle \(OM_1M_2\) est rectangle en \(O\) si et seulement si : \[ (OM_1)\perp(OM_2) \Longleftrightarrow \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \] D’après 2-c : \[ \frac{z_1}{z_2}\in i\mathbb R \Longleftrightarrow |z_1-z_2|=2 \] Donc : \[ |(z_1-z_2)^2|=4 \] D’après 3-a : \[ |\Delta|=4 \] Or : \[ \Delta=-4(1+\alpha) \] Donc : \[ |1+\alpha|=1 \] De plus, \(\alpha\ne0\) pour éviter un triangle dégénéré puisque \(z_1z_2=\alpha\).

Ainsi, \(\Gamma\) est le cercle de centre le point d’affixe \(-1\) et de rayon \(1\), privé du point \(O\).

Interprétation.

Le cercle obtenu doit être privé de l’origine ; il s’agit d’une vraie condition géométrique et non d’une exception de calcul.

Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points

Cadre de l’exercice.

Sur \(\\mathbb C\\times\\mathbb C^*\), on définit la loi \(T\) par \((a,b)T(c,d)=(a\\overline d+c,bd)\). L’objectif est d’examiner les propriétés de cette loi et un sous-ensemble réel.

Fil conducteur : groupe.

Pour établir une structure de groupe, l’internalité, l’associativité, l’élément neutre et les symétriques sont indispensables. La non-commutativité se démontre par contre-exemple ; la propriété de sous-groupe réclame une vérification spécifique.

Question 1-a — 0,5 pt

Vérifier puis calculer.

Données de la correction. \((a,b)T(c,d)=(a\overline d+c,bd)\).

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Repère de cours.

Une loi sur un ensemble de couples se calcule en conservant l’ordre des arguments ; ici la conjugaison porte sur la seconde coordonnée du deuxième couple.

Méthode.

Calculer successivement les deux produits ordonnés, en utilisant \(\overline{i}=-i\) et \(\overline 2=2\).

\[ (i,2)T(1,i)=(i\overline i+1,2i)=(i(-i)+1,2i)=(2,2i) \] \[ (1,i)T(i,2)=(1\overline2+i,2i)=(2+i,2i) \]

Interprétation.

Les deux produits donnent déjà un contre-exemple potentiel à la commutativité.

Question 1-b — 0,25 pt

Déduire que \(T\) n’est pas commutative.

Données de la correction. Résultat de 1-a.

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Repère de cours.

Pour prouver qu’une loi n’est pas commutative, il suffit d’un seul couple d’éléments dont les produits changent lorsqu’on inverse l’ordre.

Méthode.

Comparer directement les résultats de 1-a : il n’est pas nécessaire de résoudre le problème pour tous les couples.

\[ (i,2)T(1,i)=(2,2i) \qquad\text{et}\qquad (1,i)T(i,2)=(2+i,2i) \] Ces deux résultats sont différents. Donc \(T\) n’est pas commutative.

Interprétation.

La non-commutativité n’empêche pas la structure d’être un groupe.

Question 2 — 0,5 pt

Montrer que \(T\) est associative.

Données de la correction. \((a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).

Afficher la correction

Repère de cours.

L’associativité signifie \((xTy)Tz=xT(yTz)\) pour tous éléments x,y,z de l’ensemble considéré.

Méthode.

Calculer séparément les deux parenthésages avec des couples généraux. Utiliser \(\overline{df}=\overline d\,\overline f\).

\[ \big((a,b)T(c,d)\big)T(e,f) = (a\overline d+c,bd)T(e,f) \] \[ = ((a\overline d+c)\overline f+e,bdf) = (a\overline d\,\overline f+c\overline f+e,bdf) \] D’autre part : \[ (a,b)T\big((c,d)T(e,f)\big) = (a,b)T(c\overline f+e,df) \] \[ = (a\overline{df}+c\overline f+e,bdf) = (a\overline d\,\overline f+c\overline f+e,bdf) \] Donc : \[ \big((a,b)T(c,d)\big)T(e,f) = (a,b)T\big((c,d)T(e,f)\big) \] Ainsi, \(T\) est associative.

Interprétation.

L’égalité des deux expressions pour des éléments arbitraires prouve l’associativité de la loi.

Question 3 — 0,25 pt

Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre.

Données de la correction. \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).

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Repère de cours.

Un élément neutre e doit satisfaire simultanément \(xTe=x\) et \(eTx=x\) pour tout x.

Méthode.

Vérifier les deux ordres de multiplication avec le couple (0,1).

\[ (a,b)T(0,1)=(a\overline1+0,b)=(a,b) \] et : \[ (0,1)T(a,b)=(0\overline b+a,b)=(a,b) \] Donc \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\).

Interprétation.

La vérification bilatérale est essentielle pour une loi non commutative.

Question 4-a — 0,5 pt

Vérifier l’égalité donnée.

Données de la correction. \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\).

Afficher la correction

Repère de cours.

La seconde composante b est non nulle ; son inverse et son conjugué sont donc définis et non nuls.

Méthode.

Calculer le produit proposé et contrôler séparément ses deux coordonnées.

\[ \overline{\frac1b}=\frac1{\overline b} \] Donc : \[ (a,b)T\left(-\frac{a}{\overline b},\frac1b\right) = \left(a\overline{\frac1b}-\frac{a}{\overline b},1\right) = \left(\frac a{\overline b}-\frac a{\overline b},1\right) = (0,1) \]

Interprétation.

Ce calcul prépare l’existence d’un symétrique pour chaque élément.

Question 4-b — 0,5 pt

Montrer que \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe non commutatif.

Données de la correction. Questions 1 à 4-a.

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Repère de cours.

Pour établir qu’un ensemble muni d’une loi est un groupe, il faut vérifier l’internalité, l’associativité, l’existence d’un neutre et celle d’un symétrique pour tout élément.

Méthode.

Rassembler les résultats précédents et vérifier aussi le produit inverse dans l’autre ordre, car la loi n’est pas commutative.

La loi \(T\) est interne dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\), associative d’après 2, et admet \((0,1)\) comme élément neutre d’après 3. Pour tout \((a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*\), le symétrique est : \[ \left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right) \] car : \[ (a,b)T\left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right)=(0,1) \] et : \[ \left(-\frac a{\overline b},\frac1b\right)T(a,b) = \left(-\frac a{\overline b}\,\overline b+a,1\right) = (0,1) \] Donc \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe. D’après 1-b, \(T\) n’est pas commutative.

Ainsi, \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe non commutatif.

Interprétation.

Le contre-exemple de 1-b montre que le groupe obtenu n’est pas abélien.

Question 5-a — 0,5 pt

Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par \(T\).

Données de la correction. \((a,b),(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^*\).

Afficher la correction

Repère de cours.

Un sous-ensemble est stable par T si le produit de deux de ses éléments y appartient encore.

Méthode.

Pour des coordonnées réelles, remplacer le conjugué de d par d, puis vérifier que la deuxième coordonnée bd reste non nulle.

Comme \(d\in\mathbb R\), \(\overline d=d\). Donc : \[ (a,b)T(c,d)=(ad+c,bd) \] Or : \[ ad+c\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad bd\in\mathbb R^* \] Donc : \[ (a,b)T(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Ainsi, \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par \(T\).

Interprétation.

La stabilité est une étape nécessaire, mais à elle seule ne suffit pas à établir la propriété de sous-groupe.

Question 5-b — 0,5 pt

Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe de \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\).

Données de la correction. La propriété caractéristique des sous-groupes.

Afficher la correction

Repère de cours.

Le critère de sous-groupe exige qu’un sous-ensemble non vide soit stable par le produit \(xTy^{-1}\) de deux de ses éléments.

Méthode.

Utiliser la formule du symétrique démontrée précédemment. Comme les coordonnées sont réelles et d≠0, le résultat appartient au sous-ensemble.

\[ (0,1)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Donc \(\mathbb R\times\mathbb R^*\ne\varnothing\). Soient : \[ (a,b),(c,d)\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] Dans le groupe \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) : \[ (c,d)^{-1}=\left(-\frac c{\overline d},\frac1d\right) \] Comme \(d\in\mathbb R^*\), alors \(\overline d=d\). Donc : \[ (c,d)^{-1}=\left(-\frac cd,\frac1d\right) \] Ainsi : \[ (a,b)T(c,d)^{-1} = (a,b)T\left(-\frac cd,\frac1d\right) = \left(\frac{a-c}{d},\frac bd\right) \] Or : \[ \frac{a-c}{d}\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \frac bd\in\mathbb R^* \] Donc : \[ (a,b)T(c,d)^{-1}\in\mathbb R\times\mathbb R^* \] D’après la propriété caractéristique des sous-groupes, \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe de \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\).

Interprétation.

Le sous-groupe des couples réels hérite de la loi T et de toutes les propriétés de groupe déjà démontrées.

Exercice 5 — Arithmétique — 3 points

Cadre de l’exercice.

Soient p et q deux nombres premiers distincts et r un entier premier avec chacun d’eux. Les propriétés démontrées seront appliquées à \(p=13\), \(q=17\), \(r=2024\).

Fil conducteur : arithmétique.

Le petit théorème de Fermat, la compatibilité des congruences avec les puissances et le théorème de Gauss permettent de passer des modules premiers distincts au produit de ces modules.

Question 1-a — 1 pt

Montrer que \(p\mid r^{p-1}-1\) et \(q\mid r^{q-1}-1\).

Données de la correction. \(p,q\) premiers distincts, \(r\wedge p=1\), \(r\wedge q=1\).

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Repère de cours.

Le petit théorème de Fermat affirme : si p est premier et si l’entier r n’est pas divisible par p, alors \(r^{p-1}\equiv1\pmod p\).

Méthode.

Vérifier séparément les conditions : p et q sont premiers, et r est premier avec chacun d’eux ; appliquer ensuite Fermat deux fois.

D’après le petit théorème de Fermat : \[ r^{p-1}\equiv1\ [p] \qquad\text{et}\qquad r^{q-1}\equiv1\ [q] \] Donc : \[ p\mid r^{p-1}-1 \qquad\text{et}\qquad q\mid r^{q-1}-1 \]

Interprétation.

Les deux congruences serviront à obtenir un même exposant multiple de p−1 et q−1.

Question 1-b — 0,5 pt

Déduire que \(p\) et \(q\) divisent \(r^{(p-1)(q-1)}-1\).

Données de la correction. Résultat de 1-a.

Afficher la correction

Repère de cours.

La congruence est compatible avec l’élévation à une puissance entière naturelle.

Méthode.

Élever la première congruence à la puissance q−1 et la seconde à la puissance p−1.

\[ r^{p-1}\equiv1\ [p] \Longrightarrow \left(r^{p-1}\right)^{q-1}\equiv1\ [p] \] Donc : \[ r^{(p-1)(q-1)}\equiv1\ [p] \] Ainsi : \[ p\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \] De même : \[ r^{q-1}\equiv1\ [q] \Longrightarrow \left(r^{q-1}\right)^{p-1}\equiv1\ [q] \] Donc : \[ q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \]

Interprétation.

Le même entier est maintenant divisible par p et par q.

Question 1-c — 0,5 pt

Montrer que \(pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1\).

Données de la correction. \(p\) et \(q\) premiers distincts.

Afficher la correction

Repère de cours.

Si deux entiers p et q sont premiers entre eux et divisent tous deux N, alors leur produit divise N.

Méthode.

Appliquer le théorème de Gauss aux deux divisibilités établies en 1-b, en vérifiant que p et q sont premiers distincts.

D’après 1-b : \[ p\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \qquad\text{et}\qquad q\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \] Comme : \[ p\wedge q=1 \] le théorème de Gauss donne : \[ pq\mid r^{(p-1)(q-1)}-1 \]

Interprétation.

Cette étape produit une congruence modulo pq plutôt que deux congruences séparées.

Question 2 — 1 pt

Résoudre dans \(\mathbb Z\) :

Données de la correction. \(221=13\times17\).

Afficher la correction

Repère de cours.

Une congruence \(Ax\equiv B\ [m]\) devient immédiate si l’on connaît \(A\equiv1\ [m]\).

Méthode.

Factoriser 221 en 13×17, vérifier que 2024 est premier avec ces deux nombres premiers, puis appliquer le résultat général de la question 1.

\[ 2024^{192}x\equiv3\ [221] \] \[ 2024\equiv9\ [13] \qquad\text{et}\qquad 2024\equiv1\ [17] \] Donc \(2024\) est premier avec \(13\) et avec \(17\). D’après 1-c, avec : \[ p=13,\qquad q=17,\qquad r=2024 \] on a : \[ 13\times17\mid2024^{(13-1)(17-1)}-1 \] Or : \[ (13-1)(17-1)=12\times16=192 \] Donc : \[ 221\mid2024^{192}-1 \] Ainsi : \[ 2024^{192}\equiv1\ [221] \] L’équation devient : \[ x\equiv3\ [221] \]

Les solutions sont : \[ x=3+221k,\qquad k\in\mathbb Z \]

Interprétation.

Toutes les solutions constituent la même classe résiduelle modulo 221.

À retenir pour l’examen national

Dans l’exercice d’analyse, un résultat antérieur doit servir à préparer le suivant : la limite de 3-c fournit une dérivée à droite, l’encadrement des intégrales détermine le signe et la borne de la dérivée, puis cette borne contrôle les écarts de la suite récurrente. L’étude de l’intégrale à borne variable combine le théorème des primitives, la bijection réciproque et les sommes de Riemann. Pour les complexes, les identités algébriques conduisent à un lieu géométrique ; pour les structures, chaque condition d’une définition doit être démontrée ; pour l’arithmétique, les théorèmes s’appliquent seulement après vérification de leurs hypothèses.

La rédaction d’une preuve doit ainsi suivre une progression lisible : objectif, propriété, conditions, calcul et conclusion. Chaque conclusion peut ensuite être vérifiée en relisant les résultats des questions précédentes.

Ressources associées.

Examens nationaux — Sciences Mathématiques · 2e Bac SM

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)