Examen national 2025 — Session ordinaire : correction
2e Bac Sciences Mathématiques A et B · Option française · Mathématiques
Cette correction de l’examen national 2025, session ordinaire, s’adresse aux élèves de deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques. Les quatre exercices mobilisent l’analyse, les intégrales et les suites, les nombres complexes, l’arithmétique et les structures algébriques. Chaque étape vise à relier une question à une propriété précise du cours : vérifier les hypothèses avant d’appliquer un théorème, expliquer la transformation retenue, puis interpréter le résultat. On rencontrera notamment la symétrie d’une fonction, les changements de variable, l’inégalité des accroissements finis, les sommes de Riemann, les quotients d’affixes, le théorème de Fermat, l’identité de Bézout et la structure de corps. Pour progresser, il est conseillé de chercher les questions avant d’ouvrir leurs corrections, puis de reproduire le raisonnement sans consulter la solution.
Les corrections sont fermées par défaut. Ouvrez seulement la question étudiée, repérez le résultat du cours utilisé et vérifiez que ses conditions sont satisfaites.
- Exercice 1 — Analyse : fonction, intégrales et suites : 10 points
- Exercice 2 — Nombres complexes : 3,5 points
- Exercice 3 — Arithmétique : 3 points
- Exercice 4 — Structures algébriques : 3,5 points
Exercice 1 — Analyse — Fonction exponentielle, intégrales et suites — 10 points
La dérivation d'un quotient nécessite un dénominateur non nul. L'étude du signe de la dérivée donne les variations ; le théorème des valeurs intermédiaires demande continuité et changement de signe, et l'inégalité des accroissements finis exige dérivabilité et contrôle de la dérivée. Pour les intégrales, vérifier les bornes lors des changements de variable. Les sommes de Riemann s'appliquent à une fonction continue sur un segment.
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal
\[ (O;\vec i,\vec j) \]Partie I
Question 1.a — 0,25 pt
Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f(1-x)=f(x) \]Afficher la correction
Méthode : La relation demandée correspond à une symétrie de la fonction. On remplace d'abord l'argument par son symétrique, puis on simplifie les exponentielles ; le dénominateur reste strictement positif sur tout ℝ.
Soit \(x\in\mathbb R\)
On a
\[ f(1-x)=\frac{e^{1-x}}{e^{2(1-x)}+e}=\frac{e^{1-x}}{e^{2-2x}+e} \]En divisant le numérateur et le dénominateur par \(e\), puis en multipliant par \(e^{2x}\), on obtient
\[ f(1-x)=\frac{e^{-x}}{e^{1-2x}+1}=\frac{e^x}{e+e^{2x}}=\frac{e^x}{e^{2x}+e}=f(x) \]Donc
Question 1.b — 0,25 pt
Interpréter graphiquement le résultat obtenu
Afficher la correction
Méthode : Le résultat précédent fournit directement une information géométrique : il faut déterminer le milieu commun des abscisses \(x\) et \(1-x\). L'égalité des ordonnées permet ensuite d'identifier l'axe de symétrie.
Les réels \(x\) et \(1-x\) sont symétriques par rapport à \(\dfrac12\). Comme
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f(1-x)=f(x) \]la courbe \((\Gamma)\) admet la droite d'équation
comme axe de symétrie
L'axe obtenu relie chaque point de la courbe à son point symétrique d'égale ordonnée.
Question 1.c — 0,5 pt
Calculer
\[ \lim_{x\to-\infty} f(x) \]puis en déduire
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x) \]Afficher la correction
Méthode : On utilise les limites usuelles de l'exponentielle. La première limite se calcule directement, et la seconde s'obtient grâce à la symétrie déjà démontrée, ce qui évite un calcul supplémentaire.
On a
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a
\[ e^x\to0\qquad\text{et}\qquad e^{2x}\to0 \]donc
D'après la question 1.a,
\[ f(x)=f(1-x) \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(1-x\to-\infty\). Ainsi
La symétrie rend les deux limites cohérentes : les deux branches de la courbe se rapprochent de l'axe horizontal.
Question 1.d — 0,5 pt
Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus
Afficher la correction
Méthode : Une limite finie d'une fonction en \(-\infty\) ou en \(+\infty\) se traduit graphiquement par une asymptote horizontale. Il suffit ici d'interpréter les deux limites obtenues.
Comme
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]la droite d'équation
est une asymptote horizontale à \((\Gamma)\) au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\)
Question 2.a — 0,5 pt
Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]Afficher la correction
Méthode : La fonction est dérivable sur ℝ : numérateur et dénominateur le sont, et le dénominateur ne s'annule jamais. On applique la dérivation d'un quotient, puis on fait apparaître \(f(x)\) en facteur.
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{\prime}(x)=\frac{e^x(e^{2x}+e)-2e^{2x}e^x}{(e^{2x}+e)^2} =\frac{e^x(e-e^{2x})}{(e^{2x}+e)^2} \]Comme
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]on obtient
\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{e-e^{2x}}{e^{2x}+e} =f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]Donc
Question 2.b — 1 pt
Donner les variations de \(f\), puis en déduire que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad 0\lt f(x)\lt \frac12 \]Afficher la correction
Méthode : Pour établir le tableau de variations, on étudie le signe de la dérivée. Puisque \(f(x)\) et le dénominateur auxiliaire sont positifs, le seul facteur qui change de signe est \(1-e^{2x-1}\). La borne supérieure découlera du maximum atteint.
Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a
\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]Or
\[ f(x)\gt 0\qquad\text{et}\qquad 1+e^{2x-1}\gt 0 \]Le signe de \(f^{\prime}(x)\) est donc celui de \(1-e^{2x-1}\)
On a
\[ 1-e^{2x-1}\gt 0\Longleftrightarrow x\lt \frac12 \] \[ 1-e^{2x-1}=0\Longleftrightarrow x=\frac12 \] \[ 1-e^{2x-1}\lt 0\Longleftrightarrow x\gt \frac12 \]Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\left]-\infty,\dfrac12\right]\) et strictement décroissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\)
De plus,
\[ f\left(\frac12\right)=\frac{e^{1/2}}{e+e}=\frac1{2\sqrt e} \]Ainsi
\[ \begin{array}{c|ccc} x&-\infty&\frac12&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&0&\nearrow\dfrac1{2\sqrt e}\searrow&0 \end{array} \]Comme \(0\lt{}\dfrac1{2\sqrt e}\lt{}\dfrac12\), on a
Le maximum strict est atteint à l'abscisse de l'axe de symétrie ; il borne toutes les valeurs de \(f\).
Question 3 — 0,5 pt
Représenter graphiquement la courbe \((\Gamma)\)
On prendra
\[ \|\vec i\|=1\,\text{cm}, \qquad \|\vec j\|=2\,\text{cm}, \qquad \frac1{2\sqrt e}\simeq0,30, \qquad \frac1{1+e}\simeq0,27 \]Afficher la correction
Méthode : Un tracé doit respecter les informations démontrées : asymptote, symétrie, variations, maximum et points remarquables. Les unités du repère données dans l'énoncé doivent également être prises en compte.
On utilise les résultats précédents
La courbe \((\Gamma)\) admet la droite \(x=\dfrac12\) comme axe de symétrie, et la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\)
La fonction \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty,\dfrac12\right]\) et décroissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\)
La courbe atteint son maximum au point
\[ A\left(\frac12,\frac1{2\sqrt e}\right) \]De plus,
\[ f(0)=\frac1{1+e}\qquad\text{et}\qquad f(1)=f(0)=\frac1{1+e} \]donc \((\Gamma)\) passe par
\[ B\left(0,\frac1{1+e}\right)\qquad\text{et}\qquad C\left(1,\frac1{1+e}\right) \]Avec
\[ \frac1{2\sqrt e}\simeq0{,}30\qquad\text{et}\qquad \frac1{1+e}\simeq0{,}27 \]ces éléments permettent de représenter \((\Gamma)\)
Le tracé est guidé par les propriétés établies, et non par des valeurs numériques isolées.
Question 4.a — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \int_{\frac12}^{1} f(x)\,dx \]Afficher la correction
Méthode : La fonction est continue sur l'intervalle d'intégration. On effectue le changement de variable \(t=1-x\), qui échange les bornes \(1/2\) et \(1\), puis on utilise \(f(1-t)=f(t)\).
Dans \(\displaystyle \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx\), posons
\[ t=1-x \]Alors \(dt=-dx\). Lorsque \(x=\dfrac12\), \(t=\dfrac12\), et lorsque \(x=1\), \(t=0\). Donc
\[ \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx =\int_{\frac12}^{0}f(1-t)(-dt) =\int_0^{\frac12}f(1-t)\,dt \]Or \(f(1-t)=f(t)\). Ainsi
La symétrie de la fonction explique pourquoi les deux aires algébriques sont égales.
Question 4.b — 0,25 pt
En déduire que :
\[ \int_0^1 f(x)\,dx = 2\int_0^{\frac12} f(x)\,dx \]Afficher la correction
Méthode : La relation de Chasles permet de décomposer l'intégrale sur \([0,1]\) en deux intégrales adjacentes. La question précédente montre que celles-ci sont égales.
On a
\[ \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx+\int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx \]D'après la question précédente,
\[ \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]donc
Question 5.a — 0,25 pt
En effectuant le changement de variable
\[ t=e^x \]montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]Afficher la correction
Méthode : Le changement de variable \(t=e^x\) est autorisé car l'exponentielle est continûment dérivable et strictement croissante sur \([0,1/2]\). Il faut transformer simultanément l'intégrande, la différentielle et les deux bornes.
On pose \(t=e^x\). Alors \(dt=e^x\,dx\). Lorsque \(x=0\), \(t=1\), et lorsque \(x=\dfrac12\), \(t=\sqrt e\)
Donc
\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx =\int_0^{\frac12}\frac{e^x}{e^{2x}+e}\,dx =\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]Ainsi
Le changement de variable a transformé une intégrale exponentielle en une intégrale rationnelle plus simple.
Question 5.b — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \frac1{\sqrt e} \left( \arctan(\sqrt e)-\frac{\pi}{4} \right) \]Afficher la correction
Méthode : Après le premier changement de variable, le dénominateur est de la forme \(t^2+a^2\), avec \(a=\sqrt e>0\). On normalise ce dénominateur pour utiliser la primitive de \(1/(1+u^2)\), puis une identité d'arctangentes.
D'après la question précédente,
\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]On pose \(u=\dfrac{t}{\sqrt e}\). Alors \(dt=\sqrt e\,du\), et
\[ \int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} =\frac1{\sqrt e}\int_{\frac1{\sqrt e}}^{1}\frac{du}{1+u^2} =\frac1{\sqrt e}\left[\arctan u\right]_{\frac1{\sqrt e}}^{1} \]Donc
\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx =\frac1{\sqrt e}\left(\frac\pi4-\arctan\left(\frac1{\sqrt e}\right)\right) \]Comme
\[ \arctan(\sqrt e)+\arctan\left(\frac1{\sqrt e}\right)=\frac\pi2 \]on obtient
La valeur exacte de l'intégrale sera réutilisée pour l'aire et pour la limite de la suite de la partie III.
Question 5.c — 0,25 pt
En déduire l'aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine plan délimité par \((\Gamma)\), les droites d'équations respectives :
\[ x=0,\qquad x=1,\qquad y=0 \]Afficher la correction
Méthode : La fonction étant positive sur \([0,1]\), son intégrale représente une aire en unités d'aire du repère. Pour obtenir des centimètres carrés, on multiplie par le produit des longueurs des deux vecteurs unitaires.
L'aire demandée est
\[ \mathcal A=\|\vec i\|\cdot\|\vec j\|\int_0^1f(x)\,dx \]Or \(\|\vec i\|=1\,\text{cm}\) et \(\|\vec j\|=2\,\text{cm}\). Donc
\[ \mathcal A=2\int_0^1f(x)\,dx=4\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]Ainsi
Le coefficient 2 provient du choix des unités sur les axes ; on ne doit pas l'oublier dans une aire exprimée en cm².
Partie II
On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par
\[ u_0\in\left]0,\frac12\right[ \qquad\text{et}\qquad (\forall n\in\mathbb N),\quad u_{n+1}=f(u_n) \]Question 1 — 0,5 pt
En utilisant le résultat de la question I.2.a, montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad |f^{\prime}(x)|\leq f(x) \]Afficher la correction
Méthode : La formule de dérivation de la partie I fournit la dérivée comme le produit de \(f(x)>0\) par un quotient. On majore la valeur absolue de ce quotient à l'aide de l'inégalité \(|1-t|\le 1+t\), valable pour \(t\ge0\).
D'après I.2.a,
\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]Comme \(f(x)\gt{}0\) et \(e^{2x-1}\gt{}0\), on a
\[ \left|1-e^{2x-1}\right|\leq 1+e^{2x-1} \]donc
\[ |f^{\prime}(x)|=f(x)\left|\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}\right|\leq f(x) \]Ainsi
Question 2 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \left(\forall x\in\left[0,\frac12\right]\right),\qquad 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12 \]Afficher la correction
Méthode : On combine le signe de la dérivée sur \([0,1/2]\) et la majoration générale de sa valeur absolue. Ce sont précisément les hypothèses nécessaires à l'inégalité des accroissements finis utilisée plus loin.
Soit \(x\in\left[0,\dfrac12\right]\). Alors \(2x-1\leq0\), donc \(e^{2x-1}\leq1\) et \(1-e^{2x-1}\geq0\). Ainsi \(f^{\prime}(x)\geq0\)
D'après la question précédente,
\[ |f^{\prime}(x)|\leq f(x) \]Et d'après I.2.b,
\[ f(x)\lt \frac12 \]donc
\[ 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12 \]Ainsi
Question 3 — 0,25 pt
Montrer que la fonction
\[ g:x\mapsto g(x)=f(x)-x \]est strictement décroissante sur \(\mathbb R\)
Afficher la correction
Méthode : Pour prouver une stricte décroissance sur tout ℝ, on dérive \(g=f-\mathrm{id}\) et on utilise l'encadrement global de \(f'\). Une dérivée strictement négative sur ℝ suffit à conclure.
La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et
\[ g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1 \]Or
\[ f^{\prime}(x)\leq |f^{\prime}(x)|\leq f(x)\lt \frac12 \]donc
\[ g^{\prime}(x)\lt \frac12-1\lt 0 \]Ainsi
Question 4 — 0,5 pt
En déduire qu'il existe un unique réel
\[ \alpha\in\left]0,\frac12\right[ \]tel que
\[ f(\alpha)=\alpha \]Afficher la correction
Méthode : Il faut distinguer l'existence de l'unicité : la continuité de \(g\) et ses valeurs de signes contraires aux extrémités permettent d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ; sa stricte monotonie assure l'unicité.
La fonction \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(\mathbb R\)
On a
\[ g(0)=f(0)=\frac1{1+e}\gt 0 \]et
\[ g\left(\frac12\right)=f\left(\frac12\right)-\frac12=\frac1{2\sqrt e}-\frac12\lt 0 \]Donc l'équation \(g(x)=0\) admet une solution \(\alpha\in\left]0,\dfrac12\right[\). Comme \(g\) est strictement décroissante, cette solution est unique
Or
\[ g(\alpha)=0\Longleftrightarrow f(\alpha)=\alpha \]Donc
Le réel \(\alpha\) est l'unique point fixe de \(f\) dans l'intervalle considéré.
Question 5 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\lt u_n\lt \frac12 \]Afficher la correction
Méthode : Il s'agit de montrer que l'intervalle ouvert \(]0,1/2[\) est stable par \(f\). On utilise la condition initiale, puis une récurrence avec l'encadrement déjà démontré en partie I.
On raisonne par récurrence
Pour \(n=0\), c'est vrai par hypothèse. Supposons que \(0\lt{}u_n\lt{}\dfrac12\). D'après I.2.b,
\[ 0\lt f(u_n)\lt \frac12 \]Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient
\[ 0\lt u_{n+1}\lt \frac12 \]Donc
Question 6 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_{n+1}-\alpha|\leq \frac12 |u_n-\alpha| \]Afficher la correction
Méthode : Les réels \(u_n\) et \(\alpha\) sont tous deux dans \([0,1/2]\). La fonction y est continue et dérivable, et sa dérivée est majorée en valeur absolue par \(1/2\) : l'inégalité des accroissements finis est donc applicable.
D'après les questions précédentes,
\[ u_n\in\left[0,\frac12\right]\qquad\text{et}\qquad \alpha\in\left[0,\frac12\right] \]Sur \(\left[0,\dfrac12\right]\), on a \(0\leq f^{\prime}(x)\lt{}\dfrac12\). Par l'inégalité des accroissements finis appliquée entre \(u_n\) et \(\alpha\),
\[ |f(u_n)-f(\alpha)|\leq\frac12|u_n-\alpha| \]Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(f(\alpha)=\alpha\), on obtient
L'erreur est au plus divisée par deux à chaque itération : cette propriété annonce une convergence rapide.
Question 7 — 0,5 pt
Montrer par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\leq \left(\frac12\right)^{n+1} \]Afficher la correction
Méthode : L'inégalité précédente fournit une réduction géométrique de l'erreur à chaque étape. Une récurrence permet de cumuler ces réductions à partir de la borne initiale sur \(|u_0-\alpha|\).
Pour \(n=0\), comme \(u_0,\alpha\in\left]0,\dfrac12\right[\), on a
\[ |u_0-\alpha|\lt \frac12 \]Supposons que
\[ |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1} \]D'après la question précédente,
\[ |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+2} \]Donc
Question 8 — 0,25 pt
En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) converge vers \(\alpha\)
Afficher la correction
Méthode : La majoration obtenue à la question précédente tend vers zéro car il s'agit d'une suite géométrique de raison \(1/2\). Le théorème des gendarmes transforme cette estimation d'erreur en convergence.
On a
\[ 0\leq |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1} \]Comme \(\left(\dfrac12\right)^{n+1}\to0\), on obtient par encadrement
\[ |u_n-\alpha|\to0 \]Ainsi
La convergence est obtenue avec une estimation quantitative, sans supposer la monotonie de la suite.
Partie III
On considère la suite numérique \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) définie par :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad S_n=\frac1{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}} \]Question 1 — 0,25 pt
Vérifier que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad S_n=\frac1{n+1} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]Afficher la correction
Méthode : Le but est d'identifier la fonction déjà étudiée dans le terme général de la somme. Une écriture algébrique alternative de \(f\) permet de faire apparaître exactement \(f(k/n)\).
On a
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e}=\frac1{e^x+e^{1-x}} \]Donc
\[ f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac1{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}} \]Ainsi
\[ \frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}}=k f\left(\frac{k}{n}\right) \]d'où
\[ S_n=\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}k f\left(\frac{k}{n}\right) =\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]Donc
Question 2 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \int_0^1 xf(x)\,dx = \int_0^{\frac12} f(x)\,dx \]On pourra effectuer le changement de variable :
\[ t=1-x \]Afficher la correction
Méthode : Pour exploiter \(f(1-x)=f(x)\), on effectue le changement de variable \(t=1-x\) dans l'intégrale. On compare alors l'intégrale obtenue à l'intégrale de départ et on utilise la relation établie en partie I.
Posons
\[ I=\int_0^1xf(x)\,dx \]On effectue le changement de variable \(t=1-x\). Alors
\[ I=\int_0^1(1-t)f(1-t)\,dt=\int_0^1(1-t)f(t)\,dt \]Donc
\[ I=\int_0^1f(x)\,dx-I \]Ainsi
\[ 2I=\int_0^1f(x)\,dx \]D'après I.4.b,
\[ \int_0^1f(x)\,dx=2\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]donc
Question 3 — 0,5 pt
Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est convergente et déterminer sa limite
Afficher la correction
Méthode : Une somme de Riemann doit être ramenée à \(\frac1n\sum_{k=1}^n h(k/n)\), avec \(h\) continue sur \([0,1]\). On traite séparément le facteur supplémentaire, puis on réutilise l'intégrale déjà calculée.
On écrit
\[ S_n=\frac{n}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]La fonction \(x\mapsto xf(x)\) est continue sur \([0,1]\), donc
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1xf(x)\,dx \]Comme \(\dfrac{n}{n+1}\to1\), on obtient
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1xf(x)\,dx \]D'après la question précédente et I.5.b,
La somme discrète converge vers une intégrale dont la valeur exacte avait été calculée auparavant.
Exercice 2 — Nombres complexes et géométrie — 3,5 points
Le quotient de deux différences d'affixes non nulles traduit le rapport de longueurs et l'angle orienté de deux vecteurs. Un quotient réel caractérise la colinéarité ; un quotient imaginaire pur non nul caractérise la perpendicularité. Il faut toujours vérifier que le dénominateur ne s'annule pas.
Soit
\[ \alpha\in[0,2\pi[ \]On considère dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l'équation \((E_\alpha)\) d'inconnue \(z\) :
\[ (E_\alpha):\quad z^2-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)z +i2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha}=0 \]Partie I
Question 1 — 0,25 pt
Vérifier que le discriminant de l'équation \((E_\alpha)\) est :
\[ \Delta_\alpha=\left(2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)\right)^2 \]Afficher la correction
Méthode : Dans une équation quadratique complexe, on calcule le discriminant de la même manière que dans ℝ. L'identité à vérifier permet de connaître immédiatement ses deux racines carrées sans calculer de module.
On a
\[ \Delta_\alpha=\left(-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)\right)^2-4i2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha} \]Donc
\[ \Delta_\alpha=2^{2\alpha}e^{2i\alpha}\left((1+2i)^2-8i\right) \]Or
\[ (1+2i)^2=-3+4i \qquad\text{et}\qquad (1-2i)^2=-3-4i \]Ainsi
\[ (1+2i)^2-8i=(1-2i)^2 \]Donc
Question 2 — 0,5 pt
En déduire les deux solutions \(a\) et \(b\) de l'équation \((E_\alpha)\), avec
\[ |a|\lt |b| \]Afficher la correction
Méthode : La formule des racines du second degré s'applique puisque le coefficient de \(z^2\) vaut 1. Après calcul, on compare les modules pour attribuer les noms \(a\) et \(b\) dans l'ordre demandé.
Une racine carrée de \(\Delta_\alpha\) est
\[ 2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i) \]Les solutions sont
\[ z=\frac{2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)\pm 2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)}2 \]Donc
\[ z=2^\alpha e^{i\alpha} \qquad\text{ou}\qquad z=2^{\alpha+1}ie^{i\alpha} \]Comme
\[ |2^\alpha e^{i\alpha}|=2^\alpha\lt 2^{\alpha+1}=|2^{\alpha+1}ie^{i\alpha}| \]on prend
Question 3 — 0,25 pt
Vérifier que
\[ \frac ba \]est un imaginaire pur
Afficher la correction
Méthode : Le quotient \(b/a\) est défini car \(a=2^\alpha e^{i\alpha}\neq0\). On simplifie les facteurs communs ; un nombre de la forme \(it\), avec \(t\) réel, est un imaginaire pur.
On a
\[ \frac ba=\frac{2^{\alpha+1}ie^{i\alpha}}{2^\alpha e^{i\alpha}}=2i \]Donc
Cette relation, indépendante de \(\alpha\), sera au centre de la partie géométrique.
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\[ (O;\vec u,\vec v) \]On note par \(M(z)\) le point d'affixe le nombre complexe \(z\)
On pose
\[ \frac ba=\lambda i \qquad\text{avec}\qquad \lambda=\operatorname{Im}\left(\frac ba\right) \]On considère les points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(H(h)\) avec
\[ \frac1h=\frac1a+\frac1b \]Question 1 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \frac{h}{b-a} = -\frac{\lambda}{\lambda^2+1}i \]puis en déduire que les droites \((OH)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires
Afficher la correction
Méthode : La relation définissant \(h\) est exploitable car \(a,b\neq0\) et \(a+b\neq0\). On remplace \(b\) par \(\lambda ia\) : le quotient de deux différences d'affixes sera imaginaire pur, critère de perpendicularité.
De \(\dfrac ba=\lambda i\), on a \(b=\lambda ia\)
De plus,
\[ \frac1h=\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab} \]donc
\[ h=\frac{ab}{a+b}=\frac{a\lambda ia}{a+\lambda ia}=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i} \]Et
\[ b-a=a(\lambda i-1) \]Donc
\[ \frac{h}{b-a}=\frac{\lambda i}{(1+\lambda i)(\lambda i-1)} \]Or
\[ (1+\lambda i)(\lambda i-1)=-(\lambda^2+1) \]Ainsi
Ce quotient est un imaginaire pur, donc
Le quotient non nul donne un critère algébrique de perpendicularité entre les deux droites.
Question 2 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \frac{h-a}{b-a}=\frac1{\lambda^2+1} \]puis en déduire que les points \(H\), \(A\) et \(B\) sont alignés
Afficher la correction
Méthode : Le quotient \((h-a)/(b-a)\) compare les directions des vecteurs \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AB}\). Puisque \(b\neq a\), son caractère réel exprime leur colinéarité.
On a
\[ h=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i} \]donc
\[ h-a=a\left(\frac{\lambda i}{1+\lambda i}-1\right)=-\frac{a}{1+\lambda i} \]Et
\[ b-a=a(\lambda i-1) \]Donc
\[ \frac{h-a}{b-a}=-\frac1{(1+\lambda i)(\lambda i-1)}=\frac1{\lambda^2+1} \]Ainsi
Ce quotient est réel, donc
La réalité du quotient donne l'alignement des trois points ; le fait qu'il soit positif précise même la direction.
Soient \(I(m)\) le milieu du segment \([OH]\) et \(J(n)\) le milieu du segment \([HB]\)
Question 3 — 0,5 pt
Montrer que :
\[ \frac{n}{m-a}=-\lambda i \]Afficher la correction
Méthode : Les affixes des milieux s'obtiennent en faisant la moyenne des affixes des extrémités. On substitue ensuite l'expression de \(h\) et celle de \(b\) pour simplifier le quotient demandé.
On a
\[ m=\frac h2\qquad\text{et}\qquad n=\frac{h+b}{2} \]Avec
\[ h=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i}\qquad\text{et}\qquad b=\lambda ia \]on obtient
\[ m-a=\frac h2-a=a\left(\frac{\lambda i}{2(1+\lambda i)}-1\right)=\frac{a(-2-\lambda i)}{2(1+\lambda i)} \]Et
\[ n=\frac{h+b}{2}=\frac a2\left(\frac{\lambda i+\lambda i(1+\lambda i)}{1+\lambda i}\right)=\frac{a(2\lambda i-\lambda^2)}{2(1+\lambda i)} \]Donc
\[ \frac n{m-a}=\frac{2\lambda i-\lambda^2}{-2-\lambda i} \]Or
\[ -\lambda i(-2-\lambda i)=2\lambda i-\lambda^2 \]Donc
Question 4 — 0,5 pt
En déduire que les droites \((OJ)\) et \((AI)\) sont perpendiculaires et que
\[ OJ=|\lambda|\,AI \]Afficher la correction
Méthode : Un quotient d'affixes imaginaire pur non nul traduit un angle droit entre deux vecteurs ; son module traduit le rapport de leurs longueurs. Ces deux lectures doivent être faites à partir de la même égalité.
D'après la question précédente,
\[ \frac n{m-a}=-\lambda i \]Ce quotient est un imaginaire pur, donc les vecteurs d'affixes \(n\) et \(m-a\) sont perpendiculaires. Ainsi
De plus,
\[ \left|\frac n{m-a}\right|=|\lambda| \]donc
La même égalité complexe justifie simultanément une relation angulaire et une relation de longueurs.
Question 5 — 0,25 pt
Soit \(K\) le point d'intersection des droites \((OJ)\) et \((AI)\)
Montrer que les points \(K\), \(I\), \(H\) et \(J\) sont cocycliques
Afficher la correction
Méthode : Pour établir la cocyclicité, on recherche un cercle défini par un diamètre. Deux angles droits s'appuyant sur le même segment permettent de placer leurs sommets sur ce cercle, à condition que les points soient distincts.
Comme \((OJ)\perp(AI)\), avec \(K\in(OJ)\) et \(K\in(AI)\), on a
\[ \widehat{IKJ}=\frac\pi2 \]De plus, \(O,I,H\) sont alignés et \(H,J,B\) sont alignés. Or \((OH)\perp(AB)\) et \(A,H,B\) sont alignés, donc
\[ (HI)\perp(HJ) \]Ainsi
\[ \widehat{IHJ}=\frac\pi2 \]Donc \(K\) et \(H\) appartiennent au cercle de diamètre \([IJ]\). Par conséquent,
Les deux angles droits permettent d'identifier le cercle de diamètre \([IJ]\).
Question 6 — 0,25 pt
Montrer que les droites \((IJ)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires
Afficher la correction
Méthode : La différence \(n-m\) est l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{IJ}\), tandis que \(a\) représente \(\overrightarrow{OA}\). Il suffit de montrer que leur quotient est imaginaire pur.
Comme
\[ m=\frac h2\qquad\text{et}\qquad n=\frac{h+b}{2} \]on a
\[ n-m=\frac b2 \]Donc
\[ \frac{n-m}{a}=\frac12\frac ba=\frac{\lambda}{2}i \]Ce quotient est un imaginaire pur, donc
Exercice 3 — Arithmétique dans ℤ — 3 points
Le petit théorème de Fermat nécessite un module premier et un entier premier avec ce module. Le lemme d'Euclide permet de déduire d'une divisibilité d'un produit la divisibilité d'un facteur. Le théorème de Bézout fournit le critère d'existence de solutions entières à une équation linéaire.
Soient \(p\) un nombre premier impair et \(a\) un entier premier avec \(p\)
Question 1 — 0,5 pt
Montrer que
\[ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \qquad\text{ou}\qquad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p] \]Afficher la correction
Méthode : Le petit théorème de Fermat s'applique parce que \(p\) est premier et que \(a\) est premier avec \(p\). On factorise ensuite une différence de deux carrés et on utilise le lemme d'Euclide pour un produit divisible par \(p\).
Comme \(a\wedge p=1\), d'après le théorème de Fermat,
\[ a^{p-1}\equiv1\ [p] \]Donc
\[ \left(a^{\frac{p-1}{2}}\right)^2\equiv1\ [p] \]Ainsi
\[ \left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)\equiv0\ [p] \]Comme \(p\) est premier,
On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation
\[ ax^2\equiv1\ [p] \]Soit \(x_0\) une solution de cette équation
La conclusion est une condition nécessaire portant sur une puissance de l'entier initial modulo \(p\).
On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation :
\[ ax^2\equiv 1\ [p] \]Soit \(x_0\) une solution de cette équation
Question 2.a — 0,5 pt
Montrer que :
\[ x_0^{p-1}\equiv 1\ [p] \]Afficher la correction
Méthode : L'hypothèse \(ax_0^2\equiv1\pmod p\) implique que \(p\) ne divise pas \(x_0\). Cette condition autorise l'application du petit théorème de Fermat à \(x_0\).
On a
\[ ax_0^2\equiv1\ [p] \]donc \(p\nmid x_0\), et comme \(p\) est premier, \(x_0\wedge p=1\)
D'après le théorème de Fermat,
Question 2.b — 0,25 pt
En déduire que :
\[ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \]Afficher la correction
Méthode : On élève la congruence de départ à la puissance entière \((p-1)/2\). Le facteur \(x_0^{p-1}\) peut ensuite être remplacé par 1 modulo \(p\), grâce au résultat immédiatement précédent.
On élève la congruence
\[ ax_0^2\equiv1\ [p] \]à la puissance \(\dfrac{p-1}{2}\). On obtient
\[ a^{\frac{p-1}{2}}x_0^{p-1}\equiv1\ [p] \]Or \(x_0^{p-1}\equiv1\ [p]\), donc
Soit \(n\) un entier naturel non nul
L'existence d'une solution de la congruence quadratique impose donc une condition sur \(a\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul
Question 3 — 0,5 pt
Montrer que si \(p\) divise
\[ 2^{2n+1}-1 \]alors
\[ 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \]Afficher la correction
Méthode : La divisibilité donnée fournit une solution particulière de la congruence \(2x^2\equiv1\pmod p\). On peut donc appliquer le critère nécessaire démontré en question 2-b, puisque \(p\) est premier impair.
Si \(p\mid 2^{2n+1}-1\), alors
\[ 2^{2n+1}\equiv1\ [p] \]Or
\[ 2^{2n+1}=2(2^n)^2 \]donc l'équation
\[ 2x^2\equiv1\ [p] \]admet la solution \(x_0=2^n\)
Comme \(p\) est impair, \(2\wedge p=1\). D'après la question 2.b appliquée à \(a=2\), on obtient
Question 4 — 0,5 pt
En déduire que l'équation
\[ (E):\quad 11x+\left(2^{2n+1}-1\right)y=1 \]admet au moins une solution dans \(\mathbb Z^2\)
Afficher la correction
Méthode : Le théorème de Bézout relie l'existence d'une solution entière de \(Ax+By=1\) à la condition \(\mathrm{PGCD}(A,B)=1\). Ici, comme 11 est premier, il suffit d'exclure sa divisibilité du second coefficient.
Montrons que
\[ 11\wedge\left(2^{2n+1}-1\right)=1 \]Supposons par l'absurde que
\[ 11\mid 2^{2n+1}-1 \]D'après la question précédente, on aurait
\[ 2^{\frac{11-1}{2}}\equiv1\ [11] \]Donc
\[ 2^5\equiv1\ [11] \]Or
\[ 2^5=32\equiv10\ [11] \]Contradiction. Donc \(11\nmid 2^{2n+1}-1\). Comme \(11\) est premier,
\[ 11\wedge\left(2^{2n+1}-1\right)=1 \]D'après Bézout, l'équation \((E)\) admet au moins une solution dans \(\mathbb Z^2\)
On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation
\[ (F):\quad x^2+5x+2\equiv0\ [11] \]L'identité de Bézout prouve l'existence de solutions entières sans qu'il soit nécessaire de les calculer.
On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation :
\[ (F):\quad x^2+5x+2\equiv 0\ [11] \]Question 5.a — 0,25 pt
Montrer que :
\[ (F)\Longleftrightarrow 2(2x+5)^2\equiv 1\ [11] \]Afficher la correction
Méthode : Pour reconnaître la congruence quadratique préparée dans les questions précédentes, on complète le carré modulo 11. La multiplication par 8 est réversible puisque 8 et 11 sont premiers entre eux.
On calcule
\[ 2(2x+5)^2-1=8x^2+40x+49 \]Or
\[ 8(x^2+5x+2)=8x^2+40x+16 \]Et
\[ 49-16=33\equiv0\ [11] \]Donc
\[ 2(2x+5)^2-1\equiv8(x^2+5x+2)\ [11] \]Comme \(8\wedge11=1\), on obtient
Question 5.b — 0,5 pt
En déduire que l'équation \((F)\) n'admet pas de solution dans \(\mathbb Z\)
Afficher la correction
Méthode : On raisonne par l'absurde : une solution de \((F)\) produirait une solution de \(2X^2\equiv1\pmod{11}\). La question 2-b donnerait alors une congruence incompatible avec le calcul de \(2^5\) modulo 11.
Supposons que \((F)\) admette une solution \(x_0\in\mathbb Z\). Alors
\[ 2(2x_0+5)^2\equiv1\ [11] \]Donc l'équation \(2X^2\equiv1\ [11]\) admet une solution dans \(\mathbb Z\)
D'après la question 2.b appliquée à \(p=11\) et \(a=2\), on aurait
\[ 2^5\equiv1\ [11] \]Or
\[ 2^5=32\equiv10\ [11] \]Contradiction. Donc
La contradiction montre qu'aucune classe résiduelle ne peut satisfaire \((F)\).
Exercice 4 — Structures algébriques et matrices — 3,5 points
Pour établir un groupe, il faut une loi interne associative, un élément neutre et un inverse pour chaque élément. Un homomorphisme préserve la loi, et l'image d'un groupe commutatif reste commutative. Pour un corps, vérifier en plus la distributivité des deux lois et distinguer le zéro additif de l'unité multiplicative.
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice
\[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]et d'unité la matrice
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]et que \((M_3(\mathbb R),+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel
Soient la matrice
\[ A= \begin{pmatrix} -1&-1&0\\ -1&-1&0\\ -1&1&-2 \end{pmatrix} \]et l'ensemble
\[ E=\{M(x)=I+xA\ /\ x\in\mathbb R\} \]Question 1.a — 0,25 pt
Vérifier que :
\[ A^2=-2A \]Afficher la correction
Méthode : Cette première identité matricielle est une multiplication directe, avec contrôle des neuf coefficients. Elle permettra ensuite d'exprimer tous les produits de matrices de \(E\) sans recommencer la multiplication complète.
On calcule
\[ A^2= \begin{pmatrix} 2&2&0\\ 2&2&0\\ 2&-2&4 \end{pmatrix} \]Or
\[ -2A= \begin{pmatrix} 2&2&0\\ 2&2&0\\ 2&-2&4 \end{pmatrix} \]Donc
Question 1.b — 0,25 pt
En déduire que :
\[ (\forall (x,y)\in\mathbb R^2),\qquad M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy) \]Afficher la correction
Méthode : On développe le produit \((I+xA)(I+yA)\) en tenant compte du fait que \(I\) est l'unité. L'identité \(A^2=-2A\) permet de ramener le résultat à une matrice de la forme \(I+tA\).
On a
\[ M(x)M(y)=(I+xA)(I+yA)=I+(x+y)A+xyA^2 \]Comme \(A^2=-2A\),
\[ M(x)M(y)=I+(x+y-2xy)A=M(x+y-2xy) \]Donc
Le produit reste dans \(E\) et se ramène à une opération explicite sur les paramètres réels.
Question 1.c — 0,25 pt
Calculer
\[ M\left(\frac12\right)\times \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]Afficher la correction
Méthode : On utilise la définition \(M(1/2)=I+A/2\), puis on multiplie par la matrice indiquée. Le calcul met en évidence un produit nul avec un second facteur non nul.
On a
\[ M\left(\frac12\right)=I+\frac12A= \begin{pmatrix} \frac12&-\frac12&0\\ -\frac12&\frac12&0\\ -\frac12&\frac12&0 \end{pmatrix} \]Donc
Question 1.d — 0,25 pt
En déduire que la matrice
\[ M\left(\frac12\right) \]n'est pas inversible dans \((M_3(\mathbb R),\times)\)
Afficher la correction
Méthode : Une matrice inversible satisfait la propriété de simplification : si \(MN=O\), alors \(N=O\). Le produit de la question précédente permet de contredire cette propriété.
On a
\[ M\left(\frac12\right)N=O \]avec
\[ N=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\neq O \]Si \(M\left(\dfrac12\right)\) était inversible, on aurait, en multipliant à gauche par son inverse, \(N=O\), contradiction
Donc
Il suffit d'un facteur non nul annulé par la matrice pour établir sa non-inversibilité.
Question 2.a — 0,25 pt
Montrer que
\[ E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\} \]est stable pour la multiplication dans \(M_3(\mathbb R)\)
On pourra utiliser l'identité :
\[ \left(x-\frac12\right)\left(y-\frac12\right) = -\frac12\left(x+y-2xy-\frac12\right) \]Afficher la correction
Méthode : La stabilité exige que le produit de deux matrices différentes de \(M(1/2)\) reste dans le même ensemble. On utilise la formule \(M(x)M(y)=M(x+y-2xy)\), puis l'identité algébrique fournie dans l'énoncé.
Soient \(M(x),M(y)\in E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\). Alors
\[ x\neq\frac12\qquad\text{et}\qquad y\neq\frac12 \]D'après 1.b,
\[ M(x)M(y)=M(x+y-2xy) \]Il faut montrer que \(x+y-2xy\neq\dfrac12\)
Si
\[ x+y-2xy=\frac12 \]alors, avec l'identité donnée,
\[ \left(x-\frac12\right)\left(y-\frac12\right)=-\frac12\left(x+y-2xy-\frac12\right)=0 \]Donc \(x=\dfrac12\) ou \(y=\dfrac12\), contradiction
Ainsi
L'identité auxiliaire exclut exactement le paramètre \(1/2\), indispensable à la stabilité.
Question 2.b — 1 pt
Montrer que
\[ \left(E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\},\times\right) \]est un groupe commutatif
Afficher la correction
Méthode : La multiplication matricielle est associative. Après la stabilité, on cherche son neutre puis l'inverse de chaque \(M(x)\) lorsque \(x\neq1/2\). La commutativité résultera de la symétrie de \(x+y-2xy\).
La stabilité est démontrée. L'associativité provient de celle de la multiplication matricielle. L'élément neutre est
\[ I=M(0)\in E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\} \]Soit \(M(x)\in E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\). On cherche \(y\) tel que
\[ M(x)M(y)=I=M(0) \]Cela équivaut à
\[ x+y-2xy=0 \]donc
\[ y(1-2x)=-x \]Comme \(x\neq\dfrac12\), on obtient
\[ y=\frac{x}{2x-1} \]Et
\[ \frac{x}{2x-1}\neq\frac12 \]Donc tout élément admet un inverse dans \(E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\)
Enfin
\[ M(x)M(y)=M(x+y-2xy)=M(y+x-2yx)=M(y)M(x) \]Donc
Le paramètre \(1/2\) doit être exclu pour que la multiplication possède des inverses sur l'ensemble.
Deuxième partie — Loi T et homomorphisme
On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[ (\forall (x,y)\in\mathbb R^2),\qquad M(x)\,T\,M(y)=M\left(x+y-\frac12\right) \]et on considère l'application \(\varphi\) définie de \(\mathbb R\) vers \(E\) par :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad \varphi(x)=M\left(\frac{1-x}{2}\right) \]Question 3.a — 0,5 pt
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((E,T)\) et que
\[ \varphi(\mathbb R)=E \]Afficher la correction
Méthode : Pour vérifier un homomorphisme, on compare \(\varphi(x+y)\) et \(\varphi(x)T\varphi(y)\) pour deux réels arbitraires. Pour prouver la surjectivité, on cherche un antécédent de chaque matrice \(M(t)\).
Soient \(x,y\in\mathbb R\). On a
\[ \varphi(x+y)=M\left(\frac{1-x-y}{2}\right) \]D'autre part,
\[ \varphi(x)T\varphi(y)=M\left(\frac{1-x}{2}\right)T M\left(\frac{1-y}{2}\right) \]Donc
\[ \varphi(x)T\varphi(y)=M\left(\frac{1-x}{2}+\frac{1-y}{2}-\frac12\right)=M\left(\frac{1-x-y}{2}\right) \]Ainsi
Donc \(\varphi\) est un homomorphisme
Soit \(M(t)\in E\). En prenant \(x=1-2t\), on a
\[ \varphi(1-2t)=M(t) \]Donc
La surjectivité est explicite : toute matrice \(M(t)\) possède l'antécédent \(1-2t\).
Question 3.b — 0,25 pt
En déduire que \((E,T)\) est un groupe commutatif
Afficher la correction
Méthode : L'image d'un groupe par un homomorphisme est un groupe. Comme l'homomorphisme est surjectif et que le groupe de départ \((\mathbb R,+)\) est commutatif, son image hérite de cette propriété.
On sait que \((\mathbb R,+)\) est un groupe commutatif, que \(\varphi\) est un homomorphisme, et que
\[ \varphi(\mathbb R)=E \]Donc \((E,T)\) est l'image d'un groupe commutatif par un homomorphisme
Ainsi
On obtient la structure du groupe par transport à travers l'homomorphisme plutôt que par vérification directe de tous les axiomes.
Question 4 — 0,5 pt
Montrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif
Afficher la correction
Méthode : Un corps commutatif exige un groupe additif commutatif, un groupe multiplicatif commutatif sur les éléments non nuls et la distributivité. Les deux premières conditions viennent des questions précédentes ; on vérifie maintenant la dernière.
On sait que \((E,T)\) est un groupe commutatif. Son élément neutre est
\[ M\left(\frac12\right) \]car
\[ M(x)T M\left(\frac12\right)=M(x) \]On sait aussi que
\[ \left(E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\},\times\right) \]est un groupe commutatif, d'élément neutre
\[ I=M(0) \]Vérifions la distributivité. Soient \(M(x),M(y),M(z)\in E\)
On a
\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M(x)M\left(y+z-\frac12\right) \]donc
\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M\left(x+y+z-\frac12-2xy-2xz+x\right) \]Ainsi
\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M\left(2x+y+z-\frac12-2xy-2xz\right) \]D'autre part,
\[ (M(x)M(y))T(M(x)M(z))=M(x+y-2xy)T M(x+z-2xz) \]donc
\[ (M(x)M(y))T(M(x)M(z))=M\left(2x+y+z-\frac12-2xy-2xz\right) \]Donc
\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=(M(x)M(y))T(M(x)M(z)) \]La multiplication étant commutative dans \(E\), la distributivité à droite en découle
Ainsi \((E,T,\times)\) est un corps commutatif
La structure finale met en évidence les deux lois distinctes : \(T\) joue le rôle de l'addition et \(\times\) celui de la multiplication.
Méthodes essentielles à retenir
En analyse, les résultats de symétrie, les signes de dérivées et les limites facilitent la lecture d’une courbe ; les changements de variable sont utiles lorsque l’intégrande peut être ramené à une primitive connue. Pour les suites, une majoration géométrique de l’erreur fournit une preuve de convergence. Dans les nombres complexes, les quotients d’affixes relient calcul algébrique, perpendicularité et alignement. En arithmétique, un théorème ne peut être appliqué qu’après vérification de la primalité et des conditions de coprimalité. Enfin, l’étude d’une structure algébrique nécessite de distinguer rigoureusement les deux lois et leurs neutres respectifs.
Chaque réponse doit préciser la notion mobilisée, ses conditions d’application, le calcul indispensable et ce que le résultat permet de conclure.
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