Correction examen national 2025 session ordinaire — Sciences Mathématiques

Correction — Examen national 2025

Session ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Type de ressource : correction détaillée d’un examen national
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Session : Ordinaire 2025
Contenu : analyse, nombres complexes, arithmétique et structures algébriques
Total : 20 points

Objectif pédagogique :
Cette correction a pour but d’aider les élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques à comprendre les méthodes de résolution attendues à l’examen national. La rédaction met en évidence les données utiles, les résultats du cours mobilisés et les étapes nécessaires pour obtenir une solution claire et rigoureuse.

Conseil de travail :
Avant de lire la correction, il est conseillé de traiter chaque exercice seul, puis de comparer votre raisonnement avec les étapes proposées. Les questions d’analyse, de nombres complexes, d’arithmétique et de structures algébriques doivent être relues avec attention, car elles reprennent des méthodes classiques du programme.

Compléments PDF :
Le sujet et la correction PDF sont des compléments de lecture. La correction écrite reste disponible directement dans cette page afin de faciliter la lecture, le référencement et la révision progressive.

Navigation et ressources :
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Structure du corrigé :
Le corrigé est organisé en quatre exercices :

Exercice 1 : analyse, étude de fonction, intégrales et suites ;
Exercice 2 : nombres complexes et géométrie complexe ;
Exercice 3 : arithmétique dans \(\mathbb Z\) ;
Exercice 4 : structures algébriques.

Accès détaillé aux questions

Exercice 1 — Analyse

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par

\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]

et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\)

Partie I

Question 1.a

Énoncé.

Montrer que

\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f(1-x)=f(x) \]

Soit \(x\in\mathbb R\)

On a

\[ f(1-x)=\frac{e^{1-x}}{e^{2(1-x)}+e}=\frac{e^{1-x}}{e^{2-2x}+e} \]

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(e\), puis en multipliant par \(e^{2x}\), on obtient

\[ f(1-x)=\frac{e^{-x}}{e^{1-2x}+1}=\frac{e^x}{e+e^{2x}}=\frac{e^x}{e^{2x}+e}=f(x) \]

Donc

\[ \boxed{(\forall x\in\mathbb R),\quad f(1-x)=f(x)} \]

Question 1.b

Énoncé.

Interpréter graphiquement le résultat obtenu

Les réels \(x\) et \(1-x\) sont symétriques par rapport à \(\dfrac12\). Comme

\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f(1-x)=f(x) \]

la courbe \((\Gamma)\) admet la droite d'équation

\[ \boxed{x=\frac12} \]

comme axe de symétrie

Question 1.c

Énoncé.

Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)\), puis en déduire \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\)

On a

\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]

Lorsque \(x\to-\infty\), on a

\[ e^x\to0\qquad\text{et}\qquad e^{2x}\to0 \]

donc

\[ \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=0} \]

D'après la question 1.a,

\[ f(x)=f(1-x) \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(1-x\to-\infty\). Ainsi

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0} \]

Question 1.d

Énoncé.

Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus

Comme

\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]

la droite d'équation

\[ \boxed{y=0} \]

est une asymptote horizontale à \((\Gamma)\) au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\)

Question 2.a

Énoncé.

Montrer que

\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]

La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et pour tout \(x\in\mathbb R\),

\[ f^{\prime}(x)=\frac{e^x(e^{2x}+e)-2e^{2x}e^x}{(e^{2x}+e)^2} =\frac{e^x(e-e^{2x})}{(e^{2x}+e)^2} \]

Comme

\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]

on obtient

\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{e-e^{2x}}{e^{2x}+e} =f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]

Donc

\[ \boxed{f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}} \]

Question 2.b

Énoncé.

Donner les variations de \(f\), puis en déduire que

\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad 0\lt f(x)\lt \frac12 \]

Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a

\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]

\[ f(x)\gt 0\qquad\text{et}\qquad 1+e^{2x-1}\gt 0 \]

Le signe de \(f^{\prime}(x)\) est donc celui de \(1-e^{2x-1}\)

On a

\[ 1-e^{2x-1}\gt 0\Longleftrightarrow x\lt \frac12 \] \[ 1-e^{2x-1}=0\Longleftrightarrow x=\frac12 \] \[ 1-e^{2x-1}\lt 0\Longleftrightarrow x\gt \frac12 \]

Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\left]-\infty,\dfrac12\right]\) et strictement décroissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\)

De plus,

\[ f\left(\frac12\right)=\frac{e^{1/2}}{e+e}=\frac1{2\sqrt e} \]

Ainsi

\[ \begin{array}{c|ccc} x&-\infty&\frac12&+\infty\\ \hline f^{\prime}(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&0&\nearrow\dfrac1{2\sqrt e}\searrow&0 \end{array} \]

Comme \(0<\dfrac1{2\sqrt e}<\dfrac12\), on a

\[ \boxed{(\forall x\in\mathbb R),\qquad 0\lt f(x)\lt \frac12} \]

Question 3

Énoncé.

Représenter graphiquement la courbe \((\Gamma)\)

On utilise les résultats précédents

La courbe \((\Gamma)\) admet la droite \(x=\dfrac12\) comme axe de symétrie, et la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\)

La fonction \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty,\dfrac12\right]\) et décroissante sur \(\left[\dfrac12,+\infty\right[\)

La courbe atteint son maximum au point

\[ A\left(\frac12,\frac1{2\sqrt e}\right) \]

De plus,

\[ f(0)=\frac1{1+e}\qquad\text{et}\qquad f(1)=f(0)=\frac1{1+e} \]

donc \((\Gamma)\) passe par

\[ B\left(0,\frac1{1+e}\right)\qquad\text{et}\qquad C\left(1,\frac1{1+e}\right) \]

Avec

\[ \frac1{2\sqrt e}\simeq0{,}30\qquad\text{et}\qquad \frac1{1+e}\simeq0{,}27 \]

ces éléments permettent de représenter \((\Gamma)\)

Question 4.a

Énoncé.

Montrer que

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx \]

Dans \(\displaystyle \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx\), posons

\[ t=1-x \]

Alors \(dt=-dx\). Lorsque \(x=\dfrac12\), \(t=\dfrac12\), et lorsque \(x=1\), \(t=0\). Donc

\[ \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx =\int_{\frac12}^{0}f(1-t)(-dt) =\int_0^{\frac12}f(1-t)\,dt \]

Or \(f(1-t)=f(t)\). Ainsi

\[ \boxed{\int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx} \]

Question 4.b

Énoncé.

En déduire que

\[ \int_0^1 f(x)\,dx=2\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]

On a

\[ \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx+\int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx \]

D'après la question précédente,

\[ \int_{\frac12}^{1}f(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]

donc

\[ \boxed{\int_0^1 f(x)\,dx=2\int_0^{\frac12}f(x)\,dx} \]

Question 5.a

Énoncé.

En effectuant le changement de variable \(t=e^x\), montrer que

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]

On pose \(t=e^x\). Alors \(dt=e^x\,dx\). Lorsque \(x=0\), \(t=1\), et lorsque \(x=\dfrac12\), \(t=\sqrt e\)

Donc

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx =\int_0^{\frac12}\frac{e^x}{e^{2x}+e}\,dx =\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]

Ainsi

\[ \boxed{\int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e}} \]

Question 5.b

Énoncé.

Montrer que

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\frac1{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\frac\pi4\right) \]

D'après la question précédente,

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]

On pose \(u=\dfrac{t}{\sqrt e}\). Alors \(dt=\sqrt e\,du\), et

\[ \int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} =\frac1{\sqrt e}\int_{\frac1{\sqrt e}}^{1}\frac{du}{1+u^2} =\frac1{\sqrt e}\left[\arctan u\right]_{\frac1{\sqrt e}}^{1} \]

Donc

\[ \int_0^{\frac12}f(x)\,dx =\frac1{\sqrt e}\left(\frac\pi4-\arctan\left(\frac1{\sqrt e}\right)\right) \]

Comme

\[ \arctan(\sqrt e)+\arctan\left(\frac1{\sqrt e}\right)=\frac\pi2 \]

on obtient

\[ \boxed{\int_0^{\frac12}f(x)\,dx=\frac1{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\frac\pi4\right)} \]

Question 5.c

Énoncé.

En déduire l'aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine plan délimité par \((\Gamma)\), les droites d'équations \(x=0\), \(x=1\) et \(y=0\)

L'aire demandée est

\[ \mathcal A=\|\vec i\|\cdot\|\vec j\|\int_0^1f(x)\,dx \]

Or \(\|\vec i\|=1\,\text{cm}\) et \(\|\vec j\|=2\,\text{cm}\). Donc

\[ \mathcal A=2\int_0^1f(x)\,dx=4\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]

Ainsi

\[ \boxed{\mathcal A=\frac4{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\frac\pi4\right)\ \text{cm}^2} \]

Partie II

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par

\[ u_0\in\left]0,\frac12\right[ \qquad\text{et}\qquad (\forall n\in\mathbb N),\quad u_{n+1}=f(u_n) \]

Question 1

Énoncé.

En utilisant le résultat de la question I.2.a, montrer que

\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad |f^{\prime}(x)|\leq f(x) \]

D'après I.2.a,

\[ f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]

Comme \(f(x)>0\) et \(e^{2x-1}>0\), on a

\[ \left|1-e^{2x-1}\right|\leq 1+e^{2x-1} \]

donc

\[ |f^{\prime}(x)|=f(x)\left|\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}}\right|\leq f(x) \]

Ainsi

\[ \boxed{(\forall x\in\mathbb R),\qquad |f^{\prime}(x)|\leq f(x)} \]

Question 2

Énoncé.

Montrer que

\[ \left(\forall x\in\left[0,\frac12\right]\right),\qquad 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12 \]

Soit \(x\in\left[0,\dfrac12\right]\). Alors \(2x-1\leq0\), donc \(e^{2x-1}\leq1\) et \(1-e^{2x-1}\geq0\). Ainsi \(f^{\prime}(x)\geq0\)

D'après la question précédente,

\[ |f^{\prime}(x)|\leq f(x) \]

Et d'après I.2.b,

\[ f(x)\lt \frac12 \]

donc

\[ 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12 \]

Ainsi

\[ \boxed{\left(\forall x\in\left[0,\frac12\right]\right),\qquad 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12} \]

Question 3

Énoncé.

Montrer que \(g:x\mapsto f(x)-x\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R\)

La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et

\[ g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1 \]

\[ f^{\prime}(x)\leq |f^{\prime}(x)|\leq f(x)\lt \frac12 \]

donc

\[ g^{\prime}(x)\lt \frac12-1\lt 0 \]

Ainsi

\[ \boxed{g\text{ est strictement décroissante sur }\mathbb R} \]

Question 4

Énoncé.

En déduire qu'il existe un unique réel \(\alpha\in\left]0,\dfrac12\right[\) tel que \(f(\alpha)=\alpha\)

La fonction \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(\mathbb R\)

On a

\[ g(0)=f(0)=\frac1{1+e}\gt 0 \]

\[ g\left(\frac12\right)=f\left(\frac12\right)-\frac12=\frac1{2\sqrt e}-\frac12\lt 0 \]

Donc l'équation \(g(x)=0\) admet une solution \(\alpha\in\left]0,\dfrac12\right[\). Comme \(g\) est strictement décroissante, cette solution est unique

\[ g(\alpha)=0\Longleftrightarrow f(\alpha)=\alpha \]

Donc

\[ \boxed{\exists!\,\alpha\in\left]0,\frac12\right[\text{ tel que }f(\alpha)=\alpha} \]

Question 5

Énoncé.

Montrer que

\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\lt u_n\lt \frac12 \]

On raisonne par récurrence

Pour \(n=0\), c'est vrai par hypothèse. Supposons que \(0 \[ 0\lt f(u_n)\lt \frac12 \]

Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient

\[ 0\lt u_{n+1}\lt \frac12 \]

Donc

\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\lt u_n\lt \frac12} \]

Question 6

Énoncé.

Montrer que

\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_{n+1}-\alpha|\leq \frac12|u_n-\alpha| \]

D'après les questions précédentes,

\[ u_n\in\left[0,\frac12\right]\qquad\text{et}\qquad \alpha\in\left[0,\frac12\right] \]

Sur \(\left[0,\dfrac12\right]\), on a \(0\leq f^{\prime}(x)<\dfrac12\). Par l'inégalité des accroissements finis appliquée entre \(u_n\) et \(\alpha\),

\[ |f(u_n)-f(\alpha)|\leq\frac12|u_n-\alpha| \]

Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \(f(\alpha)=\alpha\), on obtient

\[ \boxed{|u_{n+1}-\alpha|\leq \frac12|u_n-\alpha|} \]

Question 7

Énoncé.

Montrer par récurrence que

\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1} \]

Pour \(n=0\), comme \(u_0,\alpha\in\left]0,\dfrac12\right[\), on a

\[ |u_0-\alpha|\lt \frac12 \]

Supposons que

\[ |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1} \]

D'après la question précédente,

\[ |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+2} \]

Donc

\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1}} \]

Question 8

Énoncé.

En déduire que la suite \((u_n)\) converge vers \(\alpha\)

On a

\[ 0\leq |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1} \]

Comme \(\left(\dfrac12\right)^{n+1}\to0\), on obtient par encadrement

\[ |u_n-\alpha|\to0 \]

Ainsi

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha} \]

Partie III

On considère la suite \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) définie par

\[ S_n=\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}} \]

Question 1

Énoncé.

Vérifier que

\[ S_n=\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]

On a

\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e}=\frac1{e^x+e^{1-x}} \]

Donc

\[ f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac1{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}} \]

Ainsi

\[ \frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}}=k f\left(\frac{k}{n}\right) \]

d'où

\[ S_n=\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}k f\left(\frac{k}{n}\right) =\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]

Donc

\[ \boxed{S_n=\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)} \]

Question 2

Énoncé.

Montrer que

\[ \int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]

Posons

\[ I=\int_0^1xf(x)\,dx \]

On effectue le changement de variable \(t=1-x\). Alors

\[ I=\int_0^1(1-t)f(1-t)\,dt=\int_0^1(1-t)f(t)\,dt \]

Donc

\[ I=\int_0^1f(x)\,dx-I \]

Ainsi

\[ 2I=\int_0^1f(x)\,dx \]

D'après I.4.b,

\[ \int_0^1f(x)\,dx=2\int_0^{\frac12}f(x)\,dx \]

donc

\[ \boxed{\int_0^1 xf(x)\,dx=\int_0^{\frac12}f(x)\,dx} \]

Question 3

Énoncé.

Montrer que la suite \((S_n)\) est convergente et déterminer sa limite

On écrit

\[ S_n=\frac{n}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]

La fonction \(x\mapsto xf(x)\) est continue sur \([0,1]\), donc

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1xf(x)\,dx \]

Comme \(\dfrac{n}{n+1}\to1\), on obtient

\[ \lim_{n\to+\infty}S_n=\int_0^1xf(x)\,dx \]

D'après la question précédente et I.5.b,

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}S_n=\frac1{\sqrt e}\left(\arctan(\sqrt e)-\frac\pi4\right)} \]

Exercice 2 — Nombres complexes

Soit \(\alpha\in[0,2\pi[\). On considère dans \(\mathbb C\) l'équation

\[ (E_\alpha):\quad z^2-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)z+i2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha}=0 \]

Partie I

Question 1

Énoncé.

Vérifier que le discriminant de \((E_\alpha)\) est

\[ \Delta_\alpha=\left(2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)\right)^2 \]

On a

\[ \Delta_\alpha=\left(-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)\right)^2-4i2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha} \]

Donc

\[ \Delta_\alpha=2^{2\alpha}e^{2i\alpha}\left((1+2i)^2-8i\right) \]

\[ (1+2i)^2=-3+4i \qquad\text{et}\qquad (1-2i)^2=-3-4i \]

Ainsi

\[ (1+2i)^2-8i=(1-2i)^2 \]

Donc

\[ \boxed{\Delta_\alpha=\left(2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)\right)^2} \]

Question 2

Énoncé.

En déduire les deux solutions \(a\) et \(b\), avec \(|a|<|b|\)

Une racine carrée de \(\Delta_\alpha\) est

\[ 2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i) \]

Les solutions sont

\[ z=\frac{2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)\pm 2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)}2 \]

Donc

\[ z=2^\alpha e^{i\alpha} \qquad\text{ou}\qquad z=2^{\alpha+1}ie^{i\alpha} \]

Comme

\[ |2^\alpha e^{i\alpha}|=2^\alpha\lt 2^{\alpha+1}=|2^{\alpha+1}ie^{i\alpha}| \]

on prend

\[ \boxed{a=2^\alpha e^{i\alpha}}\qquad\text{et}\qquad \boxed{b=2^{\alpha+1}ie^{i\alpha}} \]

Question 3

Énoncé.

Vérifier que \(\dfrac ba\) est un imaginaire pur

On a

\[ \frac ba=\frac{2^{\alpha+1}ie^{i\alpha}}{2^\alpha e^{i\alpha}}=2i \]

Donc

\[ \boxed{\frac ba\in i\mathbb R} \]

Partie II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\). On note par \(M(z)\) le point d'affixe \(z\)

On pose

\[ \frac ba=\lambda i \qquad\text{avec}\qquad \lambda=\operatorname{Im}\left(\frac ba\right) \]

On considère les points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(H(h)\) avec

\[ \frac1h=\frac1a+\frac1b \]

D'après la partie I, \(\dfrac ba=2i\), donc \(\lambda=2\). On garde l'écriture avec \(\lambda\)

Question 1

Énoncé.

Montrer que

\[ \frac{h}{b-a}=-\frac{\lambda}{\lambda^2+1}i \]

puis en déduire que \((OH)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires

De \(\dfrac ba=\lambda i\), on a \(b=\lambda ia\)

De plus,

\[ \frac1h=\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab} \]

donc

\[ h=\frac{ab}{a+b}=\frac{a\lambda ia}{a+\lambda ia}=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i} \]

\[ b-a=a(\lambda i-1) \]

Donc

\[ \frac{h}{b-a}=\frac{\lambda i}{(1+\lambda i)(\lambda i-1)} \]

\[ (1+\lambda i)(\lambda i-1)=-(\lambda^2+1) \]

Ainsi

\[ \boxed{\frac{h}{b-a}=-\frac{\lambda}{\lambda^2+1}i} \]

Ce quotient est un imaginaire pur, donc

\[ \boxed{(OH)\perp(AB)} \]

Question 2

Énoncé.

Montrer que

\[ \frac{h-a}{b-a}=\frac1{\lambda^2+1} \]

puis en déduire que les points \(H\), \(A\), \(B\) sont alignés

On a

\[ h=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i} \]

donc

\[ h-a=a\left(\frac{\lambda i}{1+\lambda i}-1\right)=-\frac{a}{1+\lambda i} \]

\[ b-a=a(\lambda i-1) \]

Donc

\[ \frac{h-a}{b-a}=-\frac1{(1+\lambda i)(\lambda i-1)}=\frac1{\lambda^2+1} \]

Ainsi

\[ \boxed{\frac{h-a}{b-a}=\frac1{\lambda^2+1}} \]

Ce quotient est réel, donc

\[ \boxed{H,\ A,\ B\text{ sont alignés}} \]

Question 3

Énoncé.

Soient \(I(m)\) le milieu de \([OH]\) et \(J(n)\) le milieu de \([HB]\). Montrer que

\[ \frac{n}{m-a}=-\lambda i \]

On a

\[ m=\frac h2\qquad\text{et}\qquad n=\frac{h+b}{2} \]

Avec

\[ h=\frac{\lambda ia}{1+\lambda i}\qquad\text{et}\qquad b=\lambda ia \]

on obtient

\[ m-a=\frac h2-a=a\left(\frac{\lambda i}{2(1+\lambda i)}-1\right)=\frac{a(-2-\lambda i)}{2(1+\lambda i)} \]

\[ n=\frac{h+b}{2}=\frac a2\left(\frac{\lambda i+\lambda i(1+\lambda i)}{1+\lambda i}\right)=\frac{a(2\lambda i-\lambda^2)}{2(1+\lambda i)} \]

Donc

\[ \frac n{m-a}=\frac{2\lambda i-\lambda^2}{-2-\lambda i} \]

\[ -\lambda i(-2-\lambda i)=2\lambda i-\lambda^2 \]

Donc

\[ \boxed{\frac n{m-a}=-\lambda i} \]

Question 4

Énoncé.

En déduire que \((OJ)\perp(AI)\) et que \(OJ=|\lambda|AI\)

D'après la question précédente,

\[ \frac n{m-a}=-\lambda i \]

Ce quotient est un imaginaire pur, donc les vecteurs d'affixes \(n\) et \(m-a\) sont perpendiculaires. Ainsi

\[ \boxed{(OJ)\perp(AI)} \]

De plus,

\[ \left|\frac n{m-a}\right|=|\lambda| \]

donc

\[ \boxed{OJ=|\lambda|AI} \]

Question 5

Énoncé.

Soit \(K\) le point d'intersection de \((OJ)\) et \((AI)\). Montrer que \(K,I,H,J\) sont cocycliques

Comme \((OJ)\perp(AI)\), avec \(K\in(OJ)\) et \(K\in(AI)\), on a

\[ \widehat{IKJ}=\frac\pi2 \]

De plus, \(O,I,H\) sont alignés et \(H,J,B\) sont alignés. Or \((OH)\perp(AB)\) et \(A,H,B\) sont alignés, donc

\[ (HI)\perp(HJ) \]

Ainsi

\[ \widehat{IHJ}=\frac\pi2 \]

Donc \(K\) et \(H\) appartiennent au cercle de diamètre \([IJ]\). Par conséquent,

\[ \boxed{K,\ I,\ H,\ J\text{ sont cocycliques}} \]

Question 6

Énoncé.

Montrer que \((IJ)\perp(OA)\)

Comme

\[ m=\frac h2\qquad\text{et}\qquad n=\frac{h+b}{2} \]

on a

\[ n-m=\frac b2 \]

Donc

\[ \frac{n-m}{a}=\frac12\frac ba=\frac{\lambda}{2}i \]

Ce quotient est un imaginaire pur, donc

\[ \boxed{(IJ)\perp(OA)} \]

Exercice 3 — Arithmétique

Soient \(p\) un nombre premier impair et \(a\) un entier premier avec \(p\)

Question 1

Énoncé.

Montrer que

\[ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p]\qquad\text{ou}\qquad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\ [p] \]

Comme \(a\wedge p=1\), d'après le théorème de Fermat,

\[ a^{p-1}\equiv1\ [p] \]

Donc

\[ \left(a^{\frac{p-1}{2}}\right)^2\equiv1\ [p] \]

Ainsi

\[ \left(a^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac{p-1}{2}}+1\right)\equiv0\ [p] \]

Comme \(p\) est premier,

\[ \boxed{a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p]\quad\text{ou}\quad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\ [p]} \]

On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation

\[ ax^2\equiv1\ [p] \]

Soit \(x_0\) une solution de cette équation

Question 2.a

Énoncé.

Montrer que \(x_0^{p-1}\equiv1\ [p]\)

On a

\[ ax_0^2\equiv1\ [p] \]

donc \(p\nmid x_0\), et comme \(p\) est premier, \(x_0\wedge p=1\)

D'après le théorème de Fermat,

\[ \boxed{x_0^{p-1}\equiv1\ [p]} \]

Question 2.b

Énoncé.

En déduire que \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p]\)

On élève la congruence

\[ ax_0^2\equiv1\ [p] \]

à la puissance \(\dfrac{p-1}{2}\). On obtient

\[ a^{\frac{p-1}{2}}x_0^{p-1}\equiv1\ [p] \]

Or \(x_0^{p-1}\equiv1\ [p]\), donc

\[ \boxed{a^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p]} \]

Soit \(n\) un entier naturel non nul

Question 3

Énoncé.

Montrer que si \(p\mid 2^{2n+1}-1\), alors

\[ 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p] \]

Si \(p\mid 2^{2n+1}-1\), alors

\[ 2^{2n+1}\equiv1\ [p] \]

\[ 2^{2n+1}=2(2^n)^2 \]

donc l'équation

\[ 2x^2\equiv1\ [p] \]

admet la solution \(x_0=2^n\)

Comme \(p\) est impair, \(2\wedge p=1\). D'après la question 2.b appliquée à \(a=2\), on obtient

\[ \boxed{2^{\frac{p-1}{2}}\equiv1\ [p]} \]

Question 4

Énoncé.

En déduire que l'équation

\[ (E):\quad 11x+\left(2^{2n+1}-1\right)y=1 \]

admet au moins une solution dans \(\mathbb Z^2\)

Montrons que

\[ 11\wedge\left(2^{2n+1}-1\right)=1 \]

Supposons par l'absurde que

\[ 11\mid 2^{2n+1}-1 \]

D'après la question précédente, on aurait

\[ 2^{\frac{11-1}{2}}\equiv1\ [11] \]

Donc

\[ 2^5\equiv1\ [11] \]

\[ 2^5=32\equiv10\ [11] \]

Contradiction. Donc \(11\nmid 2^{2n+1}-1\). Comme \(11\) est premier,

\[ 11\wedge\left(2^{2n+1}-1\right)=1 \]

D'après Bézout, l'équation \((E)\) admet au moins une solution dans \(\mathbb Z^2\)

\[ \boxed{(E)\text{ admet au moins une solution dans }\mathbb Z^2} \]

On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation

\[ (F):\quad x^2+5x+2\equiv0\ [11] \]

Question 5.a

Énoncé.

Montrer que

\[ (F)\Longleftrightarrow 2(2x+5)^2\equiv1\ [11] \]

On calcule

\[ 2(2x+5)^2-1=8x^2+40x+49 \]

\[ 8(x^2+5x+2)=8x^2+40x+16 \]

\[ 49-16=33\equiv0\ [11] \]

Donc

\[ 2(2x+5)^2-1\equiv8(x^2+5x+2)\ [11] \]

Comme \(8\wedge11=1\), on obtient

\[ \boxed{(F)\Longleftrightarrow 2(2x+5)^2\equiv1\ [11]} \]

Question 5.b

Énoncé.

En déduire que l'équation \((F)\) n'admet pas de solution dans \(\mathbb Z\)

Supposons que \((F)\) admette une solution \(x_0\in\mathbb Z\). Alors

\[ 2(2x_0+5)^2\equiv1\ [11] \]

Donc l'équation \(2X^2\equiv1\ [11]\) admet une solution dans \(\mathbb Z\)

D'après la question 2.b appliquée à \(p=11\) et \(a=2\), on aurait

\[ 2^5\equiv1\ [11] \]

\[ 2^5=32\equiv10\ [11] \]

Contradiction. Donc

\[ \boxed{(F)\text{ n'admet pas de solution dans }\mathbb Z} \]

Exercice 4 — Structures algébriques

On considère

\[ A= \begin{pmatrix} -1&-1&0\\ -1&-1&0\\ -1&1&-2 \end{pmatrix} \]

\[ E=\{M(x)=I+xA\ /\ x\in\mathbb R\} \]

Question 1.a

Énoncé.

Vérifier que \(A^2=-2A\)

On calcule

\[ A^2= \begin{pmatrix} 2&2&0\\ 2&2&0\\ 2&-2&4 \end{pmatrix} \]

\[ -2A= \begin{pmatrix} 2&2&0\\ 2&2&0\\ 2&-2&4 \end{pmatrix} \]

Donc

\[ \boxed{A^2=-2A} \]

Question 1.b

Énoncé.

En déduire que

\[ M(x)M(y)=M(x+y-2xy) \]

On a

\[ M(x)M(y)=(I+xA)(I+yA)=I+(x+y)A+xyA^2 \]

Comme \(A^2=-2A\),

\[ M(x)M(y)=I+(x+y-2xy)A=M(x+y-2xy) \]

Donc

\[ \boxed{M(x)M(y)=M(x+y-2xy)} \]

Question 1.c

Énoncé.

Calculer

\[ M\left(\frac12\right) \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]

On a

\[ M\left(\frac12\right)=I+\frac12A= \begin{pmatrix} \frac12&-\frac12&0\\ -\frac12&\frac12&0\\ -\frac12&\frac12&0 \end{pmatrix} \]

Donc

\[ \boxed{ M\left(\frac12\right) \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}=O} \]

Question 1.d

Énoncé.

En déduire que \(M\left(\dfrac12\right)\) n'est pas inversible dans \((M_3(\mathbb R),\times)\)

On a

\[ M\left(\frac12\right)N=O \]

avec

\[ N=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\neq O \]

Si \(M\left(\dfrac12\right)\) était inversible, on aurait, en multipliant à gauche par son inverse, \(N=O\), contradiction

Donc

\[ \boxed{M\left(\frac12\right)\text{ n'est pas inversible}} \]

Question 2.a

Énoncé.

Montrer que \(E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\) est stable pour la multiplication

Soient \(M(x),M(y)\in E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\). Alors

\[ x\neq\frac12\qquad\text{et}\qquad y\neq\frac12 \]

D'après 1.b,

\[ M(x)M(y)=M(x+y-2xy) \]

Il faut montrer que \(x+y-2xy\neq\dfrac12\)

\[ x+y-2xy=\frac12 \]

alors, avec l'identité donnée,

\[ \left(x- rac12\right)\left(y- rac12\right)=-\frac12\left(x+y-2xy- rac12\right)=0 \]

Donc \(x=\dfrac12\) ou \(y=\dfrac12\), contradiction

Ainsi

\[ \boxed{E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\}\text{ est stable pour }\times} \]

Question 2.b

Énoncé.

Montrer que \(\left(E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\},\times\right)\) est un groupe commutatif

La stabilité est démontrée. L'associativité provient de celle de la multiplication matricielle. L'élément neutre est

\[ I=M(0)\in E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\} \]

Soit \(M(x)\in E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\). On cherche \(y\) tel que

\[ M(x)M(y)=I=M(0) \]

Cela équivaut à

\[ x+y-2xy=0 \]

donc

\[ y(1-2x)=-x \]

Comme \(x\neq\dfrac12\), on obtient

\[ y=\frac{x}{2x-1} \]

\[ \frac{x}{2x-1}\neq\frac12 \]

Donc tout élément admet un inverse dans \(E-\left\{M\left(\dfrac12\right)\right\}\)

Enfin

\[ M(x)M(y)=M(x+y-2xy)=M(y+x-2yx)=M(y)M(x) \]

Donc

\[ \boxed{\left(E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\},\times\right)\text{ est un groupe commutatif}} \]

Deuxième partie

On munit \(E\) de la loi \(T\) définie par

\[ M(x)\,T\,M(y)=M\left(x+y-\frac12\right) \]

et on considère

\[ \varphi(x)=M\left(\frac{1-x}{2}\right) \]

Question 3.a

Énoncé.

Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((E,T)\) et que \(\varphi(\mathbb R)=E\)

Soient \(x,y\in\mathbb R\). On a

\[ \varphi(x+y)=M\left(\frac{1-x-y}{2}\right) \]

D'autre part,

\[ \varphi(x)T\varphi(y)=M\left(\frac{1-x}{2}\right)T M\left(\frac{1-y}{2}\right) \]

Donc

\[ \varphi(x)T\varphi(y)=M\left(\frac{1-x}{2}+\frac{1-y}{2}-\frac12\right)=M\left(\frac{1-x-y}{2}\right) \]

Ainsi

\[ \boxed{\varphi(x+y)=\varphi(x)T\varphi(y)} \]

Donc \(\varphi\) est un homomorphisme

Soit \(M(t)\in E\). En prenant \(x=1-2t\), on a

\[ \varphi(1-2t)=M(t) \]

Donc

\[ \boxed{\varphi(\mathbb R)=E} \]

Question 3.b

Énoncé.

En déduire que \((E,T)\) est un groupe commutatif

On sait que \((\mathbb R,+)\) est un groupe commutatif, que \(\varphi\) est un homomorphisme, et que

\[ \varphi(\mathbb R)=E \]

Donc \((E,T)\) est l'image d'un groupe commutatif par un homomorphisme

Ainsi

\[ \boxed{(E,T)\text{ est un groupe commutatif}} \]

Question 4

Énoncé.

Montrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif

On sait que \((E,T)\) est un groupe commutatif. Son élément neutre est

\[ M\left(\frac12\right) \]

car

\[ M(x)T M\left(\frac12\right)=M(x) \]

On sait aussi que

\[ \left(E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\},\times\right) \]

est un groupe commutatif, d'élément neutre

\[ I=M(0) \]

Vérifions la distributivité. Soient \(M(x),M(y),M(z)\in E\)

On a

\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M(x)M\left(y+z-\frac12\right) \]

donc

\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M\left(x+y+z-\frac12-2xy-2xz+x\right) \]

Ainsi

\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=M\left(2x+y+z-\frac12-2xy-2xz\right) \]

D'autre part,

\[ (M(x)M(y))T(M(x)M(z))=M(x+y-2xy)T M(x+z-2xz) \]

donc

\[ (M(x)M(y))T(M(x)M(z))=M\left(2x+y+z-\frac12-2xy-2xz\right) \]

Donc

\[ M(x)\times(M(y)T M(z))=(M(x)M(y))T(M(x)M(z)) \]

La multiplication étant commutative dans \(E\), la distributivité à droite en découle

Ainsi \((E,T,\times)\) est un corps commutatif

\[ \boxed{(E,T,\times)\text{ est un corps commutatif}} \]

Ressources liées

Pour poursuivre la préparation à l’examen national, vous pouvez consulter les pages suivantes :

Examens nationaux SM Corrections nationales SM Examens blancs SM Page 2e Bac SM A/B

Fin de la correction.
Cette correction est rédigée dans un cadre pédagogique conforme au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques.

Parcours Maths Maroc