Énoncé — Examen national 2025
Session ordinaire — Sciences Mathématiques
Compétences et points clés
Le national SM ordinaire 2025 utilise l’étude d’une fonction exponentielle comme point de départ d’un calcul intégral et d’une suite. Les autres exercices mobilisent les complexes, l’arithmétique et une structure définie à partir de matrices.
Prérequis à revoir : continuité sur un segment et dérivabilité; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; stabilité, associativité et homomorphismes.
Rappels de cours utiles
Théorème des accroissements finis. Le TAF demande une fonction continue sur un segment et dérivable à son intérieur. Il relie une pente de sécante à un nombre dérivé en un point intérieur. Pour obtenir un encadrement, contrôler les valeurs de la dérivée sur tout l’intervalle utilisé.
Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.
Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Dans l’analyse, exploiter la symétrie avant de répéter les calculs aux deux infinis. Pour la suite, conserver les bornes sur la dérivée et l’intervalle stable. Dans la partie algébrique, distinguer les deux lois utilisées et identifier leur neutre propre avant de parler de groupe ou de corps.
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques A et B — Option française
Session : Ordinaire 2025
Durée : 4 heures
Coefficient : 9
Total :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte quatre exercices indépendants. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé.
Vous pouvez consulter le sujet directement ci-dessous sans quitter le blog.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 (10 points)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[ f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+e} \]et soit \((\Gamma)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal
\[ (O;\vec i,\vec j) \]Partie I
Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f(1-x)=f(x) \]Interpréter graphiquement le résultat obtenu
Calculer
\[ \lim_{x\to-\infty} f(x) \]puis en déduire
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x) \]Interpréter graphiquement les deux résultats obtenus
Montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad f^{\prime}(x)=f(x)\frac{1-e^{2x-1}}{1+e^{2x-1}} \]Donner les variations de \(f\), puis en déduire que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad 0\lt f(x)\lt \frac12 \]Représenter graphiquement la courbe \((\Gamma)\)
On prendra
\[ \|\vec i\|=1\,\text{cm}, \qquad \|\vec j\|=2\,\text{cm}, \qquad \frac1{2\sqrt e}\simeq0,30, \qquad \frac1{1+e}\simeq0,27 \]Montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \int_{\frac12}^{1} f(x)\,dx \]En déduire que :
\[ \int_0^1 f(x)\,dx = 2\int_0^{\frac12} f(x)\,dx \]En effectuant le changement de variable
\[ t=e^x \]montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \int_1^{\sqrt e}\frac{dt}{t^2+e} \]Montrer que :
\[ \int_0^{\frac12} f(x)\,dx = \frac1{\sqrt e} \left( \arctan(\sqrt e)-\frac{\pi}{4} \right) \]En déduire l'aire, en \(\text{cm}^2\), du domaine plan délimité par \((\Gamma)\), les droites d'équations respectives :
\[ x=0,\qquad x=1,\qquad y=0 \]Partie II
On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par
\[ u_0\in\left]0,\frac12\right[ \qquad\text{et}\qquad (\forall n\in\mathbb N),\quad u_{n+1}=f(u_n) \]En utilisant le résultat de la question I.2.a, montrer que :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad |f^{\prime}(x)|\leq f(x) \]Montrer que :
\[ \left(\forall x\in\left[0,\frac12\right]\right),\qquad 0\leq f^{\prime}(x)\lt \frac12 \]Montrer que la fonction
\[ g:x\mapsto g(x)=f(x)-x \]est strictement décroissante sur \(\mathbb R\)
En déduire qu'il existe un unique réel
\[ \alpha\in\left]0,\frac12\right[ \]tel que
\[ f(\alpha)=\alpha \]Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad 0\lt u_n\lt \frac12 \]Montrer que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_{n+1}-\alpha|\leq \frac12 |u_n-\alpha| \]Montrer par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N),\qquad |u_n-\alpha|\leq \left(\frac12\right)^{n+1} \]En déduire que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) converge vers \(\alpha\)
Partie III
On considère la suite numérique \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) définie par :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad S_n=\frac1{n(n+1)} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{e^{\frac{k}{n}}+e^{\frac{n-k}{n}}} \]Vérifier que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*),\qquad S_n=\frac1{n+1} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \]Montrer que :
\[ \int_0^1 xf(x)\,dx = \int_0^{\frac12} f(x)\,dx \]On pourra effectuer le changement de variable :
\[ t=1-x \]Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est convergente et déterminer sa limite
Exercice 2 (3,5 points)
Soit
\[ \alpha\in[0,2\pi[ \]On considère dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l'équation \((E_\alpha)\) d'inconnue \(z\) :
\[ (E_\alpha):\quad z^2-2^\alpha e^{i\alpha}(1+2i)z +i2^{2\alpha+1}e^{2i\alpha}=0 \]Partie I
Vérifier que le discriminant de l'équation \((E_\alpha)\) est :
\[ \Delta_\alpha=\left(2^\alpha e^{i\alpha}(1-2i)\right)^2 \]En déduire les deux solutions \(a\) et \(b\) de l'équation \((E_\alpha)\), avec
\[ |a|\lt |b| \]Vérifier que
\[ \frac ba \]est un imaginaire pur
Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
\[ (O;\vec u,\vec v) \]On note par \(M(z)\) le point d'affixe le nombre complexe \(z\)
On pose
\[ \frac ba=\lambda i \qquad\text{avec}\qquad \lambda=\operatorname{Im}\left(\frac ba\right) \]On considère les points \(A(a)\), \(B(b)\) et \(H(h)\) avec
\[ \frac1h=\frac1a+\frac1b \]Montrer que :
\[ \frac{h}{b-a} = -\frac{\lambda}{\lambda^2+1}i \]puis en déduire que les droites \((OH)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires
Montrer que :
\[ \frac{h-a}{b-a}=\frac1{\lambda^2+1} \]puis en déduire que les points \(H\), \(A\) et \(B\) sont alignés
Soient \(I(m)\) le milieu du segment \([OH]\) et \(J(n)\) le milieu du segment \([HB]\)
Montrer que :
\[ \frac{n}{m-a}=-\lambda i \]En déduire que les droites \((OJ)\) et \((AI)\) sont perpendiculaires et que
\[ OJ=|\lambda|\,AI \]Soit \(K\) le point d'intersection des droites \((OJ)\) et \((AI)\)
Montrer que les points \(K\), \(I\), \(H\) et \(J\) sont cocycliques
Montrer que les droites \((IJ)\) et \((OA)\) sont perpendiculaires
Exercice 3 (3 points)
Soient \(p\) un nombre premier impair et \(a\) un entier premier avec \(p\)
Montrer que
\[ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \qquad\text{ou}\qquad a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\ [p] \]On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation :
\[ ax^2\equiv 1\ [p] \]Soit \(x_0\) une solution de cette équation
Montrer que :
\[ x_0^{p-1}\equiv 1\ [p] \]En déduire que :
\[ a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \]Soit \(n\) un entier naturel non nul
Montrer que si \(p\) divise
\[ 2^{2n+1}-1 \]alors
\[ 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\ [p] \]En déduire que l'équation
\[ (E):\quad 11x+\left(2^{2n+1}-1\right)y=1 \]admet au moins une solution dans \(\mathbb Z^2\)
On considère dans \(\mathbb Z\) l'équation :
\[ (F):\quad x^2+5x+2\equiv 0\ [11] \]Montrer que :
\[ (F)\Longleftrightarrow 2(2x+5)^2\equiv 1\ [11] \]En déduire que l'équation \((F)\) n'admet pas de solution dans \(\mathbb Z\)
Exercice 4 (3,5 points)
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice
\[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]et d'unité la matrice
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]et que \((M_3(\mathbb R),+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel
Soient la matrice
\[ A= \begin{pmatrix} -1&-1&0\\ -1&-1&0\\ -1&1&-2 \end{pmatrix} \]et l'ensemble
\[ E=\{M(x)=I+xA\ /\ x\in\mathbb R\} \]Vérifier que :
\[ A^2=-2A \]En déduire que :
\[ (\forall (x,y)\in\mathbb R^2),\qquad M(x)\times M(y)=M(x+y-2xy) \]Calculer
\[ M\left(\frac12\right)\times \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]En déduire que la matrice
\[ M\left(\frac12\right) \]n'est pas inversible dans \((M_3(\mathbb R),\times)\)
Montrer que
\[ E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\} \]est stable pour la multiplication dans \(M_3(\mathbb R)\)
On pourra utiliser l'identité :
\[ \left(x-\frac12\right)\left(y-\frac12\right) = -\frac12\left(x+y-2xy-\frac12\right) \]Montrer que
\[ \left(E-\left\{M\left(\frac12\right)\right\},\times\right) \]est un groupe commutatif
On munit \(E\) de la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[ (\forall (x,y)\in\mathbb R^2),\qquad M(x)\,T\,M(y)=M\left(x+y-\frac12\right) \]et on considère l'application \(\varphi\) définie de \(\mathbb R\) vers \(E\) par :
\[ (\forall x\in\mathbb R),\qquad \varphi(x)=M\left(\frac{1-x}{2}\right) \]Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((E,T)\) et que
\[ \varphi(\mathbb R)=E \]En déduire que \((E,T)\) est un groupe commutatif
Montrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif
Sujet de l’examen national 2025 — session ordinaire — Sciences Mathématiques A et B, option française.
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