Corrigé — S’entraîner à l’examen national (1)
2e Bac Sciences Physiques et SVT — Mathématiques
Filière : Sciences Physiques et SVT
Matière : Mathématiques
Type : Correction détaillée d’examen blanc
Durée : 3h
Total : 20 points
Cette correction détaillée accompagne le sujet S’entraîner à l’examen national (1), destiné aux élèves de 2e Bac PC/SVT. Elle présente une rédaction progressive et conforme au programme marocain : géométrie dans l’espace, nombres complexes, probabilités, fonctions numériques, suites et calcul intégral.
Avant de lire la correction, il est recommandé de traiter le sujet dans les conditions de l’examen : lecture complète de l’énoncé, gestion du temps, rédaction personnelle et vérification des résultats. La correction doit ensuite servir à comprendre les méthodes, améliorer la rédaction et repérer les erreurs fréquentes.
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Cette correction est organisée en quatre grandes parties :
- Exercice 1 : géométrie dans l’espace.
- Exercice 2 : nombres complexes.
- Exercice 3 : probabilités.
- Problème : analyse, fonction numérique, suites et calcul intégral.
Cette correction est rédigée dans un style détaillé, progressif et conforme au programme de 2e Bac PC/SVT. Les étapes importantes sont justifiées afin de mettre en évidence la méthode et non seulement le résultat final.
Complément PDF du corrigé
Correction de l’exercice 1 : Géométrie dans l’espace
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère : \[A(1,0,0),\quad B(0,2,1),\quad C(1,1,1),\] \[E(3,2,-1),\quad F(1,0,1).\] On note \((P)\) le plan passant par \(A\), \(B\) et \(C\), et on considère l’ensemble \((S)\) des points \(M\) vérifiant : \[\vect{ME}\cdot\vect{MF}=0.\]
Calcul de \(\vect{AB}\wedge\vect{AC}\) et équation de \((P)\).
On utilise les coordonnées des vecteurs à partir des vecteurs-position. On a : \[\vect{OA}(1,0,0),\qquad \vect{OB}(0,2,1),\qquad \vect{OC}(1,1,1).\] Donc : \[\vect{AB}=\vect{OB}-\vect{OA}=(0,2,1)-(1,0,0)=(-1,2,1),\] et : \[\vect{AC}=\vect{OC}-\vect{OA}=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1).\]
Comme le repère est orthonormé direct, on peut calculer le produit vectoriel par la formule analytique : \[\vect{AB}\wedge\vect{AC} = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ -1&2&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}.\] Ainsi : \[\vect{AB}\wedge\vect{AC} =(2\times1-1\times1)\vec i -((-1)\times1-1\times0)\vec j +((-1)\times1-2\times0)\vec k.\] Donc : \[\boxed{\vect{AB}\wedge\vect{AC}=(1,1,-1)}.\]
Ce vecteur est non nul, donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés. Il est normal au plan \((P)\). Une équation cartésienne de \((P)\) est donc de la forme : \[x+y-z+d=0.\] Comme \(A(1,0,0)\) appartient à \((P)\), ses coordonnées vérifient cette équation : \[1+0-0+d=0.\] D’où : \[d=-1.\] Par conséquent : \[\boxed{(P):\ x+y-z-1=0}.\]
Nature de \((S)\).
On a, pour tout point \(M\) de \((S)\) : \[\vect{ME}\cdot\vect{MF}=0.\] Cette égalité signifie que : \[\vect{ME}\perp\vect{MF}.\] Donc le triangle \(EMF\) est rectangle en \(M\). D’après le résultat géométrique du cours, l’ensemble des points \(M\) tels que l’angle \(EMF\) est droit est la sphère de diamètre \([EF]\).
Le centre de cette sphère est le milieu de \([EF]\). Donc : \[\Omega\left(\frac{3+1}{2},\frac{2+0}{2},\frac{-1+1}{2}\right),\] d’où : \[\boxed{\Omega(2,1,0)}.\]
Pour calculer le rayon, on calcule d’abord la longueur \(EF\). On a : \[\vect{EF}=\vect{OF}-\vect{OE}=(1,0,1)-(3,2,-1)=(-2,-2,2).\] Donc : \[EF=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3.\] Le rayon est la moitié du diamètre : \[R=\frac{EF}{2}=\sqrt3.\] Ainsi : \[\boxed{(S)\text{ est la sphère de centre }\Omega(2,1,0)\text{ et de rayon }R=\sqrt3}.\]
Intersection de \((P)\) et \((S)\).
Le plan \((P)\) a pour équation : \[x+y-z-1=0.\] La distance de \(\Omega(2,1,0)\) à ce plan est : \[d(\Omega,(P))=\frac{|2+1-0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}.\] Donc : \[\boxed{d(\Omega,(P))=\frac{2}{\sqrt3}}.\]
Comme : \[\frac{2}{\sqrt3}<\sqrt3=R,\] le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle.
Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal \(H\) du centre \(\Omega\) sur le plan \((P)\). Un vecteur normal à \((P)\) est : \[\vec n=(1,1,-1).\] La droite passant par \(\Omega\) et dirigée par \(\vec n\) admet la représentation paramétrique : \[\begin{cases} x=2+t,\\ y=1+t,\\ z=-t. \end{cases}\] Le point \(H\) appartient au plan \((P)\), donc : \[(2+t)+(1+t)-(-t)-1=0.\] On obtient : \[2+3t=0,\] d’où : \[t=-\frac23.\] Alors : \[H\left(2-\frac23,1-\frac23,\frac23\right).\] Donc : \[\boxed{H\left(\frac43,\frac13,\frac23\right)}.\]
Le rayon \(r\) du cercle d’intersection vérifie : \[r^2=R^2-d(\Omega,(P))^2.\] Ainsi : \[r^2=3-\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^2=3-\frac43=\frac53.\] Donc : \[\boxed{r=\sqrt{\frac53}=\frac{\sqrt{15}}{3}}.\]
Position relative de \((Q_m)\) et \((S)\).
On considère : \[(Q_m):\ x+y-z+m=0.\] Pour étudier la position relative du plan \((Q_m)\) et de la sphère \((S)\), on compare la distance du centre \(\Omega\) au plan avec le rayon \(R\).
On a : \[d(\Omega,(Q_m))=\frac{|2+1-0+m|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\frac{|m+3|}{\sqrt3}.\] Le rayon de la sphère est : \[R=\sqrt3.\] On compare donc : \[\frac{|m+3|}{\sqrt3}\quad\text{et}\quad \sqrt3.\] Cela revient à comparer : \[|m+3|\quad\text{et}\quad 3.\]
Si : \[|m+3|>3,\] alors : \[m<-6\quad\text{ou}\quad m>0.\] Dans ce cas : \[d(\Omega,(Q_m))>R,\] donc le plan ne coupe pas la sphère.
Si : \[|m+3|=3,\] alors : \[m=-6\quad\text{ou}\quad m=0.\] Dans ce cas : \[d(\Omega,(Q_m))=R,\] donc le plan est tangent à la sphère.
Si : \[|m+3|<3,\] alors : \[-6<m<0.\] Dans ce cas : \[d(\Omega,(Q_m))<R,\] donc le plan coupe la sphère suivant un cercle. Son rayon est : \[r_m=\sqrt{R^2-d(\Omega,(Q_m))^2}.\] Ainsi : \[r_m=\sqrt{3-\frac{(m+3)^2}{3}}.\] Conclusion : \[\boxed{ \begin{cases} m<-6\ \text{ou}\ m>0 : (Q_m)\cap(S)=\varnothing,\\[1mm] m=-6\ \text{ou}\ m=0 : (Q_m)\text{ est tangent à }(S),\\[1mm] -6<m<0 : (Q_m)\cap(S)\text{ est un cercle de rayon }\displaystyle r_m=\sqrt{3-\frac{(m+3)^2}{3}}. \end{cases}}\]
Correction de l’exercice 2 : Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\). On considère : \[(E):\ z^2-(\sqrt6+\sqrt2)z+4=0.\] On pose, pour simplifier l’écriture : \[S=\sqrt6+\sqrt2\qquad\text{et}\qquad D=\sqrt6-\sqrt2.\]
Résolution de l’équation \((E)\).
L’équation \((E)\) est une équation du second degré dans \(\C\) à coefficients réels. On calcule son discriminant : \[\Delta=S^2-16.\] Or : \[S^2=(\sqrt6+\sqrt2)^2=6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt3.\] Donc : \[\Delta=8+4\sqrt3-16=4\sqrt3-8.\] D’autre part : \[D^2=(\sqrt6-\sqrt2)^2=6+2-2\sqrt{12}=8-4\sqrt3.\] Ainsi : \[\Delta=-D^2=-(\sqrt6-\sqrt2)^2.\] Comme \(\Delta<0\), les solutions sont deux nombres complexes conjugués : \[z_1=\frac{S+iD}{2}\quad\text{et}\quad z_2=\frac{S-iD}{2}.\] Puisque \(\operatorname{Im}(a)>0\), on obtient : \[\boxed{a=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}},\] et : \[\boxed{b=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}}.\]
Modules, quotient et angle orienté.
On a : \[a=\frac S2+i\frac D2.\] Donc, d’après la formule du module : \[|a|^2=\left(\frac S2\right)^2+\left(\frac D2\right)^2=\frac{S^2+D^2}{4}.\] Or : \[S^2=8+4\sqrt3\quad\text{et}\quad D^2=8-4\sqrt3.\] Donc : \[S^2+D^2=16.\] Ainsi : \[|a|^2=4,\] et comme \(|a|\) est positif : \[\boxed{|a|=2}.\] Puisque \(b=\overline a\), on a : \[|b|=|a|.\] Donc : \[\boxed{|b|=2}.\]
Calculons maintenant le quotient : \[\frac ab=\frac{S+iD}{S-iD}.\] Pour obtenir la forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : \[\frac ab=\frac{(S+iD)^2}{S^2+D^2}.\] Donc : \[\frac ab=\frac{S^2-D^2+2iSD}{16}.\] Or : \[S^2-D^2=(8+4\sqrt3)-(8-4\sqrt3)=8\sqrt3,\] et : \[SD=(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)=6-2=4.\] Donc : \[\frac ab=\frac{8\sqrt3+8i}{16}=\frac{\sqrt3+i}{2}.\] Ainsi : \[\boxed{\frac ab=\frac{\sqrt3+i}{2}}.\]
Or : \[\frac{\sqrt3+i}{2}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i=\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6.\] Donc : \[\arg\left(\frac ab\right)=\frac\pi6\ [2\pi].\] Comme : \[\arg\left(\frac ab\right)=\arg(a)-\arg(b)=\left(\vect{OB},\vect{OA}\right),\] on obtient : \[\boxed{\left(\vect{OB},\vect{OA}\right)=\frac\pi6\ [2\pi]}.\]
Rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac\pi6\).
L’écriture complexe d’une rotation de centre \(O\) et d’angle \(\theta\) est : \[z'=e^{i\theta}z.\] Ici : \[\theta=\frac\pi6.\] Donc : \[z'=e^{i\frac\pi6}z.\] Or : \[e^{i\frac\pi6}=\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6=\frac{\sqrt3+i}{2}.\] Donc l’expression complexe de \(r\) est : \[\boxed{z'=\frac{\sqrt3+i}{2}z}.\]
D’après la question précédente : \[\frac ab=\frac{\sqrt3+i}{2}.\] Donc : \[a=\frac{\sqrt3+i}{2}b.\] Ainsi l’image du point \(B\) par \(r\) a pour affixe \(a\). Par conséquent : \[\boxed{r(B)=A}.\]
Condition pour que \(M'_m\) appartienne à la médiatrice de \([AB]\).
On a : \[z_m=m+i\left(m-\frac S2\right).\] L’image \(M'_m\) de \(M_m\) par la rotation \(r\) a pour affixe : \[z'_m=\frac{\sqrt3+i}{2}z_m.\] Posons : \[z_m=x+iy,\] avec : \[x=m\qquad\text{et}\qquad y=m-\frac S2.\] Alors : \[z'_m=\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i\right)(x+iy).\] En développant, la partie imaginaire de \(z'_m\) est : \[\operatorname{Im}(z'_m)=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}y.\] Donc : \[\operatorname{Im}(z'_m)=\frac m2+\frac{\sqrt3}{2}\left(m-\frac S2\right).\]
Les points \(A\) et \(B\) ont des affixes conjuguées. Ils ont donc la même partie réelle et des parties imaginaires opposées. Ainsi, le segment \([AB]\) est vertical et sa médiatrice est l’axe réel.
Donc : \[M'_m\in\text{médiatrice de }[AB] \Longleftrightarrow \operatorname{Im}(z'_m)=0.\] On obtient alors : \[\frac m2+\frac{\sqrt3}{2}\left(m-\frac S2\right)=0.\] En multipliant par \(2\) : \[m+\sqrt3\left(m-\frac S2\right)=0.\] Donc : \[m(1+\sqrt3)=\frac{\sqrt3 S}{2}.\] Ainsi : \[m=\frac{\sqrt3 S}{2(1+\sqrt3)}.\] Or : \[S=\sqrt6+\sqrt2=\sqrt2(\sqrt3+1).\] Donc : \[m=\frac{\sqrt3\sqrt2(\sqrt3+1)}{2(1+\sqrt3)}=\frac{\sqrt6}{2}.\] Par conséquent : \[\boxed{m=\frac{\sqrt6}{2}}.\]
Correction de l’exercice 3 : Probabilités
Dans une région, une maladie touche \(12\%\) de la population. On note : \[M:\text{ « la personne est atteinte de la maladie »},\] et : \[T:\text{ « le test est positif »}.\] On sait que : \[P(T/M)=0{,}90=\frac9{10},\qquad P(T/\overline M)=0{,}05=\frac1{20}.\]
Système complet d’événements.
Les événements \(M\) et \(\overline M\) sont contraires. Donc : \[M\cap\overline M=\varnothing\] et : \[M\cup\overline M=\Omega.\] Ainsi, \(M\) et \(\overline M\) forment un système complet d’événements.
Comme la maladie touche \(12\%\) de la population, on a : \[P(M)=\frac{12}{100}=\frac3{25}.\] Donc : \[P(\overline M)=1-P(M)=1-\frac3{25}=\frac{22}{25}.\] Ainsi : \[\boxed{P(M)=\frac3{25}\quad\text{et}\quad P(\overline M)=\frac{22}{25}}.\]
Étude de la probabilité conditionnelle \(P_M\).
On définit : \[P_M(A)=P(A/M).\]
On a : \[P_M(M)=P(M/M).\] Par définition de la probabilité conditionnelle : \[P(M/M)=\frac{P(M\cap M)}{P(M)}.\] Or : \[M\cap M=M.\] Donc : \[P(M/M)=\frac{P(M)}{P(M)}=1.\] Ainsi : \[\boxed{P_M(M)=1}.\]
Comme \(T\) et \(\overline T\) sont deux événements contraires, on a : \[T\cup\overline T=\Omega.\] Donc : \[M=M\cap\Omega=M\cap(T\cup\overline T).\] Par distributivité : \[M=(M\cap T)\cup(M\cap\overline T).\] De plus : \[(M\cap T)\cap(M\cap\overline T)=M\cap T\cap\overline T.\] Or : \[T\cap\overline T=\varnothing.\] Donc la réunion est disjointe.
D’après la question précédente : \[M=(M\cap T)\cup(M\cap\overline T),\] avec réunion disjointe. Donc : \[P(M)=P(M\cap T)+P(M\cap\overline T).\] Comme \(P(M)\ne0\), on divise par \(P(M)\) : \[1=\frac{P(M\cap T)}{P(M)}+\frac{P(M\cap\overline T)}{P(M)}.\] Par définition de la probabilité conditionnelle : \[\frac{P(M\cap T)}{P(M)}=P(T/M),\] et : \[\frac{P(M\cap\overline T)}{P(M)}=P(\overline T/M).\] Donc : \[\boxed{P(T/M)+P(\overline T/M)=1}.\]
On a : \[P(T/M)=\frac9{10}.\] D’après la question précédente : \[P(\overline T/M)=1-P(T/M)=1-\frac9{10}=\frac1{10}.\] Donc : \[\boxed{P(\overline T/M)=\frac1{10}}.\]
De même : \[P(\overline T/\overline M)=1-P(T/\overline M)=1-\frac1{20}=\frac{19}{20}.\] Donc : \[\boxed{P(\overline T/\overline M)=\frac{19}{20}}.\]
Arbre pondéré.
Les probabilités à placer sur les branches sont : \[P(M)=\frac3{25},\quad P(\overline M)=\frac{22}{25},\] \[P(T/M)=\frac9{10},\quad P(\overline T/M)=\frac1{10},\] \[P(T/\overline M)=\frac1{20},\quad P(\overline T/\overline M)=\frac{19}{20}.\]
Calcul de \(P(T)\).
Les événements \(M\) et \(\overline M\) forment un système complet d’événements. On applique donc la formule des probabilités totales : \[P(T)=P(M\cap T)+P(\overline M\cap T).\] Or : \[P(M\cap T)=P(M)P(T/M),\] et : \[P(\overline M\cap T)=P(\overline M)P(T/\overline M).\] Donc : \[P(T)=\frac3{25}\times\frac9{10}+\frac{22}{25}\times\frac1{20}.\] Ainsi : \[P(T)=\frac{27}{250}+\frac{22}{500}.\] Comme : \[\frac{22}{500}=\frac{11}{250},\] on obtient : \[P(T)=\frac{27}{250}+\frac{11}{250}=\frac{38}{250}=\frac{19}{125}.\] Donc : \[\boxed{P(T)=\frac{19}{125}}.\]
Calcul de \(P(M/T)\).
On cherche la probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif. Par définition : \[P(M/T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}.\] On a : \[P(M\cap T)=P(M)P(T/M)=\frac3{25}\times\frac9{10}=\frac{27}{250}.\] Et : \[P(T)=\frac{19}{125}.\] Donc : \[P(M/T)=\frac{\frac{27}{250}}{\frac{19}{125}} =\frac{27}{250}\times\frac{125}{19}.\] Comme \(\dfrac{125}{250}=\dfrac12\), on obtient : \[P(M/T)=\frac{27}{38}.\] Ainsi : \[\boxed{P(M/T)=\frac{27}{38}}.\]
Loi binomiale.
On choisit \(5\) personnes de manière indépendante et on considère, pour chaque personne, l’événement : \[T:\text{ « le test est positif »}.\] Chaque expérience a deux issues : \(T\) ou \(\overline T\), et la probabilité de succès est constante : \[P(T)=\frac{19}{125}.\] Donc la variable aléatoire \(X\), qui compte le nombre de tests positifs parmi les \(5\) personnes, suit la loi binomiale de paramètres : \[n=5\qquad\text{et}\qquad p=\frac{19}{125}.\] Ainsi : \[\boxed{X\sim\mathcal B\left(5,\frac{19}{125}\right)}.\]
On calcule : \[P(X=1)=\binom51\left(\frac{19}{125}\right)^1\left(1-\frac{19}{125}\right)^4.\] Or : \[1-\frac{19}{125}=\frac{106}{125}.\] Donc : \[\boxed{P(X=1)=5\times\frac{19}{125}\left(\frac{106}{125}\right)^4}.\]
Correction du problème d’analyse
On considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(\R\) telle que : \[f''(x)=(x-1)(x-4)e^{-x}\] pour tout réel \(x\), et : \[f'(0)=0\qquad\text{et}\qquad f(0)=0.\]
Partie I
Signe de \(f''(x)\).
Pour tout réel \(x\), on a : \[e^{-x}>0.\] Donc le signe de \(f''(x)\) est celui de : \[(x-1)(x-4).\] Le produit \((x-1)(x-4)\) est positif à l’extérieur des racines \(1\) et \(4\), et négatif entre ces deux racines. Donc : \[f''(x)>0\quad\text{sur}\quad ]-\infty,1[\cup]4,+\infty[,\] \[f''(x)<0\quad\text{sur}\quad ]1,4[,\] et : \[f''(1)=f''(4)=0.\]
Étude de la fonction \(g\).
On considère : \[g(x)=1+(-x^2+3x-1)e^{-x}.\]
Posons : \[u(x)=-x^2+3x-1.\] Alors : \[u'(x)=-2x+3.\] Comme : \[g(x)=1+u(x)e^{-x},\] on dérive en utilisant la règle de dérivation d’un produit : \[g'(x)=u'(x)e^{-x}+u(x)(-e^{-x}).\] Donc : \[g'(x)=\bigl(u'(x)-u(x)\bigr)e^{-x}.\] Ainsi : \[g'(x)=\left[(-2x+3)-(-x^2+3x-1)\right]e^{-x}.\] Donc : \[g'(x)=(x^2-5x+4)e^{-x}.\] Or : \[x^2-5x+4=(x-1)(x-4).\] Par conséquent : \[\boxed{g'(x)=(x-1)(x-4)e^{-x}=f''(x)}.\]
On a : \[g'=f''=(f')'.\] Donc \(g\) et \(f'\) ont la même dérivée sur \(\R\). D’après le cours, deux fonctions ayant la même dérivée sur un intervalle se diffèrent par une constante. Il existe donc une constante réelle \(\lambda\) telle que : \[g(x)=f'(x)+\lambda.\] En prenant \(x=0\), on obtient : \[g(0)=f'(0)+\lambda.\] Or : \[g(0)=1+(-1)e^0=0,\] et : \[f'(0)=0.\] Donc : \[0=0+\lambda.\] Ainsi : \[\lambda=0.\] Par conséquent : \[\boxed{g=f'}.\]
Variations de \(f\).
D’après la courbe représentative de \(g\), on lit : \[g(x)<0\quad\text{sur}\quad ]-\infty,0[,\] \[g(0)=0,\] et : \[g(x)>0\quad\text{sur}\quad ]0,+\infty[.\] Comme : \[g=f',\] on obtient : \[f'(x)<0\quad\text{sur}\quad ]-\infty,0[,\] \[f'(0)=0,\] et : \[f'(x)>0\quad\text{sur}\quad ]0,+\infty[.\] Donc, d’après le lien entre le signe de la dérivée et les variations : \[\boxed{f\text{ est décroissante sur }]-\infty,0]}\] et : \[\boxed{f\text{ est croissante sur }[0,+\infty[}.\]
Détermination de \(f\).
On considère : \[F(x)=x+(x^2-x)e^{-x}.\]
Posons : \[v(x)=x^2-x.\] Alors : \[v'(x)=2x-1.\] Comme : \[F(x)=x+v(x)e^{-x},\] on obtient : \[F'(x)=1+v'(x)e^{-x}+v(x)(-e^{-x}).\] Donc : \[F'(x)=1+\bigl(v'(x)-v(x)\bigr)e^{-x}.\] Ainsi : \[F'(x)=1+\left[(2x-1)-(x^2-x)\right]e^{-x}.\] Donc : \[F'(x)=1+(-x^2+3x-1)e^{-x}.\] Par conséquent : \[\boxed{F'=g}.\]
On a : \[F'=g\] et : \[g=f'.\] Donc : \[F'=f'.\] Ainsi, \(F\) et \(f\) ont la même dérivée sur \(\R\). Il existe une constante réelle \(\mu\) telle que : \[F(x)=f(x)+\mu.\] En prenant \(x=0\), on obtient : \[F(0)=f(0)+\mu.\] Or : \[F(0)=0+(0^2-0)e^0=0,\] et : \[f(0)=0.\] Donc : \[0=0+\mu.\] Ainsi : \[\mu=0.\] Par conséquent : \[\boxed{F=f}.\] Donc, pour tout réel \(x\) : \[\boxed{f(x)=x+(x^2-x)e^{-x}}.\]
Limites et branches infinies.
On utilise l’expression obtenue : \[f(x)=x+(x^2-x)e^{-x}.\]
Lorsque \(x\to+\infty\), on a, d’après les limites fondamentales de l’exponentielle : \[x^2e^{-x}\to0\quad\text{et}\quad xe^{-x}\to0.\] Donc : \[(x^2-x)e^{-x}\to0.\] Ainsi : \[f(x)-x\to0.\] Comme : \[x\to+\infty,\] on obtient : \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.\]
Pour la limite en \(-\infty\), on pose : \[X=-x.\] Alors : \[x\to-\infty\Longleftrightarrow X\to+\infty.\] On a : \[f(-X)=-X+(X^2+X)e^X.\] Pour \(X\geq1\), on a : \[e^X\geq1.\] Donc : \[f(-X)\geq -X+(X^2+X).\] Ainsi : \[f(-X)\geq X^2.\] Or : \[\lim_{X\to+\infty}X^2=+\infty.\] Donc : \[\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.\]
Pour étudier la branche infinie au voisinage de \(-\infty\), on calcule la limite de \(\dfrac{f(x)}x\). Avec \(X=-x\), on a : \[\frac{f(-X)}{-X} = \frac{-X+(X^2+X)e^X}{-X}.\] Donc : \[\frac{f(-X)}{-X}=1-(X+1)e^X.\] Or : \[(X+1)e^X\to+\infty.\] Donc : \[\frac{f(-X)}{-X}\to-\infty.\] Ainsi : \[\boxed{\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=-\infty}.\] Par conséquent, \((C_f)\) admet au voisinage de \(-\infty\) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Pour étudier l’asymptote au voisinage de \(+\infty\), on calcule : \[f(x)-x=(x^2-x)e^{-x}.\] D’après les limites fondamentales : \[(x^2-x)e^{-x}\to0.\] Donc : \[\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=0.\] Ainsi, \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) l’asymptote : \[\boxed{\Delta:\ y=x}.\]
Convexité et points d’inflexion.
La courbe \((C_f)\) est convexe sur les intervalles où : \[f''(x)\geq0,\] et concave sur les intervalles où : \[f''(x)\leq0.\] D’après le signe trouvé dans la question 1 : \[f''(x)>0\quad\text{sur}\quad ]-\infty,1[\cup]4,+\infty[.\] Donc : \[\boxed{(C_f)\text{ est convexe sur }]-\infty,1]\cup[4,+\infty[}.\] De plus : \[f''(x)<0\quad\text{sur}\quad ]1,4[.\] Donc : \[\boxed{(C_f)\text{ est concave sur }[1,4]}.\]
Comme \(f''\) change de signe en \(1\) et en \(4\), la courbe admet deux points d’inflexion d’abscisses \(1\) et \(4\).
On calcule leurs ordonnées à partir de l’expression de \(f\) : \[f(x)=x+(x^2-x)e^{-x}.\] Pour \(x=1\) : \[f(1)=1+(1^2-1)e^{-1}=1.\] Donc : \[\boxed{I(1,1)}.\] Pour \(x=4\) : \[f(4)=4+(16-4)e^{-4}=4+12e^{-4}.\] Donc : \[\boxed{J(4,4+12e^{-4})}.\]
Position relative de \((C_f)\) et de \(\Delta\).
Pour comparer \((C_f)\) et la droite \(\Delta:y=x\), on étudie le signe de : \[f(x)-x.\] Or : \[f(x)-x=(x^2-x)e^{-x}=x(x-1)e^{-x}.\] Comme : \[e^{-x}>0,\] le signe de \(f(x)-x\) est celui de : \[x(x-1).\] Donc : \[f(x)-x>0\quad\text{sur}\quad ]-\infty,0[\cup]1,+\infty[,\] \[f(x)-x=0\quad\text{pour}\quad x=0\ \text{ou}\ x=1,\] et : \[f(x)-x<0\quad\text{sur}\quad ]0,1[.\] Ainsi : \[\boxed{(C_f)\text{ est au-dessus de }\Delta\text{ sur }]-\infty,0]\cup[1,+\infty[}\] et : \[\boxed{(C_f)\text{ est au-dessous de }\Delta\text{ sur }[0,1]}.\]
Les points d’intersection sont obtenus en résolvant : \[f(x)=x.\] Cela équivaut à : \[x(x-1)e^{-x}=0.\] Comme \(e^{-x}>0\), on obtient : \[x=0\quad\text{ou}\quad x=1.\] Donc les points d’intersection sont : \[\boxed{O(0,0)}\qquad\text{et}\qquad \boxed{I(1,1)}.\]
Pour construire l’allure de la courbe, on utilise : les variations de \(f\), la limite en \(-\infty\), l’asymptote \(\Delta:y=x\) en \(+\infty\), les positions relatives et les points d’inflexion.
Aire du domaine \(\mathcal D\).
Le domaine \(\mathcal D\) est limité par \((C_f)\), la droite \(\Delta:y=x\), et les droites \(x=0\) et \(x=1\).
Sur \([0,1]\), on a montré que : \[f(x)-x\leq0.\] Donc : \[x-f(x)\geq0.\] Ainsi, l’aire cherchée est : \[\mathcal A=\int_0^1 (x-f(x))\,dx.\] Or : \[x-f(x)=x-\left[x+(x^2-x)e^{-x}\right].\] Donc : \[x-f(x)=-(x^2-x)e^{-x}=x(1-x)e^{-x}.\] Ainsi : \[\boxed{\mathcal A=\int_0^1 x(1-x)e^{-x}\,dx}.\]
Calculons maintenant cette aire. On écrit : \[\mathcal A=\int_0^1 xe^{-x}\,dx-\int_0^1 x^2e^{-x}\,dx.\]
Posons : \[I=\int_0^1 xe^{-x}\,dx.\] Pour appliquer la formule d’intégration par parties du cours, on prend : \[u'(x)=e^{-x}\quad\text{et}\quad v(x)=x.\] Alors : \[u(x)=-e^{-x}\quad\text{et}\quad v'(x)=1.\] Donc : \[I=[u(x)v(x)]_0^1-\int_0^1 u(x)v'(x)\,dx.\] Ainsi : \[I=[-xe^{-x}]_0^1-\int_0^1(-e^{-x})\,dx.\] Donc : \[I=[-xe^{-x}]_0^1+\int_0^1 e^{-x}\,dx.\] On calcule : \[[-xe^{-x}]_0^1=-\frac1e,\] et : \[\int_0^1e^{-x}\,dx=[-e^{-x}]_0^1=1-\frac1e.\] Donc : \[I=-\frac1e+1-\frac1e=1-\frac2e.\] Ainsi : \[\boxed{\int_0^1xe^{-x}\,dx=1-\frac2e}.\]
Posons maintenant : \[J=\int_0^1 x^2e^{-x}\,dx.\] On prend : \[u'(x)=e^{-x}\quad\text{et}\quad v(x)=x^2.\] Alors : \[u(x)=-e^{-x}\quad\text{et}\quad v'(x)=2x.\] Donc, par intégration par parties : \[J=[-x^2e^{-x}]_0^1-\int_0^1(-e^{-x})2x\,dx.\] Ainsi : \[J=[-x^2e^{-x}]_0^1+2\int_0^1xe^{-x}\,dx.\] On a : \[[-x^2e^{-x}]_0^1=-\frac1e,\] et, d’après le calcul précédent : \[\int_0^1xe^{-x}\,dx=1-\frac2e.\] Donc : \[J=-\frac1e+2\left(1-\frac2e\right)=2-\frac5e.\] Ainsi : \[\boxed{\int_0^1x^2e^{-x}\,dx=2-\frac5e}.\]
Finalement : \[\mathcal A=I-J=\left(1-\frac2e\right)-\left(2-\frac5e\right).\] Donc : \[\boxed{\mathcal A=\frac3e-1}.\]
Partie II
On considère la restriction \(h\) de \(f\) à l’intervalle \([0,1]\). Donc : \[h(x)=f(x)=x+(x^2-x)e^{-x}.\]
Bijection de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\R\), donc elle est continue sur \(\R\). Par conséquent, sa restriction \(h\) est continue sur \([0,1]\).
D’après la partie I, \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). Donc \(h\) est strictement croissante sur \([0,1]\).
De plus : \[h(0)=f(0)=0,\] et : \[h(1)=f(1)=1.\] Comme \(h\) est continue et strictement monotone sur \([0,1]\), elle réalise une bijection de \([0,1]\) sur son image. Or : \[h([0,1])=[h(0),h(1)]=[0,1].\] Donc : \[\boxed{h\text{ réalise une bijection de }[0,1]\text{ sur }[0,1]}.\]
Comparaison de \(h(x)\) et \(x\).
Pour \(x\in]0,1[\), on a : \[h(x)-x=(x^2-x)e^{-x}=x(x-1)e^{-x}.\] Or : \[x>0,\quad x-1<0,\quad e^{-x}>0.\] Donc : \[x(x-1)e^{-x}<0.\] Ainsi : \[\boxed{h(x)<x\quad\text{pour tout }x\in]0,1[}.\]
Soit \(x\in]0,1[\). Posons : \[y=h^{-1}(x).\] Alors : \[x=h(y).\] Comme \(h\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur \([0,1]\), on a : \[h^{-1}(]0,1[)=]0,1[.\] Donc : \[y\in]0,1[.\] D’après ce qui précède : \[h(y)<y.\] Comme \(x=h(y)\), on obtient : \[x<y.\] Donc : \[\boxed{h^{-1}(x)>x\quad\text{pour tout }x\in]0,1[}.\]
Encadrement et monotonie de \((u_n)\).
On sait que : \[u_0\in]0,1[\] et : \[u_{n+1}=h^{-1}(u_n).\]
Montrons par récurrence que : \[0<u_n<1.\] Pour \(n=0\), c’est vrai par hypothèse.
Supposons que : \[0<u_n<1.\] Alors : \[u_n\in]0,1[.\] Comme : \[h^{-1}(]0,1[)=]0,1[,\] on obtient : \[u_{n+1}=h^{-1}(u_n)\in]0,1[.\] Donc, par récurrence : \[\boxed{0<u_n<1\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N}.\]
De plus, comme \(u_n\in]0,1[\) et comme : \[h^{-1}(x)>x\quad\text{pour tout }x\in]0,1[,\] on obtient : \[h^{-1}(u_n)>u_n.\] Donc : \[u_{n+1}>u_n.\] Ainsi : \[\boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante}}.\]
Convergence et limite de \((u_n)\).
On a : \[0<u_n<1.\] Donc la suite \((u_n)\) est majorée par \(1\). D’après la question précédente, elle est croissante. Donc, d’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) est convergente.
On note : \[\ell=\lim_{n\to+\infty}u_n.\] Comme : \[0<u_n<1,\] on a : \[0\leq \ell\leq1.\]
La fonction \(h^{-1}\) est continue sur \([0,1]\) car \(h\) est continue et strictement monotone sur \([0,1]\). On peut donc passer à la limite dans : \[u_{n+1}=h^{-1}(u_n).\] On obtient : \[\ell=h^{-1}(\ell).\] Cette égalité équivaut à : \[h(\ell)=\ell.\] Or : \[h(x)-x=x(x-1)e^{-x}.\] Donc : \[h(\ell)=\ell \Longleftrightarrow \ell(\ell-1)e^{-\ell}=0.\] Comme : \[e^{-\ell}>0,\] on obtient : \[\ell=0\quad\text{ou}\quad \ell=1.\] Mais la suite \((u_n)\) est croissante et \(u_0>0\), donc : \[\ell\geq u_0>0.\] Ainsi : \[\ell\ne0.\] Par conséquent : \[\boxed{\ell=1}.\] Donc : \[\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1}.\]
FIN DU CORRIGÉ — S’ENTRAÎNER À L’EXAMEN NATIONAL (1) — 2e Bac PC/SVT
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