Corrigé — S’entraîner à l’examen national (2)
2e Bac Sciences Physiques et SVT — Mathématiques
Filière : Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre
Matière : Mathématiques
Type : Correction détaillée d’un examen blanc
Objectif : Préparation progressive à l’examen national
Cette correction est rédigée dans un style progressif et conforme au programme de 2e Bac PC/SVT. Les étapes importantes sont justifiées : calculs vectoriels, conditions d’utilisation des théorèmes, dénombrement, limites, dérivées, intégrales, fonction réciproque et suite récurrente.
Correction de l’exercice 1 — Géométrie dans l’espace
On travaille dans un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).
On considère les points :
\[ A(1,0,0),\qquad B(0,1,1),\qquad C(2,1,0). \]On considère aussi :
\[ E(-1,-1,2),\qquad F(5,-1,2), \]et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) vérifiant :
\[ \overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0. \]1. Calcul de \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et équation du plan \((P)\)
On calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) = (0-1,\;1-0,\;1-0) = (-1,1,1). \]De même :
\[ \overrightarrow{AC} = (x_C-x_A,\;y_C-y_A,\;z_C-z_A) = (2-1,\;1-0,\;0-0) = (1,1,0). \]Donc :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}. \]Ainsi :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (1\cdot 0-1\cdot 1)\vec{i} - ((-1)\cdot 0-1\cdot 1)\vec{j} + ((-1)\cdot 1-1\cdot 1)\vec{k}. \]Donc :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = -\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(-1,1,-2).} \]Ce vecteur est non nul, donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires. Ainsi, les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés et ils déterminent un plan \((P)\).
Le vecteur :
\[ \vec n=(1,-1,2) \]est aussi un vecteur normal au plan \((P)\), car :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=-(1,-1,2). \]Une équation cartésienne de \((P)\) est donc de la forme :
\[ x-y+2z+d=0. \]Comme \(A(1,0,0)\in(P)\), on obtient :
\[ 1-0+2\cdot0+d=0. \]Donc :
\[ d=-1. \]Ainsi :
\[ \boxed{(P):\ x-y+2z-1=0.} \]2. Nature de l’ensemble \((S)\)
On a :
\[ \overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0. \]Cela signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{ME}\) et \(\overrightarrow{MF}\) sont orthogonaux. D’après le cours, l’ensemble des points \(M\) tels que :
\[ \overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0 \]est la sphère de diamètre \([EF]\).
Le centre \(\Omega\) est le milieu de \([EF]\). Donc :
\[ \Omega\left(\frac{-1+5}{2},\frac{-1+(-1)}{2},\frac{2+2}{2}\right). \]Ainsi :
\[ \boxed{\Omega(2,-1,2).} \]Le rayon est :
\[ R=\frac{EF}{2}. \]Or :
\[ EF=\sqrt{(5-(-1))^2+(-1-(-1))^2+(2-2)^2}. \]Donc :
\[ EF=\sqrt{6^2}=6. \]Ainsi :
\[ R=3. \]Finalement :
\[ \boxed{(S)\text{ est la sphère de centre }\Omega(2,-1,2)\text{ et de rayon }3.} \]3. Projection orthogonale et cercle d'intersection
On veut montrer que \(A\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((P)\).
On sait déjà que :
\[ A(1,0,0)\in(P). \]Calculons les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\Omega A}\) :
\[ \overrightarrow{\Omega A} = (x_A-x_\Omega,\;y_A-y_\Omega,\;z_A-z_\Omega) = (1-2,\;0-(-1),\;0-2) = (-1,1,-2). \]Or un vecteur normal au plan \((P)\) est :
\[ \vec n=(1,-1,2). \]On a :
\[ \overrightarrow{\Omega A}=-\vec n. \]Donc la droite \((\Omega A)\) est perpendiculaire au plan \((P)\).
Comme \(A\in(P)\), on conclut que :
\[ \boxed{A\text{ est le projeté orthogonal de }\Omega\text{ sur }(P).} \]La distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\) est donc la longueur \(\Omega A\).
Or :
\[ \Omega A = \sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt6. \]Donc :
\[ d(\Omega,(P))=\sqrt6. \]Comme :
\[ \sqrt6\lt 3=R, \]le plan \((P)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle.
D’après le cours, le centre de ce cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan. Donc le centre du cercle est :
\[ \boxed{A(1,0,0).} \]Si \(r\) désigne le rayon de ce cercle, alors :
\[ r^2=R^2-d(\Omega,(P))^2. \]Donc :
\[ r^2=3^2-(\sqrt6)^2=9-6=3. \]Ainsi :
\[ \boxed{r=\sqrt3.} \]Finalement :
\[ \boxed{(P)\cap(S)\text{ est un cercle de centre }A\text{ et de rayon }\sqrt3.} \]4. Position relative de \((P_m)\) et de \((S)\)
On considère :
\[ (P_m):\ x-y+2z+m=0. \]Le centre de la sphère est :
\[ \Omega(2,-1,2) \]et son rayon est :
\[ R=3. \]On calcule la distance de \(\Omega\) au plan \((P_m)\) :
\[ d(\Omega,(P_m)) = \frac{|2-(-1)+2\cdot2+m|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}. \]Donc :
\[ d(\Omega,(P_m)) = \frac{|2+1+4+m|}{\sqrt6} = \frac{|m+7|}{\sqrt6}. \]On compare cette distance au rayon \(R=3\).
Si :
\[ \frac{|m+7|}{\sqrt6}\gt 3, \]alors :
\[ |m+7|\gt 3\sqrt6. \]Dans ce cas :
\[ \boxed{(P_m)\cap(S)=\varnothing.} \]Si :
\[ \frac{|m+7|}{\sqrt6}=3, \]alors :
\[ |m+7|=3\sqrt6. \]Dans ce cas, le plan \((P_m)\) est tangent à la sphère \((S)\).
Ainsi :
\[ m+7=3\sqrt6 \quad\text{ou}\quad m+7=-3\sqrt6. \]Donc :
\[ \boxed{m=-7+3\sqrt6} \]ou :
\[ \boxed{m=-7-3\sqrt6.} \]Si :
\[ \frac{|m+7|}{\sqrt6}\lt 3, \]alors :
\[ |m+7|\lt 3\sqrt6. \]Dans ce cas, le plan \((P_m)\) coupe la sphère suivant un cercle.
Le rayon \(r_m\) de ce cercle vérifie :
\[ r_m^2=R^2-d(\Omega,(P_m))^2. \]Donc :
\[ r_m^2 = 9-\left(\frac{|m+7|}{\sqrt6}\right)^2. \]Ainsi :
\[ r_m^2=9-\frac{(m+7)^2}{6}. \]Donc :
\[ \boxed{ r_m=\sqrt{9-\frac{(m+7)^2}{6}} } \]pour :
\[ \boxed{|m+7|\lt 3\sqrt6.} \]Correction de l’exercice 2 — Nombres complexes
Pour tout réel \(\lambda\), on considère :
\[ (E_\lambda):\ z^2-2\lambda z+4=0. \]1. Valeurs de \(\lambda\), solutions et modules
L’équation \((E_\lambda)\) est une équation du second degré à coefficients réels.
Son discriminant est :
\[ \Delta=(-2\lambda)^2-4\cdot1\cdot4. \]Donc :
\[ \Delta=4\lambda^2-16=4(\lambda^2-4). \]L’équation admet deux solutions complexes non réelles conjuguées lorsque :
\[ \Delta\lt 0. \]Donc :
\[ 4(\lambda^2-4)\lt 0. \]Ainsi :
\[ \lambda^2\lt 4. \]Par conséquent :
\[ \boxed{-2\lt \lambda\lt 2.} \]Dans ce cas :
\[ \Delta=-4(4-\lambda^2). \]Donc :
\[ \sqrt{\Delta}=2i\sqrt{4-\lambda^2}. \]Les deux solutions sont :
\[ z=\frac{2\lambda\pm 2i\sqrt{4-\lambda^2}}{2}. \]Donc :
\[ z=\lambda\pm i\sqrt{4-\lambda^2}. \]Comme :
\[ \operatorname{Im}(a_\lambda)\gt 0, \]on prend :
\[ \boxed{a_\lambda=\lambda+i\sqrt{4-\lambda^2}} \]et :
\[ \boxed{b_\lambda=\lambda-i\sqrt{4-\lambda^2}.} \]Calculons le module de \(a_\lambda\) :
\[ |a_\lambda|^2 = \lambda^2+\left(\sqrt{4-\lambda^2}\right)^2. \]Donc :
\[ |a_\lambda|^2=\lambda^2+4-\lambda^2=4. \]Ainsi :
\[ |a_\lambda|=2. \]De même :
\[ |b_\lambda|=2. \]Donc :
\[ \boxed{|a_\lambda|=|b_\lambda|=2.} \]2. Détermination de \(\lambda\)
On suppose :
\[ 0\lt \lambda\lt 2. \]On peut écrire :
\[ a_\lambda=2(\cos\theta+i\sin\theta) \]avec :
\[ \cos\theta=\frac{\lambda}{2} \]et :
\[ \sin\theta=\frac{\sqrt{4-\lambda^2}}{2}. \]Comme \(0\lt \lambda\lt 2\), on a :
\[ 0\lt \theta\lt \frac{\pi}{2}. \]Alors :
\[ b_\lambda=2(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)). \]Donc :
\[ \arg(a_\lambda)=\theta \]et :
\[ \arg(b_\lambda)=-\theta. \]Ainsi :
\[ (\overrightarrow{OB_\lambda},\overrightarrow{OA_\lambda}) = \arg(a_\lambda)-\arg(b_\lambda) = 2\theta. \]On veut :
\[ 2\theta=\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ \theta=\frac{\pi}{4}. \]Ainsi :
\[ \cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}. \]Or :
\[ \cos\theta=\frac{\lambda}{2}. \]Donc :
\[ \frac{\lambda}{2}=\frac{\sqrt2}{2}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{\lambda=\sqrt2.} \]3. Nature du quadrilatère \(OACB\)
Dans la suite, on prend :
\[ \lambda=\sqrt2. \]Alors :
\[ a_{\sqrt2}=\sqrt2+i\sqrt{4-2} =\sqrt2+i\sqrt2. \]Donc :
\[ a=\sqrt2+i\sqrt2. \]De même :
\[ b=\sqrt2-i\sqrt2. \]On a :
\[ c=a+b. \]Donc :
\[ c=2\sqrt2. \]Les coordonnées des points sont :
\[ O(0,0),\quad A(\sqrt2,\sqrt2),\quad B(\sqrt2,-\sqrt2),\quad C(2\sqrt2,0). \]Comme :
\[ c=a+b, \]on a :
\[ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}. \]Donc le quadrilatère \(OACB\) est un parallélogramme.
De plus :
\[ \overrightarrow{OA}=(\sqrt2,\sqrt2) \]et :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = (\sqrt2,-\sqrt2). \]On a alors :
\[ OA=AC=2 \]et :
\[ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} = \sqrt2\cdot\sqrt2+\sqrt2\cdot(-\sqrt2) = 0. \]Ainsi, le parallélogramme \(OACB\) possède deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires.
Donc :
\[ \boxed{OACB\text{ est un carré}.} \]Le cercle circonscrit au carré a pour centre le centre du carré, c'est-à-dire le milieu de \([OC]\).
Comme :
\[ O(0,0),\qquad C(2\sqrt2,0), \]le centre a pour affixe :
\[ \boxed{z_0=\sqrt2.} \]Son rayon est :
\[ R_\Gamma=|z_0-0|=\sqrt2. \]Donc :
\[ \boxed{R_\Gamma=\sqrt2.} \]4. Valeurs de \(m\) telles que \(M_m\in\Gamma\)
On a :
\[ z_m=m+i(m-\sqrt2). \]Le cercle \(\Gamma\) a pour centre d'affixe :
\[ z_0=\sqrt2 \]et pour rayon :
\[ R_\Gamma=\sqrt2. \]Donc :
\[ M_m\in\Gamma \Longleftrightarrow |z_m-\sqrt2|=\sqrt2. \]Or :
\[ z_m-\sqrt2 = (m-\sqrt2)+i(m-\sqrt2). \]Donc :
\[ |z_m-\sqrt2|^2 = (m-\sqrt2)^2+(m-\sqrt2)^2. \]Ainsi :
\[ |z_m-\sqrt2|^2=2(m-\sqrt2)^2. \]La condition devient :
\[ 2(m-\sqrt2)^2=2. \]Donc :
\[ (m-\sqrt2)^2=1. \]Ainsi :
\[ m-\sqrt2=1 \quad\text{ou}\quad m-\sqrt2=-1. \]Finalement :
\[ \boxed{m=\sqrt2+1} \]ou :
\[ \boxed{m=\sqrt2-1.} \]Correction de l’exercice 3 — Probabilités
L'urne contient \(9\) boules. On tire simultanément \(3\) boules.
Le nombre total de tirages possibles est :
\[ \mathrm{C}_{9}^{3}=84. \]1. Calcul de \(P(A)\)
L'événement \(A\) est :
\[ A:\text{ « les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes »}. \]Cela signifie que l'on tire une boule rouge, une boule blanche et une boule noire.
D’après le tableau, il y a :
\[ 3\text{ rouges},\qquad 3\text{ blanches},\qquad 3\text{ noires}. \]Le nombre de tirages favorables est :
\[ 3\times3\times3=27. \]Donc :
\[ P(A)=\frac{27}{84}. \]En simplifiant :
\[ \boxed{P(A)=\frac9{28}.} \]2. Calcul de \(P(B)\), de \(P(A\cap B)\) et indépendance
L'événement \(B\) est :
\[ B:\text{ « la somme des trois numéros tirés est égale à }6\text{ »}. \]D’après le tableau, le nombre de boules portant chaque numéro est :
\[ n_1=3,\qquad n_2=4,\qquad n_3=2. \]Pour obtenir une somme égale à \(6\), les possibilités sont :
\[ 1+2+3=6 \]ou :
\[ 2+2+2=6. \]Pour le cas \(1,2,3\), le nombre de tirages est :
\[ 3\times4\times2=24. \]Pour le cas \(2,2,2\), le nombre de tirages est :
\[ \mathrm{C}_{4}^{3}=4. \]Donc le nombre total de tirages favorables à \(B\) est :
\[ 24+4=28. \]Ainsi :
\[ P(B)=\frac{28}{84}. \]Donc :
\[ \boxed{P(B)=\frac13.} \]Calculons maintenant \(P(A\cap B)\).
L'événement \(A\cap B\) signifie que les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes et que la somme des numéros est \(6\).
On compte les cas possibles à partir du tableau.
Pour le type \(1,2,3\) :
\[ R_1B_2N_3:\quad 2\times1\times1=2, \] \[ R_1B_3N_2:\quad 2\times1\times2=4, \] \[ R_2B_1N_3:\quad 1\times1\times1=1. \]Pour le type \(2,2,2\) :
\[ R_2B_2N_2:\quad 1\times1\times2=2. \]Donc le nombre de tirages favorables à \(A\cap B\) est :
\[ 2+4+1+2=9. \]Ainsi :
\[ P(A\cap B)=\frac9{84}. \]Donc :
\[ \boxed{P(A\cap B)=\frac3{28}.} \]On vérifie l’indépendance :
\[ P(A)P(B)=\frac9{28}\times\frac13=\frac3{28}. \]Or :
\[ P(A\cap B)=\frac3{28}. \]Donc :
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B). \]Par conséquent :
\[ \boxed{A\text{ et }B\text{ sont indépendants}.} \]3. Loi de la variable aléatoire \(X\)
La variable aléatoire \(X\) désigne le nombre de boules portant le numéro \(2\) parmi les trois boules tirées.
Il y a \(4\) boules portant le numéro \(2\), et :
\[ 9-4=5 \]boules ne portant pas le numéro \(2\).
Donc :
\[ X\in\{0,1,2,3\}. \]On utilise les combinaisons.
Pour \(X=0\) :
\[ P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_{5}^{3}}{\mathrm{C}_{9}^{3}} =\frac{10}{84} =\frac5{42}. \]Pour \(X=1\) :
\[ P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1}\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{9}^{3}} = \frac{4\times10}{84} = \frac{10}{21}. \]Pour \(X=2\) :
\[ P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{5}^{1}}{\mathrm{C}_{9}^{3}} = \frac{6\times5}{84} = \frac5{14}. \]Pour \(X=3\) :
\[ P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{3}}{\mathrm{C}_{9}^{3}} = \frac4{84} = \frac1{21}. \]La loi de probabilité de \(X\) est donc :
\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline P(X=x_i) & \dfrac5{42} & \dfrac{10}{21} & \dfrac5{14} & \dfrac1{21} \end{array} } \]4. Espérance mathématique
On calcule :
\[ E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3). \]Donc :
\[ E(X)=\frac{10}{21}+2\cdot\frac5{14}+3\cdot\frac1{21}. \]Ainsi :
\[ E(X)=\frac{10}{21}+\frac57+\frac17. \]Or :
\[ \frac57=\frac{15}{21} \quad\text{et}\quad \frac17=\frac3{21}. \]Donc :
\[ E(X)=\frac{10}{21}+\frac{15}{21}+\frac3{21} = \frac{28}{21} = \frac43. \]Ainsi :
\[ \boxed{E(X)=\frac43.} \]Correction du problème — Analyse logarithmique, intégrale, réciproque et suite
On considère :
\[ f(x)=x-(\ln x)^2 \]définie sur :
\[ ]0,+\infty[. \]Partie I — Étude de la fonction \(f\)
1. Limites aux bornes du domaine
On cherche :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]On a :
\[ \lim_{x\to0^+}x=0 \]et :
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}(\ln x)^2=+\infty. \]Ainsi :
\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty.} \]Pour \(x\to+\infty\), on écrit :
\[ f(x)=x\left(1-\frac{(\ln x)^2}{x}\right). \]D’après les limites usuelles :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=0. \]Donc :
\[ 1-\frac{(\ln x)^2}{x}\to1. \]Comme \(x\to+\infty\), on obtient :
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.} \]2. Asymptote verticale
On a :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Donc \((C_f)\) admet une asymptote verticale d'équation :
\[ \boxed{x=0.} \]3. Branche parabolique au voisinage de \(+\infty\)
On calcule :
\[ \frac{f(x)}{x} = 1-\frac{(\ln x)^2}{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^2}{x}=0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=1. \]Ensuite :
\[ f(x)-x=-(\ln x)^2. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}-(\ln x)^2=-\infty. \]Ainsi, \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique de direction celle de la droite :
\[ \boxed{\Delta:\ y=x.} \]4. Calcul de \(f'(x)\)
On a :
\[ f(x)=x-(\ln x)^2. \]Donc :
\[ f'(x)=1-2\ln x\cdot\frac1x. \]Ainsi :
\[ f'(x)=1-\frac{2\ln x}{x} = \frac{x-2\ln x}{x}. \]Donc :
\[ \boxed{f'(x)=\frac{x-2\ln x}{x}.} \]5. Étude de \(g(x)=x-2\ln x\)
On considère :
\[ g(x)=x-2\ln x. \]La fonction \(g\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\), et :
\[ g'(x)=1-\frac2x=\frac{x-2}{x}. \]Comme \(x\gt 0\), le signe de \(g'(x)\) est celui de \(x-2\).
Donc \(g\) est décroissante sur \(]0,2]\) et croissante sur \([2,+\infty[\).
La fonction \(g\) admet donc un minimum en \(x=2\).
On calcule :
\[ g(2)=2-2\ln2. \]Comme \(2\lt e\), on a :
\[ \ln2\lt 1. \]Donc :
\[ 2-2\ln2\gt 0. \]Ainsi :
\[ g(2)\gt 0. \]Donc, pour tout \(x\gt 0\) :
\[ \boxed{g(x)\gt 0.} \]Or :
\[ f'(x)=\frac{g(x)}{x}. \]Comme \(g(x)\gt 0\) et \(x\gt 0\), on a :
\[ f'(x)\gt 0. \]Donc :
\[ \boxed{f\text{ est strictement croissante sur } ]0,+\infty[.} \]6. Convexité et concavité
On part de :
\[ f'(x)=1-\frac{2\ln x}{x}. \]Or :
\[ \left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{1-\ln x}{x^2}. \]Donc :
\[ f''(x)=-2\frac{1-\ln x}{x^2} = \frac{2(\ln x-1)}{x^2}. \]Ainsi :
\[ \boxed{f''(x)=\frac{2(\ln x-1)}{x^2}.} \]Comme :
\[ x^2\gt 0, \]le signe de \(f''(x)\) est celui de \(\ln x-1\).
On a :
\[ \ln x-1\lt 0 \Longleftrightarrow x\lt e. \]Donc :
\[ f''(x)\lt 0\quad\text{sur } ]0,e[ \]et :
\[ f''(x)\gt 0\quad\text{sur } ]e,+\infty[. \]Ainsi :
\[ \boxed{(C_f)\text{ est concave sur } ]0,e]} \]et :
\[ \boxed{(C_f)\text{ est convexe sur } [e,+\infty[.} \]7. Point d'inflexion
La dérivée seconde change de signe en \(x=e\). Donc \((C_f)\) admet un point d'inflexion d'abscisse \(e\).
On calcule :
\[ f(e)=e-(\ln e)^2=e-1. \]Donc le point d'inflexion est :
\[ \boxed{I(e,e-1).} \]8. Position relative de \((C_f)\) et de \(\Delta:y=x\)
On étudie :
\[ f(x)-x. \]On a :
\[ f(x)-x=-(\ln x)^2. \]Or :
\[ (\ln x)^2\ge0. \]Donc :
\[ f(x)-x\le0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(C_f)\text{ est située au-dessous de }\Delta.} \]L'égalité a lieu lorsque :
\[ (\ln x)^2=0. \]Donc :
\[ \ln x=0, \]d'où :
\[ x=1. \]Le point d'intersection est :
\[ \boxed{(1,1).} \]9. Allure de la courbe
Pour construire l'allure de \((C_f)\), on utilise :
- le domaine \(]0,+\infty[\) ;
- l’asymptote verticale \(x=0\) ;
- \(f\) strictement croissante ;
- la concavité sur \(]0,e]\) ;
- la convexité sur \([e,+\infty[\) ;
- le point d'inflexion \(I(e,e-1)\) ;
- la position de \((C_f)\) au-dessous de \(\Delta:y=x\) ;
- le point d'intersection \((1,1)\) ;
- la branche parabolique de direction \(\Delta\) au voisinage de \(+\infty\).
Partie II — Calcul intégral et aire
Sur \([1,e]\), on a :
\[ f(x)-x=-(\ln x)^2\le0. \]Donc \((C_f)\) est en dessous de \(\Delta:y=x\).
L'aire du domaine \(\mathcal D\) est :
\[ \mathcal A=\int_1^e\left(x-f(x)\right)\,dx. \]Or :
\[ x-f(x)=(\ln x)^2. \]Donc :
\[ \boxed{\mathcal A=\int_1^e(\ln x)^2\,dx.} \]Calculons :
\[ I=\int_1^e(\ln x)^2\,dx. \]On effectue une intégration par parties.
On pose :
\[ u=(\ln x)^2 \qquad\text{et}\qquad v'=1. \]Alors :
\[ u'=\frac{2\ln x}{x} \qquad\text{et}\qquad v=x. \]Donc :
\[ I=\left[x(\ln x)^2\right]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx. \]Or :
\[ \left[x(\ln x)^2\right]_1^e=e. \]De plus, une primitive de \(\ln x\) est :
\[ x\ln x-x. \]Donc :
\[ \int_1^e\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^e=1. \]Ainsi :
\[ I=e-2. \]Donc :
\[ \boxed{\mathcal A=e-2.} \]Partie III — Fonction réciproque et suite récurrente
1. Bijection et dérivée de la réciproque
On a montré que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
De plus :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty \]et :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{f\text{ réalise une bijection de } ]0,+\infty[ \text{ sur } \mathbb{R}.} \]On cherche :
\[ (f^{-1})'(1). \]On a :
\[ f(1)=1-(\ln1)^2=1. \]Donc :
\[ f^{-1}(1)=1. \]D’après la formule de dérivation de la fonction réciproque :
\[ (f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(f^{-1}(1))}. \]Donc :
\[ (f^{-1})'(1)=\frac1{f'(1)}. \]Or :
\[ f'(1)=\frac{1-2\ln1}{1}=1. \]Ainsi :
\[ \boxed{(f^{-1})'(1)=1.} \]2. Montrer que \(1\lt f(x)\lt x\) sur \(]1,e[\)
Soit \(x\in]1,e[\).
Comme \(f\) est strictement croissante et \(x\gt 1\), on a :
\[ f(x)\gt f(1). \]Or :
\[ f(1)=1. \]Donc :
\[ f(x)\gt 1. \]D'autre part :
\[ f(x)=x-(\ln x)^2. \]Comme \(x\in]1,e[\), on a :
\[ \ln x\gt 0. \]Donc :
\[ (\ln x)^2\gt 0. \]Ainsi :
\[ f(x)\lt x. \]Finalement :
\[ \boxed{1\lt f(x)\lt x\quad\text{pour tout }x\in]1,e[.} \]3. Encadrement et monotonie de la suite
On considère :
\[ u_0\in]1,e[ \]et :
\[ u_{n+1}=f(u_n). \]On montre par récurrence que :
\[ 1\lt u_n\lt e. \]Pour \(n=0\), c'est vrai par hypothèse.
Supposons que :
\[ 1\lt u_n\lt e. \]D’après le résultat précédent :
\[ 1\lt f(u_n)\lt u_n. \]Comme :
\[ u_{n+1}=f(u_n), \]on obtient :
\[ 1\lt u_{n+1}\lt u_n. \]Comme \(u_n\lt e\), on a aussi :
\[ u_{n+1}\lt e. \]Donc :
\[ 1\lt u_{n+1}\lt e. \]Par récurrence :
\[ \boxed{1\lt u_n\lt e\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.} \]De plus :
\[ u_{n+1}\lt u_n. \]Donc :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante}.} \]4. Convergence et limite
La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\). Donc elle est convergente.
Notons :
\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Comme :
\[ 1\lt u_n\lt e, \]on a :
\[ 1\le \ell\le e. \]En passant à la limite dans :
\[ u_{n+1}=f(u_n), \]et puisque \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\), on obtient :
\[ \ell=f(\ell). \]Donc :
\[ \ell=\ell-(\ln\ell)^2. \]Ainsi :
\[ (\ln\ell)^2=0. \]Donc :
\[ \ln\ell=0. \]Par conséquent :
\[ \ell=1. \]Finalement :
\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=1.} \]FIN DU CORRIGÉ — S’ENTRAÎNER À L’EXAMEN NATIONAL (2) — 2e BAC PC/SVT
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