Correction de l’examen national 2024 — Session de rattrapage
2e Bac Sciences Mathématiques A/B · Option française · Mathématiques
Cet examen national de mathématiques propose cinq exercices qui mobilisent plusieurs compétences fondamentales du programme de deuxième année du baccalauréat Sciences Mathématiques. Il ne suffit pas de connaître les formules : chaque question demande de reconnaître le résultat du cours approprié, d'en vérifier les conditions et de construire un raisonnement rigoureux. En analyse, on utilisera notamment les limites logarithmiques, la dérivation, les suites, les intégrales et les sommes de Riemann. Les nombres complexes feront intervenir les transformations géométriques et la cocyclicité. Les deux derniers exercices porteront sur les structures algébriques et l'arithmétique. Cette correction explique les méthodes employées, justifie les transitions importantes et met en évidence les résultats réutilisables dans d'autres exercices.
Filière : Sciences Mathématiques A et B, option française.
Session : rattrapage 2024.
Durée : 4 heures.
Coefficient : 9.
Barème total : 20 points.
Le sujet officiel précise que la calculatrice et la couleur rouge ne sont pas autorisées.
Avant d'afficher une correction, il est conseillé de rechercher la propriété du cours qui permet de traiter la question. Après lecture, refaire le raisonnement sans consulter la solution. Les exercices sont organisés de manière progressive : plusieurs résultats obtenus dans une question seront réutilisés dans les suivantes.
| Exercice | Domaine | Barème |
|---|---|---|
| 1 | Analyse et suites | 6,5 points |
| 2 | Intégrales et sommes de Riemann | 3,5 points |
| 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| 4 | Structures algébriques | 3,5 points |
| 5 | Arithmétique | 3 points |
Exercice 1 — Analyse et suites — 6,5 points
Pour tout entier naturel \(n \geq 2\), on considère la fonction \(f_{n}\), définie sur \(\lbrack 0, + \infty\lbrack\) par :
\[f_{n}(x) = \left\{ \begin{matrix} {0,} & {x = 0,} \\ {x - x^{n}\ln x,} & {x \gt{} 0.} \end{matrix} \right.\]On note \((C_{n})\) sa courbe représentative. L'exercice étudie les propriétés de \(f_{n}\), puis une suite \((\alpha_{n})\) définie à partir de ses zéros.
Une fonction est continue à droite en une borne lorsque sa limite à droite coïncide avec sa valeur en cette borne. Pour étudier les variations d'une fonction dérivable, on détermine le signe de sa dérivée. Enfin, une suite décroissante et minorée est convergente.
On utilisera aussi les limites usuelles, notamment :
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{a}\ln x = 0\qquad(a \gt{} 0).\]1-a. Continuité à droite en zéro — 0,25 pt
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Pour établir la continuité à droite en \(0\), il suffit de démontrer que la limite de \(f_{n}(x)\), lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives, est égale à \(f_{n}(0)\).
Comme \(n \geq 2\), on peut appliquer la limite usuelle \(x^{n}\ln x \rightarrow 0\) lorsque \(x \rightarrow 0^{+}\).
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x = 0\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{n}\ln x = 0.\]Par conséquent :
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}f_{n}(x) = 0 = f_{n}(0).\]La valeur attribuée à la fonction en \(0\) est donc compatible avec son comportement à droite.
1-b. Limites à l’infini et interprétation graphique — 0,75 pt
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Pour étudier le comportement de \(f_{n}\) à l'infini, on factorise par \(x\). Cette transformation permet de faire apparaître le produit \(x^{n - 1}\ln x\), dont la limite est connue.
\[f_{n}(x) = x\left( 1 - x^{n - 1}\ln x \right).\]Or :
\[\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}x^{n - 1}\ln x = + \infty.\]Le facteur entre parenthèses tend donc vers \(- \infty\). Comme \(x \rightarrow + \infty\), on obtient :
\[\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}f_{n}(x) = - \infty.\]Pour préciser la direction de la branche infinie, étudions maintenant le quotient \(f_{n}(x)/x\).
\[\frac{f_{n}(x)}{x} = 1 - x^{n - 1}\ln x.\]D'où :
\[\lim\limits_{x \rightarrow + \infty}\frac{f_{n}(x)}{x} = - \infty.\]La courbe \((C_{n})\) possède, au voisinage de \(+ \infty\), une branche infinie de direction l'axe des ordonnées. Le quotient ne tendant pas vers un coefficient directeur fini, cette branche ne correspond pas à une asymptote oblique.
1-c. Dérivabilité à droite en zéro — 0,5 pt
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La dérivabilité à droite se vérifie à partir du taux d'accroissement. Il faut donc étudier :
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{f_{n}(x) - f_{n}(0)}{x - 0}.\]Pour \(x \gt{} 0\) :
\[\frac{f_{n}(x) - f_{n}(0)}{x} = \frac{x - x^{n}\ln x}{x} = 1 - x^{n - 1}\ln x.\]Puisque \(n - 1 \gt{} 0\), la limite usuelle donne :
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{n - 1}\ln x = 0.\]Ainsi :
\[\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{f_{n}(x) - f_{n}(0)}{x} = 1.\]La courbe \((C_{n})\) admet donc à l'origine une demi-tangente à droite de coefficient directeur \(1\).
1-d. Calcul de la dérivée — 0,5 pt
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Sur \(\rbrack 0, + \infty\lbrack\), les fonctions \(x\mapsto x\), \(x\mapsto x^{n}\) et \(x\mapsto\ln x\) sont dérivables. Le produit \(x^{n}\ln x\) est donc dérivable.
On applique la formule de dérivation d'un produit. Pour tout \(x \gt{} 0\) :
\[f_{n}^{\prime}(x) = 1 - \left( nx^{n - 1}\ln x + x^{n} \cdot \frac{1}{x} \right).\]En simplifiant :
\[f_{n}^{\prime}(x) = 1 - x^{n - 1} - nx^{n - 1}\ln x.\]La forme factorisée est particulièrement utile pour déterminer le signe de la dérivée.
1-e. Variations de la fonction — 0,5 pt
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Le signe de \(f_{n}^{\prime}\) dépend de l'expression \(x^{n - 1}(1 + n\ln x)\). On distingue les deux intervalles \(\rbrack 0,1\lbrack\) et \(\rbrack 1, + \infty\lbrack\), car le logarithme change de signe en \(1\).
Premier cas : \(0\lt{}x\lt{}1\).
Si \(1 + n\ln x \leq 0\), alors :
\[x^{n - 1}(1 + n\ln x) \leq 0 \lt{} 1.\]Si \(1 + n\ln x \gt{} 0\), puisque \(0\lt{}x^{n-1}\lt{}1\) et \(1+n\ln x\lt{}1\), on a :
\[ 0\lt{}x^{n-1}(1+n\ln x)\lt{}1. \]Dans les deux situations, le produit est strictement inférieur à \(1\). Donc :
\[f_{n}^{\prime}(x) \gt{} 0.\]Deuxième cas : \(x \gt{} 1\).
\[x^{n - 1} \gt{} 1\qquad\text{et}\qquad 1 + n\ln x \gt{} 1.\]Il en résulte :
\[x^{n - 1}(1 + n\ln x) \gt{} 1.\]Ainsi :
\[f_{n}^{\prime}(x) \lt{} 0.\]La continuité en \(0\), établie précédemment, permet d'inclure cette borne dans l'intervalle de croissance.
En particulier, \(f_{n}\) atteint son maximum en \(x = 1\), où \(f_{n}(1) = 1\).
2-a. Comparaison de deux fonctions successives — 0,5 pt
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Pour comparer deux fonctions, on étudie le signe de leur différence. Cette méthode évite d'avoir à comparer séparément leurs valeurs.
Pour \(x \gt{} 0\) :
\[f_{n + 1}(x) - f_{n}(x) = x^{n}(1 - x)\ln x.\]Le facteur \(x^{n}\) est strictement positif. Il suffit donc d'étudier le signe de \((1 - x)\ln x\).
Si \(0\lt{}x\lt{}1\), alors \(1-x\gt{}0\) et \(\ln x\lt{}0\), d'où :
\[(1 - x)\ln x \lt{} 0.\]Si \(x \gt{} 1\), alors \(1 - x \lt{} 0\) et \(\ln x \gt{} 0\). On obtient encore :
\[(1 - x)\ln x \lt{} 0.\]Pour \(x = 0\) et \(x = 1\), les deux fonctions prennent respectivement les mêmes valeurs : \(0\) et \(1\).
2-b. Position relative des courbes — 0,25 pt
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Une inégalité entre deux fonctions définies sur le même intervalle se traduit directement par une position relative de leurs courbes.
D'après la question précédente :
\[f_{n + 1}(x) \leq f_{n}(x).\]La courbe \((C_{n + 1})\) est située au-dessous de la courbe \((C_{n})\). Les deux courbes possèdent les points communs d'abscisses \(0\) et \(1\).
Sur \(\rbrack 0,1\lbrack \cup \rbrack 1, + \infty\lbrack\), l'inégalité est stricte : les courbes ne se coupent donc pas ailleurs.
3-a. Existence et unicité de \(\alpha_{n}\) — 0,5 pt
On prendra \(\ln 2=0,7\).
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Pour établir l'existence d'une solution, on utilisera le théorème des valeurs intermédiaires. Il faut vérifier la continuité sur \(\lbrack 1,2\rbrack\) et le changement de signe entre les valeurs aux extrémités.
On a :
\[f_{n}(1) = 1 \gt{} 0.\]D'autre part :
\[f_{n}(2) = 2 - 2^{n}\ln 2.\]Conformément à l'indication du sujet, la valeur approchée \(\ln 2\simeq0,7\) permet de prévoir que \(2^n\ln 2\gt{}2\) pour \(n\ge2\). La justification suivante établit cette inégalité sans approximation.
Pour justifier rigoureusement le signe de cette expression, on remarque que :
\[\ln 2 = \int_{1}^{2}\frac{1}{t}\, dt \gt{} \frac{1}{2}.\]Puisque \(n \geq 2\), il vient :
\[2^{n}\ln 2 \geq 4\ln 2 \gt{} 2.\]Par conséquent :
\[f_{n}(2) \lt{} 0.\]La fonction \(f_{n}\) est continue sur \(\lbrack 1,2\rbrack\), car elle y est obtenue à partir de fonctions continues. Comme \(f_{n}(1) \gt{} 0\) et \(f_{n}(2) \lt{} 0\), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence de \(\alpha_{n} \in \rbrack 1,2\lbrack\) tel que :
\[f_{n}(\alpha_{n}) = 0.\]D'après la question 1-e, \(f_{n}\) est strictement décroissante sur \(\lbrack 1, + \infty\lbrack\). Elle ne peut donc s'annuler qu'une seule fois sur \(\rbrack 1,2\lbrack\).
Ce résultat permet de définir une suite \((\alpha_{n})\) dont chaque terme est précisément le zéro de la fonction \(f_{n}\) situé entre \(1\) et \(2\).
3-b. Relation vérifiée par \(\alpha_{n + 1}\) — 0,25 pt
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Par définition, \(\alpha_{n + 1}\) est le zéro de \(f_{n + 1}\). On remplace donc simplement la variable de cette fonction par \(\alpha_{n + 1}\).
\[\alpha_{n + 1} - \alpha_{n + 1}^{n + 1}\ln(\alpha_{n + 1}) = 0.\]Comme \(\alpha_{n + 1} \gt{} 1\), on peut diviser par ce réel strictement positif :
\[1 - \alpha_{n + 1}^{n}\ln(\alpha_{n + 1}) = 0.\]Cette identité sera immédiatement utilisée pour comparer deux termes successifs de la suite.
3-c. Calcul de \(f_{n}(\alpha_{n + 1})\) — 0,25 pt
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On évalue \(f_{n}\) au point \(\alpha_{n + 1}\), puis on remplace le produit logarithmique par la valeur trouvée à la question précédente.
\[f_{n}(\alpha_{n + 1}) = \alpha_{n + 1} - \alpha_{n + 1}^{n}\ln(\alpha_{n + 1}) = \alpha_{n + 1} - 1.\]Comme \(\alpha_{n + 1} \gt{} 1\), cette valeur est strictement positive. Son signe sera déterminant dans la question suivante.
3-d. Monotonie de la suite — 0,5 pt
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La stratégie consiste à comparer les images de \(\alpha_{n}\) et \(\alpha_{n + 1}\) par la même fonction \(f_{n}\). Comme cette fonction est strictement décroissante, l'ordre des images est inverse de celui des antécédents.
D'après la question 3-c :
\[f_{n}(\alpha_{n + 1}) = \alpha_{n + 1} - 1 \gt{} 0.\]Par définition de \(\alpha_{n}\) :
\[f_{n}(\alpha_{n}) = 0.\]On a donc \(f_{n}(\alpha_{n + 1}) \gt{} f_{n}(\alpha_{n})\). Puisque \(f_{n}\) est strictement décroissante sur \(\lbrack 1, + \infty\lbrack\), on en déduit :
\[\alpha_{n + 1} \lt{} \alpha_{n}.\]3-e. Convergence de la suite — 0,25 pt
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On applique ici le théorème de convergence des suites monotones. Ses deux conditions sont vérifiées : la suite est décroissante d'après 3-d, et minorée par \(1\) car chaque \(\alpha_{n} \in \rbrack 1,2\lbrack\).
La suite \((\alpha_{n})\) est donc décroissante et minorée par \(1\).
Notons désormais \(\ell\) sa limite. Il reste à déterminer sa valeur.
4-a. Encadrement de la limite — 0,25 pt
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Comme la convergence a été démontrée, on peut passer à la limite dans l'encadrement des termes de la suite.
\[1 \lt{} \alpha_{n} \lt{} 2.\]Il vient :
\[1 \leq \ell \leq 2.\]Les inégalités deviennent larges lors du passage à la limite : une suite dont les termes restent strictement entre deux bornes peut converger vers l'une de ces bornes.
4-b. Relation logarithmique — 0,5 pt
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On part de \(f_{n}(\alpha_{n}) = 0\). L'objectif est d'isoler \(n - 1\) grâce aux propriétés du logarithme.
Il faut d'abord vérifier que les logarithmes successifs sont définis. Puisque \(\alpha_{n} \gt{} 1\), on a \(\ln(\alpha_{n}) \gt{} 0\).
\[\alpha_{n} - \alpha_{n}^{n}\ln(\alpha_{n}) = 0.\]Donc :
\[\alpha_{n}^{n - 1}\ln(\alpha_{n}) = 1.\]Les deux facteurs du produit étant strictement positifs, on peut appliquer le logarithme népérien :
\[\ln\left( \alpha_{n}^{n - 1}\ln(\alpha_{n}) \right) = 0.\]En utilisant ses propriétés :
\[(n - 1)\ln(\alpha_{n}) + \ln(\ln(\alpha_{n})) = 0.\]Comme \(\ln(\alpha_{n}) \gt{} 0\) :
\[n - 1 = - \frac{\ln(\ln(\alpha_{n}))}{\ln(\alpha_{n})}.\]4-c. Limite sous l’hypothèse \(\ell \gt{} 1\) — 0,25 pt
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La fonction logarithme est continue sur \(\rbrack 0, + \infty\lbrack\). Sous l'hypothèse \(\ell \gt{} 1\), on a \(\ln\ell \gt{} 0\), ce qui autorise à prendre un deuxième logarithme puis à passer à la limite dans le quotient.
\[\ln(\alpha_{n}) \rightarrow \ln(\ell)\]et :
\[\ln(\ln(\alpha_{n})) \rightarrow \ln(\ln(\ell)).\]Donc :
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}\frac{\ln(\ln(\alpha_{n}))}{\ln(\alpha_{n})} = \frac{\ln(\ln(\ell))}{\ln(\ell)}.\]Ce résultat est un nombre réel fini. C'est précisément cette propriété qui conduira à une contradiction.
4-d. Détermination de la limite — 0,5 pt
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Nous savons que \(\ell \in \lbrack 1,2\rbrack\). La méthode consiste à supposer \(\ell \gt{} 1\) puis à exploiter la relation obtenue en 4-b.
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}(n - 1) = + \infty.\]Si \(\ell \gt{} 1\), d'après 4-c, le membre :
\[- \frac{\ln(\ln(\alpha_{n}))}{\ln(\alpha_{n})}\]admettrait une limite finie.
Cela contredit l'égalité :
\[n - 1 = - \frac{\ln(\ln(\alpha_{n}))}{\ln(\alpha_{n})}.\]L'hypothèse \(\ell \gt{} 1\) est donc impossible. Puisque \(1 \leq \ell \leq 2\), la seule possibilité restante est :
\[\ell = 1.\]Les zéros des fonctions \(f_{n}\) se rapprochent donc progressivement de l'abscisse \(1\) lorsque \(n\) devient grand.
Exercice 2 — Intégrales et sommes de Riemann — 3,5 points
Cet exercice met en relation les intégrales, les sommes de Riemann et les encadrements de fonctions. L'objectif est de déterminer la limite de deux suites construites à partir de sommes.
Si \(g\) est continue sur \(\lbrack 0,1\rbrack\), alors :
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{n}g\left( \frac{k}{n} \right) = \int_{0}^{1}g(x)\, dx.\]Pour appliquer ce résultat, il faut reconnaître le facteur \(1/n\) et les points \(k/n\).
1-a. Calcul d’une intégrale usuelle — 0,25 pt
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La fonction \(x\mapsto 1/(1 + x^{2})\) est continue sur \(\lbrack 0,1\rbrack\). Une de ses primitives est \(x\mapsto\arctan x\).
D'après la formule de Newton-Leibniz :
\[\int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^{2}}\, dx = \lbrack\arctan x\rbrack_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}.\]Cette valeur sera utilisée pour déterminer la limite de la première suite.
1-b. Convergence d’une somme de Riemann — 0,5 pt
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Pour reconnaître une somme de Riemann, on divise le numérateur et le dénominateur par les puissances appropriées de \(n\).
\[\frac{n}{n^{2} + k^{2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2}}.\]Donc :
\[u_{n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{1}{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2}}.\]La fonction \(g(x) = 1/(1 + x^{2})\) est continue sur \(\lbrack 0,1\rbrack\). Les conditions du théorème des sommes de Riemann sont donc vérifiées.
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1 + x^{2}}\, dx = \frac{\pi}{4}.\]La suite converge donc vers l'aire algébrique représentée par l'intégrale.
2. Majoration d’une intégrale — 0,25 pt
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On utilise la propriété de comparaison des intégrales. Il suffit de majorer la fonction intégrée sur tout l'intervalle \(\lbrack 0,1\rbrack\).
Pour tout \(x \in \lbrack 0,1\rbrack\), on a \(1 + x^{2} \geq 1\), donc :
\[0 \lt{} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} \leq 1.\]Par intégration sur \(\lbrack 0,1\rbrack\) :
\[\int_{0}^{1}\frac{1}{(1 + x^{2})^{2}}\, dx \leq \int_{0}^{1}1\, dx = 1.\]3-a. Encadrement de \(e^{x} - 1\) — 0,5 pt
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L'idée consiste à écrire la différence \(e^{x} - 1\) sous forme intégrale. On pourra ensuite utiliser l'encadrement de la fonction exponentielle sur \(\lbrack 0,1\rbrack\).
\[e^{x} - 1 = \int_{0}^{x}e^{t}\, dt.\]Pour \(t \in \lbrack 0,x\rbrack \subset \lbrack 0,1\rbrack\), la croissance de l'exponentielle donne :
\[1 \leq e^{t} \leq e.\]En intégrant, on obtient \(x \leq e^{x} - 1 \leq ex\). Comme \(x \geq 0\), il vient :
\[0 \leq e^{x} - 1 \leq ex.\]3-b. Encadrement de \(e^{x} - 1 - x\) — 0,25 pt
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Le résultat précédent peut être intégré une seconde fois. En effet, l'expression à encadrer est l'intégrale de \(e^{t} - 1\).
\[e^{x} - 1 - x = \int_{0}^{x}(e^{t} - 1)\, dt.\]D'après 3-a :
\[0 \leq e^{t} - 1 \leq et.\]Par intégration :
\[0 \leq e^{x} - 1 - x \leq \int_{0}^{x}et\, dt = \frac{e}{2}x^{2}.\]Cet encadrement permettra de contrôler l'écart entre les deux suites \(w_{n}\) et \(u_{n}\).
4-a. Encadrement de \(w_{n} - u_{n}\) — 0,25 pt
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Pour appliquer l'encadrement de la question 3-b, il faut vérifier que chaque argument de l'exponentielle appartient à \(\lbrack 0,1\rbrack\).
Pour tout \(k\), posons :
\[X_{k} = \frac{n}{n^{2} + k^{2}}.\]Puisque \(n\geq1\) et \(k\geq1\), on a \(0\lt{}X_k\leq1\). D'après 3-b :
\[0 \leq e^{X_{k}} - 1 - X_{k} \leq \frac{e}{2}X_{k}^{2}.\]En sommant ces inégalités pour \(k\) allant de \(1\) à \(n\), et en reconnaissant \(w_{n} - u_{n}\) :
\[0 \leq w_{n} - u_{n} \leq \frac{e}{2}\sum\limits_{k = 1}^{n}\left( \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \right)^{2}.\]4-b. Monotonie d’une fonction auxiliaire — 0,25 pt
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La fonction est dérivable sur \(\lbrack 0,1\rbrack\), car \(1 + x^{2} \gt{} 0\). On détermine le signe de sa dérivée.
\[g^{\prime}(x) = - 4x(1 + x^{2})^{- 3}.\]Le facteur \((1 + x^{2})^{- 3}\) est strictement positif. Ainsi \(g^{\prime}(x) \leq 0\) sur \(\lbrack 0,1\rbrack\), avec \(g^{\prime}(x) \lt{} 0\) lorsque \(x \gt{} 0\).
Cette monotonie sera utilisée pour comparer les rectangles d'une somme de Riemann à une intégrale.
4-c. Inégalité intégrale — 0,25 pt
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Sur chaque sous-intervalle, le point \(k/n\) est l'extrémité droite. Comme \(g\) est décroissante, sa valeur en ce point est inférieure ou égale à toutes les autres valeurs prises sur le sous-intervalle.
Pour \(x \in \left\lbrack \frac{k - 1}{n},\frac{k}{n} \right\rbrack\), on a :
\[x \leq \frac{k}{n}.\]Puisque \(g\) est décroissante :
\[g(x) \geq g\left( \frac{k}{n} \right).\]Par intégration sur l'intervalle de longueur \(1/n\) :
\[\int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}g(x)\, dx \geq \frac{1}{n}g\left( \frac{k}{n} \right).\]C'est-à-dire :
\[\frac{1}{n}\left( 1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2} \right)^{- 2} \leq \int_{\frac{k - 1}{n}}^{\frac{k}{n}}(1 + x^{2})^{- 2}\, dx.\]En additionnant ces inégalités, les intégrales sur les petits intervalles se regrouperont en une seule intégrale sur \(\lbrack 0,1\rbrack\).
5-a. Majoration de l’écart entre les suites — 0,5 pt
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On combine les résultats précédents. L'objectif est de majorer la somme des carrés apparaissant dans la question 4-a.
\[\left( \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \right)^{2} = \frac{1}{n^{2}}\left( 1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2} \right)^{- 2}.\]Donc :
\[\sum\limits_{k = 1}^{n}\left( \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \right)^{2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{1}{n}\left( 1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2} \right)^{- 2}.\]D'après 4-c, on somme les majorations intégrales :
\[\sum\limits_{k = 1}^{n}\frac{1}{n}\left( 1 + \left( \frac{k}{n} \right)^{2} \right)^{- 2} \leq \int_{0}^{1}(1 + x^{2})^{- 2}\, dx \leq 1.\]Par conséquent :
\[\sum\limits_{k = 1}^{n}\left( \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \right)^{2} \leq \frac{1}{n}.\]En reportant dans l'inégalité de la question 4-a :
\[0 \leq w_{n} - u_{n} \leq \frac{e}{2n}.\]Cette estimation montre que l'écart entre les deux suites devient arbitrairement petit lorsque \(n\) augmente.
5-b. Convergence de \((w_{n})\) — 0,5 pt
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La stratégie consiste à montrer que \(w_{n} - u_{n} \rightarrow 0\), puis à utiliser la convergence déjà obtenue de la suite \((u_{n})\).
\[0 \leq w_{n} - u_{n} \leq \frac{e}{2n}.\]Comme \(e/(2n) \rightarrow 0\), le théorème des gendarmes donne :
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}(w_{n} - u_{n}) = 0.\]Or :
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = \frac{\pi}{4}.\]Puisque \(w_{n} = u_{n} + (w_{n} - u_{n})\), on obtient :
\[\lim\limits_{n \rightarrow + \infty}w_{n} = \frac{\pi}{4}.\]Les deux suites convergent vers la même limite, bien que leurs termes soient définis par des expressions différentes.
Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
L'exercice comporte deux parties : la résolution d'une équation du second degré dans \(\mathbb{C}\), puis l'étude de points définis par des transformations géométriques.
Soit \(m\in\mathbb C^*\). Dans la partie I, on considère l'équation \[(E):\ z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0.\] Dans la partie II, le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec e_1,\vec e_2)\). On pose \(z_1=m\) et \(z_2=m(1+i)\). Le point \(M_3\) est l'image de \(O\) par la rotation de centre \(M_2\) et d'angle \(-\frac\pi2\). Le point \(M_4\) est l'image de \(M_1\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\in\mathbb R^*\setminus\{1\}\).
Pour une équation complexe du second degré, on peut utiliser son discriminant et ses racines carrées. Pour une rotation de centre d'affixe \(a\) et d'angle \(\theta\), les affixes \(z\) et \(z^{\prime}\) vérifient :
\[z^{\prime} - a = e^{i\theta}(z - a).\]La cocyclicité de quatre points distincts peut être étudiée à l'aide d'un rapport de différences d'affixes.
Partie I — Équation complexe
1-a. Calcul du discriminant — 0,25 pt
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On utilise la formule habituelle du discriminant, valable également lorsque les coefficients appartiennent à \(\mathbb{C}\).
\[\Delta = ( - (2 + i)m)^{2} - 4m^{2}(1 + i) = m^{2}\left( (2 + i)^{2} - 4(1 + i) \right).\]Calculons le carré :
\[(2 + i)^{2} = 3 + 4i.\]Donc :
\[\Delta = m^{2}(3 + 4i - 4 - 4i) = - m^{2} = (im)^{2}.\]On connaît ainsi directement une racine carrée du discriminant : \(im\).
1-b. Résolution de l’équation — 0,5 pt
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Puisque \(\Delta = (im)^{2}\), les racines carrées de \(\Delta\) sont \(im\) et \(- im\). La formule du second degré donne :
\[z = \frac{(2 + i)m \pm im}{2}.\]On trouve donc :
\[z_{1} = m\qquad\text{et}\qquad z_{2} = m(1 + i).\]Ces deux solutions sont distinctes lorsque \(m \neq 0\).
2. Forme exponentielle d’un produit — 0,5 pt
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On commence par écrire le produit sous forme algébrique, puis on transforme chacun des facteurs en forme exponentielle.
\[z_{1}z_{2} = m^{2}(1 + i).\]Or :
\[m^{2} = r^{2}e^{2i\theta}\qquad\text{et}\qquad 1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}.\]Le produit de deux nombres complexes sous forme exponentielle s'obtient en multipliant leurs modules et en additionnant leurs arguments.
\[z_{1}z_{2} = \sqrt{2}\, r^{2}e^{i{(2\theta + \frac{\pi}{4})}}.\]Partie II — Transformations et cocyclicité
1. Affixes de \(M_{3}\) et \(M_{4}\) — 0,75 pt
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Pour la rotation, on utilise la relation complexe reliant l'affixe d'un point à celle de son image.
\[z_{3} - z_{2} = e^{- i\frac{\pi}{2}}(0 - z_{2}).\]Comme :
\[e^{- i\frac{\pi}{2}} = - i,\]on obtient :
\[z_{3} - z_{2} = iz_{2}.\]Par conséquent :
\[z_{3} = (1 + i)z_{2} = (1 + i)^{2}m = 2im.\]Pour l'homothétie de centre l'origine et de rapport réel \(k\), l'affixe est simplement multipliée par \(k\).
\[z_{4} = kz_{1} = km.\]2. Forme algébrique d’un produit de quotients — 0,75 pt
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La méthode consiste à exprimer toutes les différences d'affixes en fonction de \(m\), puis à simplifier le facteur commun et à rationaliser le quotient complexe.
\[z_{4} - z_{2} = m(k - 1 - i),\quad z_{4} - z_{1} = m(k - 1).\] \[z_{3} - z_{1} = m( - 1 + 2i),\quad z_{3} - z_{2} = m( - 1 + i).\]Donc :
\[\frac{z_{4} - z_{2}}{z_{4} - z_{1}} \times \frac{z_{3} - z_{1}}{z_{3} - z_{2}} = \frac{k - 1 - i}{k - 1} \times \frac{- 1 + 2i}{- 1 + i}.\]Pour le deuxième quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(- 1 - i\).
\[\frac{- 1 + 2i}{- 1 + i} = \frac{( - 1 + 2i)( - 1 - i)}{( - 1 + i)( - 1 - i)} = \frac{3 - i}{2}.\]On obtient donc :
\[\frac{z_{4} - z_{2}}{z_{4} - z_{1}} \times \frac{z_{3} - z_{1}}{z_{3} - z_{2}} = \frac{(k - 1 - i)(3 - i)}{2(k - 1)}.\]Après développement :
\[= \frac{3k - 4}{2(k - 1)} - \frac{k + 2}{2(k - 1)}i.\]Cette forme algébrique est adaptée à la question suivante, car elle permet de reconnaître immédiatement quand le nombre complexe est réel.
3. Condition de cocyclicité — 0,75 pt
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Le cours de géométrie complexe permet de caractériser la cocyclicité à l'aide d'un rapport d'affixes réel, lorsque les points considérés sont distincts et que le triangle de référence n'est pas dégénéré. Ces conditions sont vérifiées ici pour les valeurs admissibles.
Les points \(M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}\) sont cocycliques si et seulement si :
\[\frac{z_{4} - z_{2}}{z_{4} - z_{1}} \times \frac{z_{3} - z_{1}}{z_{3} - z_{2}} \in \mathbb{R}.\]D'après la question 2 :
\[\frac{z_{4} - z_{2}}{z_{4} - z_{1}} \times \frac{z_{3} - z_{1}}{z_{3} - z_{2}} = \frac{3k - 4}{2(k - 1)} - \frac{k + 2}{2(k - 1)}i.\]Puisque \(k\) est réel et \(k \neq 1\), le nombre est réel exactement lorsque sa partie imaginaire est nulle.
\[k + 2 = 0.\]Donc :
\[k = - 2.\]L'outil essentiel est la traduction d'une propriété géométrique en une condition algébrique sur la partie imaginaire d'un quotient.
Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points
Sur \(\mathbb{C}\), on considère la loi de composition interne \(\ast\) définie par :
\[(x + iy) \ast (x^{\prime} + iy^{\prime}) = (xy^{\prime} + y^{5}x^{\prime}) + iyy^{\prime}.\]Toutes les lettres réelles qui interviennent dans cette expression désignent les parties réelles et imaginaires des deux nombres complexes.
Dans la partie II, on considère les sous-ensembles de \(E\) : \[F=\{yi\,/\,y\in\mathbb R^*\},\quad G=\{x+i\,/\,x\in\mathbb R\}.\] L'application \(\varphi\) est définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb C\) par \(\varphi(x)=x+i\).
Un groupe est un ensemble muni d'une loi associative, possédant un élément neutre, et dans lequel chaque élément admet un symétrique. La loi peut être commutative ou non. Pour montrer qu'un sous-ensemble non vide est un sous-groupe, on peut utiliser la propriété caractéristique faisant intervenir \(a \ast b^{- 1}\).
Partie I — Étude de la loi
1-a. Premier calcul — 0,25 pt
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On applique directement la définition de la loi. Il faut remplacer les parties réelles et imaginaires : \(1 = 1 + 0i\) et \(2i = 0 + 2i\).
\[1 \ast 2i = (1 \cdot 2 + 0^{5} \cdot 0) + i(0 \cdot 2) = 2.\]1-b. Non-commutativité — 0,25 pt
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Pour démontrer qu'une loi n'est pas commutative, il suffit de trouver un contre-exemple. On compare donc \(1 \ast 2i\) et \(2i \ast 1\).
\[2i \ast 1 = (0 \cdot 0 + 2^{5} \cdot 1) + i(2 \cdot 0) = 32.\]Or \(1 \ast 2i = 2\), donc :
\[1 \ast 2i \neq 2i \ast 1.\]2. Associativité de la loi — 0,5 pt
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L'associativité doit être vérifiée pour trois éléments quelconques, et non seulement sur des exemples. Soient :
\[z = x + iy,\quad z^{\prime} = x^{\prime} + iy^{\prime},\quad z^{''} = x^{''} + iy^{''}.\]On calcule d'abord le produit des deux premiers éléments, puis on compose le résultat avec le troisième.
\[\begin{matrix} {(z \ast z^{\prime}) \ast z^{''}} & {= \left( (xy^{\prime} + y^{5}x^{\prime})y^{''} + (yy^{\prime})^{5}x^{''} \right) + iyy^{\prime}y^{''}} \\ & {= \left( xy^{\prime}y^{''} + y^{5}x^{\prime}y^{''} + y^{5}(y^{\prime})^{5}x^{''} \right) + iyy^{\prime}y^{''}.} \end{matrix}\]On effectue ensuite les opérations dans l'autre ordre.
\[\begin{matrix} {z \ast (z^{\prime} \ast z^{''})} & {= \left( xy^{\prime}y^{''} + y^{5}(x^{\prime}y^{''} + (y^{\prime})^{5}x^{''}) \right) + iyy^{\prime}y^{''}} \\ & {= \left( xy^{\prime}y^{''} + y^{5}x^{\prime}y^{''} + y^{5}(y^{\prime})^{5}x^{''} \right) + iyy^{\prime}y^{''}.} \end{matrix}\]Les deux expressions sont égales pour tous les éléments considérés.
\[(z \ast z^{\prime}) \ast z^{''} = z \ast (z^{\prime} \ast z^{''}).\]3-a. Calcul d’un deuxième produit — 0,25 pt
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Les parties réelles et imaginaires des deux éléments sont respectivement \((1,0)\) et \((1,2)\).
\[1 \ast (1 + 2i) = (1 \cdot 2 + 0^{5} \cdot 1) + i(0 \cdot 2) = 2.\]3-b. Pourquoi \((\mathbb{C}, \ast )\) n’est pas un groupe — 0,25 pt
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Dans un groupe, la loi possède la propriété de simplification : si \(a \ast b = a \ast c\), alors \(b = c\). Les calculs précédents montrent que cette propriété échoue ici.
\[1 \ast 2i = 1 \ast (1 + 2i),\]mais :
\[2i \neq 1 + 2i.\]Si \((\mathbb{C}, \ast )\) était un groupe, on pourrait simplifier à gauche par l'élément \(1\), ce qui conduirait à une contradiction.
4-a. Stabilité d’un sous-ensemble — 0,25 pt
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Pour montrer la stabilité, on prend deux éléments quelconques de \(E\) et on vérifie que leur produit appartient encore à \(E\). La condition essentielle est que la partie imaginaire soit non nulle.
Soient \(x + iy \in E\) et \(x^{\prime} + iy^{\prime} \in E\), avec \(y \neq 0\) et \(y^{\prime} \neq 0\).
\[(x + iy) \ast (x^{\prime} + iy^{\prime}) = (xy^{\prime} + y^{5}x^{\prime}) + iyy^{\prime}.\]Or :
\[xy^{\prime} + y^{5}x^{\prime} \in \mathbb{R}\qquad\text{et}\qquad yy^{\prime} \in \mathbb{R}^{\ast}.\]Donc :
\[(x + iy) \ast (x^{\prime} + iy^{\prime}) \in E.\]4-b. Structure de groupe sur \(E\) — 0,5 pt
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La stabilité de \(E\) et l'associativité de \(\ast\) ont déjà été démontrées. Il reste à rechercher l'élément neutre puis le symétrique de chaque élément.
Élément neutre.
Pour tout \(x + iy \in E\) :
\[(x + iy) \ast i = x + iy\qquad\text{et}\qquad i \ast (x + iy) = x + iy.\]Donc \(i\) est l'élément neutre.
Symétrique.
Soit \(z = x + iy \in E\), avec \(y \neq 0\). Posons :
\[z^{\prime} = - \frac{x}{y^{6}} + \frac{1}{y}i.\]Comme \(y \neq 0\), l'expression est définie et \(z^{\prime} \in E\). En appliquant la loi :
\[z \ast z^{\prime} = i\qquad\text{et}\qquad z^{\prime} \ast z = i.\]Chaque élément de \(E\) admet donc un symétrique. Avec la stabilité, l'associativité et l'existence de l'élément neutre, on conclut que \((E, \ast )\) est un groupe.
Non-commutativité.
Il suffit de comparer deux produits :
\[(1 + 2i) \ast (1 + 3i) = 35 + 6i,\]et :
\[(1 + 3i) \ast (1 + 2i) = 245 + 6i.\]Ces deux résultats sont différents.
Il est important de distinguer l'ensemble \(\mathbb{C}\), qui n'est pas un groupe pour cette loi, du sous-ensemble \(E\), sur lequel toutes les propriétés d'un groupe sont vérifiées.
Partie II — Sous-groupes et homomorphisme
1. Sous-groupe des imaginaires purs non nuls — 0,5 pt
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On utilise la propriété caractéristique des sous-groupes. Il faut vérifier que \(F\) est non vide, puis que \(a \ast b^{- 1} \in F\) pour tous \(a,b \in F\).
\[i \in F.\]Donc \(F \neq \varnothing\).
Soient \(yi \in F\) et \(y^{\prime}i \in F\). Le symétrique de \(y^{\prime}i\), dans le groupe \((E, \ast )\), est :
\[\frac{1}{y^{\prime}}i.\]Donc :
\[yi \ast (y^{\prime}i)^{- 1} = yi \ast \frac{1}{y^{\prime}}i = \frac{y}{y^{\prime}}i.\]Puisque \(y,y^{\prime} \in \mathbb{R}^{\ast}\), on a :
\[\frac{y}{y^{\prime}} \in \mathbb{R}^{\ast}.\]Par conséquent :
\[yi \ast (y^{\prime}i)^{- 1} \in F.\]2-a. Image d’une application — 0,25 pt
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L'image d'un ensemble par une application est l'ensemble des valeurs prises par cette application.
\[\varphi(\mathbb{R}) = \{\varphi(x)\;/\; x \in \mathbb{R}\} = \{ x + i\;/\; x \in \mathbb{R}\} = G.\]2-b. Conservation de la loi — 0,25 pt
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La propriété à vérifier est :
\[\varphi(x + y) = \varphi(x) \ast \varphi(y).\]Soient \(x,y \in \mathbb{R}\). En appliquant la définition de la loi \(\ast\) :
\[\varphi(x) \ast \varphi(y) = (x + i) \ast (y + i).\] \[= (x \cdot 1 + 1^{5}y) + i(1 \cdot 1) = x + y + i.\]D'autre part :
\[\varphi(x + y) = x + y + i.\]Donc :
\[\varphi(x + y) = \varphi(x) \ast \varphi(y).\]En particulier, puisque \(\varphi(\mathbb{R}) = G \subset E\), cette propriété montre que \(\varphi\) est un homomorphisme de groupes de \((\mathbb{R}, + )\) vers \((E, \ast )\).
2-c. Groupe commutatif image — 0,25 pt
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On utilise une propriété fondamentale des homomorphismes de groupes : l'image d'un groupe par un homomorphisme est un groupe. Si le groupe de départ est commutatif, son image l'est également.
Le groupe :
\[(\mathbb{R}, + )\]est commutatif.
Or :
\[\varphi(\mathbb{R}) = G.\]De plus, \(\varphi\) est un homomorphisme de groupes de \((\mathbb{R}, + )\) dans \((E, \ast )\).
Cette méthode évite de revérifier séparément toutes les propriétés d'un groupe sur \(G\).
Exercice 5 — Arithmétique — 3 points
L'exercice utilise l'identité de Bézout pour établir un critère de divisibilité, puis résoudre un système de congruences dans \(\mathbb{N}\).
Dans la question 2, \(m\) est un entier naturel et \(q\) et \(r\) sont respectivement le quotient et le reste de sa division euclidienne par 10 : \[m=10q+r,\quad 0\leq r\lt{}10.\] Dans la question 3, on considère le système \[(S):\begin{cases}x\equiv1\ [23]\\x\equiv2\ [10].\end{cases}\]
Deux entiers \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(m\) lorsque \(m\) divise leur différence. Si \(a\) est premier avec \(m\), il admet un inverse modulo \(m\). On peut déterminer cet inverse grâce à l'algorithme d'Euclide et à l'identité de Bézout.
1. Inverse de 10 modulo 23 — 0,5 pt
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Il s'agit de chercher l'inverse de \(10\) modulo \(23\). On utilise l'algorithme d'Euclide pour obtenir une identité de Bézout.
\[23 = 2 \times 10 + 3.\] \[10 = 3 \times 3 + 1.\]Le dernier reste non nul est \(1\), donc \(10\) et \(23\) sont premiers entre eux. La remontée de l'algorithme donne :
\[\begin{matrix} 1 & {= 10 - 3 \times 3} \\ & {= 10 - 3(23 - 2 \times 10)} \\ & {= 7 \times 10 - 3 \times 23.} \end{matrix}\]En passant aux congruences modulo \(23\) :
\[10 \times 7 \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack.\]Donc :
\[u = 7.\]Cet inverse permettra de simplifier les congruences dans les questions suivantes.
2-a. Transformation d’une congruence — 0,5 pt
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L'idée est de remplacer le reste \(r\) par une expression congrue contenant un facteur \(10\), afin de pouvoir factoriser.
\[m = 10q + r.\]Comme \(10u \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack\), la compatibilité des congruences avec la multiplication donne :
\[r \equiv 10ur\ \lbrack 23\rbrack.\]Donc :
\[m \equiv 10q + 10ur\ \lbrack 23\rbrack.\]En factorisant :
\[m \equiv 10(q + ur)\ \lbrack 23\rbrack.\]2-b. Critère de divisibilité par 23 — 0,75 pt
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On utilise la congruence précédente. La condition \({PGCD}(10,23) = 1\) permettra de simplifier par le facteur \(10\).
\[m \equiv 10(q + ur)\ \lbrack 23\rbrack.\]Donc :
\[23 \mid m\Longleftrightarrow 10(q + ur) \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack.\]Comme \(10\) et \(23\) sont premiers entre eux, on peut simplifier la congruence par \(10\).
\[10(q + ur) \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack\Longleftrightarrow q + ur \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack.\]Par conséquent :
\[23 \mid m\Longleftrightarrow 23 \mid (q + ur).\]On obtient ainsi un critère de divisibilité qui réduit l'étude de \(m\) à celle d'un entier plus simple.
3-a. Exploitation d’un système de congruences — 0,75 pt
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On commence par utiliser la congruence modulo \(10\), car elle donne immédiatement une écriture de l'entier \(x\).
\[x \equiv 2\ \lbrack 10\rbrack.\]Il existe donc \(q \in \mathbb{N}\) tel que :
\[x = 10q + 2.\]On reporte cette expression dans la congruence modulo \(23\).
\[x \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack.\]Donc :
\[10q + 2 \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack.\]Ce qui donne :
\[10q + 1 \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack.\]Pour faire intervenir \(q + 7\), on remarque que :
\[10(q + 7) = 10q + 70\]et :
\[70 \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack.\]Donc :
\[10(q + 7) \equiv 10q + 1 \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack.\]Comme \(10\) est premier avec \(23\), la simplification est autorisée :
\[q + 7 \equiv 0\ \lbrack 23\rbrack.\]Par conséquent :
\[23 \mid (q + 7).\]3-b. Résolution du système dans \(\mathbb{N}\) — 0,5 pt
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D'après la question précédente, toute solution du système satisfait :
\[x = 10q + 2\]et :
\[23 \mid (q + 7).\]Il existe donc un entier \(t \geq 1\) tel que :
\[q + 7 = 23t.\]On en déduit :
\[q = 23t - 7.\]En reportant dans l'expression de \(x\) :
\[x = 10(23t - 7) + 2 = 230t - 68.\]En posant \(k = t - 1\), avec \(k \in \mathbb{N}\), on obtient :
\[x = 162 + 230k.\]Réciproquement, pour tout \(k \in \mathbb{N}\), un entier de cette forme vérifie :
\[162 + 230k \equiv 2\ \lbrack 10\rbrack\]et :
\[162 + 230k \equiv 1\ \lbrack 23\rbrack.\]On a donc bien déterminé toutes les solutions du système.
Les solutions constituent une progression arithmétique de raison \(230\).
Méthodes essentielles à retenir
La résolution de cet examen repose sur plusieurs stratégies qu'il est important de savoir reconnaître et réutiliser. Pour les limites et la dérivabilité, on commence par identifier la forme de l'expression et la propriété du cours correspondante. Pour les suites, la monotonie et un encadrement permettent souvent de démontrer la convergence avant de déterminer la limite.
Les sommes de Riemann exigent de retrouver une écriture de la forme \(\frac{1}{n}\sum g(k/n)\). Les encadrements intégrés permettent également d'étudier l'écart entre deux suites.
Dans les nombres complexes, la forme exponentielle facilite les calculs de produits et les transformations géométriques. Enfin, en structures algébriques et en arithmétique, la démonstration doit toujours préciser les conditions d'application : stabilité, associativité, élément neutre, symétrique, primalité relative et propriétés des congruences.
Une bonne rédaction mathématique ne consiste pas uniquement à effectuer des calculs. Elle doit présenter la propriété utilisée, justifier ses conditions, expliquer les étapes importantes et formuler clairement la conclusion.
Consulter l'énoncé de l'examen national 2024 — Rattrapage
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