Corrigé — Examen national 2024
Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B — Option française
Correction détaillée pour la préparation à l’examen national de mathématiques
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Option française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
Corrigé rédigé dans un style direct, conforme au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques. Les calculs essentiels sont détaillés sans recours aux notations hors programme.
Cette correction aide les élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques à revoir les méthodes essentielles du sujet : étude de fonctions, suites, intégrales, nombres complexes, structures algébriques et arithmétique. L’objectif est de comprendre la démarche de résolution, les justifications attendues et la rédaction adaptée à l’examen national.
Il est conseillé de commencer par traiter le sujet seul, exercice par exercice, puis de comparer avec la correction. Les passages importants doivent être repris au brouillon : calculs de limites, encadrements, tableaux de variations, raisonnements par récurrence, théorèmes d’arithmétique et vérification des propriétés algébriques.
Les boutons ci-dessous permettent d’accéder au sujet, à la page des examens nationaux et à la page des corrections nationales. La correction écrite reste disponible directement dans cet article pour faciliter la lecture et le référencement pédagogique.
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Le corrigé est organisé en cinq exercices :
- Exercice 1 : analyse, fonctions \(f_n\), variations, suite \((\alpha_n)\) ;
- Exercice 2 : analyse, sommes de Riemann et encadrements ;
- Exercice 3 : nombres complexes et géométrie ;
- Exercice 4 : structures algébriques, loi de composition interne et groupes ;
- Exercice 5 : arithmétique, congruences et système dans \(\mathbb N\).
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Partie | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Analyse | 6,5 points |
| Exercice 2 | Analyse | 3,5 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 5 | Arithmétique | 3 points |
Exercice 1 — Analyse — 6,5 points
Question. Montrer que \(f_n\) est continue à droite en \(0\).
Données. \(f_n(0)=0\), et pour \(x>0\), \(f_n(x)=x-x^n\ln x\), avec \(n\geq2\).
Correction.
\[ \lim_{x\to0^+}x=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}f_n(x)=0=f_n(0) \]Question. Montrer que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}x=-\infty\), puis interpréter graphiquement.
Données. \(f_n(x)=x-x^n\ln x\), pour \(x>0\).
Correction.
\[ f_n(x)=x\left(1-x^{n-1}\ln x\right) \] Or : \[ \lim_{x\to+\infty}x^{n-1}\ln x=+\infty \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty \] et : \[ \frac{f_n(x)}x=1-x^{n-1}\ln x \] d’où : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}x=-\infty \]Question. Montrer que \(f_n\) est dérivable à droite en \(0\) et que son nombre dérivé à droite en \(0\) est égal à \(1\).
Données. \(f_n(0)=0\) et \(f_n(x)=x-x^n\ln x\) pour \(x>0\).
Correction.
Pour \(x>0\) : \[ \frac{f_n(x)-f_n(0)}{x} = \frac{x-x^n\ln x}{x} = 1-x^{n-1}\ln x \] Or : \[ \lim_{x\to0^+}x^{n-1}\ln x=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f_n(x)-f_n(0)}x=1 \]Question. Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(f_n^{\prime}(x)\).
Données. Pour \(x>0\), \(f_n(x)=x-x^n\ln x\).
Correction.
Sur \(]0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto x\), \(x\mapsto x^n\) et \(x\mapsto\ln x\) sont dérivables. Donc \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour tout \(x>0\) : \[ f_n^{\prime}(x) = 1-\left(nx^{n-1}\ln x+x^n\cdot\frac1x\right) \] Donc : \[ f_n^{\prime}(x)=1-x^{n-1}-nx^{n-1}\ln x \]Question. Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([0,1]\) et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\).
Données. \(f_n^{\prime}(x)=1-x^{n-1}(1+n\ln x)\).
Correction.
Pour \(0Question. Montrer que \(f_{n+1}(x)\leq f_n(x)\) pour tout \(x\in[0,+\infty[\).
Données. \(n\geq2\).
Correction.
Pour \(x>0\) : \[ f_{n+1}(x)-f_n(x) = x^n(1-x)\ln x \] Si \(0Question. Déduire la position relative de \((C_n)\) et \((C_{n+1})\).
Données. \(f_{n+1}(x)\leq f_n(x)\) sur \([0,+\infty[\).
Correction.
Question. Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha_n\in]1,2[\) tel que \(f_n(\alpha_n)=0\).
Données. \(n\geq2\), \(\ln2=0,7\), et \(f_n\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\).
Correction.
\[ f_n(1)=1>0 \] et : \[ f_n(2)=2-2^n\ln2 \] Comme \(n\geq2\) : \[ 2^n\ln2\geq4\times0,7=2,8 \] Donc : \[ f_n(2)<0 \] La fonction \(f_n\) est continue sur \([1,2]\). Donc il existe \(\alpha_n\in]1,2[\) tel que : \[ f_n(\alpha_n)=0 \] Comme \(f_n\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\), cette solution est unique.Question. Vérifier que \(\alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1})=1\).
Données. \(f_{n+1}(\alpha_{n+1})=0\).
Correction.
\[ \alpha_{n+1}-\alpha_{n+1}^{n+1}\ln(\alpha_{n+1})=0 \] Comme \(\alpha_{n+1}>1\), alors : \[ 1-\alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1})=0 \] Donc : \[ \alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1})=1 \]Question. Déduire que \(f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}-1\).
Données. \(\alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1})=1\).
Correction.
\[ f_n(\alpha_{n+1}) = \alpha_{n+1}-\alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1}) = \alpha_{n+1}-1 \]Question. Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\geq2}\) est strictement décroissante.
Données. \(\alpha_{n+1}>1\), \(f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}-1\), et \(f_n(\alpha_n)=0\).
Correction.
\[ f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}-1>0 \] et : \[ f_n(\alpha_n)=0 \] Comme \(f_n\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\), alors : \[ \alpha_{n+1}<\alpha_n \]Question. Déduire que \((\alpha_n)\) est convergente.
Données. \(1<\alpha_n<2\) et \((\alpha_n)\) est strictement décroissante.
Correction.
La suite \((\alpha_n)\) est décroissante et minorée par \(1\). Donc elle est convergente.Question. Montrer que \(1\leq\ell\leq2\).
Données. \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n\) et \(1<\alpha_n<2\).
Correction.
Par passage à la limite dans : \[ 1<\alpha_n<2 \] on obtient : \[ 1\leq\ell\leq2 \]Question. Montrer que \(n-1=-\dfrac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}\).
Données. \(f_n(\alpha_n)=0\) et \(\alpha_n>1\).
Correction.
\[ \alpha_n-\alpha_n^n\ln(\alpha_n)=0 \] Donc : \[ \alpha_n^{n-1}\ln(\alpha_n)=1 \] Ainsi : \[ \ln\left(\alpha_n^{n-1}\ln(\alpha_n)\right)=0 \] Donc : \[ (n-1)\ln(\alpha_n)+\ln(\ln(\alpha_n))=0 \] Comme \(\ln(\alpha_n)>0\), on obtient : \[ n-1=-\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} \]Question. Si \(\ell>1\), calculer la limite de \(\dfrac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}\).
Données. \(\alpha_n\to\ell\) et \(\ell>1\).
Correction.
Par continuité : \[ \ln(\alpha_n)\to\ln(\ell) \] et : \[ \ln(\ln(\alpha_n))\to\ln(\ln(\ell)) \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} = \frac{\ln(\ln(\ell))}{\ln(\ell)} \]Question. Déduire la valeur de \(\ell\).
Données. \(n-1=-\dfrac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)}\) et \(1\leq\ell\leq2\).
Correction.
\[ \lim_{n\to+\infty}(n-1)=+\infty \] Si \(\ell>1\), alors d’après 4-c : \[ -\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} \] admet une limite finie. Cela contredit : \[ n-1=-\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} \] Donc : \[ \ell=1 \]Exercice 2 — Analyse — 3,5 points
Question. Calculer \(\displaystyle\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx\).
Données. Intégrale usuelle de la fonction \(x\mapsto\dfrac1{1+x^2}\).
Correction.
\[ \int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx = [\arctan x]_0^1 = \frac{\pi}{4} \]Question. Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Données. \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}\).
Correction.
\[ \frac{n}{n^2+k^2} = \frac1n\cdot\frac1{1+\left(\frac kn\right)^2} \] Donc : \[ u_n= \frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac1{1+\left(\frac kn\right)^2} \] C’est une somme de Riemann de la fonction continue : \[ x\mapsto\frac1{1+x^2} \] sur \([0,1]\). Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{4} \]Question. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1\frac1{(1+x^2)^2}\,dx\leq1\).
Données. \(x\in[0,1]\).
Correction.
Pour \(x\in[0,1]\) : \[ 0<\frac1{(1+x^2)^2}\leq1 \] Donc : \[ \int_0^1\frac1{(1+x^2)^2}\,dx\leq\int_0^1 1\,dx=1 \]Question. Montrer que \(0\leq e^x-1\leq ex\) pour tout \(x\in[0,1]\).
Données. \(x\in[0,1]\).
Correction.
\[ e^x-1=\int_0^x e^t\,dt \] Pour \(t\in[0,x]\), on a : \[ 1\leq e^t\leq e \] Donc : \[ 0\leq e^x-1\leq ex \]Question. Déduire que \(0\leq e^x-1-x\leq\dfrac e2x^2\) pour tout \(x\in[0,1]\).
Données. Résultat de 3-a.
Correction.
\[ e^x-1-x=\int_0^x(e^t-1)\,dt \] D’après 3-a : \[ 0\leq e^t-1\leq et \] Donc : \[ 0\leq e^x-1-x\leq \int_0^x et\,dt=\frac e2x^2 \]Question. Montrer l’encadrement de \(w_n-u_n\).
Données. \(w_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(e^{\frac{n}{n^2+k^2}}-1\right)\).
Correction.
Pour tout \(k\), posons : \[ X_k=\frac{n}{n^2+k^2} \] Alors \(0Question. Montrer que \(x\mapsto(1+x^2)^{-2}\) est strictement décroissante sur \([0,1]\).
Données. \(g(x)=(1+x^2)^{-2}\).
Correction.
\[ g^{\prime}(x)=-4x(1+x^2)^{-3} \] Donc \(g^{\prime}(x)\leq0\) sur \([0,1]\), et \(g^{\prime}(x)<0\) sur \(]0,1]\). Ainsi \(g\) est strictement décroissante sur \([0,1]\).Question. Déduire l’inégalité intégrale donnée.
Données. \(g(x)=(1+x^2)^{-2}\) est décroissante sur \([0,1]\).
Correction.
Pour \(x\in\left[\dfrac{k-1}{n},\dfrac kn\right]\), on a : \[ x\leq \frac kn \] et puisque \(g\) est décroissante : \[ g(x)\geq g\left(\frac kn\right) \] Donc : \[ \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac kn}g(x)\,dx \geq \frac1n g\left(\frac kn\right) \] c’est-à-dire : \[ \frac1n\left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^2\right)^{-2} \leq \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}(1+x^2)^{-2}\,dx \]Question. Montrer que \(0\leq w_n-u_n\leq\dfrac e{2n}\).
Données. Résultats de 4-a, 4-c et question 2.
Correction.
\[ \left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^2 = \frac1{n^2}\left(1+\left(\frac kn\right)^2\right)^{-2} \] Donc : \[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^2 = \frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac1n\left(1+\left(\frac kn\right)^2\right)^{-2} \] D’après 4-c : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac1n\left(1+\left(\frac kn\right)^2\right)^{-2} \leq \int_0^1(1+x^2)^{-2}\,dx\leq1 \] Donc : \[ \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^2\leq\frac1n \] D’après 4-a : \[ 0\leq w_n-u_n\leq\frac e{2n} \]Question. Déduire que \((w_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Données. \(0\leq w_n-u_n\leq\dfrac e{2n}\) et \(u_n\to\dfrac\pi4\).
Correction.
\[ 0\leq w_n-u_n\leq\frac e{2n} \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}(w_n-u_n)=0 \] Or : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\frac\pi4 \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}w_n=\frac\pi4 \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Question. Vérifier que le discriminant de \((E)\) est \(\Delta=(im)^2\).
Données. \((E):z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0\).
Correction.
\[ \Delta=\big(-(2+i)m\big)^2-4m^2(1+i) =m^2\left((2+i)^2-4(1+i)\right) \] Or : \[ (2+i)^2=3+4i \] Donc : \[ \Delta=m^2(3+4i-4-4i)=-m^2=(im)^2 \]Question. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).
Données. \(\Delta=(im)^2\) et \(m\ne0\).
Correction.
\[ z=\frac{(2+i)m\pm im}{2} \] Donc : \[ z_1=m \qquad\text{et}\qquad z_2=m(1+i) \] Ainsi : \[ S_{\mathbb C}=\{m,\;m(1+i)\} \]Question. Mettre \(z_1z_2\) sous forme exponentielle lorsque \(m=re^{i\theta}\).
Données. \(z_1=m\), \(z_2=m(1+i)\), et \(m=re^{i\theta}\).
Correction.
\[ z_1z_2=m^2(1+i) \] Or : \[ m^2=r^2e^{2i\theta} \qquad\text{et}\qquad 1+i=\sqrt2e^{i\frac\pi4} \] Donc : \[ z_1z_2=\sqrt2\,r^2e^{i\left(2\theta+\frac\pi4\right)} \]Partie II
Question. Calculer \(z_3\) en fonction de \(m\) et \(z_4\) en fonction de \(m\) et \(k\).
Données. \(z_1=m\), \(z_2=m(1+i)\), \(M_3\) est l’image de \(O\) par la rotation de centre \(M_2\) et d’angle \(-\dfrac\pi2\), et \(M_4\) est l’image de \(M_1\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
Correction.
\[ z_3-z_2=e^{-i\frac\pi2}(0-z_2) \] Comme : \[ e^{-i\frac\pi2}=-i \] alors : \[ z_3-z_2=iz_2 \] Donc : \[ z_3=(1+i)z_2=(1+i)^2m=2im \] Pour l’homothétie : \[ z_4=kz_1=km \]Question. Donner la forme algébrique du produit demandé.
Données. \(z_1=m\), \(z_2=m(1+i)\), \(z_3=2im\), \(z_4=km\).
Correction.
\[ z_4-z_2=m(k-1-i),\quad z_4-z_1=m(k-1) \] \[ z_3-z_1=m(-1+2i),\quad z_3-z_2=m(-1+i) \] Donc : \[ \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} = \frac{k-1-i}{k-1}\times\frac{-1+2i}{-1+i} \] Or : \[ \frac{-1+2i}{-1+i} = \frac{(-1+2i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{3-i}{2} \] Donc : \[ \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} = \frac{(k-1-i)(3-i)}{2(k-1)} \] \[ = \frac{3k-4}{2(k-1)}-\frac{k+2}{2(k-1)}i \]Question. Déduire que \(M_1,M_2,M_3,M_4\) sont cocycliques si et seulement si \(k=-2\).
Données. Résultat de la question 2.
Correction.
Les points \(M_1,M_2,M_3,M_4\) sont cocycliques si et seulement si : \[ \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\in\mathbb R \] D’après 2 : \[ \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} = \frac{3k-4}{2(k-1)}-\frac{k+2}{2(k-1)}i \] Comme \(k\ne1\), ce nombre est réel si et seulement si : \[ k+2=0 \] Donc : \[ k=-2 \]Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points
Partie I
Question. Vérifier que \(1*2i=2\).
Données. \((x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y^5x')+iyy'\).
Correction.
\[ 1*2i=(1\cdot2+0^5\cdot0)+i(0\cdot2)=2 \]Question. Montrer que la loi \(*\) n’est pas commutative.
Données. \(1*2i=2\).
Correction.
\[ 2i*1=(0\cdot0+2^5\cdot1)+i(2\cdot0)=32 \] Donc : \[ 1*2i\ne2i*1 \] Ainsi, \(*\) n’est pas commutative.Question. Montrer que \(*\) est associative.
Données. \(z=x+iy\), \(z'=x'+iy'\), \(z''=x''+iy''\).
Correction.
\[ (z*z')*z'' = \left((xy'+y^5x')y''+(yy')^5x''\right)+iyy'y'' \] \[ = \left(xy'y''+y^5x'y''+y^5(y')^5x''\right)+iyy'y'' \] D’autre part : \[ z*(z'*z'') = \left(xy'y''+y^5(x'y''+(y')^5x'')\right)+iyy'y'' \] \[ = \left(xy'y''+y^5x'y''+y^5(y')^5x''\right)+iyy'y'' \] Donc : \[ (z*z')*z''=z*(z'*z'') \] Ainsi, \(*\) est associative.Question. Vérifier que \(1*(1+2i)=2\).
Données. La loi \(*\).
Correction.
\[ 1*(1+2i)=(1\cdot2+0^5\cdot1)+i(0\cdot2)=2 \]Question. Déduire que \((\mathbb C,*)\) n’est pas un groupe.
Données. \(1*2i=2\) et \(1*(1+2i)=2\).
Correction.
\[ 1*2i=1*(1+2i) \] mais : \[ 2i\ne1+2i \] Dans un groupe, la simplification est possible. Donc \((\mathbb C,*)\) n’est pas un groupe.Question. Montrer que \(E\) est stable dans \((\mathbb C,*)\).
Données. \(E=\{x+yi\,/\,x\in\mathbb R,\ y\in\mathbb R^*\}\).
Correction.
Soient \(x+yi\in E\) et \(x'+y'i\in E\). Alors \(y\ne0\) et \(y'\ne0\). On a : \[ (x+iy)*(x'+iy')=(xy'+y^5x')+iyy' \] avec : \[ xy'+y^5x'\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad yy'\in\mathbb R^* \] Donc : \[ (x+iy)*(x'+iy')\in E \]Question. Montrer que \((E,*)\) est un groupe non commutatif.
Données. \(E\) est stable par \(*\), et \(*\) est associative.
Correction.
Pour tout \(x+iy\in E\) : \[ (x+iy)*i=x+iy \qquad\text{et}\qquad i*(x+iy)=x+iy \] Donc \(i\) est l’élément neutre. Soit \(z=x+iy\in E\), avec \(y\ne0\). Posons : \[ z'=-\frac{x}{y^6}+\frac1y i \] Alors \(z'\in E\) et : \[ z*z'=i \qquad\text{et}\qquad z'*z=i \] Donc tout élément de \(E\) admet un symétrique dans \(E\). Ainsi, \((E,*)\) est un groupe. Enfin : \[ (1+2i)*(1+3i)=35+6i \] et : \[ (1+3i)*(1+2i)=245+6i \] Donc \((E,*)\) est un groupe non commutatif.Partie II
Question. Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\).
Données. \(F=\{yi\,/\,y\in\mathbb R^*\}\).
Correction.
\[ i\in F \] Donc \(F\ne\varnothing\). Soient \(yi\in F\) et \(y'i\in F\). Le symétrique de \(y'i\) est : \[ \frac1{y'}i \] Donc : \[ yi*(y'i)^{-1} = yi*\frac1{y'}i = \frac{y}{y'}i \] Or : \[ \frac{y}{y'}\in\mathbb R^* \] Donc : \[ yi*(y'i)^{-1}\in F \] Ainsi, \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\).Question. Montrer que \(\varphi(\mathbb R)=G\).
Données. \(\varphi(x)=x+i\) et \(G=\{x+i\,/\,x\in\mathbb R\}\).
Correction.
\[ \varphi(\mathbb R)=\{\varphi(x)\,/\,x\in\mathbb R\} =\{x+i\,/\,x\in\mathbb R\}=G \]Question. Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((\mathbb C,*)\).
Données. \(\varphi(x)=x+i\).
Correction.
Pour tous \(x,y\in\mathbb R\) : \[ \varphi(x)*\varphi(y)=(x+i)*(y+i) \] \[ =(x\cdot1+1^5y)+i(1\cdot1)=x+y+i \] Or : \[ \varphi(x+y)=x+y+i \] Donc : \[ \varphi(x+y)=\varphi(x)*\varphi(y) \]Question. Déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif.
Données. \(\varphi\) est un homomorphisme et \(\varphi(\mathbb R)=G\).
Correction.
\[ (\mathbb R,+) \] est un groupe commutatif. Comme : \[ \varphi(\mathbb R)=G \] et \(\varphi\) est un homomorphisme, alors \(G\) est l’image d’un groupe commutatif par un homomorphisme.Exercice 5 — Arithmétique — 3 points
Question. Déterminer \(u\in\{1,2,\ldots,22\}\) tel que \(10u\equiv1\ [23]\).
Données. Algorithme d’Euclide.
Correction.
\[ 23=2\times10+3 \] \[ 10=3\times3+1 \] Donc : \[ 1=10-3\times3 =10-3(23-2\times10) =7\times10-3\times23 \] Ainsi : \[ 10\times7\equiv1\ [23] \] Donc : \[ u=7 \]Question. Montrer que \(m\equiv10(q+ur)\ [23]\).
Données. \(m=10q+r\) et \(10u\equiv1\ [23]\).
Correction.
\[ m=10q+r \] et : \[ r\equiv10ur\ [23] \] Donc : \[ m\equiv10q+10ur\ [23] \] Ainsi : \[ m\equiv10(q+ur)\ [23] \]Question. Montrer que \(23\mid m\Longleftrightarrow23\mid(q+ur)\).
Données. \(m\equiv10(q+ur)\ [23]\) et \(10\wedge23=1\).
Correction.
\[ m\equiv10(q+ur)\ [23] \] Donc : \[ 23\mid m \Longleftrightarrow 10(q+ur)\equiv0\ [23] \] Comme \(10\wedge23=1\), alors : \[ 10(q+ur)\equiv0\ [23] \Longleftrightarrow q+ur\equiv0\ [23] \] Donc : \[ 23\mid m \Longleftrightarrow 23\mid(q+ur) \]Question. Montrer que si \(x\) est solution de \((S)\), alors \(x=10q+2\) et \(23\mid(q+7)\).
Données.
\[ (S): \begin{cases} x\equiv1\ [23]\\ x\equiv2\ [10] \end{cases} \]Correction.
Comme : \[ x\equiv2\ [10] \] il existe \(q\in\mathbb N\) tel que : \[ x=10q+2 \] De plus : \[ x\equiv1\ [23] \] Donc : \[ 10q+2\equiv1\ [23] \] Ainsi : \[ 10q+1\equiv0\ [23] \] Or : \[ 10(q+7)=10q+70 \] et : \[ 70\equiv1\ [23] \] Donc : \[ 10(q+7)\equiv10q+1\equiv0\ [23] \] Comme \(10\wedge23=1\), on obtient : \[ q+7\equiv0\ [23] \] Donc : \[ 23\mid(q+7) \]Question. Résoudre dans \(\mathbb N\) le système \((S)\).
Données. Résultat de 3-a.
Correction.
D’après 3-a : \[ x=10q+2 \] et : \[ 23\mid(q+7) \] Donc il existe \(t\in\mathbb N^*\) tel que : \[ q+7=23t \] Ainsi : \[ q=23t-7 \] Donc : \[ x=10(23t-7)+2=230t-68 \] En posant \(k=t-1\), avec \(k\in\mathbb N\), on obtient : \[ x=162+230k \]Pour continuer la préparation, vous pouvez consulter les pages principales liées à cette correction.
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FIN DU CORRIGÉ — EXAMEN NATIONAL 2024 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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