Examen blanc 4 — 2e Bac Sciences Mathématiques
Mathématiques — Année scolaire 2025–2026
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques
Matière : Mathématiques
Total : 20 points
Enseignant : Hammou Boudraa — Lycée Oum Erbiaâ
Remarque :
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants : analyse, structures algébriques, nombres complexes et arithmétique.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants : analyse, structures algébriques, nombres complexes et arithmétique.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 — Analyse — 11 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln\left(1+e^{-x}\right)\right) \]
2 pts
1
Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
u-\ln(1+u)=\int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt
\]
puis en déduire que, pour tout \(u\gt0\),
\[
\frac{u^2}{2(1+u)}\le u-\ln(1+u)\le \frac{u^2}{2}
\]
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
\frac1{2(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac12
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x)
\]
1 pt
2
Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
0\le u-\ln(1+u)\le u
\]
Montrer que :
\[
0\le f(x)\le e^x
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
\]
On considère la fonction \(q\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ q(u)=\frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u) \]
1,25 pt
3
Montrer que \(q\) est continue sur \([0,+\infty[\), dérivable sur \(]0,+\infty[\), et que, pour tout \(u\gt0\),
\[
q^{\prime}(u)=\frac{u^2}{(1+u)^2}
\]
En déduire que \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).
2 pts
4
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f^{\prime}(x)=e^{2x}q(e^{-x})
\]
En déduire le sens de variation de \(f\), dresser son tableau de variations, puis montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur :
\[
\left]0,\frac12\right[
\]
On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par :
\[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt \]
1 pt
5
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que :
\[
F^{\prime}(x)=f(x+1)-f(x)
\]
En déduire que \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
1 pt
6
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f(x)\le F(x)\le f(x+1)
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}F(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}F(x)
\]
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx \]
1 pt
7
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
\frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}I_n
\]
1,75 pt
8
Justifier qu’il existe une constante \(M\gt0\) telle que, pour tout \(x\in[0,1]\),
\[
0\le f(1)-f(x)\le M(1-x)
\]
En déduire que :
\[
0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n\le \frac{M}{(n+1)(n+2)}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n
\]
Donner la valeur exacte de \(f(1)\).
Exercice 2 — Structures algébriques — 3 points
On pose :
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad N= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \] et : \[ E=\{aI+bN\ ;\ a,b\in\mathbb R\} \]
0,5 pt
1
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\), puis déterminer une base et la dimension de \(E\).
0,75 pt
2
Montrer que, pour tous \(a,b,c,d\in\mathbb R\),
\[
(aI+bN)(cI+dN)=acI+(ad+bc)N
\]
En déduire que \(E\) est stable par la multiplication matricielle et que cette multiplication est commutative dans \(E\).
0,5 pt
3
Calculer \(N^2\), puis en déduire que \(E\), muni de l’addition et de la multiplication matricielles, n’est pas un corps.
0,75 pt
4
On pose :
\[
G=\{I+tN\ ;\ t\in\mathbb R\}
\]
Montrer que \((G,\times)\) est un groupe commutatif, puis montrer que l’application :
\[
\varphi:(\mathbb R,+)\longrightarrow(G,\times),
\qquad
\varphi(t)=I+tN
\]
est un isomorphisme de groupes.
0,5 pt
5
Pour \(n\in\mathbb N^\ast\), montrer que :
\[
(I+tN)^n=I+ntN
\]
puis résoudre dans \(G\) l’équation :
\[
X^{2026}=I+N
\]
Exercice 3 — Nombres complexes — 3 points
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère la transformation \(S\) qui associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\), définie par :
\[ z'=(1+i)z-i \]On définit la suite \((z_n)\) par :
\[ z_0=i, \qquad z_{n+1}=(1+i)z_n-i \]
0,5 pt
1
Montrer que le point \(\Omega\) d’affixe \(1\) est invariant par \(S\), puis vérifier que :
\[
z'-1=(1+i)(z-1)
\]
0,5 pt
2
En déduire que, pour tout point \(M\ne\Omega\) d’image \(M'\) par \(S\),
\[
\Omega M'=\sqrt2\,\Omega M
\]
et :
\[
\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)
\equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi]
\]
0,75 pt
3
On note \(M''\) l’image de \(M'\) par \(S\), et \(z''\) son affixe.
Montrer que :
\[
z''=2iz+1-2i
\]
puis déterminer les affixes des points \(M\) tels que :
\[
z''=z^2
\]
0,75 pt
4
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
z_n-1=(1+i)^n(z_0-1)
\]
puis montrer que :
\[
z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}
\]
0,5 pt
5
Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le point \(M_n\) d’affixe \(z_n\) appartient à l’axe réel.
Exercice 4 — Arithmétique — 3 points
On rappelle que :
\[ 2026=2\times1013 \]
0,5 pt
1
Vérifier que \(1013\) est un nombre premier.
0,5 pt
2
Vérifier que :
\[
45\times968\equiv1\ [1013]
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
45x\equiv1\ [1013]
\]
0,75 pt
3
Vérifier que :
\[
45\times1981\equiv1\ [2026]
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
45x\equiv1\ [2026]
\]
0,75 pt
4
Montrer que :
\[
45^{1012}\equiv1\ [1013]
\]
puis en déduire que :
\[
45^{1011}\equiv968\ [1013]
\]
0,5 pt
5
Déterminer le reste de la division euclidienne de :
\[
45^{1011}
\]
par \(2026\).
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FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN BLANC 4 — 2e BAC SCIENCES MATHÉMATIQUES
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