Examen blanc 4 — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen blanc 4 — 2e Bac Sciences Mathématiques

Mathématiques — Année scolaire 2025–2026

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques
Matière : Mathématiques
Total : 20 points
Enseignant : Hammou Boudraa — Lycée Oum Erbiaâ

Remarque :
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants : analyse, structures algébriques, nombres complexes et arithmétique.

Accès rapide :
Exercice 1 — Analyse Exercice 2 — Structures algébriques Exercice 3 — Nombres complexes Exercice 4 — Arithmétique Lire le PDF

Accès détaillé aux questions

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Exercice 1 — Analyse — 11 points

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln\left(1+e^{-x}\right)\right) \]

2 pts 1 Montrer que, pour tout \(u\ge0\), \[ u-\ln(1+u)=\int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt \] puis en déduire que, pour tout \(u\gt0\), \[ \frac{u^2}{2(1+u)}\le u-\ln(1+u)\le \frac{u^2}{2} \] Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \[ \frac1{2(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac12 \] puis calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

1 pt 2 Montrer que, pour tout \(u\ge0\), \[ 0\le u-\ln(1+u)\le u \] Montrer que : \[ 0\le f(x)\le e^x \] puis calculer : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x) \]

On considère la fonction \(q\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ q(u)=\frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u) \]

1,25 pt 3 Montrer que \(q\) est continue sur \([0,+\infty[\), dérivable sur \(]0,+\infty[\), et que, pour tout \(u\gt0\), \[ q^{\prime}(u)=\frac{u^2}{(1+u)^2} \] En déduire que \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).

2 pts 4 Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \[ f^{\prime}(x)=e^{2x}q(e^{-x}) \] En déduire le sens de variation de \(f\), dresser son tableau de variations, puis montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur : \[ \left]0,\frac12\right[ \]

On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par :

\[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt \]

1 pt 5 Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que : \[ F^{\prime}(x)=f(x+1)-f(x) \] En déduire que \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).

1 pt 6 Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\), \[ f(x)\le F(x)\le f(x+1) \] puis calculer : \[ \lim_{x\to-\infty}F(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}F(x) \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx \]

1 pt 7 Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[ \frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1} \] puis calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n \]

1,75 pt 8 Justifier qu’il existe une constante \(M\gt0\) telle que, pour tout \(x\in[0,1]\), \[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x) \] En déduire que : \[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n\le \frac{M}{(n+1)(n+2)} \] puis calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n \] Donner la valeur exacte de \(f(1)\).

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Exercice 2 — Structures algébriques — 3 points

On pose :

\[ I= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad N= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \] et : \[ E=\{aI+bN\ ;\ a,b\in\mathbb R\} \]

0,5 pt 1 Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\), puis déterminer une base et la dimension de \(E\).

0,75 pt 2 Montrer que, pour tous \(a,b,c,d\in\mathbb R\), \[ (aI+bN)(cI+dN)=acI+(ad+bc)N \] En déduire que \(E\) est stable par la multiplication matricielle et que cette multiplication est commutative dans \(E\).

0,5 pt 3 Calculer \(N^2\), puis en déduire que \(E\), muni de l’addition et de la multiplication matricielles, n’est pas un corps.

0,75 pt 4 On pose : \[ G=\{I+tN\ ;\ t\in\mathbb R\} \] Montrer que \((G,\times)\) est un groupe commutatif, puis montrer que l’application : \[ \varphi:(\mathbb R,+)\longrightarrow(G,\times), \qquad \varphi(t)=I+tN \] est un isomorphisme de groupes.

0,5 pt 5 Pour \(n\in\mathbb N^\ast\), montrer que : \[ (I+tN)^n=I+ntN \] puis résoudre dans \(G\) l’équation : \[ X^{2026}=I+N \]

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Exercice 3 — Nombres complexes — 3 points

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère la transformation \(S\) qui associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\), définie par :

\[ z'=(1+i)z-i \]

On définit la suite \((z_n)\) par :

\[ z_0=i, \qquad z_{n+1}=(1+i)z_n-i \]

0,5 pt 1 Montrer que le point \(\Omega\) d’affixe \(1\) est invariant par \(S\), puis vérifier que : \[ z'-1=(1+i)(z-1) \]

0,5 pt 2 En déduire que, pour tout point \(M\ne\Omega\) d’image \(M'\) par \(S\), \[ \Omega M'=\sqrt2\,\Omega M \] et : \[ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi] \]

0,75 pt 3 On note \(M''\) l’image de \(M'\) par \(S\), et \(z''\) son affixe. Montrer que : \[ z''=2iz+1-2i \] puis déterminer les affixes des points \(M\) tels que : \[ z''=z^2 \]

0,75 pt 4 Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[ z_n-1=(1+i)^n(z_0-1) \] puis montrer que : \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}} \]

0,5 pt 5 Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le point \(M_n\) d’affixe \(z_n\) appartient à l’axe réel.

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Exercice 4 — Arithmétique — 3 points

On rappelle que :

\[ 2026=2\times1013 \]

0,5 pt 1 Vérifier que \(1013\) est un nombre premier.

0,5 pt 2 Vérifier que : \[ 45\times968\equiv1\ [1013] \] puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence : \[ 45x\equiv1\ [1013] \]

0,75 pt 3 Vérifier que : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026] \] puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence : \[ 45x\equiv1\ [2026] \]

0,75 pt 4 Montrer que : \[ 45^{1012}\equiv1\ [1013] \] puis en déduire que : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013] \]

0,5 pt 5 Déterminer le reste de la division euclidienne de : \[ 45^{1011} \] par \(2026\).

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