Correction Concours ENSA Marrakech 2004 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année de l’ENSA de Marrakech.
Session du 27 juillet 2004 — Correction détaillée des 15 exercices.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Marrakech 2004. Chaque proposition est vérifiée par un calcul ou un raisonnement précis.
Correction détaillée
Exercice 1 — Dénombrement des copies d’un QCM
Pour chacune des \(15\) questions, deux choix sont possibles :
\[ \text{« vrai »}\qquad\text{ou}\qquad\text{« faux »}. \]Les choix étant indépendants, le nombre total de copies possibles est :
\[ \underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{15\ \text{facteurs}} = 2^{15}. \]Exercice 2 — Nombres rationnels et irrationnels
Elle est fausse, car le produit peut être nul :
\[ 0\times\sqrt2=0, \]qui est rationnel.
Proposition BElle est fausse. Par exemple :
\[ \sqrt2+(-\sqrt2)=0. \] Proposition CElle est fausse. Par exemple :
\[ \sqrt2\times\sqrt2=2. \] Proposition DSoit \(r\in\mathbb Q\) et \(a\notin\mathbb Q\). Si \(r+a\) était rationnel, alors :
\[ a=(r+a)-r \]serait rationnel, ce qui est impossible.
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est donc irrationnelle.
Exercice 3 — Inéquation rationnelle
Le domaine est :
\[ \mathbb R^\ast. \]On écrit :
\[ \frac1x-\frac1{x^3} = \frac{x^2-1}{x^3} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^3}. \]Le tableau de signes est déterminé par les valeurs :
\[ -1,\qquad0,\qquad1. \]Le quotient est positif ou nul sur :
\[ [-1,0[ \ \cup\ [1,+\infty[. \]Exercice 4 — Comparaison d’une puissance et d’un logarithme
On considère :
\[ h(x)=x^m-(\ln x)^2. \]Lorsque \(m\gt0\), posons :
\[ t=\ln x. \]Alors \(x=e^t\) et, lorsque \(x\to+\infty\), on a \(t\to+\infty\). Ainsi :
\[ h(x)=e^{mt}-t^2. \]Comme l’exponentielle \(e^{mt}\) domine toute puissance de \(t\) lorsque \(m\gt0\) :
\[ \frac{t^2}{e^{mt}}\longrightarrow0. \]Donc :
\[ e^{mt}-t^2 = e^{mt} \left( 1-\frac{t^2}{e^{mt}} \right) \longrightarrow+\infty. \]Les propositions A, B et C sont donc fausses.
Exercice 5 — Limite avec valeur absolue
Lorsque \(x\to1^-\), on a :
\[ x^2-1\lt0. \]Donc :
\[ |x^2-1| = 1-x^2 = (1-x)(1+x). \]Ainsi, pour \(x\ne1\) :
\[ \frac{|x^2-1|}{1-x} = 1+x. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to1^-} \frac{|x^2-1|}{1-x} = 2. \]Exercice 6 — Signe et parité d’une dérivée
On a :
\[ f(x)=x+\cos^2x. \]Donc :
\[ f'(x) = 1-2\sin x\cos x = 1-\sin(2x). \]La fonction \(f'\) n’est pas paire, car :
\[ f'(-x)=1+\sin(2x). \]Elle peut s’annuler lorsque :
\[ \sin(2x)=1. \]Mais, pour tout réel \(x\) :
\[ -1\le\sin(2x)\le1. \]Donc :
\[ f'(x)=1-\sin(2x)\ge0. \]Exercice 7 — Limite d’une fonction oscillante
On considère :
\[ g(x)= \frac{\sin^9x+\cos^6x+1}{e^{-x}+1}. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ e^{-x}+1\longrightarrow1. \]Étudions deux suites de valeurs de \(x\).
Première sous-suitePour :
\[ x_n=2n\pi, \]on a :
\[ \sin x_n=0, \qquad \cos x_n=1. \]Donc :
\[ g(x_n)\longrightarrow2. \] Deuxième sous-suitePour :
\[ y_n=\frac{3\pi}{2}+2n\pi, \]on a :
\[ \sin y_n=-1, \qquad \cos y_n=0. \]Donc :
\[ g(y_n)\longrightarrow0. \]Les deux sous-suites ont des limites différentes. La fonction \(g\) n’admet donc pas de limite en \(+\infty\).
Exercice 8 — Suite harmonique corrigée
On pose :
\[ U_n= 1+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n. \] PositivitéComme la fonction \(x\mapsto\frac1x\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\), on a, pour \(k\ge1\) :
\[ \int_k^{k+1}\frac{dx}{x} \le \frac1k. \]En sommant de \(k=1\) à \(n-1\) :
\[ \ln n = \int_1^n\frac{dx}{x} \le 1+\frac12+\cdots+\frac1{n-1}. \]Donc \(U_n\gt0\). La proposition A est vraie.
Variation \[ U_{n+1}-U_n = \frac1{n+1} - \ln\left(1+\frac1n\right). \]Or, pour \(t\gt0\) :
\[ \ln(1+t)\gt\frac{t}{1+t}. \]Avec \(t=\frac1n\) :
\[ \ln\left(1+\frac1n\right) \gt \frac1{n+1}. \]Ainsi :
\[ U_{n+1}-U_n\lt0. \]La suite est décroissante. La proposition B est fausse.
Minoration et majorationLa suite est positive, donc minorée par \(0\). Elle est aussi décroissante, donc :
\[ U_n\le U_1=1. \]Elle est donc majorée.
Exercice 9 — Domaine et demi-tangente verticale
La condition de définition est :
\[ 4x^2+4x\ge0. \]Donc :
\[ 4x(x+1)\ge0, \]d’où :
\[ D_f=]-\infty,-1]\cup[0,+\infty[. \]La proposition A est fausse.
La fonction n’est pas dérivable aux bornes \(-1\) et \(0\) de son domaine. La proposition B est fausse.
Pour \(x\gt0\) :
\[ \frac{f(x)-1}{x} = 2+ \frac{\sqrt{4x^2+4x}}{x}. \]Or :
\[ \frac{\sqrt{4x^2+4x}}{x} = 2\sqrt{1+\frac1x}. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{f(x)-1}{x} = +\infty. \]La proposition C est fausse. Cette limite infinie montre que la courbe possède au point \((0,1)\) une demi-tangente verticale.
Exercice 10 — Suite définie par récurrence
La suite est définie par :
\[ u_n= u_{n-1} + \frac{1+u_{n-1}}{1+2u_{n-1}}, \qquad u_0=1. \]Montrons d’abord que :
\[ u_n\ge1, \qquad \forall n\in\mathbb N. \]C’est vrai au rang \(0\). Si \(u_{n-1}\ge1\), alors :
\[ \frac{1+u_{n-1}}{1+2u_{n-1}}\gt0, \]donc :
\[ u_n\gt u_{n-1}\ge1. \]Ainsi, pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_n-u_{n-1} = \frac{1+u_{n-1}}{1+2u_{n-1}} \gt0. \]La suite est strictement croissante. Elle est donc aussi croissante.
De plus :
\[ \frac{1+u_{n-1}}{1+2u_{n-1}} \gt \frac12, \]car :
\[ 2+2u_{n-1}\gt1+2u_{n-1}. \]Donc :
\[ u_n\gt1+\frac n2. \]La suite n’est pas majorée et diverge vers \(+\infty\). Les propositions C et D sont fausses.
Exercice 11 — Identités trigonométriques
La formule classique de transformation d’une somme en produit est :
\[ \cos a+\cos b = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right). \]Les autres formules proposées ne correspondent pas aux identités usuelles :
\[ \cos a\cos b = \frac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr], \] \[ \sin a\sin b = \frac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr], \] \[ \sin a\cos b = \frac12\bigl[\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr]. \]Exercice 12 — Inégalités entre quatre réels
Des hypothèses :
\[ x_1\le y_1 \qquad\text{et}\qquad x_2\le y_2, \]on déduit :
\[ x_1+x_2\le y_1+y_2. \]Comme la fonction exponentielle est croissante :
\[ e^{x_1+x_2} \le e^{y_1+y_2}. \]Ainsi :
\[ \frac14e^{y_1+y_2} - \frac15e^{x_1+x_2} + 0{,}05 \] \[ \ge \left( \frac14-\frac15 \right)e^{x_1+x_2} + 0{,}05. \]Or :
\[ \frac14-\frac15=\frac1{20}=0{,}05. \]Donc :
\[ \frac14e^{y_1+y_2} - \frac15e^{x_1+x_2} + 0{,}05 \ge 0{,}05e^{x_1+x_2}+0{,}05 \gt0. \]Les propositions A, B et D ne sont pas toujours vraies, car l’élévation au carré, la soustraction et la multiplication ne conservent pas ces inégalités sans hypothèses supplémentaires.
Exercice 13 — Dérivée d’ordre supérieur
On veut calculer la dérivée d’ordre \(n+1\) de :
\[ F_n(x)=x^n e^{1/x}. \]On établit par récurrence la formule :
\[ F_n^{(n+1)}(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}e^{1/x}. \] InitialisationPour \(n=0\) :
\[ F_0(x)=e^{1/x} \]et :
\[ F_0'(x) = -\frac1{x^2}e^{1/x}. \]La formule est vraie.
HéréditéComme :
\[ F_n(x)=xF_{n-1}(x), \]la formule de Leibniz donne :
\[ F_n^{(n+1)} = xF_{n-1}^{(n+1)} + (n+1)F_{n-1}^{(n)}. \]En utilisant l’hypothèse de récurrence et sa dérivée, les termes en \(x^{-n-1}\) se simplifient et il reste :
\[ F_n^{(n+1)}(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}e^{1/x}. \]Or :
\[ (-1)^{n+1}=(-1)^{n+3}. \]Exercice 14 — Intégrale trigonométrique
On écrit :
\[ \cos^3x = \cos x\left(1-\sin^2x\right). \]Ainsi :
\[ I= \int_0^{\pi/2} \sin^2x\cos x \left(1-\sin^2x\right)\,dx. \]Posons :
\[ u=\sin x, \qquad du=\cos x\,dx. \]Lorsque \(x=0\), \(u=0\), et lorsque \(x=\frac{\pi}{2}\), \(u=1\). Donc :
\[ I= \int_0^1u^2(1-u^2)\,du. \]Alors :
\[ I= \int_0^1(u^2-u^4)\,du = \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_0^1. \]Par conséquent :
\[ I= \frac13-\frac15 = \frac2{15}. \]Exercice 15 — Sphère et plan dans l’espace
On complète les carrés :
\[ x^2-x = \left(x-\frac12\right)^2-\frac14, \]et de même pour \(y\) et \(z\). L’équation devient :
\[ \left(x-\frac12\right)^2 + \left(y-\frac12\right)^2 + \left(z-\frac12\right)^2 = 0. \]La « sphère » est donc dégénérée : elle est réduite au point :
\[ \Omega\left(\frac12,\frac12,\frac12\right). \]La proposition A est fausse.
Le point \(\Omega\) n’appartient pas au plan \(P\), car :
\[ \frac12+\frac12=1\ne0. \]La distance de \(\Omega\) au plan est :
\[ d(\Omega,P) = \frac{|1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac1{\sqrt2}, \]alors que le rayon est nul. Le plan n’est donc pas tangent à cette sphère dégénérée.
L’intersection de \(P\) et de \(S\) est vide ; ce n’est pas un cercle.
Tableau récapitulatif des réponses
| Exercice | Réponse finale |
|---|---|
| Ex. 1 | D |
| Ex. 2 | D |
| Ex. 3 | D |
| Ex. 4 | D |
| Ex. 5 | C |
| Ex. 6 | C |
| Ex. 7 | C |
| Ex. 8 | A, C et D |
| Ex. 9 | D |
| Ex. 10 | A et B |
| Ex. 11 | D |
| Ex. 12 | C |
| Ex. 13 | C |
| Ex. 14 | D |
| Ex. 15 | D |
Anomalies objectives du sujet
- Exercice 8 : les propositions A, C et D sont toutes vraies.
- Exercice 10 : les propositions A et B sont toutes les deux vraies.
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